2.1-常微分方程模型省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

為了保持自然資料合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類本身增加。本節(jié)將建立幾個(gè)簡單單種群增加模型，以簡略分析一下這方面問題。

種群數(shù)量本應(yīng)取離散值，但因?yàn)榉N群數(shù)量普通較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引發(fā)誤差將是十分微小。1.馬爾薩斯生物定律與人口增加模型

第1頁模型1

馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況資料后發(fā)覺，人口凈增加率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）

或（1）

（2）

（1）解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)種群數(shù)。

馬爾薩斯模型一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需時(shí)間是固定。令種群數(shù)量翻一番所需時(shí)間為T，則有：故第2頁模型檢驗(yàn)

比較歷年人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)覺人口增加實(shí)際情況與馬爾薩斯模型預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，比如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增加率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢驗(yàn)1700年至1961260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)覺二者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，二者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)方式增加。比如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善。幾何級(jí)數(shù)增加Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體各組員之間因?yàn)橛邢奚婵臻g，有限自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)人口凈增加率不可能一直保持常數(shù)，它應(yīng)該與人口數(shù)量相關(guān)。第3頁模型2Logistic模型人口凈增加率應(yīng)該與人口數(shù)量相關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)），令r(N)=r-aN

此時(shí)得到微分方程：（4）（4）可改寫成：

（5）

(5)式還有另一解釋，因?yàn)榭臻g和資源都是有限，不可能供養(yǎng)無限增加種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，因?yàn)槿司Y源擁有率下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提升。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)種群數(shù)量上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)種群數(shù)量，（5）指出，種群增加率與二者乘積成正比，恰好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了試驗(yàn)結(jié)果支持，這就是（5）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律原因。第4頁圖1對(duì)（5）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（5）滿足初始條件N(0)=N0解為：（6）易見：N(0)=N0

，N(t)圖形請(qǐng)看圖1第5頁模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來描述種群增加規(guī)律效果怎樣呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工喂養(yǎng)小谷蟲試驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量試驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群增加，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)。比如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營養(yǎng)液小試管，他發(fā)覺，開始時(shí)草履蟲以天天230.9%速率增加，今后增加速度不停減慢，到第五天到達(dá)最大量375個(gè)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖2。

圖2第6頁Malthus模型和Logistic模型總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（3）所作模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增加率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群內(nèi)稟增加率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量種群，從而引入了一個(gè)競爭項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，不然就得找出不相符主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。

Malthus模型與Logistic模型即使都是為了研究種群數(shù)量增加情況而建立，但它們也可用來研究其它實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型有相同微分方程即可。第7頁歷史背景:在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品企業(yè)中發(fā)覺線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng)·弗米爾（JanVeermeer）油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知油畫“在埃牟斯門徒”以及其它四幅冒充弗米爾油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）油畫，都是他自己作品，這件事在當(dāng)初震驚了全世界，為了證實(shí)自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾油畫“耶穌在門徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作靠近完成時(shí)，范·梅格倫得悉自己通敵罪已被改為偽造罪，所以他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。2.贗品判定

第8頁為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別畫。另外，他們分析了油彩中拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月跡象?？茖W(xué)家們終于在其中幾幅畫中發(fā)覺了當(dāng)代顏料鈷蘭痕跡，還在幾幅畫中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才創(chuàng)造酚醛類人工樹脂。依據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。歷史背景:第9頁

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不愿相信著名“在埃牟斯門徒”是范·梅格倫偽造。實(shí)際上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物判定家認(rèn)定為真跡，并以17萬美元高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。教授小組對(duì)于懷疑者回答是：因?yàn)榉丁っ犯駛愒蛩谒囆g(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯門徒”，來證實(shí)他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這么杰作后，他志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯門徒”多么輕易賣掉以后，他在炮制以后偽制品時(shí)就不太專心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證實(shí)“在埃牟斯門徒”確實(shí)是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)科學(xué)家們基本上處理。歷史背景:第10頁原理與模型測定油畫和其它巖石類材料年紀(jì)關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)覺放射性現(xiàn)象。放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)覺，一些“放射性”元素原子是不穩(wěn)定，而且在已知一段時(shí)間內(nèi)，有一定百分比原子自然蛻變而形成新元素原子，且物質(zhì)放射性與所存在物質(zhì)原子數(shù)成正比。用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在原子數(shù),則：常數(shù)λ是正，稱為該物質(zhì)衰變常數(shù)用λ來計(jì)算半衰期T:與負(fù)增加Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質(zhì)半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；鈾238，其T=45億年。第11頁與本問題相關(guān)其它知識(shí):藝術(shù)家們用白鉛作為顏料之一，白鉛從鉛礦中提煉，含微量放射鉛210，其演變簡圖以下鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-<1s->鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206放射性平衡：自然界中，假如母體半衰期比任何一代子體都長，從純母體出發(fā)，經(jīng)過足夠長(5～10倍于最長子體半衰期)后，放射系中各中間組員衰減量與生成量相等時(shí)，我們就把這種狀態(tài)稱為放射性平衡

。第12頁簡化假定：本問題建模是為了判定幾幅不超出300年古畫，為了使模型盡可能簡單，可作以下假設(shè)：

(1)因?yàn)殍D半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中鐳最少還有原量90%，故能夠假定，1克白鉛鐳單位時(shí)間分解數(shù)基本不變,記為r。

(2)因?yàn)殂U210衰變?yōu)椋恒U210T=20年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上歷史，則1克白鉛中釙210分解數(shù)幾乎等于鉛210分解數(shù)?？捎们罢叽婧笳撸ㄒ蜥暟胨テ谳^短，易于測量）。第13頁建模：

(1)記提煉白鉛時(shí)刻為t=0，當(dāng)初每克白鉛中鉛210分子數(shù)為y0，因?yàn)樘釤捛?，礦藏處于放射性平衡，所以鈾與鉛單位時(shí)間內(nèi)分解數(shù)相同，能夠預(yù)計(jì)1克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)應(yīng)遠(yuǎn)小于30000個(gè)。當(dāng)則（個(gè)）這些鈾約重（克）即1克白鉛不超出0.04克鈾，含量為4%

地殼中鈾在鈾系中所占平均重量比普通為百萬分之2.7。各地采集巖石中鈾含量從未高于3%。第14頁

(2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：畫中每克白鉛所含鉛210當(dāng)前分解數(shù)λy及當(dāng)前鐳分解數(shù)r均可用儀器測出，取t為真畫距今年限，從而求出λy0近似值，并利用（1）判斷這么分解數(shù)是否合理。若計(jì)算所得提煉前鉛210分解數(shù)大于30000，說明畫是贗品第15頁Carnegie-Mellon大學(xué)科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問油畫作了判定，測得數(shù)據(jù)以下（見表3-1）。油畫名稱210分解數(shù)（個(gè)/分）鐳226分解數(shù)（個(gè)/分）1、在埃牟斯門徒

8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜女人10.30.34、演奏曼陀琳女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計(jì)算λy0

（個(gè)/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對(duì)“在埃牟斯門徒”，λy0≈98050（個(gè)/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似能夠判定（2），（3），（4）也是贗品。判定結(jié)果：第16頁利用放射原理，還能夠?qū)ζ渌奈锬甏M(jìn)行測定。比如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上當(dāng)前流行測定方法是放射性碳14測定法，這種方法含有較高準(zhǔn)確度，其基本原理是：因?yàn)榇髿鈱邮艿接钪婢€連續(xù)照射，空氣中含有微量中微子，它們和空氣中氮結(jié)合，