數(shù)理金融學(xué)第三章-組合投資理論

數(shù)理金融學(xué)第三章資產(chǎn)組合理論4/13/20241.狹義的現(xiàn)代組合理論------馬科維茨提出的資產(chǎn)組合理論（50年代，從單個投資者考慮問題，局部均衡分析）廣義的現(xiàn)代組合理論------馬科維茨提出的資產(chǎn)組合理論------馬科維茨提出的有效組合決定模型的各種替代理論（60年代開始，其他求解資產(chǎn)有效組合的理論和方法，如指數(shù)化模型，簡化的有效組合決策模型）和資本市場理論（從整體的資本市場的角度考慮問題，一般的均衡分析，包括：資本資產(chǎn)的價格理論（CAPM,APT），以及證券市場的效率理論(效率市場假設(shè))）4/13/20242.3.1資產(chǎn)組合的收益與風(fēng)險一個島國是旅游勝地，其有兩家上市公司，一家為防曬品公司，一家為雨具公司。島國每年天氣或為雨季或為旱季，概率各為0.5，兩家公司在不同天氣下的收益分別如下，請問你的投資策略。防曬品公司雨具公司雨季旱季0%20%20%0%4/13/20243.資產(chǎn)組合（Portfolio）的優(yōu)點對沖（hedging），也稱為套期保值。投資于補償形式（收益負相關(guān)），使之相互抵消風(fēng)險的作用。分散化（Diversification）：必要條件收益是不完全正相關(guān)，就能降低風(fēng)險。組合使投資者選擇余地擴大。4/13/20244.例如有A、B兩種股票，每種股票的漲或跌的概率都為50%，若只買其中一種，則就只有兩種可能，但是若買兩種就形成一個組合，這個組合中收益的情況就至少有六種。漲，漲漲，跌漲跌，漲跌，跌跌漲跌AB組合至少還包含非組合（即只選擇一種股票），這表明投資者通過組合選擇余地在擴大，從而使決策更加科學(xué)。4/13/20245.組合的收益假設(shè)組合的收益為rp，組合中包含n種證券，每種證券的收益為ri，它在組合中的權(quán)重是wi，則組合的投資收益為4/13/20246.組合的方差將平方項展開得到4/13/20247.4/13/20248.根據(jù)概率論，對于任意的兩個隨機變量，總有下列等式成立組合的風(fēng)險變小4/13/20249.沒有24/13/202410.4/13/202411.總結(jié)對于包含n個資產(chǎn)的組合p，其總收益的期望值和方差分別為4/13/202412.例題例1：假設(shè)兩個資產(chǎn)收益率的均值為0.12，0.15，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.20和0.18，占組合的投資比例分別是0.25和0.75，兩個資產(chǎn)協(xié)方差為0.01，則組合收益的期望值的方差為4/13/202413.例2：假設(shè)某組合包含n種股票。投資者等額地將資金分配在上面，即每種股票占總投資的1/n，每種股票的收益也是占總收益的1/n。設(shè)若投資一種股票，其期望收益為r，方差為σ2，且這些股票之間兩兩不相關(guān)，求組合的收益與方差。4/13/202414.組合的收益是各種證券收益的加權(quán)平均值，因此，它使組合的收益可能低于組合中收益最大的證券，而高于收益最小的證券。只要組合中的資產(chǎn)兩兩不完全正相關(guān)，則組合的風(fēng)險就可以得到降低。只有當(dāng)組合中的各個資產(chǎn)是相互獨立的且其收益和風(fēng)險相同，則隨著組合的風(fēng)險降低的同時，組合的收益等于各個資產(chǎn)的收益。4/13/202415.2.2組合投資理論概述現(xiàn)代投資理論的產(chǎn)生以1952年3月Harry.M.Markowitz發(fā)表的《投資組合選擇》為標(biāo)志1962年，WillianSharpe對資產(chǎn)組合模型進行簡化，提出了資本資產(chǎn)定價模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定價模型（Arbitragepricingtheory，APT）。上述的幾個理論均假設(shè)市場是有效的。人們對市場能夠地按照定價理論的問題也發(fā)生了興趣，1965年，EugeneFama在其博士論文中提出了有效市場假說（Efficientmarkethypothesis，EMH）4/13/202416.2.3資產(chǎn)組合投資理論基本假設(shè)（1）投資者僅僅以期望收益率和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來評價資產(chǎn)組合（Portfolio）（2）投資者是不知足的和風(fēng)險厭惡的，即投資者是理性的。（3）投資者的投資為單一投資期，多期投資是單期投資的不斷重復(fù)。（4）投資者希望持有有效資產(chǎn)組合。4/13/202417.2.3.1組合的可行集和有效集可行集與有效集可行集：資產(chǎn)組合的機會集合（Portfolioopportunityset），即資產(chǎn)可構(gòu)造出的所有組合的期望收益和方差。有效組合（Efficientportfolio）：給定風(fēng)險水平下的具有最高收益的組合或者給定收益水平下具有最小風(fēng)險的組合。每一個組合代表一個點。有效集（Efficientset）：又稱為有效邊界（Efficientfrontier）,它是有效組合的集合（點的連線）。4/13/202418.兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的組合的風(fēng)險與收益若已知兩種資產(chǎn)的期望收益、方差和它們之間的相關(guān)系數(shù)，則兩種資產(chǎn)構(gòu)成的組合之期望收益和方差為由此就構(gòu)成了資產(chǎn)在給定條件下的可行集！4/13/202419.注意到兩種資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為1≥ρ12≥－1因此，分別在ρ12＝1和ρ12＝－1時，可以得到資產(chǎn)組合的可行集的頂部邊界和底部邊界。其他所有的可能情況，在這兩個邊界之中。4/13/202420.組合的風(fēng)險－收益二維表示.收益rp風(fēng)險σp2.3.2兩種完全正相關(guān)資產(chǎn)的可行集4/13/202421.兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)，即ρ12＝1，則有4/13/202422.命題2.1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得4/13/202423.兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風(fēng)險σp4/13/202424.2.3.3兩種完全負相關(guān)資產(chǎn)的可行集兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有4/13/202425.命題2.2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：4/13/202426.4/13/202427.兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險σp4/13/202428.2.3.4兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險資產(chǎn)的組合的可行集4/13/202429.總結(jié)：在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集收益Erp風(fēng)險σpρ=1ρ=0ρ=-14/13/202430.4/13/202431.3種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示一般地，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風(fēng)險σp12344/13/202432.類似于3種資產(chǎn)構(gòu)成組合的算法，我們可以得到一個月牙型的區(qū)域為n種資產(chǎn)構(gòu)成的組合的可行集。收益rp風(fēng)險σpn種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示4/13/202433.總結(jié)：可行集的兩個性質(zhì)在n種資產(chǎn)中，如果至少存在三項資產(chǎn)彼此不完全相關(guān)，則可行集合將是一個二維的實體區(qū)域可行區(qū)域是向左側(cè)凸出的因為任意兩項資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合都位于兩項資產(chǎn)連線的左側(cè)。為什么？4/13/202434.收益rp風(fēng)險σp不可能的可行集AB4/13/202435.2.3.5風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險水平和收益水平這兩個角度來評價，會明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點是在同種風(fēng)險水平的情況下，提供最大預(yù)期收益率；在同種收益水平的情況下，提供最小風(fēng)險。我們把滿足這兩個條件（均方準(zhǔn)則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。4/13/202436.整個可行集中，G點為最左邊的點，具有最小標(biāo)準(zhǔn)差。從G點沿可行集右上方的邊界直到整個可行集的最高點S（具有最大期望收益率），這一邊界線GS即是有效集。例如：自G點向右上方的邊界線GS上的點所對應(yīng)的投資組合如Ｐ，與可行集內(nèi)其它點所對應(yīng)的投資組合（如Ａ點）比較起來，在相同風(fēng)險水平下，可以提供最大的預(yù)期收益率；而與Ｂ點比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點承擔(dān)的風(fēng)險又是最小的。4/13/202437.總結(jié)A、兩種資產(chǎn)的可行集完全正相關(guān)是一條直線完全負相關(guān)是兩條直線完全不相關(guān)是一條拋物線其他情況是界于上述情況的曲線B、兩種資產(chǎn)的有效集左上方的線C、多個資產(chǎn)的有效邊界可行集：月牙型的區(qū)域有效集：左上方的線4/13/202438.馬克維茨的數(shù)學(xué)模型*均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·馬克維茨等人于1952年建立的，其目的是尋找有效邊界。通過期望收益和方差來評價組合，投資者是理性的：害怕風(fēng)險和收益多多益善。因此，根據(jù)上一章的占優(yōu)原則這可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，即（1）給定收益的條件下，風(fēng)險最小化（2）給定風(fēng)險的條件下，收益最大化4/13/202439.4/13/202440.對于上述帶有約束條件的優(yōu)化問題，可以引入拉格朗日乘子λ和μ來解決這一優(yōu)化問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下上式左右兩邊對wi求導(dǎo)數(shù)，令其一階條件為0，得到方程組4/13/202441.和方程4/13/202442.這樣共有n＋2方程，未知數(shù)為wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2個未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是線性方程組，可以通過線性代數(shù)加以解決。例：假設(shè)三項不相關(guān)的資產(chǎn)，其均值分別為1，2，3，方差都為1，若要求三項資產(chǎn)構(gòu)成的組合期望收益為2，求解最優(yōu)的權(quán)重。4/13/202443.4/13/202444.課外練習(xí)：假設(shè)三項不相關(guān)的資產(chǎn)。其均值分別為1，2，3，方差都為1，若要求三項資產(chǎn)構(gòu)成的組合期望收益為1，求解最優(yōu)的權(quán)重。由此得到組合的方差為4/13/202445.2.3.6最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合由于假設(shè)投資者是風(fēng)險厭惡的，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以首先被排除。雖然投資者都是風(fēng)險厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險規(guī)避程度。度量投資者風(fēng)險偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。4/13/202446.理性投資者對風(fēng)險偏好程度的描述——無差異曲線同一條無差異曲線,給投資者所提供的效用（即滿足程度）是無差異的，無差異曲線向右上方傾斜,高風(fēng)險被其具有的高收益所彌補。對于每一個投資者,無差異曲線位置越高，該曲線上對應(yīng)證券組合給投資者提供的滿意程度越高。4/13/202447.不同理性投資者具有不同風(fēng)險厭惡程度4/13/202448.最優(yōu)組合的確定最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無差異曲線I2與有效集相切的切點Ｏ處。由G點可見，對于更害怕風(fēng)險的投資者，他在有效邊界上的點具有較低的風(fēng)險和收益。4/13/202449.資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點首次對風(fēng)險和收益進行精確的描述，解決對風(fēng)險的衡量問題，使投資學(xué)從一個藝術(shù)邁向科學(xué)。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個資產(chǎn)的風(fēng)險并不重要，重要的是組合的風(fēng)險。從單個證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析4/13/202450.資產(chǎn)組合理論的缺點當(dāng)證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學(xué)生夏普就可是尋求更為簡便的方法，這就是CAPM。4/13/202451.附錄1:n項風(fēng)險資產(chǎn)組合有效前沿假定1：市場上存在種風(fēng)險資產(chǎn)，令代表投資到這n種資產(chǎn)上的財富的相對份額，則有：且賣空不受限制，即允許2.也是一個n維列向量，它表示每一種資產(chǎn)的期望收益率，則組合的期望收益4/13/202452.3.使用矩陣表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有注：方差協(xié)方差矩陣是正定、非奇異矩陣。所以，對于任何非0的向量a，都有，則4/13/202453.其中，是所有元素為1的n維列向量。由此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)4/13/202454.注意到方差-協(xié)方差矩陣正定，二階條件自動滿足，故只要求一階條件其中，0=[0,0,…,0]0=[0,0,…,0]（1）（2）（3）4/13/202455.（4）由（1）得到把（4）代入（2），得到（5）4/13/202456.為簡化，定義把（4）代入（3）（6）4/13/202457.這樣我們就可以將（5）和（6）改寫為解得（7）（8）4/13/202458.將（7）和（8）代入（4）得到，給定收益條件下的最優(yōu)權(quán)重向量為（9）其中，4/13/202459.附錄2：最小方差集的幾何特征性質(zhì)(1):最小方差集是均方平面上的雙曲線證明：由于4/13/202460.根據(jù)線性代數(shù)的性質(zhì)有不妨令4/13/202461.這樣，由（9）得到的最優(yōu)權(quán)重向量改寫為在得到最優(yōu)權(quán)重的基礎(chǔ)上，最小方差為（10）4/13/202462.由于（11）所以4/13/202463.這是均方二維空間中的雙曲線，不妨稱為最小方差曲線（minvariancecurve）。雙曲線的中心是（0，b/c），漸近線為對（11）配方得到即證畢.4/13/202464.性質(zhì)2：全局最小方差點的權(quán)重向量為證明：由于g點是最小方差前沿的一個點，故它滿足（11），即（12）對（12）求駐點4/13/202465.所以，代入（10）得到4/13/202466.附錄3：兩基金分離定理（two-fundseparationtheorem）兩基金分離定理：在均方效率曲線上任意兩點的線性組合，都是具有均方效率的有效組合。假設(shè)wa和wb是在給定收益ra和rb（ra≠rb）是具有均方效率的資產(chǎn)組合（基金），則命題1：任何具有均方效率的資產(chǎn)組合都是由wa和wb的線性組合構(gòu)成命題2：反之，由wa和wb線性組合構(gòu)成的資產(chǎn)組合，都具有均方效率。4/13/202467.證明1：對于給定條件下的資產(chǎn)組合滿足均方效率最優(yōu)權(quán)重為即c是a和b的線性組合，命題1證畢。4/13/202468.證明2：反過來，因