2023-2024學年青島市實驗高中高二數(shù)學上學期期初診斷試卷附答案解析

2023-2024學年青島市實驗高中高二數(shù)學上學期期初診斷試卷

2023.09

(考試時間120分鐘；試卷滿分150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/={x|-4<x<2},N={X|X2-X-6<0},則=

A.{x|-4<x<3}B.-2}C.{x|-2<x<2}D.{x[2<x<3}

2.某中學高一年級共有學生1200人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為

80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級共有女生

A.630B.615C.600D.570

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A./(x)=sinxB.“犬)=2兇C./(x)=x3+xD./(x)=g(e-*-e")

4.已知平面向量4=(1,3),忖=2,且|j卜府,則儂+6卜,同=()

A.1B.14C.y/]AD.M

5.若cos

247

2525

6.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,若a=2,b=2^,A*,則C=()

n

6

7.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻荒”是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五

面體.如圖，五面體ABCDEF是一個芻薨，其中ABCEAAEO都是正三角形，AB=2BC=2EF,則以下

兩個結(jié)論：0AB//EF；②BF工ED,說法正確的是()

A.①和②都不成立B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立D.①和②都成立

8.已知定義在(-e,0)U(0,+w)上的奇函數(shù)/(x)在(y,0)上單調(diào)遞增，且滿足/(-1)=0,則關(guān)于x的

不等式的解集為()

A.(-oo,-l)<J(l,+oo)B.(-l,0)u(l,+oo)C.(Y,-1)D(°，1)D.(-l,0)U(0,l)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目

要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.

9.給出下列命題，其中正確的選項有（）

A.非零向量“，b，滿足卜卜忖且a與匕同向，則

B.若單位向量q,e?的夾角為60。，則當悔一聞小刈取最小值時，r=l

/X

ARAr

在中，若貝為等腰三角形

C.ABC〔L網(wǎng)lAClJBC=0,ABC

D.已知）=（1,2）,6=（1,1）,且a與“+/1。的夾角為銳角，則實數(shù)義的取值范圍是（-|，+8）

10.有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥的兩個事件是

A.至少有1件次品與至多有1件正品B.至少有1件次品與都是正品

C.至少有1件次品與至少有1件正品D.恰有1件次品與恰有2件正品.

11.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-AB。。中，E,F,G分別為棱AD,AB,8c的中點，點尸為

線段。尸上的動點，則（）

A.兩條異面直線OC和BG所成的角為60°B.不存在點P,使得GG平面BEP

C.對任意點P,平面尸CG，平面BEPD.點4到直線口尸的距離為4

12.己知函數(shù)“X）的定義域為R,對任意x都有/（2+x）=〃2-x）,且=則下列結(jié)論正確

的是（）

A.的圖象關(guān)于直線x=2對稱B./（X）的圖象關(guān)于點（2,0）對稱

C.f（x）的周期為4D.y=/（x+4）為偶函數(shù)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知tan。、］,則I2）的值為.

cos（-g）+sin（兀-0）

—JC+4xxv4

14.已知函數(shù)/。）=X'：,若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間3〃+1）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍

log2x,x>4

是.

2

15.在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱南，平面ABC,且m=4,則三棱錐

P-ABC的外接球表面積為.

16.已知。,￡分別是_"。邊4a4（7的中點，M是線段DE上的一動點（不包含QE兩點），且滿足

12

AM=aAB+pAC,則一+7的最小值為.

ap-

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

17.已知平面向量9滿足卜卜啦，慟=1,且k+

⑴求°在匕方向上的投影向量；

⑵若（。+勸）“2。-?,求實數(shù)兒的值.

18.已知。為三角形的一個內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=cos6+isine,且z?-z在復平面上對應的點在

虛軸上.

（1）求夕;

⑵設2z,I，1+z+z?在復平面上對應的點分別為A,B,C,求.ABC的面積.

19.如圖，在正四棱柱A8CO-AAGA中，M=2,即〃平面M4C.

⑴證明：M是。。的中點；

（2）若正四棱柱的外接球的體積是太兀，求該正四棱柱的表面積.

20.某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電

量不超過2（X）kWh的部分按0.5元/kW-h收費,超過2（X）kW-h但不超過400kW-h的部分按0.8元/kW?h

收費，超過400kW-h的部分按1.0元/kW-h收費.

（1）求某戶居民用電費用V（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：kWh）的函數(shù)解析式

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計分析后得

到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶居民中，今年1月份電費不超過260元的占80%,求。，b的值；

（3）在（2）的條件下，計算月用電量的75%分位數(shù).

3

21.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為正方形，物，平面ABC。，E為PD上的中點.

(1)求證：P87平面AEC；

(2)設PA=AB=l,求平面AEC與平面AED夾角的余弦值.

22.設函數(shù)/(x)=2sinxcos卜一手，若銳角的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,LABC

外接圓的半徑為R,acosB-bcosA=R.

⑴若〃A)=1，求B；

⑵求與的取值范圍.

b

1.C

【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解題.

【詳解】由題意得，M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},則

MryN={x\-2<x<2].故選C.

【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2.D

【分析】根據(jù)分層抽樣的方法，結(jié)合比例的性質(zhì)計算即可.

【詳解】高一年級共有學生1200人，

按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本，

樣本中共有男生42人，

80-42

則高一年級的女生人數(shù)約為：1200x——=570.

80

故選：D.

【點睛】本題主要考查了分層抽樣的運用，屬于基礎題.

3.D

【分析1根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)=sinx為奇函數(shù)，但在定義域R上函數(shù)不單調(diào)，故A不符合；

4

對于B,〃于=2兇的定義域為R,/(-X)=2H=2W=/(X),則/。)=2兇為偶函數(shù)，故B不符合；

對于C,〃力=爐+》的定義域為區(qū)，/(-x)=-x3-x=-/(x),則“力=爐+》為奇函數(shù)，又函數(shù)

y=j?,y=x在R上均為增函數(shù)，故/(》)=丁+》在R上為增函數(shù)，故C不符合；

對于D,/(x)=g(e-，—e,)的定義域為R,〃T)=g(e*-e7)=-〃x),則〃x)=g(e-，—e')為奇函數(shù),

又函數(shù))，=e-、在R上為減函數(shù)，y=e*在R上為增函數(shù)，故f(x)=g(e-，-e*)在R上為減函數(shù)，故D符合.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積的運算律即可求解.

【詳解】因為卜-4=a--2a/+//=10,M=忖=2,所以“力=2，所以

(la+b^-(a-b^=2a=20-4-2=14.

故選：B

5.B

【分析】利用湊角，同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化計算.

【詳解】sinf+j=sin2

=2cos271a_1=更一』工

)2525

故選：B

6.D

【分析】利用正弦定理求出3,進而得出答案.

兀

【詳解】因為。=2,b=20,人4飛,

.得如必_忌蚱

所以由正弦定理得三8-.25

sinAsinB

a22

因為4哈八，所以8嗎部所以54或小則或(

故選：D.

7.D

【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理和勾股定理進行求解即可.

［詳解】因為底面為矩形,所以有AB〃CD,CDu平面CDEF,A80平面CDEF，所以A8〃平面CDEF,

而平面4BEFC平面=所以4B//EF,故結(jié)論①是正確的；

取C。的中點G,連接GaFG如下圖所示：因為4?=28c=2￡F,所以有

5

DG//EF,DG=EF,因此四邊形。G五E是平行四邊形，所以有QE〃G￡DE=GF,

不妨設EE=1,因此A8=2,BC=1,BG=^BC=^EFm，因為AAEO都是正三角形，所以

DE=BF=\,因此有FG=￡>E=1,FG2+BF2=BG2,所以

BFLFG,因此故結(jié)論②是正確的.

故選：D

【點睛】本題考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了勾股定理，考查了數(shù)學閱讀能力

8.C

【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)卜=/(%)與，=411口:大致圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象即可

求解.

【詳解】因為/(x)是定義在(e,0)U(0,E)上的奇函數(shù)且/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

所以“X)在(0,+叱)上單調(diào)遞增，

由/(_1)=0,得/(1)=_/(—1)=0，

由此可在坐標系中畫出)>=/(*)與丫=$皿心的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，當xe(-co,-l)u(0,l)時，/(x)<simtx,

所以關(guān)于x的不等式<sinm的解集為(-?,-l)u(O,l).

故選：C.

9.BC

【分析】根據(jù)向量的定義，可判定A錯誤；根據(jù)向量數(shù)量積求得|2e,-￡卜-1尸+3,可判定B正確;

ABAC

由網(wǎng)+同表示與NA的平分線共線的向量，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可判定C正確；當2=0時，得到向

量a與向量“+的夾角為0，可判定D項錯誤.

【詳解】對于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A錯誤；

對于B中，因為單位向量與，02的夾角為60,可得4勺二卜小,卜os60=g

6

2

則|2qTeJ=，(2烏Te,1={4弓+re2-4tet-e2=■Jr—2t+4=^(f—I)+3)

當且僅當/=1時，|2弓一勺|取得最小值，最小值為石，所以B正確；

ABAC

對于C中，因為言+6表示與2A的平分線共線的向量，

\AB\lACl

/\

又因為L+廠耳BC=O,可得NA的平分線與BC垂直，所以A8C為等腰三角形，所以C正確；

對于D中，當2=0時，此時向量.與向量〃+勸的夾角為0,所以D項錯誤.

故選：BC

10.BD

【分析】根據(jù)互斥事件的定義，對每個選項做出判斷，從而得到結(jié)論.

【詳解】對于A,至少有1件次品與至多有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情

況，故不滿足條件；

對于B,至少有1件次品與都是正品是對立事件，屬于互斥事件，故滿足條件；

對于C,至少有1件次品與至少有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不

滿足條件；

對于。，恰有1件次品與恰有2件正品是互斥事件，故滿足條件.

故選：BD.

【點睛】本題考查互斥事件的判斷，考查邏輯思維能力和分析求解能力，側(cè)重考查對基礎知識的理解和

掌握，屬于基礎題.

II.ACD

【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線所成角的定義判斷A：當點P與點。重合時，可得C。平面

BEP,即可判斷B；連接CF,推導出CG±EB,CF±BE,從而得平面FC&,進一步得平面FCCt±

平面BEP即可判斷C；由余弦定理求出NBRF=45°,由此能求出點用到直線D.F的距離判斷D.

【詳解】對于A,由正方體的性質(zhì)可知BG〃AD1,兩條異面直線RC和8G所成的角即為NARC=60。，

所以A正確；

對于B,當點P與點R重合時，由題可知EG〃DC,EG=DC，OG〃DC,RG=OC,

所以EG〃口C「EG=D、q,四邊形EGCQ為平行四邊形，故GG〃"E,

又CQU平面BEP,REu平面BEP,則QG平面BEP,所以B錯誤；

7

對于C,連接CF,由于CC|_L平面ABC。，BEu平面ABC。，故CG^EB,

又AE=BF,AB=CB,ZA=NCBF,故ABAE/尸，

故ZAEB=NCFB,ZEBA+ZCFB=90°,故CFJ.BE,

又C￡CC1相交，CF,CGu平面FCG，故BE,平面尸CG，

又BEu平面SEP,故對任意點尸，平面FCG，平面8EP,所以C正確；

對于D,由正方體的性質(zhì)可得BQ=4啦,尸口=亞7不壽=6,8/=122+4?=26，

所以+=6+(4旬-產(chǎn)匚①,

2BRFR2x6x4722

又0。</42/<180。，所以/4口尸=45。,

所以點用到直線D,F的距離d=BRsinNBRF=4而立=4,所以D正確.

2

故選：ACD.

12.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性逐項判斷即可.

【詳解】解：?.?〃2+x)="2-x),則“X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故A正確，B錯誤；

???函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則/(—x)=〃x+4),又x)=〃x),

.?.〃x)=/(x+4),.?.函數(shù)f(x)的周期為4,故C正確;

?.?函數(shù)”-x+4)=/(一(x-4))=〃x-4)=〃x-4+4x2)=〃x+4),故y=/(x+4)為偶函數(shù)，故D正

8

確.

故選：ACD.

13.1

【分析】利用誘導公式對原式化簡得胃怒箸，然后分子分母同時除以3。，再由所吟代入即

可得出答案.

【詳解】因為tane=；,

sin(0+n)-2sin|0-71I.八八八」+2

所以______________I2)_-sin?+2cos。_-tanO+2_2+_?

cos(-0)+sin(7i-。)cos0+sin。1+tanOj+j_

2

故答案為：1

14.(-oo,l]o[4,+oo)

【分析】分類討論，當x44時，分析得到“+1W2,即當x>4時，a>4,綜合即得解.

【詳解】當X44時,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,

；/(x)=-(x-2)2+4開口向下，對稱軸為x=2,在對稱軸的左邊單調(diào)遞增，

."+142,解得：a<l；

當x>4時，/(x)是以2為底的對數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，故。24；

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是：(YOJU[4,+CO)

故答案為：

【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些

知識的理解掌握水平.

15.28兀

【分析】根據(jù)已知，底面一43c是邊長為3的等邊三角形，P4L平面A8C,可得此三棱錐外接球，即

以.ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，即可求解.

【詳解】根據(jù)已知，底面一4?C是邊長為3的等邊三角形，PAL平面A8C,

可得此三棱錐外接球，即以，ABC為底面以以為高的正三棱柱的外接球.

設正三棱柱的上下底面的中心分別為M，N,則外接球的球心。為MN的中點，

MC的外接圓半徑為『2=|吟3地，，/="=料=2,

9

所以球的半徑為R=Q4=，/+廢=0,

所以四面體P-ABC外接球的表面積為5=4兀店=28兀，

故答案為：287r.

16.6+4應##4&+6

【分析】由三點共線得到2a+2，=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】由于M是OE上的一動點（不包含。,E兩點），

且滿足AM=aAB+￡AC=2a4D+2/AE,所以名夕＞0且2&+2#=1,

以，+2=（_1+2）（20+2/?）=6+辿+細26+4&,

aPaPa0

當且僅當。=叵4=上電時取等號，所以的最小值為6+4人.

22aB

故答案為：6+4后

17.（1）*（2）2=-3

【分析】（1）由卜+勸卜J訪，平方求得”/=1，結(jié)合投影向量的計算公式，即可求解；

（2）根據(jù)題意,結(jié)合口+孫（2力）=0,列出方程，即可求解.

【詳解】（1）解：由忖=0,W=l,且卜+2耳=所，

平方得+4〃2+4忖=2+4。?力+4=10,解得a/=l,

ba-bbab,.

rwr邛

（2）解:因為（〃+砌J_（2a-b）,所以（〃+訓.（2”一〃）=0,

化簡得2H+（22—1）〃占一九忖=0,所以4+（24-1）-2=0,解得幾=—3

18.（1序（2也

32

【分析】（1）先得至I"?一z=（cos26—cos6）+i（sin26—sine）,再根據(jù)z?-z在復平面上對應的點在虛軸

上，由cos20-8se=0求解；

（2）先得到各復數(shù)在復平面上對應的點分別為A（-l,石），,C（0,0）,然后利用余弦定理

X/

求得一個角，再利用三角形面積公式求解.

【詳解】（1）解：**'z2-z=（cos20-cos+i（sin2^-sin0）,

cos20-cos0=2cos20-cos0-1=0?夕￡（0,萬）,

10

12

cos0=—=9=—R；

23

(2)由(1)知：sin6?=—.2z=-l+6i,

2

.2i36.16-16

>?z=--------------1------------------1，Z-------------1，

4422222

Al+z+z2=l--+—i---—i=0.

2222

在復平面上對應的點分別為A(-l,百)，B,C(0,0),

\7

CA=2,03=1,AB=不，

由余弦定理可得cosZACB=CAfC'T什=匕土1Z=-L且ZACBe(0,兀)，

2CACB2x22'

?*.sinZACB=>

2

/.SA.Br=-CACBsinZACB=-xlx2x—=^.

△ABC2222

19.(1)證明見解析(2)10

【分析】(1)連接BO,交AC于N,根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可得BDJ/MN,由N是8。的中點，可得

M是。。的中點；

(2)根據(jù)正四棱柱的外接球的體積求得4B,即可求該正四棱柱的表面積.

【詳解】(1)連接8。，交AC于M連接MN.

因為BR〃面MAC,BRu面BD/,且面MACC1面=MN,

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，BD\〃MN,

在正四棱柱中，四邊形A8C。是正方形，所以N是30的中點，

所以M是。。的中點.

AB

(2)設鈣=x(x>0)，正四棱柱的外接球的半徑為r(r>0),

因為正四棱柱的外接球的體積丫=羽=扁，解得/=坐=走,

3V22

11

由題意BD,為正四棱柱的外接球的直徑,

由8￡>2+qq：=8療，得J+/+2?=("『，解得》=］或％=一1(舍)，即4J=1,

所以正四棱柱的表面積為S=Fx2+2xlx4=10.

0.5JV,0<x<200,

20.(1)y=<0.8x-60,200<x4400,；(2)a=0.0015,Z>=0.0020；(3)375千瓦時.

x-140,x>400.

【分析】(1)根據(jù)題意以及分段函數(shù)的知識，求得》與》之間的函數(shù)解析式.

(2)先求得用電量低于400千瓦時的占80%,利用頻率之和列方程組，解方程組求得。力的值.

(3)根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，計算出75%分位數(shù).

【詳解】(1)當04x4200時，y=0.5x；

當200<xW400時，y=0.5x2(X)+0.8x(x-200)=0.8x-60；

當x>400時，y=0.5x200+0.8x20()+1.0x(x-4()0)=x-140.

0.5x,0<x<200,

所以y與X之間的函數(shù)解析式為y=，0.8x-60,200<x4400,

x-140,x>400.

(2)由(1)可知，當y=260時，x=400,即用電量低于400千瓦時的占80%,

0.001*100+2x1006+0.003x100=0.8,

結(jié)合頻率分布直方圖可知

100?+0.0005x100=0.2.

解得“=0.0015,8=0.0020.

(3)設75%分位數(shù)為也,

因為用電量低于300千瓦時的所占比例為(0.001+0.002+0.003)x100=60%,

用電量低于400千瓦時的占80%,所以75%分位數(shù)，〃在［300,400)內(nèi)，

所以0.6+(加一300)x0.002=0.75,解得帆=375,

即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時.

21.⑴證明見解析(2)更.

3

【分析】(1)根據(jù)線線平行即可得線面平行，

(2)利用線面垂直得線線垂直，進而得平面夾角的平面角，即可利用邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角

坐標系，利用向量夾角即可求解.

【詳解】(1)如圖，連接3。交AC于點。，連接E。，則。為8。的中點，

E為PO的中點，

:.OE//PB

12

又OEU平面AEC,PB<z平面AEC,

(2)方法一：由于C3_LA3,雨JL平面ABC。，C￡>u平面ABCD所以A4_L8,

ADPl=A,ADPAu平面/VID,所以CDJ-平面PAO,

AEu平面PAD,所以C￡>_LAE,

由于尸A=AD,E為尸。中點，所以￡D_LAE,

因此ZCED即為平面AEC與平面AED所成角的平面角或其補角,

由于C。=l,E。=Lp。=變,C￡>_LP力，

22

0

故平面AEC與平面AED所成角的余弦值為3.

3

解法二：以A為原點，所在直線分別為元軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,0),40,；,；),8(1,0,0)((1,1,0),二/1￡=(0,；］),4。=(1,1,0),

平面ADE的法向量為AB=(1,0,0),

/、n-AE=0,—yd——z=0,

設平面AEC的法向量為〃=(x,y,z),貝IJ即2，2