四川省達州市高三二模數(shù)學(xué)（理科）試題

達州市普通高中2023屆第二次診斷性測試數(shù)學(xué)試題（理科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.[1，4] B. C.(1，4) D.[1，4)【答案】B【解析】【分析】求出集合，再由并集的定義即可得出答案.【詳解】，因為，所以.故選：B.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：B.3.在等比數(shù)列中，，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出的值，可得出，代值計算即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，.故選：D.4.命題p：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】對全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.【詳解】因為對全稱量詞的否定用特稱量詞，所以命題p：，的否定為：，.故選：D5.設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（）A.5 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】，，，，故選：C7.果樹的負載量，是影響果樹產(chǎn)量和質(zhì)量的重要因素.蘋果樹結(jié)果期的負載量y（單位：kg）與干周x（樹干橫截面周長，單位：cm）可用模型模擬，其中，，均是常數(shù).則下列最符合實際情況的是（）A.時，y是偶函數(shù) B.模型函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C.若，均是正數(shù)，則y有最大值 D.蘋果樹負載量的最小值是【答案】C【解析】【分析】因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，可判斷A，B；對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判斷C，D.【詳解】因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故A不正確；模型函數(shù)的圖象也不可能是中心對稱圖象，故B不正確；，則或，若，，均是正數(shù)，則，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，y有最大值，故C正確；，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，蘋果樹負載量的最小值不是，故D不正確.故選：C.8.已知向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的運算作出圖形進行分析，再由圓的對稱性得出的最大值.【詳解】如下圖所示：圓的半徑為1，設(shè)，因為，所以點在圓上，則，由圖可知，，即的最大值為.故選：A9.三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面平面有兩個內(nèi)角分別為和，則球的表面積不能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直結(jié)合直角三角形三邊關(guān)系分類討論確定外接球半徑的可能值，即可求表面積，故得答案.【詳解】如圖取中點為，連接因為平面平面，平面平面，又，中點為，所以，又平面，所以平面因為，所以，有兩個內(nèi)角分別為和，所以為直角三角形①當為斜邊時，連接則在中，，即，所以為三棱錐的外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；②當為內(nèi)角所對的邊時，則不妨取，取中點，連接則在中，，則，所以，因為分別為中點，所以，又平面，平面，所以，則，所以為三棱錐外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；③當為內(nèi)角所對的邊時，則不妨取，取中點，連接則在中，，則，所以，因為分別為中點，所以，又平面，平面，所以，則，所以為三棱錐的外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；綜上，球的表面積為.故選：C.10.如圖，在中，，，，平面內(nèi)的點、在直線兩側(cè)，與都是以為直角頂點的等腰直角三角形，、分別是、的重心.則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得，求出、、，利用余弦定理可求得的長.【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得，解得，延長交于點，延長交于點，則、分別為、的中點，因為、均是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，，所以，，，則，，因為、分別是、的重心，則，，又因為，同理可得，所以，，由余弦定理可得，因此，.故選：A.11.把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時期的單檐建筑中存在較多的的比例關(guān)系，常用的紙的長寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對角線構(gòu)成的圖形），.圖二是長方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定黃金三角形和和美矩形的個數(shù)，利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】在如下圖所示的正五角星中，該圖中共有個三角形，且等腰的腰底之比大于，等腰的腰底之比小于，且，則等腰的腰底之比為，則在該五角星中，黃金三角形的個數(shù)為，在如下圖所示的長方體中，，，則，，，所以，矩形、均為和美矩形，所以，長方體中共個矩形，其中和美矩形的個數(shù)為，所以，圖一和圖二中共個三角形，個矩形，在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率為.故選：B.12.點均在拋物線上，若直線分別經(jīng)過兩定點，則經(jīng)過定點，直線分別交軸于，為原點，記，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用條件，用表示出兩點坐標，從而求出直線的方程，進而求出定定點，再根據(jù)條件得到，再利用柯西不等式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，由題易知直線斜率均存在，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，代入，得到，所以，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，又因為，所以，代入，得到，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，即所以，即，故直線過定點，令，得到，所以，所以，，又因為，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，當且僅當，即時，取等號，所以，即，故選：D.【點睛】解決本題的關(guān)鍵在于，利用條件求出，兩點，再利用點斜式表示出直線，進而求出定點.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和求得，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得的系數(shù).【詳解】依題意的展開式的二項式系數(shù)和為，所以，即.二項式展開式的通項公式為.令，所以展開式中含的系數(shù)為.故答案為：14.函數(shù)的部分圖象如圖，是曲線與坐標軸的交點，過點的直線與曲線的另一交點為．若，則___________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)分析知過，且，求出、，根據(jù)求結(jié)果即可.【詳解】由題設(shè)，過，，則，即，又，則，故且，即，，顯然，則，故且，可得，綜上，當時，，故，故故答案為：.15.如圖，、、分別是正方體的棱、、的中點，是上的點，平面.若，則___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，其中，將、、用基底表示，分析可知、、共面，則存在、，使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，解出的值，即可得出的長度.【詳解】設(shè)，其中，，，，因為平面，則、、共面，顯然、不共線，所以，存在、，使得，即，因為為空間中的一組基底，所以，，解得，因此，.故答案為：.16.是數(shù)列前項和，，，給出以下四個結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的是___________（寫出全部正確結(jié)論的番號）.【答案】①②③【解析】【分析】分析可知為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，可判斷①；求出的表達式，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷②；證明出當時，，可得出，結(jié)合放縮法可判斷③；取可判斷④.【詳解】對于①，因為，，所以，，所以，數(shù)列為常數(shù)列，則，所以，，①對；對于②，，令，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，因此，，②對；對于③，設(shè)，其中，則，當時，，單調(diào)遞減，，即，當且僅當時，等號成立，所以，，所以，，③對；對于④，因為，而，④錯.故答案為：①②③.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.村民把土地流轉(zhuǎn)給農(nóng)村經(jīng)濟合作社后，部分村民又成為該合作社職工.下表是某地村民成為合作社職工，再經(jīng)過職業(yè)培訓(xùn)后，個人年收入是否超過10萬元的人數(shù)抽樣統(tǒng)計：年收入超過10萬元年收入不超過10萬元合計男45550女7525100合計12030150（1）是否有99%的把握認為經(jīng)過職業(yè)培訓(xùn)后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關(guān)？（2）根據(jù)合同工期要求，合作社要完成A，B，C三種互不影響的產(chǎn)品加工，擬對至少完成其中兩種產(chǎn)品加工的職工進行獎勵（每個職工都有加工這三種產(chǎn)品的任務(wù)），若每人完成A，B，C中任何一種產(chǎn)品加工任務(wù)的概率都是0.8，求某職工獲獎的概率（結(jié)果精確到0.1）.附①參考公式：.②檢驗臨界值表：0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）沒有的把握認為經(jīng)過職業(yè)培訓(xùn)后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關(guān)（2）0.9【解析】【分析】（1）計算，比較臨界值，得出結(jié)論；（2）某職工獲獎為獲兩項或者獲三項兩互斥事件，根據(jù)互斥事件概率求和公式計算.【小問1詳解】由表知，觀測值.沒有的把握認為經(jīng)過職業(yè)培訓(xùn)后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關(guān).【小問2詳解】由題意，設(shè)某職工獲獎概率為.則，所以某職工獲獎的概率為0.9.18.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面平面,,，，、分別是、的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得出平面，可得出，再證明出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以過點平行于的直線為軸，分別以直線、為軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：：，是的中點，.平面平面，平面平面，平面，平面.平面，，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，.，，是中點，四邊形是平行四邊形，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，，則，，、平面，平面.平面，平面平面.【小問2詳解】解：由（1）知，且平面，，以過點平行于的直線為軸，分別以直線、為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，，則，，，則、、、，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，易知平面一個法向量為，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19.在中，角、、所對的邊分別為、、，.（1）求；（2）若，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得出，即可求得的值；（2）分析可知、均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：，.由正弦定理得..因為，則，，，則，所以，，即，所以，，，即.【小問2詳解】解：由（1）得.若，則、均為鈍角，則，矛盾，所以，，，此時、均為銳角，合乎題意，，當且僅當時，等號成立，且為鈍角.，則，且為銳角，由，解得，即，當且僅當時，等號成立，，.因此，面積的最小值為.20.已知分別是橢圓的左頂點和右焦點，過的直線交于點.當?shù)降淖畲缶嚯x為4時，.（1）求的標準方程；（2）設(shè)的右頂點為，直線的斜率為，直線的斜率.若，①求的值；②比較與的大小.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意時，到距離最大為4，此時為通徑，列出方程即可得解；（2）①直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)的坐標為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式列式可求得，②由①及，求出直線的斜率，聯(lián)立橢圓求出的坐標，計算即可得解.小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則.到的最大距離為，此時，橢圓的通徑為，解得.所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】如圖，①分別設(shè)的坐標為.因為直線過定點，所以當時，；當時，，都與矛盾，因此.設(shè)直線的方程為，將代入，化簡得，..由（1）得，.②，.直線與直線的方程分別為.分別由方程組和解得.，.21.設(shè)函數(shù)（、均為實數(shù)）.（1）當時，若是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當時，求的零點個數(shù).【答案】（1）（2）的零點個數(shù)是【解析】【分析】（1）當時，可得出，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，分析可知恒成立，即可得出實數(shù)的取值范圍；（2）令可得出，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可得出方程的解的個數(shù)，即可得解.【小問1詳解】解：，.，且，即.設(shè)，則，即.不等式的解集為，的解集為.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為，所以，，為單調(diào)增函數(shù)，恒成立，即.【小問2詳解】解：由得.設(shè)，則，則，即.令，則，且.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.，.且，，在區(qū)間單調(diào)遞增.設(shè)，其中，則，當時，，單調(diào)遞減，，即，，，當時，.當時，，，當時，.對任意實數(shù)，方程只有一個解，即的零點個數(shù)是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想