有限元理論與方法-第11講

講授內(nèi)容備注第11講(第11周)單元與整體分析1.能量原理有限單元法的核心是建立單元?jiǎng)偠染仃嚕辛藛卧獎(jiǎng)偠染仃?，加以適當(dāng)組合，可以得到平衡方程組，剩下的就是一些代數(shù)運(yùn)算了。在彈性力學(xué)平面問(wèn)題計(jì)算中，我們是用直觀方法建立單元?jiǎng)偠染仃嚨?，其?yōu)點(diǎn)是易于理解，并便于初學(xué)者建立清晰的力學(xué)概念。但這種直觀方法也是有缺點(diǎn)的：一方面，對(duì)于比擬復(fù)雜的單元，依靠它建立單元?jiǎng)偠染仃囀怯欣щy的；另一方面，它也不能給出關(guān)于收斂性的證明。把能量原理應(yīng)用于有限單元法，就可以克服這些缺點(diǎn)。能量原理為建立有限單元法根本公式提供了強(qiáng)有力的工具。在各種能量原理中，虛位移原理和最小勢(shì)能原理應(yīng)用最為方便，因而得到了廣泛的采用。(1)虛位移原理。所謂虛位移可以是任何無(wú)限小的位移，它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的，在結(jié)構(gòu)的邊界上必須滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件，例如對(duì)于懸臂梁來(lái)說(shuō)，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。圖2-15固體的邊界條件考慮圖2-15所示的物體，它受到外力F1、F2、…等的作用，記F＝[F1F2F在這些外力作用下，物體的應(yīng)力為現(xiàn)在假設(shè)物體發(fā)生了虛位移，在外力作用處與各個(gè)外力相應(yīng)方向的虛位移為，記上述虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變?yōu)樵诋a(chǎn)生虛位移時(shí)，外力已作用于物體，而且在虛位移過(guò)程中，外力保持不變。因此，外力在虛位移上所做的虛功是(2-1整個(gè)物體的虛應(yīng)變能為(2-1虛位移原理說(shuō)明，如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那末在虛位移發(fā)生時(shí)，外力所做虛功等于物體的虛應(yīng)變能，即(2-1虛位移原理不但適用于線性材料，也適用于非線性材料。(2)最小勢(shì)能原理。物體的勢(shì)能定義為物體的應(yīng)變能U與外力勢(shì)V之差，即(2-1其中應(yīng)變能U為外力勢(shì)由下式計(jì)算式中，右端第l項(xiàng)為集中力F的勢(shì)；第2項(xiàng)為體積力q的勢(shì)；第3項(xiàng)為面力的勢(shì)；Sσ為面力作用的外表；rb為外表Sσ上的位移。最小勢(shì)能原理可表達(dá)如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)〔連續(xù)〕位移中，那些滿足平衡條件的位移使物體勢(shì)能取駐值，即(2-1對(duì)于線性彈性體，勢(shì)能取最小值。最小勢(shì)能原理可以用虛位移原理證明。最小勢(shì)能原理可用虛位移加以證明。2.用能量原理求單元?jiǎng)偠染仃嚭凸?jié)點(diǎn)荷載利用最小勢(shì)能原理，可以求出單元?jiǎng)偠染仃嚰肮?jié)點(diǎn)荷載。對(duì)空間問(wèn)題，設(shè)一個(gè)單元，在各節(jié)點(diǎn)上作用著節(jié)點(diǎn)力Fe，單元節(jié)點(diǎn)位移為δe、單元應(yīng)變?yōu)棣?Bδe，物體應(yīng)變能為即其中Ke為單元?jiǎng)偠染仃?2-1單元節(jié)點(diǎn)力的外力勢(shì)為那么單元的勢(shì)能為由最小勢(shì)能原理，，所以有那么節(jié)點(diǎn)力為(2-1從物理上考慮，應(yīng)變能必須是正量，而節(jié)點(diǎn)位移又是任意的，所以單元?jiǎng)偠染仃囀钦ǖ?。由此可以推斷?shì)能的二階變分是非負(fù)的。既然勢(shì)能的一階變分等于領(lǐng)，二階變分又非負(fù)，從而可以斷定勢(shì)能取最小值。把r=Nδe代入外力勢(shì)的表達(dá)式中，得到體力q與面力的勢(shì)為所以單元的勢(shì)能為根據(jù)最小勢(shì)能原理得到(2-1-58)(2-1-59)以上諸式跟由虛位移原理推得結(jié)論一致。3.用能量原理求總體平衡方程結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣為K，節(jié)點(diǎn)位移為δ，結(jié)構(gòu)內(nèi)能為(2-1-60){P}為作用在節(jié)點(diǎn)上的荷載，荷載的勢(shì)為(2-1-61)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為由最小勢(shì)能原理，勢(shì)能取駐值，即那么得到