高中數(shù)學(xué)講義（人教A版必修二）：第32講 直線與平面垂直（教師版）

第32講直線與平面垂直

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.

1.本節(jié)主要內(nèi)容是在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽

解直線與平面垂直

象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面

的定義；了解直線

垂直的判定定理與性質(zhì)定理:能運(yùn)用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定

與平面所成角的概

理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題教學(xué)重點(diǎn)是通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸

念2掌握直線與平

納出直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的過程，其核心是理解判定定理、

面垂直的判定定

性質(zhì)定理的條件由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)在不同語言

理，并會(huì)用定理判

之間的轉(zhuǎn)化，把線面垂首問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題

定線面垂直.3.掌握

2.直線與平面重直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，世為平面與平面重直

直線與平面垂直的

的研究做了灘各線公全屏面垂直是在學(xué)生掌握了線在面內(nèi)、線面平行之后緊接

性質(zhì)定理，并會(huì)用

著研究的線面相交位置關(guān)系中的行中，我們研究了定義、判定定理以及性質(zhì)定

定理證明相關(guān)問

理，為本節(jié)課提供了研究內(nèi)容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性質(zhì)定理

題.

的教學(xué)，盡管新課標(biāo)在必修課程中不要求證明，但通過5A程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生

的幾何直覺以及運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)

數(shù)’知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01直線與平面垂直的定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線

定義

/與平面a互相垂直

記法/_La

直線/叫做平面a的垂線,平面a叫做直線/的垂面,它們唯

有關(guān)概念

一的公共點(diǎn)P叫做垂足

1

圖示

r

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊

畫法

形的一邊垂直

【即學(xué)即練1】如圖，在正方體ABCO-ASGA中，與A5垂直的平面是（）

A.平面。ACCB.平面

C.平面431clz)iD.平面4DB

答案B

解析'：ADi±AiD,g_L4Bi,4。04山1=4,AiD,4以(=平面AQBi,

平面AQBi.

知識(shí)點(diǎn)02直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線

文字語言

與此平面垂直

符號(hào)語言l-La,lA_b,aUa,bUa,aO=尸＞/_La

A

圖形語言

【即學(xué)即練2】如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABC。是矩形，AB_L平面P4。，AD=AP,￡是PZ）的

中點(diǎn)，M,N分別在AB,PC上，MMNLAB,MN_LPC.證明：AE//MN.

證明：A8_L平面也。，AEu平面出。，：.AE±AB,

又A8〃CD,：.AE±CD.

"：AD=AP,E是P。的中點(diǎn)，：.AE±PD.

又CDCPD=D,CD,PDu平面尸CO,

；.AE_L平面PCD.

'：MN±AB,AB//CD,C.MNLCD.

又,：MNLPC,PCPiCD^C,PC,CDu平面尸CO,

MN1.平面PCD,/.AE//MN.

反思感悟證明線線平行的常用方法

(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).

(2)利用基本事實(shí)4:證兩線同時(shí)平行于第三條直線.

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

知識(shí)點(diǎn)03直線與平面所成的角

有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形

一條直線與一個(gè)平面相交,但不與這

斜線個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面

的斜線，如圖中直線必

/

斜足斜線和平面的交點(diǎn),如圖中點(diǎn)4

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂///

線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在

射影

這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在

平面a上的射影為直線40

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如

直線與平面圖中NB4O

所成的角規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90。；一條

直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是￡

取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為仇則0WW90。

【即學(xué)即練3】如圖，在正方體ABCD—AiBCQi中.

(1)求AiB與平面AAiDiD所成的角；

⑵求ArB與平面BBDD所成的角.

解平面A4i。。，

/./AAiB就是42與平面AAi。。所成的角,

在RtZXAAI中，ZBAAi=90°,AB=AAX,

：.ZAAiB=45°,

AAiB與平面AAxD\D所成的角是45。.

⑵連接4G交3d于點(diǎn)。，連接80.

'."AiOLBiDi,BBi工AiO,BBiCiB1Di=Bl,BBi,BQiU平面BBQQ,

，4OJ_平面BBiDiD,

：.NAiB。就是AiB與平面BBQ。所成的角.

設(shè)正方體的棱長為1,則48=/，4。=芋.

又：ZAi<9B=90°,

...sin/AiB0=駕又0°W/A/OW90°,

A\DZ

ZAiBO=30°,

：.AiB與平面BBQ。所成的角是30。.

反思感悟

(1)求直線與平面所成角的關(guān)鍵是尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平

面內(nèi)的射影，直線與直線在平面內(nèi)射影所成的角即為線面角.

(2)通過作輔助線找垂線，確定線面角，提升直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng).

知識(shí)點(diǎn)04直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線壬丘

〃_L。，

符號(hào)語言□allb

b-La

1^__,

圖形語言

反思感悟

一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離，

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平

行平面間的距離.

【即學(xué)即練4】如圖所示，四邊形ABC。是正方形，Z）E_L平面ABC。，DE=DA=2.

⑴求證：AC±-TffiBDE；

⑵求AE與平面BDE所成角的大小.

⑴證明,四邊形ABC。是正方形，.,.AC_L3D

E_L平面ABC。，ACU平面ABC。，：.AC±DE,

'：BD,DEU平面BED,BDCDE=D,

平面BDE.

（2）解設(shè)ACC8。=。，連接EO,如圖所示.

：AC_L平面BDE,...E。是直線AE在平面BOE上的射影,

ZAEO即為AE與平面所成的角.

在RtZkEAO中，EXKAD?+D密=2&,A0=@,

AO1

在RtAEOA中，sinZAEO=-^7=^,

EJ/XZ

：.ZAEO=30°,即AE與平面BOE所成的角為30。.

能力拓展

考法01直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解

【典例1】（多選）下列命題中，不正確的是（）

A.若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，貝!）/J_a

B.若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒有與/垂直的直線

C.若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與/垂直

D.若直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，貝

答案ABD

解析當(dāng)/與a內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證/與平面a垂直，所以A不正確；當(dāng)/與a不垂直時(shí)，/可

能與a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若/在a內(nèi)，/也可以和a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，

故D錯(cuò)誤.

反思感悟?qū)τ诰€面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)

條直線”不是一回事.

【變式訓(xùn)練】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④

正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是.（填序號(hào)）

答案①③④

解析根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相

交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件.

考法02直線與平面垂直的判定

【典例2］如圖所示，在正方體ABCD-AiSGA中，M為CG的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O,求證：AiOX

平面MBD.

證明：四邊形ABCD為正方形，

J.BDLAC,

又平面ABCD,

.?.801,平面AAiO,

：.BDlAiO,

令正方體的棱長為2,連接OM,4M（圖略）,

則AiO=#,0M=yf3,4M=3,

：.AiO2+OM2^AiM2,

：.AiO±OM,

又OM^BD=O,

；.40_L平面MBD.

反思感悟證明線面垂直的方法

（1）由線線垂直證明線面垂直：

①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時(shí)需要作輔助線），使它們

與所給直線垂直.

（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：

@a//b,aJ_a—6_La;?a//p,a_La=>a_LA

【變式訓(xùn)練】如圖，AB為。。的直徑，垂直于。。所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，ANLPM,N為

垂足.

⑴求證：AML平面P8M；

(2)若4。，尸8,垂足為。，求證：NQ±PB.

證明為。。的直徑，：.AM±BM.

又B4_L平面ABM,BMU平面ABM,：.PA±BM.

又4cAM=A,PA,AMU平面B4M,

平面PAM.

又ANU平面：.BM±AN.

又AALLPM,且BM,PA/u平面PBW,

；.AN_L平面PBM.

⑵由⑴知AN_L平面PBM,

u平面PBM,：.AN±PB.

}L'：AQ±PB,ANHAQ^A,AN,AQu平面AiVQ,

??.尸2_1平面m\0.

又NQU平面AAQ,：.PB±NQ.

考法03直線與平面垂直的性質(zhì)

【典例3】在四面體「一ABC中，若E4=PB=PC,則點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

答案A

解析如圖，設(shè)點(diǎn)尸在平面A8C內(nèi)的射影為點(diǎn)。，連接OP,則P。，平面A8C,

連接。A,OB,OC,

J.POLOA,POA.OB,POLOC,

又PA=PB=PC,

.,.RtAPOA^RtAPOB

^RtAPOC,

貝ijOA^OB^OC,

為△ABC的外心.

【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正三棱柱ABC—AiBiG中，若AB：BBi=^：I,則AS與平面B8GC所成角

的大小為（）

A.45°

C.30°D.75°

答案A

解析取2C的中點(diǎn)。，連接A。，BiD,

A

B

?；AD_LBC且AD_LBBi,BCCBBi=B,BC,BBiU平面BCCiS,

；.AD_L平面BCCiBi,

：.ZABiD即為ABi與平面331cle所成的角.

設(shè)AB=yfi,則AAi=l,AD=^2~,ABi,

AnA/9

)，

AsinZABi￡=A7n^i-=VZZABiZ)=45°.

即與平面581CC所成的角為45。.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.已知AABC所在的平面為夕，I,加是兩條不同的直線，ILAB,ILAC,m±BC,mLAC,則直線

/,用的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.不確定

【答案】C

【解析】由/人a,。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得結(jié)果

【詳解】因?yàn)?_LA3,11.AC,AB,ACa

又AficAC=A,所以/_La,

同理可證機(jī)，a,所以"/加.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，屬基礎(chǔ)題.

2.設(shè)/，機(jī)是兩條不同的直線，"，夕是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（）

A.若mlla,貝！|/_LaB.若〃啰，a工f3,I_La

C.若ILn,mca,貝D.若/_L￡,mL（3,mVa,貝！J/_La

【答案】D

【分析】依據(jù)線面垂直判定定理去判斷各個(gè)選項(xiàng)即可解決.

【詳解】選項(xiàng)A：若/_1_m，mlla,則/ua或///tz或/、a相交.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：若〃/0，a，。,則/ua或///a或/、口相交.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：若/“zua,貝ij/ua或/〃。或/、a相交.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：若/_L￡,mV/3,則〃/m，又nz_Lcr,貝!!/_La.判斷正確.

故選：D

3.下列命題為真命題的是（）

A.若直線/與平面a上的兩條直線垂直，則直線/與平面a垂直

B.若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行

C.若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直

D.若直線/上的不同兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則直線/與平面a平行

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理、空間直線平面間的位置關(guān)系判斷.

【詳解】A.若直線/與平面a上的兩條直線垂直，當(dāng)平面內(nèi)兩條直線平行時(shí)，直線/與平面a不一定垂直,

A錯(cuò)；

B,若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，B正確；

C.若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直，這兩個(gè)平面可以相交，也可以平行，C錯(cuò)；

D,若直線/上的不同兩點(diǎn)到平面a的距離相等，直線/與平面a可能相交也可能平行，D錯(cuò).

故選：B.

4.已知加、〃是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，則（）

A.若mlln,wua,則

B.若〃？J_""ua,則mJ_a

C.若〃7_L〃，nila,貝！

D.若MIJ_,nila,貝!|祖_L〃

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中線與面的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：對(duì)于A：若〃"/〃，wua,則〃?//戊或機(jī)ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若m_L〃，nua,則加_L（z或相〃夕或a或機(jī)與a相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若m_1_〃，nila,則m或機(jī)//1或機(jī)ua或機(jī)與a相交（不垂直），故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若機(jī)_Lc,nila,由線面垂直的性質(zhì)可得〃7,故D正確;

故選：D

5.如圖，正方體ABC。-4片GR中，E、F是線段4G上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF長為定值，下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.BDLCEB.BD上面CEF

C.三角形BEF和三角形CEF的面積相等D.三棱錐B-CEF的體積為定值

【答案】C

【分析】由正方體的性質(zhì)知班＞上面ACC1A,由48斤和4CEF的底邊E廳上的高不相等可知它們的面積不

相等，又8點(diǎn)到面由的距離為定值，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】8￡＞上面ACCIA，CEU面ACGA，面CEF與面ACC]A重合，所以A,B均正確，

8到后廠的距離為△BAG的高，C到EF的距離即為CG，所以ASEF的面積大于△CEF的面積，C錯(cuò)誤;

3點(diǎn)到面CEF的距離為定值，為與長，△回的面積也為定值，D正確.

故選：C.

6.已知四面體ABCD中，Zfi4D=60°,ZBCD=90。,AB=AD=2,H是30的中點(diǎn)，CHLBD,

ZAHC=120°,則四面體的外接球的表面積為（）

.2732952

A.—兀B.—71C.—TCD.—71

51549

【答案】D

【分析】根據(jù)已知題意作出幾何圖形，經(jīng)過分析可知3。為一BDC所在小圓的直徑，所以球心與的中點(diǎn)

的連線垂直于平面即C,然后根據(jù)勾股定理列出方程，則求出球心與30的中點(diǎn)的連線的長度，再解方程

即可求得結(jié)果.

如圖，四面體A3CD的外接球?yàn)榍騉,連接OH,OA.因?yàn)镹3CD=90。,

則BD為二BDC所在小圓的直徑.

又因?yàn)?5W=60。，且AB=AD=2,則BD=2.

又我是3。的中點(diǎn)，所以=

又因?yàn)镹A"C=120。，則NAHO=150°或30.

設(shè)球的半徑為R,貝4斤-。〃2=1.

在,AHO中，由余弦定理知，

OH2+(A/3)2-7?2

cosl50°=-^-=

22xOHx^3

2

則O"=-§（不合題意，舍去）.

又儂30。=走-）［"，則0"=:，

22xOHxV3?

貝1JR2-3=1,解得R=巫，則球的表面積為年萬.

939

故選:D

【點(diǎn)睛】求空間幾何體的外接球半徑的常用方法：

1、補(bǔ)形法：側(cè)面為直角、或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ汀？梢赃€原到正方體或長方體中求解；

2、利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也就是球直徑；

3、定義法：到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一

定在垂線上，再根據(jù)其到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列出方程求解即可.

二、多選題

7.設(shè)機(jī)，w為不重合的兩條直線，"，/為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若且〃//（/,貝!|加〃"；B.若且〃J_a,貝!jm〃"；

C.若〃?//a且機(jī)〃則a〃/?；D.若mJ_a且相則a///?.

【答案】BD

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系可以得出答案.

【詳解】解：A：若〃?〃￡且“〃a,則機(jī)，"可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

B：若小，。且根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；

C：若機(jī)//￡且機(jī)〃刀，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得a與尸可能平行也可能相交，故C錯(cuò)誤；

D：若相，打且相」萬，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確.

故選：BD

8.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足的

【答案】BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為2,

對(duì)于A,如圖（1）所示，連接AC,則舷V//AC,

故/POC（或其補(bǔ)角）為異面直線ORMN所成的角，

CP=1,故tan/POC=J=①,

在直角三角形OPC,oc=6

722

故MNJ_OP不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖（2）所示，取AT的中點(diǎn)為Q,連接尸2,OQ,則OQLNT,PQ1MN,

由正方體S3cM-N4OT可得SN_L平面⑷VDT,而OQu平面⑷VDT,

故SN，。。，而SNMN=N,故。。,平面SN7M,

又腦Vu平面SN7M,OQLMN,而OQPQ=Q,

所以肱V_L平面。PQ,而POu平面OPQ,故MN_LOP,故B正確.

對(duì)于C,如圖（3）,連接8￡）,貝U3D7MZV,由B的判斷可得,

故OPLMN,故C正確.

AS

對(duì)于D,如圖(4),取AD的中點(diǎn)Q,A3的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因?yàn)镈P=PC,故尸Q〃AC,椒PQHMN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線尸O,"N所成的角，

圖(4)

因?yàn)檎襟w的棱長為2,故PQ=；AC=應(yīng)，OQ=^AO2+A(^=71+2=^,

PO=dPK，+OK°=4^1=亞，Q°2<pQ2+op2-故NQ尸。不是直角，

故尸O,肱V不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

9.在正四面體ABCD中，直線BC與A。所成角的大小為

【答案】|

【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系直接證明判斷即可.

D

【詳解】

如圖所示,

取BC中點(diǎn)E,連接AE,DE,

由已知A3CD為正四面體,

則ABC,均為正三角形,

所以AE_LBC,DE1BC,

所以平面ADE,

故3C_LAD,

TT

即直線BC與直線AD的夾角為

77

故答案為：萬

10.若AB=2,線段⑷3所在直線和平面a成30。角，且Aea,則點(diǎn)8到平面。的距離=

【答案】1

【分析】作出線段所在直線和平面a成30。角的圖形求解.

【詳解】如圖所示:

BO.\.a,

因?yàn)榫€段4?所在直線和平面a成30。角，

所以/BAO=30,

所以點(diǎn)8到平面的距離為3O=AB-sinNB4O=l,

故答案為：1

11.對(duì)于任意給定的兩條異面直線，存在條直線與這兩條直線都垂直.

【答案】無數(shù)

【分析】平移一條直線與另一條相交并確定一個(gè)平面，再由線面垂直的意義及異面直線所成角判斷作答.

【詳解】令給定的兩條異面直線分別為直線。，6,平移直線人到直線〃，使〃與直線。相交，如圖，

則直線〃與〃確定平面a,點(diǎn)A是平面。內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A有唯一直線/JLc,

因此，即有以人，由于點(diǎn)A的任意性，

所以有無數(shù)條直線與異面直線。都垂直.

故答案為：無數(shù)

12.如圖（1）平行六面體容器ABC。-AqGA盛有高度為萬的水，AB=AD=441=2,

NAABUNAAOM/BAOMGO.固定容器底面一邊3c于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過

A,男,G,。四點(diǎn)，則h的值為.

【答案】逅

3

【分析】作于點(diǎn)￡,作于點(diǎn)尸，取E尸的中點(diǎn)G,連接AG,Afi,作AHLAG于點(diǎn)”,

利用邊角關(guān)系以及線面位置關(guān)系結(jié)合余弦定理求出sinNAAG的值，證明4”，面A3CD,即可得點(diǎn)4到面

A3CD的距離，從而得平面44GR到平面A3CD的距離，進(jìn)而可得萬的值.

Cl

如圖：作AELAD于點(diǎn)E,作4/，48于點(diǎn)廠,

因?yàn)镹AAD=/AAB=60°,則AE=AF=esin60=2x與=也,

AE=AF=AAlcos60=2x^=1,

又因?yàn)镹EA尸=/BAD=60。，所以△AEF為等邊二角形，則EF=AE=1,

取所的中點(diǎn)G,連接AG,Afi,則AGLEF,Afi1EF,

EG=FG=-EF=-,

22

因?yàn)锳Gc4G=G,所以EF上面A4Q,

AG=7A￡2-￡G2=

/311—

4+

封+松-產(chǎn)4~711V3

由余弦定理可得:cosZ^AG=2x2x73

2AAiAG

2

所以sinAA.AG=7l-cosV^AG=

作于點(diǎn)H,因?yàn)镋F1面A4Q,AHu面44Q,

所以所_LA?,因?yàn)锳GcEF=G,所以面ABCD,

所以點(diǎn)A1到面ABCD的距離為d=AH=44,sinNA41G=2x^=手，

故平面A由G2到平面ABCD的距離為d=巫,

3

由題意可知：所盛水的體積為平行六面體容器ABC。-A/]GD的一半,

所以〃；

23

故答案為：巫.

3

四、解答題

13.如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E分別為AB,的中點(diǎn)，EB=EA,且B4LAC,PCLBC.求證:

3c2平面PAC.

B

【答案】證明見解析.

【分析】由題可得上4,4?,利用線面垂直的判定定理可得PAL平面ABC,進(jìn)而可得R41.3C,然后利用

線面垂直的判定定理即得.

【詳解】丫在△A￡B中，。是A2的中點(diǎn)，EB^EA,

ED上AB,

是PB的中點(diǎn)，。是AB的中點(diǎn)，

ED//PA,

PArAB,

又F4_LAC,ABr>AC=A,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

PA_L平面ABC,

,/BCu平面ABC,

PA1BC,

又PCLBC,PAPC=P,PAu平面PAC,尸Cu平面PAC,

平面PAC.

14.如圖所示，在ABC-Aqq中，側(cè)棱44,底面ABC,且底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1,D

是AC的中點(diǎn).

（I）求證：與?！ㄆ矫鍭BD；

（n）求直線A片與平面A3。所成角的正弦值；

（1H）求二面角A-BD-4的大小.

【答案】（I）證明見解析；（II）網(wǎng)（ID）與.

54

【分析】（I）設(shè)與A片交于E，連接。區(qū)則OE為.AC用的中位線，即石。//20,根據(jù)線面平行的

判定定理，即可得證；

（口）取4。中點(diǎn)「連接AF、EF,由題意可得AFLA。，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理可證3D_LAF，

所以平面A3。，所以-1EF為直線A4與平面4與。所成平面角，根據(jù)題中長度，即可求得答案；

（0）由（口）可得BD/AQ,又ADLBD,所以乙4圖即為二面角A-2。-4所成的平面角，根據(jù)題中

長度，即可求得答案；

【詳解】（I）證明：設(shè)與A與交于￡,連接。E,如圖所示：

由題意得E、D分別為44、AC的中點(diǎn),

所以EZ）//旦C,

又￡?匚平面48。，片CU平面

所以耳C//平面48。；

CD）取4。中點(diǎn)色連接AGEF,如圖所示

由題意得四邊形44（。為矩形，且AC=2,M=l-。為AC中點(diǎn),

所以A4,_LA￡）且4^=AD=1,

所以△A41O為等腰直角三角形，又尸為AQ中點(diǎn)，

所以A尸，AQ.

又。為AC中點(diǎn)，且24=2。，

所以BDLAC,

又側(cè)棱AA_L底面ABC,BDu平面ABC,

所以AALBO,又A4|AC=A,

所以8。上平面ACGA，又AFU平面ACGA，

所以BDLAF,又BD\D=D,

所以AF_L平面AB。，

所以NAEF為直線AB】與平面ABD所成平面角,

在用中，AF=—,AE=—,

22

V2

所以sin/AEP=M=+=?,

AE，55

~T

所以直線Ag與平面A.BD所成角的正弦值為半.

（in）由（II）可得3D人平面ACC0,又ADu平面AC￡A,

所以8。上A。，又AD_LBD,

所以NADA即為二面角A-8O-4所成的平面角,

在用中，AAi=AD=],

才

所以NA0A=45O=W，且二面角A-4為銳二面角，

所以二面角A-BA-A的大小為

4

15.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面小C,平面尸CD

PA.LCD,CD—2,AD=3.

(1)求證：平面PCD；

⑵求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)取棱尸C的中點(diǎn)N,連接DN,可得。NLPC,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得。N,平面B4C,

從而得到DNYPA,利用線面垂直的判定定理證明即可；

(2)連接AN,由線面角的定義可得，NZMN為直線A。與平面B4C所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)

系求解即可.

【詳解】(1)證明：取棱PC的中點(diǎn)N,連接。N,

由題意可知，DNLPC,又因?yàn)槠矫鍮4C_L平面PCD,平面出Cn平面PCD=PC,

所以￡W_L平面PAC,又E4u平面PAC,

故。N_LE4,又B4_LCZ),CDcDN=D,CD,ONu平面PC。,

則B4_L平面PCD；

B

(2)連接AN,由(1)可知，ON_L平面用C,

則ND4N為直線AD與平面B4c所成的角，

因?yàn)椤狿CD為等邊三角形，8=2且N為尸C的中點(diǎn)，

所以DN=6,又DNLAN,

在RtA/M/V中，sinzDAN^—=^,

AD3

故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為顯.

3

16.如圖，在三棱錐A3CD中，ABA.AD,BC1BD,平面AaD_L平面8C。，點(diǎn)E、F(E與A、。不

重合)分別在棱AT>,BD上,且防〃平面ABC.求證：

(1)EFJLAD-,

(2)ADVAC.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得防工仞.

(2)通過證明AD,平面A3c證得A。，AC.

【詳解】(1)由于砂〃平面ABC,EFu平面ABD,平面ABZJc平面ABC=AB,所以EF//AB.

由于所以EF工AD.

(2)平面ABD，平面BCD,且這兩個(gè)平面的交線為3。，BC±BD,所以BC/平面ABD,

所以3C_LA。，由于AB_LAT),BCIAB=B,

所以平面A3C,所以AD_LAC.

題組B能力提升練

一、單選題

I.在正方體A3CD-中，直線平面AC（/與直線8月不重合），貝U（）

A.BjBIZB,BxB//l

C.8出與/異面但不垂直D.8出與/相交但不垂直

【答案】B

【分析】由正方體可知平面4月G2,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定.

【詳解】；42,平面直線//平面4G

故選：B.

2.上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至

12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可.

【詳解】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)時(shí)針垂直于相鄰的平面，故此時(shí)兩個(gè)時(shí)針互相垂直.

二每天。點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B

3.己知點(diǎn)A、8在平面"的兩側(cè)，且點(diǎn)A、8到&的距離分別為3和5,則A2的中點(diǎn)到。的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】由線面垂直性質(zhì)得到線線平行，將空間點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面線段長度，再由平面中點(diǎn)坐標(biāo)公式求

解即可.

【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為C,過A、2分別作平面夕的垂線，垂足為A\B'.

則AAHBB',A,A',民8'四點(diǎn)共面.過C作CC」AB',垂足為C',則CC〃&A',

又則CC'Le.即C'C即為所求點(diǎn)到平面a的距離.

在平面A4'班'中，A'A=5,B8'=3,C為AB中點(diǎn)，則C'C==-3+=5=1.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】立體幾何中點(diǎn)面距離求解的常用方法有：一是"找一一證一一求"三步法；二是等體積法；三是法向

量法.

4.如圖，在直三棱柱ABC-中，CA=CB,尸為的中點(diǎn)，Q為棱CG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確

A.PQ1\BB.AC〃平面A3。

C.PQ1CQD.PQ〃平面ABC

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)可以利用三線合一證明垂直關(guān)系，

B選項(xiàng)可利用"線面平行時(shí)，直線無論怎么平移不會(huì)和平面相交”的性質(zhì)來判斷.

C選項(xiàng)先通過類似A選項(xiàng)的證明得到線線垂直，結(jié)合AC的結(jié)論得到線面垂直后判斷，

D選項(xiàng)可以構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定證明，

【詳解】不妨設(shè)棱柱的高為2/z,AC=CB=x.

B選項(xiàng)，根據(jù)棱柱性質(zhì)，AQ//AC,而ACc平面若AC〃平面A8。，無論怎樣平移直線AC,

都不會(huì)和平面A3。只有一個(gè)交點(diǎn)，于是得到矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

A選項(xiàng)，計(jì)算可得，QAl=QB=ylx+h,又尸為48的中點(diǎn)，故尸。（三線合一），A選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，連接。綜QA,A瓦，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，A與過P,計(jì)算可得，QA=QBi=j￡+h。,又P為A片的

中點(diǎn)，故尸。_LA耳（三線合一），結(jié)合A選項(xiàng)，尸。，AB,ABt\B=P,A綜平面AB4A，故尸。工

平面由44Iu平面ABBE,故尸01AA，棱柱的側(cè)棱44"/CC,,故PQ_LCC],C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)E,連接PE,CE,結(jié)合P為4出的中點(diǎn)可知，PE為中位線，故尸￡7/44，且

PE=^AAi,即收〃CQ,且PE=C。，故四邊形尸EC。為平行四邊形，故尸2〃CE,由PQZ平面ABC,

CEu平面A3C,故尸2〃平面ABC,D選項(xiàng)正確.

5.已知平面a內(nèi)的NAP3=60°,射線尸C與尸4尸8所成的角均為135。，則PC與平面1所成的角（9的余弦

值是（）

【答案】B

【分析】作出圖形，如圖，通過分析，可得NCPZ）為尸C與平面。所成的角的補(bǔ)角，利用余弦定理可以計(jì)算.

【詳解】作出如下圖形，令PA=PB=PC=2,貝!!?CPA?CPB135,:.AC=BC,

取A3中點(diǎn)O,連接尸D,則/CPD即為PC與平面4所成的角的補(bǔ)角,

在A4PC中，AC2=PA2+PC2-2PA蹙Ccos135=8+40,

,在.PCD中，CD2=AC2-AD2=7+472,

PD=K,

PC1+PD--CD2_V6

\cos?CPD

2PCxPDr

金與平面。所成的角。的余弦值是手.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，找出所成角，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在中，點(diǎn)尸在一ABC所在平面外，點(diǎn)。是P在平面ABC上的射影，且點(diǎn)。在_ABC的內(nèi)部.若

PA,PB,PC兩兩垂直，那么點(diǎn)。是A3C的（）

C.垂心D.重心

【答案】C

【分析】通過線線垂直證線面垂直以及線面垂直證線線垂直，依次可證24,平面PBC,PALBC,POLBC,

3。1平面陰。，BC1AO；同理可證30,AC,CO±AB,即得點(diǎn)。是的垂心

【詳解】連接04、OB、OC,

??PArPB,PAIPC,P3、PCu平面PBC,PBcPC=P,：.PAL平面PBC,

???3Cu平面PBC,PA1BC.

由題意，POmABC,3。匚平面42<?,二尸。1.3。,

又PA,P0u平面B40,BlcPO=P,3C1平面BAO,

QAOu平面B4O,二BCLAO,

同理可證3O1AC,CO!?AB,.,.點(diǎn)。是一ABC的垂心.

故選：C

二、多選題

7.已知正方體ABCD-4B】GQ的棱長為1,E是。5的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.ACA.B1E

B.BiCW平面AiBD

C.三棱錐G-BiCE的體積為g

D.異面直線&C與BD所成的角為45。

【答案】AB

【分析】對(duì)于A,由已知可得ACJ_平面BBiDQ,從而可得ACJ_&E；對(duì)于B,利用線面平行的判定定理可判

斷；對(duì)于C,由％_B,CE=5.GCE進(jìn)行求解即可；對(duì)于D,由于BDIIBiQ,所以N是異面直線&C與8。

所成的角，從而可得結(jié)果

【詳解】解：如圖,

G

■，-ACrBD,AC±BBT,，AC_L平面BB】。］。,

又&￡評(píng)面BBiQD,：.AC±BiE,故A正確；

?/BiCWAiD,4。印面4BD,&C<Z平面4BD,.1&CII平面48。，故B正確；

三棱錐Ci-BiCE的體積為％_BQE=K),-GCE=：x!xlxl=：,故C錯(cuò)誤；

326

???BDIIBQ1，,NCBiD1是異面直線&C與B。所成的角，又△CB】D1是等邊三角形，

.,.異面直線&C與B。所成的角為60。，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】此題考查線線垂直的判定、線面平行的判定、異面直線所成的角以及體積的計(jì)算等知識(shí)，考查推

理能力，屬于中檔題

8.如圖所示，在三棱錐V-ABC中，AB=BC,且NL4B=NVAC=NABC=90。，尸為線段VC的中點(diǎn).則

()

A.P8與AC垂直

B.P5與VA平行

C.點(diǎn)P到點(diǎn)A,B,C,V的距離相等

D.m與平面ABC,尸8與平面ABC所成的角可能相等

【答案】AC

【解析】由題設(shè)可證底面48C,作AC中點(diǎn)H,由中位線定理可證尸易證PBLAC,再由H為

RtABC外心得P到A,8,C三點(diǎn)距離相等，尸為RdVAC外心，可證點(diǎn)尸到點(diǎn)A,B,C,V的距離相等;

結(jié)合正切定義可證VB與平面ABC,尸5與平面ABC所成的角不相等

【詳解】過點(diǎn)尸作PH_LAC,垂足為H,連接可得“為AC的中點(diǎn).

因?yàn)锳B=BC,所以8HLAC,所以AC,平面尸3”,所以ACLPB,從而A正確；

由條件可知P"〃3,而PH與PB有交點(diǎn)、,因而尸8與VA不平行，B錯(cuò)誤;

點(diǎn)P是處ZWAC的外心，所以P到V,A,C的距離相等,

根據(jù)條件可知VAJ_平面A3C,從而尸〃_L平面A3C,又因?yàn)镠是RtAABC的外心，所以尸點(diǎn)到A,B,C

的距離相等，所以點(diǎn)尸到A,B,C,V四點(diǎn)的距離都相等，C正確;

yA

出與平面ABC所成的角即5A,跳與平面由所成的角即加，