2023-2024學(xué)年江西省吉安市新干中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023-2024學(xué)年江西省吉安市新干中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知，，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．3．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．4．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．6．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④7．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．9．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．10．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．或 B．或C． D．11．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．12．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A．-5 B．2 C．7 D．11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為____________.14．已知、為正實(shí)數(shù)，直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，則的最小值為__________.15．已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為______.16．（5分）函數(shù)的定義域是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時(shí)，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時(shí)，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.18．（12分）如圖，是正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.19．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．22．（10分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先將三個(gè)數(shù)通過指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算變形，再判斷.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.2、C【解析】

化簡(jiǎn)得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.4、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯(cuò)②：因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)?，所以，故②?duì)③：或，故③錯(cuò)④：如圖因?yàn)?，，在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線，則直線，又因?yàn)?，設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因?yàn)?，，所以，所以，故④?duì).故選：C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點(diǎn)，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.9、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，由此知在上單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為，解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.10、A【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候，解得所以，此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14、【解析】

先根據(jù)弦長(zhǎng)，半徑，弦心距之間的關(guān)系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【詳解】解：圓的圓心為，則到直線的距離為，由直線截圓所得的弦長(zhǎng)為可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考核基本不等式求最值，關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形，變成能用基本不等式求最值的形式，也可用換元法進(jìn)行變形，是中檔題.15、1【解析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯(lián)立①②③，得．所以．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計(jì)算到，就得到結(jié)論．16、【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當(dāng)且時(shí)，，結(jié)合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結(jié)合，可推出，進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時(shí)，有，則時(shí)，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，三棱錐的體積也最大.不妨設(shè)，記中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1），；（2）.【解析】

（1）先將曲線化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：，可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)，從而得出，由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】（1）曲線的普通方程為，即，其極坐標(biāo)方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，其直角坐標(biāo)方程為；（2）射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，聯(lián)立，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.20、見解析【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，設(shè)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，為，無極大值．（2）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．21、（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)