排列組合習(xí)題課（2）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

排列、組合習(xí)題課（2）分組、分配問題例6

數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有

（

）

√方法一首先將12名同學(xué)平均分成四組，有

種分法，然后將這四組同學(xué)分配到四個(gè)不同的課題組，有

種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有(種).

方法二根據(jù)題意可知，第一組分3名同學(xué)有

種分法，第二組分3名同學(xué)有

種分法，第三組分3名同學(xué)有

種分法，第四組分3名同學(xué)有

種分法.第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有

種.

（2）將5個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)，有不同的放法有

種.答案：150

例7.將7個(gè)相同的小球任意放入四個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，有多少種不同的方法？解：將7個(gè)相同的小球排成一排，插入3塊隔板，故共有種不同的方法.=20名額分配問題變式1.某區(qū)對口支援貧困山區(qū)教育，需從本區(qū)三所重點(diǎn)中學(xué)抽調(diào)５名教師，每所學(xué)校至少抽調(diào)１人到山區(qū)５所學(xué)校支援，每校一人，則有

種支教方案.解：由題意得，所有支教方案有：=720種.720變2.方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的組數(shù)是多少？解：建立組合模型：將12個(gè)完全相同的球排成一行，在它們之間形成了11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊隔板，把球分成四組(如圖)，每一種分法所得球的數(shù)目依次為

x1，x2，x3，x4，且

x1+x2+x3+x4=12，所以球的分法對應(yīng)于方程的解.故方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的組數(shù)是組.=165變3：思考：若上題改為方程的非負(fù)整數(shù)解，答案是多少？變式3.方程x1+x2+x3+x4=12的自然數(shù)解的組數(shù)是多少？解：

x1+x2+x3+x4=12，故方程x1+x2+x3+x4=12的自然數(shù)解的組數(shù)，即為y1+y2+y3+y4=16的正整數(shù)的組數(shù)

x1+1+x2+1+x3+1+x4+1=16，令y1=x1+1，y2=x2+1,

y3=x3+1,y4=x4+1,則y1+y2+y3+y4=16，變4.把9個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，有多少種不同放法？123解：先在編號(hào)為1，2，3的箱子中依次放入0，1，2個(gè)球，變4.把9個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，有多少種不同放法？解：先在編號(hào)為1，2，3的箱子中依次放入0，1，2個(gè)球，再將剩余的6個(gè)球排成一排，在其兩兩之間的5個(gè)空擋中任取2個(gè)放上隔板，把剩下的6個(gè)球分成了3組，如圖.按從左到右的順序放到1，2，3號(hào)箱子，將這3組球，故共有種不同放法.=10123一、分組、分配問題的求解策略小結(jié)二.解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(