2023-2024學(xué)年上海市向東中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是"兩條直線是異面直線”的條件.

【正確答案】必要不充分

【分析】?jī)蓷l直線沒有公共點(diǎn)，得到異面或者平行，異面可以得到?jīng)]有交點(diǎn)，得到答案.

【詳解】?jī)蓷l直線沒有公共點(diǎn)，則兩條直線平行或者異面

兩條直線是異面直線，則兩條直線沒有公共點(diǎn)

“兩條直線沒有公共點(diǎn)''是"兩條直線是異面直線”的必要不充分條件.

故答案為必要不充分

本題考查了充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題型.

2.已知向量方=(3,5,—1)方=(2,1,3)忑=。,-1,一2),則向量的坐標(biāo)為.

【正確答案】(5,0,-12)

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】由題意可知，加+4=(3,5,—1)-(2,1,3)+40,-1,—2)=(5,0,-12).

故(5,0,-12)

9兀

3.已知球的體積是萬，則該球的半徑為.

3

【正確答案】-##1.5

2

【分析】根據(jù)球的體積公式夕=當(dāng)公，代入就可求得半徑.

47rQjr,74

【詳解】設(shè)球的半徑為凡根據(jù)球的體積公式-==*=?,即外=?,解得及=；.

3282

3

故答案為

2

4.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是2的倍數(shù)的概率為.

4

【正確答案】-##0.8

【分析】列舉出所有情況，及數(shù)字之積是2的倍數(shù)的情況，從而利用古典概型求概率公式求

出答案.

【詳解】6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，有以下情況:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2⑸,(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),

（4,5）,（4,6）,（5,6）,共有15種情況,

其中數(shù)字之積是2的倍數(shù)的情況有

（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）,

174

共12種情況，故概率為行=《

吧

5.用斜二測(cè)畫法畫得的正方形的直觀圖的面積為4正，那么原正方形的面積為.

【正確答案】16

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積.

【詳解】設(shè)原正方形的邊長為。，根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可知。c"，。,八;。

高4。=。7對(duì)1145。=兒整=也。,

224

?2=16,故原正方形的面積為16,

6.將邊長分別為3cm和2cm的矩形，繞邊長為3cm的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱,

則該圓柱的體積為cm5.

【正確答案】12兀

【分析】確定圓柱的底面半徑和母線長，利用側(cè)面積求解公式可得.

【詳解】解：由題知，圓柱的底面半徑為/?=2cm,母線長為/=3cm,

所以該圓柱的體積為，=Ttr2/=12Kcm3

故127t.

7.棱長為2的正四面體（所有棱長都相等）的側(cè)棱與底面所成角的大小是.

【正確答案】arctan&

【分析】設(shè)正四面體的頂點(diǎn)P在平面/BC中的投影為點(diǎn)O,進(jìn)而得NPC。是側(cè)棱PC與底面

/8C所成角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)正四面體的頂點(diǎn)戶在平面N8C中的投影為點(diǎn)。，

所以，由正四面體的性質(zhì)可知，OP，平面N8C,且0為等邊三角形Z8C的中心，

所以，NPC。是側(cè)棱PC與底面/8C所成角，且OC是等邊三角形/8C的邊的中線,

因?yàn)檎拿骟wP-48C的棱長為2,

所以，。。=述，OP=YIPC2-OC2=,

33

OPI—

所以，在RtAPOC中，tanZPCO=—=V2,

所以，側(cè)棱與底面所成角的大小是arctan應(yīng)

故arctan&

P

B

8.圓錐底面半徑為3,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為牛的扇形，則此圓錐的側(cè)面積為

【正確答案】27兀

【分析】側(cè)面積即為扇形面積，底面周長為扇形弧長，由此可得扇形半徑，后可得答案.

【詳解】因底面半徑為3,則底面周長即扇形弧長為2兀x3=67t,又圓心角為與，則扇形半

徑為.五二則扇形面積即圓錐側(cè)面積為」x—x92=27n

T23

故27兀

9.正三棱錐尸-48。底面邊長為2百，側(cè)棱長為4,則二面角P-的大小為.

【正確答案】arccos'至

13

【分析】根據(jù)題意分析可得二面角P-BC-Z的平面角為NPM4,利用余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】取8c的中點(diǎn)連接

,/PB=PC=PA=4,AB=AC=BC=m，則PM±BC,AM±BC,

故二面角P-8C-/的平面角為NPA",

由題意可得：PM=屈,AM=3,PA=4,

..PM2+AM1-PA1V13n/*4u「n”l

.cosZ-PMA-----------------=---,且w?e[u,兀],

2PAAM13

故二面角P-BC-A的大小為arccos'亙.

10.把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓雉母線在圓

臺(tái)中的部分）長為9,則原圓錐的母線長.

【正確答案】12

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：

取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為C蘭D；=；1,且CD//AB,BD=9,

AB4

設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)相似比可CD得＜ED=胃I=-廣9=:1,解得/=12,

ABEBI4

即原圓錐的母線長為12.

故答案為.12

11.在棱長為。的正方體力88-44G4中，M,N分別是正方形/88、正方形功℃

的中心，則過點(diǎn)A,M,N的平面截正方體的截面面積為.

【正確答案】—a2

2

【分析】連接NC，與C,N4,找到過點(diǎn)/、M,N的平面截正方體的截面,確定其形狀，求

得截面邊長，即可求得答案.

【詳解】如圖連接AC,則AC過點(diǎn)M連接8c，則8c經(jīng)過點(diǎn)N,連接AB,,

則過點(diǎn)4、M、N的平面截正方體的截面為等邊ACB},

因?yàn)檎襟w棱長為。，故4cBM長為6a，面積為正.（缶了=正/,

故旦2

2

12.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)玉，王:，…,*8的方差為6,則數(shù)據(jù)加+1,3電+1,…,3%+1的方差是.

【正確答案】54

【分析】設(shè)%,毛的平均數(shù)為1結(jié)合再，馬，…，須的方差為6,根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算

公式得到3%+L3%+L…,3%+1的平均數(shù)和方差.

【詳解】設(shè)玉,々，…，4的平均數(shù)為1則芭+々+…+毛=盛，且

故3%+1,3叫+1廣?,3鼻+1的平均數(shù)為

=3x+1,

(3玉+1—3x-1)一+(3%2+1-3x-1J---H(34+1-3x—1lj-

方差為

8

22

9(x,-x)+(x2-x)+---+(xg-xj^

8

故54

二、單選題

13.若直線/的方向向量為了，平面a的法向量為口能使/〃a的是()

A.尸=(1,0,0),萬=(一1,0,0)B.尸=(1,一2,3),萬=(0,3,2)

C.r=(O,l,l),n=(-l,O,-l)D.尸=(1,3,5),萬=(1,0,-1)

【正確答案】B

【分析】由題意知，要使/〃a,則直線/的方向向量產(chǎn)與平面a的法向量為垂直，即產(chǎn)?萬=0.

【詳解】若/〃a,則產(chǎn)?萬=0；

對(duì)于A：r=(l,0,0),?=(-1,0,0),；-?=(1,0,0)-(-1,0,0)=-1^0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：r=(l,-2,3),?=(0,3,2),；.?=(1,-2,3)-(0,3,2)=0,故B正確；

對(duì)于C：r=(O,l,l),n=(-1,0-1),；w=(0,l,l)(-l,0-l)=-1^0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：7=(1,3,5),方=(1,0,-1),〉7=(1,3,5)?,0,-1)=-4*0,故D錯(cuò)誤；

故選：B.

14.下列命題中真命題是()

A.四邊形一定是平面圖形

B.相交于一點(diǎn)的三條直線只能確定一個(gè)平面

C.四邊形四邊上的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

D.如果點(diǎn)A,B,Ce平面a,且A,8,Ce平面尸，則平面a與平面尸為同一平面

【正確答案】C

【分析】利用平面的基本性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,四邊形有平面四邊形和空間四邊形，由不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為空

間四邊形，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,三棱錐三條側(cè)棱所在的直線相交于一點(diǎn)，但這三條直線不共面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由四邊形四邊上的中點(diǎn)連線為平行四邊形，平行四邊形對(duì)邊平行，所以四邊形四邊

上的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故C正確：

下面證明四邊形四邊上的中點(diǎn)連線為平行四邊形.

證明：如圖為四邊形Z8CD,其中E,F,G,H分別為4D,AB,BC,CO的中點(diǎn),

連接8。，F(xiàn)E,GH,

由E,F為4D,AB,則尸E〃8￡>,Q.FE=^BD,同理G〃〃8D,且

22

所以FEGH,且FE=GH,所以四邊形ErGH為平行四邊形.

立體四邊形平面四邊形

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)A,B,C在一條直線上時(shí)，平面a和與平面尸也可能相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

15.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人

來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為

A工--D-

A-10uB'8JC8u'10

【正確答案】B

【詳解】試題分析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠

燈的概率為40三-1戶5=5[,故選B.

幾何概型

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度'’要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與

形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的

求解方法.

16.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作

為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)

值，計(jì)算后即可判定C.

【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖

中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B

正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02

（萬元），超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的

頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可

以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于慧X組距.

組距

三、解答題

17.某高中高一、高二、高三年級(jí)共有學(xué)生800名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:

高一高二高三

男生（人數(shù)）149Xy

女生（人數(shù)）143130Z

已知在三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)男生的概率是0.16

⑴求x的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在三個(gè)年級(jí)中共抽取32名學(xué)生，應(yīng)從高三年級(jí)抽取多少名？

【正確答案】（1）128.

（2）10名.

【分析】（1）根據(jù)抽到高二年級(jí)男生的概率是0.16,列式計(jì)算，可得答案.

（2）求出高三年級(jí)的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣的比例，列式計(jì)算，求得答案.

Y

【詳解】(1)由題意可知麗=0.16,.?.x=128.

(2)高三年級(jí)人數(shù)為800-(149+143)-(128+130)=250,

故用分層抽樣的方法在三個(gè)年級(jí)中共抽取32名學(xué)生，

應(yīng)從高三年級(jí)抽取人數(shù)為125^0x32=10（名）.

800

18.甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次選拔賽中的成績(jī)的莖葉圖為:

甲乙

11033

336779922366

88889

如果以這個(gè)成績(jī)?yōu)橐罁?jù)選擇一個(gè)人參加正賽，從平均水平和穩(wěn)定性的角度出發(fā)應(yīng)該選擇誰?

用統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)數(shù)據(jù)說明你選擇的理由.

【正確答案】選擇甲，理由見解析

【分析】分別求出而，心和§3s3然后比較大小即可求解.

-88+88+93+93+96+97+97+99+101?2

【詳解】依題意,x甲=-----------------------------------=94-,

93

-88+89+92+92+93+96+96+103+103

x乙=-------------------------------------=94-,

93

=1^88-94^+(88-9用+193一9引+(93-9引H

96-9用+(97-941)+(97-9*)+(99-9*)+(101-9用=161

88-9用+(89—943+(92-9叫+(92-942+

93-94|)+(96-941)+(96-941)+1103-941)+(103-9*)=23<,

所以x甲=xz.,Sj<.

所以從平均水平和穩(wěn)定性的角度出發(fā)應(yīng)該選擇甲.

19.三棱錐力-BCD中，O,E分別為8。，8c中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=0.

(1)求證：/O_L平面5cD；

(2)求異面直線與CO所成角的大小.

【正確答案】(1)證明見解析.

八、^2

(2)arccos——.

【分析】(1)連接。C,證明NOLOC,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論;

(2)取/C的中點(diǎn)連接OM、ME、OE,找到異面直線48與CD所成角，求出相關(guān)線

段長，解三角形，即可求得答案.

【詳解】(1)連接。C,,:AB=AD=E,。為8。的中點(diǎn)，

22

AAOA.BD,OD=^BD=i,S.Ao=->jAD-OD=V2^T=1,

又CA=CB=CD=BD=2,。為8。的中點(diǎn)，

?*-CO_L8。，且CO=y/CD2-OD2=74^1=TJ，

在NOC中，AO2+CO2=4=AC2,

，N/OC=90°,即

又。。(15。=。,0。,8。匚平面8(20,

.?.40，平面5。。.

(2)取NC的中點(diǎn)M,連接OM、ME、OE,

由￡為BC的中點(diǎn)，知ME"ABQEHDC、

：,直線OE與EM所成的角就是異面直線AB與CD所成角或其補(bǔ)角,

在VOA/E中，EM=-AB=—,OE=-DC=\,

222

由NO_L平面8cD,OCu平面BCD,所以4010C,

?：OM是直角三角形ZOC斜邊上的中線，.?.OA/=g/C=l,

|+:-1也

OE2^-EM2-OM2

在△OEM中，由余弦定理可得:cos/.OEM=

2OEEM2xlx——

2

由于異面直線所成角的范圍為(0,自,

所以異面直線AB與C。所成角的大小為arccos也.

4

20.如圖所示的正四棱柱/8C。-45GA的底面邊長為1,側(cè)棱，4=2,點(diǎn)E在棱CR上,

(A>0).

(1)當(dāng)時(shí)，求三棱錐A-EBC的體積；

2

(2)當(dāng)異面直線5E與。。所成角的大小為arccos］時(shí)，求4的值.

【正確答案】(1)7(2)^=—

64

【詳解】試題分析：(1)正四棱柱力8C。-44GA中，AG，平面破c,可得

GEBC=；SRZD、G=1X1C￡SC=1；(2)以。為原點(diǎn)，射線“4、DC、。。作x軸、

V軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得配=(0,1,-2),詼=(-1,0,22),利用空

間向量夾角余弦公式列方程求解即可.

一1___

試題解析：(1)由CE=；cq,得CE=1,又正四棱柱ABCD-44GA,則AGJ_平面EBC,

則L-&SC=ISR,A￡ceWG=：X；CE■8C=；.

33ZO

*A

(2)以。為原點(diǎn)，射線D4、DC、?？谧鱴軸、V軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)

系(如圖)，

則80,1,0),￡(0,1,22),4(0,0,2),C(0,l,0),

即麻=(0,1,-2),=(-1,0,22)

又異面直線BE與2。所成角的大小為arccos：,

2\D^C-BE|0X(-1)+1X0+(-2)-22||4A|

則5］麻H赤6川+4儲(chǔ)J5+20D'

化簡(jiǎn)整理得16萬=5,又2>0,即4=好.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線所成的角角，屬于難題.空間向量解答

立體幾何問題的一般步驟是：(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)

的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為

零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相

應(yīng)的角和距離.

21.如圖，等腰Rt4/08,。4=。8=2,點(diǎn)C是03的中點(diǎn)，498繞80所在的邊逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)。4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至0。，旋轉(zhuǎn)角為。，。40,2勸.

D

(1)求48。旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積/和表面積S；

7T

(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)。到平面力8。的距離;

(3)若/C18D,求旋轉(zhuǎn)角。.

【正確答案】(1)P=3■,5=4>6兀+2石兀.

⑵

7

24

(3)6=5?；?/p>

【分析】(1)旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐80與圓錐CO的體積之差；表面積S為圓錐80與圓錐CO

的側(cè)面積之和；

(2)三棱錐8-40。與三棱錐O-力8。體積相等，使用等積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)。到平面/I8O的距離；

⑶取。。中點(diǎn)E,連接CE,/E,得然1四，在RtZC￡求得/E,在△/(?￡中由余弦定理得

C0S40E,從而求得旋轉(zhuǎn)角0.

【詳解】(