2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考培優(yōu)訓(xùn)練第8講費(fèi)馬點(diǎn)最值模型（解析版）

中考數(shù)學(xué)幾何模型8：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型短

名師點(diǎn)睛-----------------------------------------------撥開云霧開門見山

費(fèi)馬爾問題思考：

如何找一點(diǎn)P使它到4ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？

BP+AP+CP=BP+PQ+QE>BE

當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值

費(fèi)馬點(diǎn)的定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)。

它是這樣確定的：

1.如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；

2.如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°,則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)有如下主要性質(zhì)：

1.費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。

2.費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120。。

費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：

費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋

轉(zhuǎn)變換.

秘訣：以4ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形,這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值、?

典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)

例題1.已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。ZAGC=ZAGB=ZBGC=120°.

求證：GA+GB+GC的值最小.

證明：將△BGC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，連GP,DB.則ACGB^ACPD；

NCPD=NCGB=12（F,CG=CP,GB=PD,BC=DC,/GCB=/PCD.

；ZGCP=60°,

Z.ZBCD=60°,

△GCP和^BCD都是等邊三角形。

NAGC=120°,ZCGP=60°.

A、G、P二點(diǎn)一■線。

ZCPD=120°,ZCPG=60°.

G、P、D三點(diǎn)一線。

AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。

GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

/.G點(diǎn)是等腰三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的那一點(diǎn)

變式練習(xí)>>>

1.如圖，P是邊長(zhǎng)為1的等邊AASC內(nèi)的任意一點(diǎn)，求『=B4+PB+PC的取值范圍.

解：將ABPC繞點(diǎn)、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ABP'C',

易知ABP。'為等邊三角形.

從而Q4+PB+PC=上4+尸尸'+P'。2AC'

（兩點(diǎn)之間線段最短），從而。2班.

過P作5c的平行線分別交A3、AC于點(diǎn)M、N,

易知MN=AN=AM.

因?yàn)樵贏BMP和NPNC中，

PB<MP+BM?,

PC〈PN+NC②。

又NAPM>ZANM=ZAMN,所以R4<AM③.

①+②+③可得c

t<（AM+BM）+（MP+NP）+NC=AB+MN+NC=l+（AN+NC）=2,

即/<2.綜上，f=P4+PB+PC的取值范圍為6三/<2.

例題2.已知正方形ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為應(yīng)+拓，求正方形的邊長(zhǎng).

解如圖2,連接AC,把△AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△GPC,連接ERBG、AG,

可知△￡/（、AAGC都是等邊三角形，貝IJE4CE.又FG=AE,

C.AE+BE+CE=BE+EF+FG.

:點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。所得）.

/?線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、尸兩點(diǎn)都在2G上.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為。，那么

BO=CO=d-a,GC=,GO--——Q.

22

BG=BO+GO=-?+—?.

22

:點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為J5+JM.

a+——-a=6+底,解得a=2.

22

注本題旋轉(zhuǎn)AAEB、△BEC也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試.

變式練習(xí)>>>

2.若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ABC=60。，PA=3,PCM,求PB的值.

【解答】：(1)?：Z.PAB+Z.PBA=\?0°-Z.APB=60°,

Z.PBC+Z.PBA=Z.ABC=60°,

：.Z.PAB=Z_PBC,

5L：Z.APB=Z.BPC=120°,

:.AABPS4BCP,

,PA_PB

"PB~PC'

：.PB2=PA-PC=\2.

.\PB=2^；

例題3.如圖，矩形ABC。是一個(gè)長(zhǎng)為1000米，寬為600米的貨場(chǎng)，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)收

費(fèi)站P,在鐵路線BC段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)私設(shè)鋪設(shè)公路AP、。尸以及尸反之長(zhǎng)度和為/,求/的最小值.

【解答】600+5006，線段AiE為最短.

變式練習(xí)>>>

3.如圖，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地A8CZ）,其中A8=500米，AD=800米，頂點(diǎn)A,。為兩個(gè)出口，現(xiàn)在

想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P,在8c邊上（含B,C兩點(diǎn)）開一個(gè)貨物入口并修建三條專用

車道用，PD,PM.若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M,產(chǎn)建在何處時(shí)，修建專用車道的費(fèi)用

最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）

連接AM,DM,將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得△AP'D',

由（2）知，當(dāng)P,P',。在同一條直線上時(shí)，AP+PM+DP最小值為。N,

在8C上,

當(dāng)。M_L8C時(shí)，0M取最小值，

設(shè)D'M交于E,

是等邊三角形，

：.EM=AB=500,

；.8河=400,PM=EM-PE^500-4°°叵

_3

:.DE=?AD=40。如,

2_

.,.￡(^=40073+500,

，最少費(fèi)用為10000x(40073+500)=1000000(4?+5)元;

建在3c中點(diǎn)（BM=400米）處，點(diǎn)尸在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500-立）

3

米處，最少費(fèi)用為1000000（4、,巧+5）元.

例題4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A3C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(6,0),C(0,

4?),延長(zhǎng)AC到點(diǎn)。，使CD=LC,過點(diǎn)。作。E〃AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

2

(1)求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線。E的對(duì)稱點(diǎn)R分別連接。F、EF,若過B點(diǎn)的直線>=日+8將四邊形COPE分

成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；

(3)在第二問的條件下，設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G

點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的

位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證

【解答】解：(1)VA(-6,0),C(0,4英)

：.OA=6,OC=4“，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M

由DE//AB可得△DMC^^AOC,又：CO=Lc

2

AMD__CM__CE^_jL)：.CM=2y/3>MD=3,同理可得EM=3

0A_C0_CA_2_

；.OM=65，二。點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,6?)；

(2)由(1)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,673)

由。EM=MD,可得y軸所在直線是線段￡￡)的垂直平分線

.,.點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)尸在y軸上，.?.￡￡)與C尸互相垂直平分

:.CD=DF=FE=EC,二四邊形CDFE為菱形，且點(diǎn)M為其對(duì)稱中心

作直線設(shè)與CD、分別交于點(diǎn)S、點(diǎn)T,

可證△FTM經(jīng)△CSM,：.FT=CS,

"：FE=CD,：.TE=SD,

EC=DF,：.TE+EC+CS+ST^SD+DF+FT+TS,

直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，__

由點(diǎn)2(6,0),點(diǎn)M(0,6“)在直線y=fcc+b上，可得直線的解析式為>=-如計(jì)6?.

(3)解法11.,BQ=AQ,：.MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線MO上找點(diǎn)G使他

到A、8、M三點(diǎn)的距離和最小.至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形

的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.

把△繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AM。方，連接。。二W(圖5),可知△。。方、AMM'B

都是等邊三角形，則

又M'Q'=MQ,：.MQ+AQ+BQ=M'Q'+QQ'+AQ.

:點(diǎn)A、的為定點(diǎn)，所以當(dāng)。、。，兩點(diǎn)在線段AM上時(shí)，M2+AQ+2。最小.由條件可證明0點(diǎn)總

在AAT上，所以AAT與的交點(diǎn)就是所要的G點(diǎn)(圖6).可證OG=L〃G.

2

解法2考慮最小，過。作的垂線交于K,由。8=6,OM=643,可得/8/。=30。,

2

所以QK=1M2.要使工〃。+4。最小，只需使AQ+QK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn)A、。、

22

K在一條直線上時(shí)，AQ+0K最小，并且此時(shí)的QK垂直于此時(shí)的點(diǎn)。即為所求的點(diǎn)G(圖7).

過A點(diǎn)作于則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn).

由。2=6,0M=6y/3,可得/O8M=60°,ZBAH=30°

在放AO4G中，OG=AQtanZBAH=2百

；.G點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2百)(G點(diǎn)為線段OC的中點(diǎn)).

例題5.如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，拋物線y=-f+6x+c過A、

8兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)C.

(1)求b、c的值；

(2)如圖1,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段8。上，且BE=2ED,連接CE并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)求

點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)將直線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15。后交y軸于點(diǎn)G,連接CG,如圖2,P為AACG內(nèi)一點(diǎn)，連

接B4、PC、PG,分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR,等邊△AG。，連接QR

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：(1):一次函數(shù)>=尤+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn),

:.A(-3,0),8(0,3),

,拋物線y=-d+bx+c過A、5兩點(diǎn)，二?c=3解得°2,:.b=-2,c=3.

一9-3b+c=0c=3

（2）,對(duì)于拋物線y=---2x+3,令y=0,則-f-2x+3=0,解得x=-3或1,

?,?點(diǎn)。坐標(biāo)（1,0）,

VAZ）=Z）C=2,???點(diǎn)。坐標(biāo)（-1,0）,

,:BE=2ED,.?.點(diǎn)E坐標(biāo)（-2，1）,

3

2k=-|

-^-k+b=l

設(shè)直線以為〉=履+6,把E、C代入得到《3解得,直線CE為y=-當(dāng)+之,

55

k+b=O

12

y=x-二

由,解得x=l或.,二點(diǎn)M坐標(biāo)(-絲，旦).

2y=051525

y=-x-2x+3行而

P,

(3)①'.?△AG。，AAPR是等邊三角形,

：.AP=AR,AQ^AG,ZQAC^ZRAP^60°,

：.ZQAR=ZGAP,

'AQ=AG

在4QAR和小GAP中，，/QAR=/GAP，

AR=AP

：./\QAR^/\GAP,:.QR=PG.

②如圖3中，*/PA+PG+PC^QR+PR+PC^QC,

...當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，B4+PG+PC最小，

作QN_L0A于N,AMLQC于M,PK±OA于K.

,：ZGAO=60°,A0=3,

；.AG=QG=AQ=6,NAGO=30。，

：/QGA=60°,.,.NQGO=90°,.,.點(diǎn)0坐標(biāo)（-6,3M）,

在RTAQCN中，QN=3M，CN=7,/QNC=90。,

QC='QM+NC2=2任'

VsinZACM=M=NQ,?=6、57,

ACQC19

?..△APR是等邊三角形，ZAPM=60°,;PM=PR,cos30°=M,

AP

：.AP=PM=RM=^m,；.MC=JA「2：.PC=CM-PM=,

1919"AC-AM1919

vPK=CP=CK；：.CK=^-,PK=12匹,：.OK=CK-CO=^~,

QNCQCN191919

.?.點(diǎn)尸坐標(biāo)（--L,空巨）.

1919_

...以+PC+PG的最小值為2萬，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（--L,三返）.

1919

達(dá)標(biāo)檢測(cè)------------------------------------------------領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)

1.如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、E為BC邊上任意一點(diǎn),則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以4。、AM為邊構(gòu)造等邊△ADR等邊△AMG,連接FG,

易證：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過尸作FHLBC交BC于H點(diǎn)、,線段FH的長(zhǎng)即為所求的最小值4+.

2.如圖，尸為正方形ABC。對(duì)角線8D上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,則AP+BP+CP的最小值為（）

B.V2+V6C.4

【解答】解：如圖將AABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC^.

理由：'：AP=AF,ZR\F=60°,

C.^PAF是等邊三角形，

：.PA=PF=AF,EF=PB,

：.PA+PB+PC=EF+PF+PC,

...當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，必+P8+PC最小，

作交D4的延長(zhǎng)線于M,ME的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于N,則四邊形A8NM是矩形,

在中，VZAf=90°,ZMAE=30°,AE=2,

:.ME=1,AM=BN=M，MN=AB=2,EN=L

￡C=7EN2+NC2=712+（V3+2）2=^8+4^3

=7（V6）2+2-V6PV2+（V2）2=V（V6+V2）2

=&+料.__

-,.E4+PB+PC的最小值為遙+加.

故選：B.

3.如圖，四邊形ABC。是菱形，AB=4,且/ABC=/ABE=60。，M為對(duì)角線8。(不含8點(diǎn))上任意一

點(diǎn)，將8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM,CM,則AM+8M+CM的最小值為4R_.

【解答】解：如圖，連接MN,：△ABE是等邊三角形,

:.BA=BE,NABE=60°.

,//MBN=60°,

：.ZMBN-/ABN=ZABE-/ABN.

即乙M8A=NM3￡.

又,：MB=NB,

:.叢AMB”叢ENB（SAS）,

:.AM=EN,

■:NMBN=60°,MB=NB,

...△3MN是等邊三角形.

:.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，得EN+MN+CM^EC最短

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng),

過E點(diǎn)作EFVBC交CB的延長(zhǎng)線于F,

：.NEBF=18。。-120°=60°,

；BC=4,

；.BF=2,EF=2&,在RtAE尸C中，

\"EF-+FC2=EC2,

EC=4氐

故答案為：4M

4.將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)3、C落在格點(diǎn)上，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上,

ZABC=30°,點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn).

(1)30度;

(2)如圖，將AAPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(尺規(guī)作圖，保留痕跡)；

(3)AP+8P+CP的最小值為1°灼.

—3—

【解答］解(1)???點(diǎn)A在5C的垂直平分線上.

：.AB=ACf

：.ZABC=ZACB,

ZABC=30°,

???ZACB=30°.

故答案為30°.

(2)如圖△C4P就是所求的三角形.

(3)如圖當(dāng)3、P、P、共線時(shí)，的值最小,

此時(shí)BC=5,AC=CA'=^fi,8A，=JBC：2+CA，2=1。F.

故答案為竺強(qiáng).

3

5.如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB=10公里，BC=15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E,

F,則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為(15+10退)公里.

【解答】解：如圖1,將△A班繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AAGH,連接由/、EG,將△。/C繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。得到△。尸M,連接CAf、FF,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH,AE^AG,ZEAG=ZBAH=60°,BE=GH,

：.AAEG和4ABH是等邊三角形，

：.AE=EG,

同理得：△OFF和△￡>CM是等邊三角形，DF=FF,FC=FM,

...當(dāng)H、G、E、F、F、M在同一條直線上時(shí)，EA+EB+EF+FC+FD如圖2,

圖2

,:AH=BH,DM=CM,

HM是AB和CD的垂直平分線，

：.HM±AB,HMLCD,

VAB=10,

AABH的IWJ為

EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF+FM=HM=15+5^^+5?=15+10^3，

則EA+EB+E尸+FC+F￡)的最小值是(15+10?)公理.

故答案為：(15+10V3).

6.已知，在△ABC中，ZACB=30°

(1)如圖1,當(dāng)AB=AC=2,求8C的值；

(2)如圖2,當(dāng)A8=AC,點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且B4=2,PB=^1，PC=3,求/APC的度數(shù)；

(3)如圖3,當(dāng)AC=4,AB=V7(CB>CA),點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為—返

AA

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)如圖1中，作APLBC于尸.

'：AB^AC,AP±BC,A

±xc

：.BP=PC,

在R3ACP中，'：AC=2,ZC=30°,

.?.PC=AC?COS3(F=M，B

圖1

：.BC=2PC=2-/j.

(2)如圖2中，將^APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△QAC.

'：AB=AC,NC=30。，

0

.\ZBAC=120°,樂

：.PA=AQ^2,PB=QC=J^1,/1\

ZPAQ=12Q°,

，尸。=2T，/

PQ^+PC2=℃2,B

；.NQPC=90°,圖2

NAPQ=30°,

ZAPC=300+90°=120°.

(3)如圖3中，將4BCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CB'P,連接尸P,AB',則NAC?=90。.

PA+PB+PC^PA+PP'+P'B',A

...當(dāng)A,P,P',9共線時(shí)，B4+P8+PC的值最小,最小值=A9的長(zhǎng)，/N

由A2=0,AC=4,/C=30。，可得BC=CQ=

Bn77(

AB，=A2/2=

-1-7CCBV43-和二7

故答案為/就.

?./

\：/

R

7.如圖/,在△ABC中，NACB=90。，點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn).

(1)連接尸3,PC,將ABCP沿射線CA方向平移，得到△加￡,點(diǎn)8,C,尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。、4

E,連接CE.

①依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；

②如果BP_LCE,BP=3,AB=6,求CE的長(zhǎng)

(2)如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△AB尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AMN,連接以、PB、PC,當(dāng)AC=3,

AB=6時(shí)，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.

及及及尹

【解答】解：(1)①補(bǔ)全圖形如圖所示

②如圖，連接30、CDNNN/

「△BCP沿射線CA方向平移，得到△ZME,\\\\\/

\'》

.??四邊形8CA。是矩形，/；\^

?3&IAAFAc

c

:?DE=BP=3,

VBP±CE,BP//DE,

：.DEA.CE,

???在RtADCE中，CE=￡j2g2—_^2=3;

(2)證明：如圖所示，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△A8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AMN,連接8N.

由旋轉(zhuǎn)可得，公AMNQAABP,

:?MN=BP,B4=AM,ZPA,M=60°=ZBAN,AB=AN,B___________________“

：.APAM,△ABN都是等邊三角形，R/

：.PA=PMf\\//

：.PA+PB+PC=CP+PM+MN,\\少//

當(dāng)AC=3,