第26練 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示（解析版）-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）

第26練數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示

課本變式練+考點(diǎn)分類練+最新模擬練+高考真題練+綜合提升練

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T2變式）數(shù)列｛4｝中，4=2,am+II=aman,則4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛〃”｝中，4=2,am+?=aman,所以令機(jī)=〃=1,則/=qq=2x2=4,即生=4,

令m=〃=2,則/+2=。2“2=4x4=16,即q=16

2.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T3變式）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)1,2,-1,3,-4,7,x,18,-29,

其中x為（）

A.12B.-12C.11D.-11

【答案】D

【解析】觀察下列數(shù)的特點(diǎn)1,2,-1,3,T,7,x,18,-29，…，可知：I—2=—1,2-（-1）=3,—1—3=T,

3-（Y）=7，得X=-4-7=-11.故選D.

3.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T4變式）已知q=l,-1+--（"22）,則％=.

an-\

Q

【答案】I

?[315]8

[解析]由已知可得%=1+—=2,4=1+—=不，%=1+—=->%=1+—=￡.

qa22a33a45

4.（人A選擇性必修二P8習(xí)題4.1T5變式）古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1,3,6,10,15,21,....這

些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣

的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第10個(gè)三角形數(shù)是.

???

??????...

??????????

13610

【答案】55

【解析】根據(jù)題意，三角形數(shù)的每一項(xiàng)都是數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)的和，即4=1+2+3++n,al0=55

二、考點(diǎn)分類練

（一）根據(jù)遞推數(shù)列通項(xiàng)確定數(shù)列指定項(xiàng)

5.（2022屆湖南省長(zhǎng)沙中學(xué)高三下學(xué)期月考）設(shè)數(shù)列｛q｝滿足4=7,且％7=（1-4曠，則出=（）

A.1B.2C.4D.9

【答案】D

【解析】因?yàn)?=[1-（-1）—,所以%=0-4）2=（-3）2=9.故選D

6.（2022屆江西省南昌市高三第一次模擬）數(shù)列｛4｝中，4=2,am+n=aman,則〃4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛”“｝中，4=2,am+n=aman,所以令加=〃=1,則4+|="嗎=2x2=4,即々=4,

令加=〃=2,則〃2+2=〃2〃2=4x4=16,即。4=16,故選B

（二）由數(shù)列前若干項(xiàng)確定數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)

7.（2022屆甘肅省民樂縣高三第二次診斷）已知數(shù)列百，技療,3,4T,…，而工T,…，則石T是這個(gè)數(shù)列的

（）

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第24項(xiàng)D.第25項(xiàng)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由2〃+1=51,得〃=25,故后是這個(gè)數(shù)列的第25項(xiàng).故選D.

8.（2022屆河南省聯(lián)考高三上學(xué)期核心模擬卷）觀察下列數(shù)的特點(diǎn)1,2,-1,3,-4,1,x,18,-29,

其中x為（）

A.12B.-12C.11D.-11

【答案】D

【解析】觀察下列數(shù)的特點(diǎn)1，2,-1,3,Y,7,x,18,-29,…，可知：1—2=—1,2-（-1）=3,-1-3=^,

3-（-4）=7,得x=-4-7=-ll.故選D.

（三）數(shù)列的單調(diào)性

9.（2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）己知數(shù)列｛《,｝滿足的洶a?=n2,其中“=1,2,3,…，則數(shù)列｛%｝

（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】A

2

【解析】依題意，因?yàn)?。2a3",=/，其中"=1,2,3,…,當(dāng)〃=1時(shí)，al=l=1,

當(dāng)"22時(shí)，Ga,%a?-i=(?-1)2.”",小,兩式相除有凡=」-F=(1+—!—],"22,易得““隨

("-1廠In-\)

著"的增大而減小，故。“4出=4,且?！?gt;1=4，故最小項(xiàng)為4=1,最大項(xiàng)為%=4

故選A

10.已知數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，且滿足。e=2%+1,且％的取值范圍是.

【答案】(―1,+8)

【解析】由%=2。,+1，得4+1=2(4+1),

因?yàn)椋惺沁f增數(shù)列，所以｛%+1｝也是遞增數(shù)列，

所以｛勺+1｝是公比為2的等比數(shù)列，且4+1>0,即4>-1.

(四)周期數(shù)列

11.(2022屆海南省瓊海市高三三模)已知數(shù)列｛%｝中，4=2,4=4,a?+all+i+an+2=2,則“2022=()

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】D

【解析】因?yàn)?=2,%=4,。,,+?！?|+?！?2=2,所以a,.=2-?！?|-可，則4=2-g-q=~4,

4=2-。3-。2=2,。5=2-%-“3=4,…，所以數(shù)列｛“"｝是以3為周期的數(shù)列，則的022=“674*3=。3=T.

故選D.

12.(2022屆上海市靜安區(qū)高考二模)數(shù)列｛〃"｝滿足4=2,出=丁工，若對(duì)于大于2的正整數(shù)〃，4=1匚，

[~a\1一%

貝IJ402=?

【答案】I

_1_,_I_1_1__I_.

[解析]由題意知：2"1^2-'3-Tp)-2，C，4~^~20，as~T2~.

2

故但“｝是周期為3的周期數(shù)列，則為2=4,34=%=g

（五）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)

13.已知數(shù)列佃,｝滿足且。用=痣

7T貝數(shù)歹

23%+LIIiJ/=________

1

【答案】

3〃一I

【解析】由4”=總7兩邊取倒數(shù)可得一二='+3,即1-一'=3,所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)

3a“+14出anan,la?[aj

為2,公差為3,所以，=3〃-1,所以4=工

an3〃-1

+2+，

14.數(shù)列｛4“｝滿足：?|=|,（T-\）a?+l=（T'-2）a?（neN）,則｛《,｝的通項(xiàng)公式為.

2"

【答案】4=（2"-1）（2"+,-1）

c9w+,—9ow—1

【解析】由（2*-1）%=（2向-2）《,得，拳1=詔7=2.蒲］

a“乙—1z—1

則.?也.心.—=2?二232五…-

-%42--12?-12--123-1（2向-1）（2"-1）'

an_3.2"T,2_2"

即,一（2"_1）（2"+'_1）'乂勾=彳'所以凡一（2"-1乂

（六）4與S”的關(guān)系及應(yīng)用

15.已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S”.若q=2,an+l=S?,則qoo=（）

A.297B.298C.2"D.2'00

【答案】C

【解析】當(dāng)“22時(shí)，由a,+i=S,①，可得：為=S“T②，兩式相減得：/+「%=%,

所以a.+i=2a“，n>2,當(dāng)〃=1時(shí)，a2=S,=^=2,

故數(shù)列｛q｝是從第二項(xiàng)開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以q=

所以40G=2",故選C

2

16.（2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期全真模擬）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，S,.=n+n,

則為=.

【答案】2〃

【解析】當(dāng)”=1時(shí)，4=3=2,當(dāng)"22時(shí)，S,i=（"-1『+（"-1）=1,所以=S“一S"T=2〃，

4=2也符合上式，所以a“=2".

三、最新模擬練

17.(2022屆青海省西寧市高三二模)已知S,為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，q=l,a向+2S,,=2〃+1,則$26=

()

A.2020B.2021C.2022D.2024

【答案】C

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，%+2S[=2+1=>%=1，當(dāng)”22時(shí)，由a,+|+2S“=2〃+l得a“+2S“T=2〃-1,

兩式相減可得-4,+2%=2,即可+%=2,所以q=1,可得S.=〃，所以％22=2022.

故選C.

18.(2022屆北京市第八十中學(xué)高三下學(xué)期考前熱身數(shù)學(xué)練)數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做

法如下：從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向

外作正三角形，再去掉底邊(如圖①、②、③等).反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到雪花曲線.

①②③

不妨記第〃(〃=1，2,3,…)個(gè)圖中的圖形的周長(zhǎng)為小,則%=()

256r256八512_

A.—B.—C.—I

92727

【答案】C

【解析】由圖知:第一個(gè)圖有3條邊,各邊長(zhǎng)為2,故周長(zhǎng)4=3x2；

第二個(gè)圖有12條邊，各邊長(zhǎng)為2:，故周長(zhǎng)見=12x2：；

第三個(gè)圖有48條邊，各邊長(zhǎng)為2:，故周長(zhǎng)為=48x2]；

所以邊的條數(shù)是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列，則笫〃個(gè)圖的邊有3?4"T條,

邊長(zhǎng)是首項(xiàng)為2,公比為;的等比數(shù)列，則第八個(gè)圖的邊長(zhǎng)為

故氏=3X44X2X('"=詈.故選C

19.(2022屆浙江省金麗衢十二校高三下學(xué)期5月第二次聯(lián)考)己知數(shù)列｛為｝滿足：4=2,

%=:(阮+2勺)("M).記數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和為S"，貝IJ()

A.12<5|0<14B,14<S10<16

C.16<SI()<18D.18<510<20

【答案】B

【解析】生=；(6+2q)>g(l+2)=l,a3>gx(l+2)=l,依次類推，則為>1；

+2a-3

由4+1=g(5/^+2a“)得：??+1-1=n)-

.]_3_________3________

1—I2a“+瘋-3(2阮+3)(瘋-1)，

令b,,=a“-l,7；為他,｝的前“項(xiàng)和，??$=(+〃，

又q-l=l,.?.也｝為遞減數(shù)列，即｛4｝為遞減數(shù)列，.?.%wq=2,

<2(當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)取等號(hào)),

「c1I2

I—/-7c3_-<------―—v-

1<a40<2,，5<2+『<5,5217,

也如

M-I

.?士A_<2,

5%7'嗚今4W，/

9

,,,工HI

0>〉4，幾<；=61-<6，

,42'-I用

/.4<7；0<6,.74<百0<16.故選B.

20.(多選)(2022屆廣東省高三模擬押題卷)已知數(shù)列｛%｝滿足q=lM,+4i=〃2(〃N2,"eN)5"為其

前〃項(xiàng)和，則()

A.aA-a2=7B.=55

C.&=35D.4+4=28

【答案】ABC

22

【解析】因?yàn)閝=l,〃2+q=2?,a3+a2=3,a4+a3=4,

222

?5+a4=5,a6+a5=6,...?a10+a9=10,

22

所以4-。2=下-3?=7,a6—a4=6-5=11,

2222

iz8—=8—7=15,t/l0—=IO-9=19,

累加得4O-4=7+11+15+19=52,

?*46Z|Q=4-52=2~—q+52=3+52=55,=q+〃-,+q+/+%=1+3~+5-=35,

因?yàn)椤?一〃2=7,a^—a2=7+11+15=33,所以4+%=7+33+2%=46,

故選ABC.

21.(多選)(2022屆廣東省汕頭市高三三模)意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣

的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,....即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和,后人為了紀(jì)念他，

就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列｛%｝說法正確的是()

A.?12=144B.。2022是奇數(shù)

C.。2022=q+〃2+/++”2020D.出020+/024=^^2022

【答案】AD

【解析】易知,數(shù)列他“｝滿足遞推關(guān)系/+2=。用+4.

選項(xiàng)A：%2=41+%0=2。］0+%=3%+2。8=5。8+3。7=8%+5。6=8x13+5x8=144；故A正確；

選項(xiàng)B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項(xiàng)都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，2022=674x3,恰好能被3整除，且處為

偶數(shù)，所以〃2022也為偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：右選項(xiàng)C1E確，乂。2022=。2()21+。2020，則“2021=4+。2+，+。2()19，

同理々2020=4+W++%)18，。2019=%+出++々2017,依次類推，可得包=4+4，顯然錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：02024=%023+^2022=2出022+^2021?乂。2020+%024=4()20+2a2022+“2021=2a2022+(。2020+^2021)=^^2022，

故D正確

22.（2022屆浙江省杭州二中、溫州中學(xué)，金華一中三校高三下學(xué)期5月仿真）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)

數(shù)育大會(huì)的會(huì)徽,它的主題圖案是由圖2所示的直角三角形演化而成的，設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形。是

等腰三角形，且。4=4人=44=441=-=44=1，它可以形成近似的等角螺線，記04，°4,04-一，04

【答案】2&

【解析】由題意知：4=1,%=J1+1=G.,a、=yj2+l=百,,4=,7+1=.

四、高考真題練

23.（2022高考全國(guó)卷乙）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛

行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛2｝：4=1+｝，

]

?,+「，…,依此類推，其中?,eN*（Z=1,2,）.則（）

eZj+—?

%a、H-----

'?3

A.b1<b5B.么<dC.bh<b2D.b4<b]

【答案】D

,11

1--->-------------

【解析】解法-：因?yàn)?eN*（攵=1,2,），所以/</+——，名&+」-，得到白>/，

“1a、

?1II

11—〉------------

ctxH------>%H--------------a1

同理。2。上「可得仇<公4>&，乂因?yàn)??2+1

~a.%------

%

11

?|+-----「＜?1+-------i—

+

?2+-?2-----「，故力2＜%也＞"；以此類推，可得4＞4＞仇＞打＞…也＞&，故A

11

屋〉i

2

錯(cuò)誤；/＞〃7＞4，故B錯(cuò)誤；?2+-----「.得仇故c錯(cuò)誤；

a-,+…——

%

1I

?1+----------J—〉%+-----------j■—

?2+-----「?2+-.....「，得仇＜&,故D正確.故選D.

%---0^4---

%a3

[1|3]5]8

解法二：特例法，取4=1,則4+1=1+1,則偽=1+；=2,4=1+丁=奉4=1+7=彳,"=1+[=￡,

bn1h12b23b35

么=1+7-=不也=1+7"=々，&=1+二=不"也=1+7-=方,由此可排除ABC,故選D.

b48b513b621b13A

24.（2016高考全國(guó)卷HI）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛叫如下:｛a“｝共有2加項(xiàng),其中加項(xiàng)為0,〃?項(xiàng)為1,且對(duì)任

意七?2〃?,44.，4中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列''共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，得必有q=0,6=1,則具體的排法列表如圖所示，共14個(gè)，故選C.

㈠111

011

0

101

1

10

0011

001

1

01101

01

10

10

011

001

101

10

1001

i0

25.（2018高考全國(guó)卷數(shù)I）記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若S“=2a“+l,51lJS6=

【答案】-63

【解析】S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若S“=2a“+1,①當(dāng)〃=1時(shí)，4=24+1,解得％=-1,

當(dāng)〃22時(shí)，S,i=2a“_]+1,②,由①-②可得a”=2%-2勺_1，二a”（〃之2）,

.?.｛4｝是以q=-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，.?.§6=——-------^=-63.

1—2

26.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）設(shè)5“是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且q=—1,atl+i=S“S向，則5〃=

【答案】---

n

【解析】由己知得。,用=s,川一s“=s”+「s”，兩邊同時(shí)除以s,川?s“，得一!——-=-1,故數(shù)列是

Sns”

以一1為首項(xiàng)，一1為公差的等差數(shù)列，則—1=一1一（〃-1）=一〃，所以5“=一’.

S.〃

五、綜合提升練

27.（2022屆安徽省六安市舒城中學(xué)高三下學(xué)期仿真模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛《,｝滿足巧=1,

=4：；-'-（〃€“），則數(shù)列｛4｝（）

an+\

A.無最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)B.無最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)

C.有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)D.有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)

【答案】D

【解析】數(shù)列｛七｝各項(xiàng)均為正，

4=1,由4=WL得的>1,一般地由數(shù)學(xué)歸納法知當(dāng)勺>1時(shí)，由可=。黑__L得am>1（否則若<1,

a2an+\

則a；：：41,---->1,a；：=*;—<1,a“<l矛盾），

an+\an+\

所以數(shù)列｛a,,｝中，“22時(shí),an>1,4=1是最小項(xiàng).

又4：=4：：--L>a；；：：T,暗：-a：<1,所以a；4”，aJ,

記v-二，則17=也二，兩邊求導(dǎo)得上=上坐，即，_(l-lnx)J,

yA

~xyxy-x2

x>e時(shí)，y〈o,v—J是減函數(shù)，

所以〃*3時(shí)，/｝是遞減數(shù)列，因此｛《,｝有上界，〃28時(shí)，〃“</，

“；一，=1即優(yōu)-a,-1=0,

a2--

設(shè)“x)=x3_x-l,1(x)=3f-l,xNlH寸，f'(x)>0,/(x)是增函數(shù)，

經(jīng)過計(jì)算，得8>1.29684，而/(88)z_0.11582<0，所以x>l時(shí)滿足/(x)=0的x滿足工>，，即,汽，

從而。2>4，而這6個(gè)數(shù)中一定有最大值，此最大值也是數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng).

故選D.

28.(2022屆浙江省紹興市柯橋區(qū)高三適應(yīng)性考試)已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝,對(duì)任意的正整數(shù)，小〃都有

2。,,,+“<的〃,+%,，則下列結(jié)論可能成立的是()

A.—+—=B.na+rna=a^

mnmnm

c.am+an+2=anmD.2am-a,t=am+ll

【答案】D

【解析】對(duì)于A,可取加=1,此時(shí)%+幺=%,所以4=0,與｛為｝為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；

n

對(duì)于C,可取m=1,此時(shí)4+4,+2=4,,所以q=-2,與｛q｝為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；

對(duì)于B,可取m=1,則"4+an=ai+n,

所以q+i-4,="4,即=(?-1)?(,

故累加后可得4-4=40+2+3+心2),整理得到〃“=土產(chǎn)6,

〃=1時(shí)，/也符合該式，從而

n.c「4/一2〃+4機(jī)2-2m/、2/、

此時(shí)〃2,〃+%〃一2a,〃+〃=q------------------("+加)+(〃+〃?)

二4(加一〃y>o,

故2a…工。2,“+%〃成立，

若nam+man=atnJrn成立，取用=〃=2,則4%=4，

但此時(shí)aA=64,%=2%,4a2=%不成立，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于D,

12m2m+n

可令q=2'-,則a21n+%”=2-'+2"-'>2.J22'"T"'i=2=2am+n.

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃時(shí)等號(hào)成立，滿足題干條件，

此時(shí)，24M,=2"+"-‘=《“*”，解得：?=p故D選項(xiàng)可能成立，故選D

29.（多選）已知數(shù)列｛%｝滿足為=28,4,=［廣）"+〃卜,1（”22）,?eN\數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S“，且

b1Oa1O

n=g2（^?+2-2n-\）-§2（?2?-?2?+l）>則下列說法正確的是（）