2023-2024學年山東省棗莊市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東省棗莊市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知點H是點以2,9,6)在坐標平面。中內的射影，則點，的坐標為()

A.(2,0,0)B.(0,9,6)C.(2,0,6)D.(2,9,0)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.

【詳解】因為點4是點42,9,6)在坐標平面。町內的射影，所以?的豎坐標為0,

橫、縱坐標與4點的橫、縱坐標相同，所以點H的坐標為(2,9,0).

故選：D

2.已知加=(x,-2,5),〃=(1,4,-10),且而〃則*的值是()

A.--B.-2C.vD.2

22

【正確答案】A

【分析】由藍〃■直接列方程求解即可.

【詳解】因為五=(居一2,5),"=(1,4,70),且記〃加

所以A*焉，解得、=《，

故選：A

3.如圖，空間四邊形O/8C中，OA=~a>OB=b>歷=1點M在。4上，且OM=2M4,

N為8c的中點，則礪=()

B.一與+與+匕

322

1-21-

D.—a+—b7——c

232

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.

【詳解】MN^ON-OM;（麗+西號3**5寺

故選：B.

4.已知直線心、屈若直線右與《垂直，則4的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】D

【分析】由直線，2與4垂直得到4的斜率與，再利用斜率與傾斜角的關系即可得到答案.

【詳解】因為直線，2與4垂直，且4=6,所以4X與=-1,解得q=一日，

設4的傾斜角為々，tana=-乎，所以a=150".

故選：D

5.在棱長均為1的平行六面體ABCD-ABCQi中，/BAD=/BAA、=ADAA,=60°,則卜弓卜

（）

A.5/3B.3C.576D.6

【正確答案】C

【分析】設在=￡,AD=b，AA]=c,利用J布卜屈瓦芯結合數(shù)量積的運算即可得

到答案.

【詳解】設48=。，AD=b>44]=。，由已知，得<〃,書>=60',<a9c>=60°,<c,b>=60°?

16r|=||=|c|=1,所以QB=a.c=c%=5，

1uuir.rr-r—r—rn~~r;~r;r-rFTr^r

所以AG=J（o+b+c）2=5/4+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=yj6-

故選：C

6.已知數(shù)列應｝滿足％=2,%尸子當勺為偶數(shù)時，貝a=（）

3%+1,當對為奇數(shù)時，

A.—B.1C.2D.4

64

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推式以及4=2迭代即可.

【詳解】由4=2,得02=3=1,a,=3a2+1=4,a4=-^-=2,%=?=1,

%=3%+1=4,a7=^~=2,%=今=1.

故選：B

7.拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的

焦點.已知拋物線f=4y的焦點為R一條平行于y軸的光線從點區(qū)(1,2)射出，經(jīng)過拋物

線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則經(jīng)點B反射后的反射光線必過點()

A.(-1,2)B.(-2,4)C.(-3,6)D.(-4,8)

【正確答案】D

【分析】求出A、尸坐標可得直線4F的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出8,根據(jù)選項可得答

案，

【詳解】把x=l代入/=外得y=；,所以4I。，尸(0,1)

1-13

所以直線//的方程為，4,即產一9+1，

y—i=----x4

0-1

3?.

與拋物線方程聯(lián)立,4解得］.所以2(-4,4),

X2=4yI"-

因為反射光線平行于y軸，根據(jù)選項可得D正確，

故選：D.

8.已如雙曲線*《=1。>06>0的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過用的直線交雙曲線的右

ab

支于4,8兩點，若傷1AB,且4|/用=3|/回，則該雙曲線的離心率為()

A.我

B.710C.叵D.75

22

【正確答案】A

【分析】先作輔助線，設出邊長，結合題干條件得到娟=3。，=利用勾股定理得

到關于a,c的等量關系，求出離心率.

【詳解】連接片8,設用=3x,則根據(jù)4M用=3|/卻可知，邳=4x,因為由

勾股定理得：|耳卻=5x,由雙曲線定義可知：|/|-M圖=2a,阿|-阿|=%,解得:

|j/s|=3x-2a,\BF2\=5x-2a,從而3X-2Q+5X-2Q=4x,解得：x=at所以月|=3a,

叵，即該雙曲線的離心率為叵.

22

二、多選題

9.圓V+/=4與圓/+/-4x-2/ny+/=0的位置關系可能是（）

A.外離B.外切C.相交D.內含

【正確答案】ABC

【分析】由圓心距與兩圓半徑的關系判斷兩圓的位置關系.

【詳解】/+F-4x-2,〃y+"戶=0整理為：（x-2）2=4,從而圓心為（2,加），半

徑為2,而》2+/=4的圓心為（0,0）,半徑為2,從而兩圓的圓心距為,4+,

當?>2+2,即團>2石或相<-2百時，此時兩圓外離;

當d4+m2=2+2,此時/M=±2#'，此時兩圓外切；

由于"+蘇22恒成立，故當24“+/<2+2，即-26<m<2j5時，兩圓相交；

且^^7版22,故兩圓不會內含或內切，綜上：兩圓得位置關系可能是外離，外切或相交.

故選：ABC

10.已知S”為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，且q=-7,S3=-15,則下列結論正確的是（）

A.an=2n-9B.｛%｝為遞減數(shù)列

C.q是4和劣的等比中項D.S”的最小值為-16

【正確答案】AD

【分析】先由題干中條件得到公差"=2,從而求出通項公式，判斷出AB選項；計算出處,

4，為發(fā)現(xiàn)4、氏。，故判斷C選項的正誤；D選項｛《,｝為遞增數(shù)列，且%=-1<0,

%=1>0,從而得到其最小，計算出結果即可判斷.

【詳解】由題意得：S3=3q+3d=-15,因為％=-7,所以4=2,所以｛6｝通項公式為：

勺=-7+2（〃-1）=2〃-9,A選項正確；由于d=2>0,所以｛/｝為遞增數(shù)列，B選項錯誤;

通過計算可得：。4=-1，。6=3，%=9,其中所以。6不是%和的的等比中項，

C選項錯誤；因為｛凡｝為遞增數(shù)列，且4=-1<0,?5=1>0,故S“在〃=4時取得最小值,

$4=4%+6d=-28+12=-16,D選項正確

故選：AD

11.已知直線a+l）y-l=0,其中aeR,下列說法正確的是（）

A.若直線/與直線x-y=0平行，則”=0

B.當。=1時，直線/與直線x+N=0垂直

C.直線/過定點（1,0）

D.當。=0時，直線/在兩坐標軸上的截距相等

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)直線方程的相關性質即可逐項求解.

【詳解】對于A項，若直線/與直線x-N=O平行，則/一葉1=1=4"1)=0=。=0或1,

故A錯誤；

對于B項，當。=1時，直線/為x-y-l=O,斜率為1,而直線x+y=O斜率為-1,...兩條

直線垂直，故B正確：

對于C項，-a+l)y-l=0恒成立時，令y=0,得x=l,即直線過定點(1,0),故C

正確；

對于D項，當a=0時，直線/為x-y-l=0,令x=0ny=-l,令y=0nx=I,所以橫截

距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯誤.

故選：BC.

12.如圖，在邊長為2的正方體/8CD-44GA中，P在線段8n上運動(包括端點)，下

列選項正確的有()

C.直線PC|與平面488，所成角的最小值是g

6

D.尸C+尸。的最小值為26

【正確答案】ACD

【分析】證明AC,平面48〃得到A正確；取特殊點排除B；根據(jù)距離的最值得到C正確;

確定尸C+PZ)=尸。+尸4241得到D正確，得到答案.

【詳解】如圖所示：連接/，，DB,紇C,

1平面BCC/i，B(u平面8CG。，故N8J.8C，

B、C1BG,BC,//ADt,故qC_LAD],

又因為/Bn"A=4故印。平面482,

又因為/Pu平面48。，故/尸C,A正確；

當尸與B重合時，PB即3Q,由于。3,8c不垂直，故B錯誤;

C,到平面A、BCD,的距離為;CQ=五，

當PG最大時，直線pq與平面45CD,所成角度最小，

PC)的最大值為8c=2&，

故此處線面所成角的最小值。的正弦值為sind=g=Le/0,』71，故?=7F1，C正確:

2近2L2j6

PC+PDPC+PA}>AtC,當4,RC三點共線時等號成立，D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.若2=(1,0,-1),6=(0,2,1),"=(2,九—1)為共面向量，則機的值為.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可求解.

【詳解】若7為共面向量，

則存在一組唯一的實數(shù)九〃，使得展=21+〃$,

即（2,九-1）=/,0,-1）+〃（0,2,1）,

2=2b=2

即＜2〃=加,解得，m=2,

一九+〃=-11〃=1

故2

14.已知數(shù)列｛%｝中，%=2,%=】，且數(shù)列｛7%｝為等差數(shù)列，則%=.

7

【正確答案】-

1______1_

【詳解】試題分析：由題意得：,有1一m111、yaw57

a=-------:-----=—,-------=-------1-（5-3W=-=aJ=—

7-324a5+l%+112‘5

等差數(shù)列通項

15.在棱長為1的正方體44GA中，O為平面4月的中心，E為8C的中點，

則點O到直線4E的距離為.

【正確答案】旦觸6

66

【分析】建立空間坐標系，求解直線4"的單位方向向量工，結合勾股定理進行求解.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4（1,0,1）,E（；,1,0）,0（1,；,；）,

因為M=.04=（o,-；,；）,

2IA[E\33322

-----2

所以。4?〃=一].

所以點。到直線4E的距離為不忒_畫;）2=4.

故答案為.正

6

16.已知點4(2,1),5(3,4),C(0,2),直線/h=左卜-1),若直線/與線段48有公共點,

則k的最大值為；若直線/與線段BC有公共點，則上的取值范圍是.

【正確答案】2(-8,-2］可2,+8)

【分析】直線/表示過點(1,0)的直線，在平面直角坐標系中作出線段當直線/過點8

時，直線/與線段43相交且斜率最大，求出斜率；作出線段8C,直線/分別過點8和點C

時，為斜率的臨界值，得到斜率的取值范圍.

【詳解】直線/表示過點。0)的直線，在平面直角坐標系中作出線段48如圖，

當直線/過點8時，直線/與線段48相交且斜率最大，此時斜率勺=。=2；

在平面直角坐標系中作出線段8c如圖，

直線/過點8時，斜率匕=2,直線/過點C時，斜率玲=^^=-2,所以上的取值范圍為

(-co,-2]U[2,+co).

故2:U[2,+oo)

四、解答題

17.(1)在等差數(shù)列｛%｝中，5“為其前"項的和，若S4=6,58=20,求九.

(2)在等比數(shù)列中也｝也+4=60,處3=36,求。和公比4.

【正確答案】(1)72；(2)自=2,夕=3或々=-2應=-3

【分析】(1)利用等差數(shù)列前〃項和公式計算首項和公差，再代入計算品,；(2)利用等比

中項的性質求優(yōu)，并結合"+a=60確定4的具體值，再代入等式計算可求出4，q.

【詳解】解：(1)設數(shù)列｛q｝的首項為q,公差為d,

4al+6d=6,

由題意，得。二。,”

8%+28d=20

31

解得q=Z，d

所以品=16q+1204=72.

(2)由等比數(shù)列的性質可得，她=母=36,

又a+“=b2(l+r)=60,

所以b2>0也=6,

所以1+q,=10,

解得g=±3.

當g=3時，^,=—=2；

q

當g=-3時，6,=—=-2.

q

18.給出下列條件：①焦點在x軸上；②焦點在了軸上；③拋物線上橫坐標為1的點A到其

焦點F的距離等于2；④拋物線的準線方程是x=-2.

（1）對于頂點在原點。的拋物線C：從以上四個條件中選出兩個適當?shù)臈l件，使得拋物線。

的方程是V=4x,并說明理由；

（2）過點（4,0）的任意一條直線/與C:/=4x交于A,B不同兩點，試探究是否總有

OALOB^請說明理由.

【正確答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總有次，礪，證明見解析

（1）通過焦點位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準線方程，可判斷條件④不適

合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；

（2）假設總有風，礪，設直線/的方程為x=W+4,聯(lián)立）-,利用韋達定理計算

x=ty+4

方?礪可得結果.

【詳解】解：（1）因為拋物線C：/=4x的焦點廠（1,0）在x軸上，所以條件①適合，條件②

不適合.

又因為拋物線C：/=4x的準線方程為：x=-l,

所以條件④不適合題意，

當選擇條件③時,|4同=乙+1=1+1=2,

此時適合題意，

故選擇條件①③時，可得拋物線C的方程是y2=4x；

（2）假設總有厲_L麗，

由題意得直線/的斜率不為0,

設直線/的方程為x=W+4,

y2=4x

由《得/一416=0

x=W+4

設“（X1,必），8（X2，%）

所以A>0恒成立，必+%=47,y1y2=-16,

222

則玉*2=（陰+4）（仇+4）=tyfy2+4/（^+y2）+16=-16^+16/+16=16.

所以。404=$'2+必歹2=16-16=0,

所以厲，礪，

綜上所述，無論/如何變化，總有況J.而.

本題考查直線和拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

19.如圖，在四棱錐P-48c。中，底面/BCD為正方形，4B=2,AP=3,直線尸4垂直于

平面ABCD,E,F分別為P4”的中點，直線ZC與。尸相交于。點.

（1）證明：與CD不垂直；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析;

⑵一土

【分析】（1）以點A為坐標原點，AB、3/P所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直

角坐標系，求出點。的坐標，計算得出無.①wO,即可證得結論成立；或利用反證法；

（2）利用空間向量法即求.

【詳解】（1）方法一：如圖以點A為坐標原點，AB、AD、4P所在直線分別為X、夕、z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則C(2,2,0)、0(0,2,0),P(0,0,3)、《0,0,|)、尸(1,0,0).

___uuu

設因為尸。="1,/,0),FZ)=(-1,2,0),

因為彷〃而，所以得T，即點。住I，o],

—123\33)

因為正=[WCD=(-2,0,0),

---4

所以OE-CZ)=:wO,

3

故OE與CD不垂直.

方法二：假設?！昱cCD垂直，又直線4，平面ZBCACOu平面N8CD,

所以P/，CO.而尸”與OE相交，

所以CDJ_平面P/C

又。u平面P4C,

從而CD1CA

又已知N88是正方形，

所以C。與CZ不垂直，這產生矛盾，所以假設不成立，

即OE與C。不垂直得證.

(2)設平面尸8c的法向量為$=(』,必,zj,又。(0,2,0),P(0,0,3),8(2,0,0),C(2,2,0)

因為麗=(-2,0,3),而=(0,2,0),

所以償而=/+：=。，令寸3,得屋(3,0,2).

BCm=2必=0

設平面PCD的法向量為方=(七,%/2),

因為詼=(-2,0,0),麗=(。,2,-3),所以除工或二。，

令%=3,得萬=(0,3,2).

因為際何，訃輻=9

顯然二面角8-PC-。為鈍二面角，

4

所以二面角8-PC-D的余弦值是一石.

20.已知數(shù)列｛”“｝的前n項和S,=2a?-2.

(1)證明｛4｝是等比數(shù)列，并求｛《,｝的通項公式；

(2)在?！昂停ァ敝g插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列

的前N項和。.

【正確答案】(1)證明見解析，。"=2”

⑵3一展

【分析】(1)利用4=S“-S,i(〃22)及已知即可得到證明，從而求得通項公式；

(2)先求出通項上=等，再利用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1)因為S,,=2a,,-2,

當"22時，S,,_i=2a“T-2,

所以，當〃22時，a“=2%,又q=2%-2,解得q=2,

所以｛?！埃且?為首項，2為公比的等比數(shù)列，

故。,,=2"

-2〃1〃+1

(2)因為?！?2"，所以"，=%a!，a=/_,—,

〃+1n+1an乙

7；」+L-L2xL3>4++(〃+】)J,

"4w42222”，

/1T=2rx/1+c3lx>+...+/(〃+1l、)x尸1，

所以=1+卷+/+~+/-(〃+1”擊

i尹0-2"T)〃+131n+1

=1+4-------&-------------=----------------

i2”+i22〃2〃+i

1—

2

_3〃+3

―22n+,

LL,、|f?〃+3

所以北=3-芝二

21.某公園有一形狀可抽象為圓柱的標志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南

面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道

與輔道距離10米.在建筑物底面中心。的東北方向20&米的點4處，有一360。全景攝像

頭，其安裝高度低于建筑物的高度.

?A

攝像頭

西輔道/Q\東輔道

西景源/物光景直道東

(1)在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內？

(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內的長度.

【正確答案】(1)不在

(2)17.5米

【分析】(1)以。為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系，求出直線

48方程，判斷直線N8與圓。的位置關系即可;

(2)攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，只需求出過點/的直線/與圓O相切時的直線方程即

可.

【詳解】(1)以。為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系

則。(0,0),/(20,20),觀景直道所在直線的方程為y=-10

依題意得：游客所在點為例-5,0)

則直線N8的方程為主=短^,化簡得4x-5y+20=0,

I20I20

所以圓心。到直線4B的距離4=+52=百<4,

故直線AB與圓0相交，

所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內.

(2)由圖易知：過點4的直線/與圓。相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋,

所以設直線/過A且恰與圓。相切，

①若直線/垂直于x軸，則/不可能與圓0相切；

②若直線/不垂直于x軸，設/：y-20=%(x-20),整理得H-y-20A+20=0

所以圓心0到直線/的距離為”=『芋,+”=4,解得4='或%=:，

"2+143

34

所以直線/的方程為y-20=：(x-20)或y-20=§(x-20),

即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0,

設這兩條直線與了=-10交于。，E

y=-10y=TO

由解得x=-20,解得x=-2.5,

3x-4y+20=04x-3y-20=0

所以同=17.5,

觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內的長度為17.5米.

攝像頭

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)若直線/與橢圓C交于4、B兩點,線段的中點為M,。為坐標原點，且|。河|=啦,

求N08面積的最大值.

【正確答案】(1)《