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2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（一）（天津卷）

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.（2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)集合A={xeN|k-l|<2},3=W），=>/r可，

B=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1,2）

【答案】A

【詳解】由集合A={xeN||x-l|<2},解得A={0,l,2}；由8=1”=萬(wàn)二},解得3={也42},則

AB={0,l,2}.

故選：A

2.（2022?天津?耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)xeR,則是“丁-2》-3<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由于不等式/-2》-3<0的解集為何-1。<3},則l<x<2可推出T<x<3,反之不成立，

所以是“V—2x-3<0”的充分而不必要條件.

故選：A.

2

3.（2022?天津市武清區(qū)天和城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)/（力=/4的圖象大致為（）

1

【答案】1)

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(力=品三的定義域?yàn)楹蝀=±2},〃-)=異［=開(kāi)片=〃司，

所以“X)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除A,B；

22

當(dāng)xe(O,2)時(shí)I<2、<4，/(x)=-^—<0,當(dāng)xe(2,4w)時(shí)，/(%)=-^—>0,排除C.

2*—42'—4

故選：D.

4.(2022?天津?南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))為遏制新型冠狀病毒肺炎疫情的傳播，我市某區(qū)對(duì)全體居民進(jìn)行核

酸檢測(cè).現(xiàn)面向全區(qū)招募1000名志愿者，按年齡分成5組:第一組［20,25),第二組［25,30),第三組［30,35),

第四組［35,40),第五組［40,45］,經(jīng)整理得到如下的頻率分布直方圖.若采用分層抽樣的方法從前三組志愿

者中抽出39人負(fù)責(zé)醫(yī)療物資的運(yùn)輸工作，則在第二組中抽出的人數(shù)為()

【答案】D

【詳解】由直方圖可知前三組志愿者的人數(shù)之比為3:6:4,

所以從前三組志愿者中抽出39人負(fù)責(zé)醫(yī)療物資的運(yùn)輸工作，則在第二組中抽出的人數(shù)為：「f—；x39=18.

故選：D.

5.(2022?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)解析式為〃刈=2忖，a=/(log0.53),

c=cos

/?=/(log45),/［yj-則()

A.a>c>hB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】B

OS45lll，Sj,5

【詳解】0=21*3=22=3,z>=2"=2'=5/5.C=2H?I=25=X/2>所以a>6>c.

故選：B.

2

6.（2022?天津西青?高三期末）在［-5,5］上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)卬，能使函數(shù)=f+夜皿+2在R上有零

點(diǎn)的概率為（）

2313

A.—B.—C.—D.—

55510

【答案】B

【詳解】“耳=/+0g+2在R上有零點(diǎn)，則△“，由此解得m22或者m<-2,落在卜5,5］范圍內(nèi)的有

卜5,-2卜［2,5］區(qū)間長(zhǎng)度為6,利用幾何概型計(jì)算可知，有零點(diǎn)的概率為|.故選B

22

7.（2022?天津河西?高三期末）已知雙曲線(xiàn)C：*■-2=1（〃>6>0））的左、右焦點(diǎn)分別為F2,

過(guò)點(diǎn)5且與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)垂直的直線(xiàn)/與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于"，N兩點(diǎn)、,且位于y軸

的同側(cè)，若用，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

Dn3

A.3B.2C.—D.一

32

【答案】c

【詳解】解：由題意可知：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為卜=±2尤，

a

由位于y軸的同側(cè)，如圖，設(shè)M在y=上，/■（-C.0）,

a

貝"附用=^1^=。，|。蛆=加了|2-際|27c,-及=a,

因?yàn)閨N耳|=2|M用，所以|N制=%,

所以SONFI=2S,加6,

ap\-|O7V|sin4NOF、=2x；〃csinZMOFt,

因?yàn)镹NOf；,

所以|QV|=2a,

A21

在RLOMN中,a2+9b2=4a2,所以4=L

a~3

所以e=\「^=邁.

2a23

故選：C.

3

8.（2022?天津?高三專(zhuān)題練習(xí)）四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為凡的球。|上，該四面體各棱長(zhǎng)都相等，如

圖一.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為&的球。2上，如圖二.八面體的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為兄的球。,上，

該八面體各棱長(zhǎng)都相等，四邊形力融力是正方形，如圖三.設(shè)四面體、正方體、八面體的表面積分別為1、

臬、S，若4：6：6=石:內(nèi)：3，則（）

圖一圖二圖三

A.S8>S4>S6B.S4=S8>S6C.54=56<K*D.$4=$6=§8

【答案】D

【詳解】由題可知四面體為正四面體,設(shè)四面體的長(zhǎng)為4,如圖正四面體46。?內(nèi)接于棱長(zhǎng)為場(chǎng)的正方體

內(nèi)，

則易求；.4=器■,；.54=4

R3

a

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，則2R?=y/3a6,6

4

設(shè)八面體的棱長(zhǎng)為例,其外接球球心為〃■中點(diǎn)，則紇=血用，???S)1=8x乎《=46七

：?:&:/?3=6：#:夜，:.設(shè)&=&,鳥(niǎo)=冷/?,R,=V2/?,

S4=S6=Ss=8A/5R.

故選：D.

9.(2022?天津?一模)已知函數(shù)2(x)=-sinx-2|s己耳,關(guān)于x的方程尸(<+&/(力-1=0有以下結(jié)

論

①當(dāng)時(shí)，方程尸(x)+Gf(x)-l=O在［0,2句最多有3個(gè)不等實(shí)根；

②當(dāng)04a<3時(shí)，方程尸(x)+&/(x)-l=0在［0,2句內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根；

③若方程尸(x)+&“x)-l=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15萬(wàn)；

④若方程/(x)+-1=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36萬(wàn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①@B.②④C.①?D.①②③

【答案】A

_/、f-3sinx,Ikrc<x<2^+TI,

【詳解】依題意，f(X=.?c,c，k€Z,函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋邸?,0］,

［sinx,2k7r+"Kx<2k兀+27r

由72(x)+&/(x)-l=0解得：=土土,或，(x)='"+：——>0(舍去),

而。20,令4=一處棄工4-1,則方程/(切+&/(》)-1=0的根是函數(shù)y=/(x)的圖象與直線(xiàn)y=。交

點(diǎn)橫坐標(biāo)，

作出函數(shù)y=f(x)在［0,6句的圖象與直線(xiàn)y=*如圖，

「八1.八/、f-3sinxQ<x<7t一…

當(dāng)相。叫時(shí)，小)y2加1觀(guān)察圖象知,

當(dāng)。=0時(shí)，彳=-1,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線(xiàn)y=4有3個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)0<〃<豆時(shí)，-3<r.<-l,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線(xiàn)y=。有2個(gè)交點(diǎn),

64

當(dāng)"豆時(shí)，乙=-3,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線(xiàn)y有1個(gè)交點(diǎn)，

5

當(dāng)時(shí)，％<-3,函數(shù)y=/（x）的圖象與直線(xiàn)y=。沒(méi)有交點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，x6[0,2K],函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=乙的交點(diǎn)可能有3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)，①正

確，②不正確；

當(dāng)xc[0,6句時(shí)，函數(shù)y=/（x）在[0,6句的圖象與直線(xiàn)yf的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，

觀(guān)察圖象知，此時(shí)0<。<半64，-3<r,<-i,即直線(xiàn)yf與y=Ox）的圖象在[0,乃],[2肛3萬(wàn)],[4肛5加上各有

兩個(gè)交點(diǎn)，

它們分別關(guān)于直線(xiàn)X=]x夸/端對(duì)稱(chēng)，這6個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和即方程6個(gè)根的和為：

2x1+2x自+2x掾=15萬(wàn)，③正確，④不正確，

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③.

故選：A

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答

對(duì)的給5分.）

10.（2022?天津?靜海一中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（l+i）=3-4i（其中i為虛數(shù)單位），則|:|=

【答案】述

2

【詳解】由6吟一4i得=1y,所以」泊，故

11.（2022?天津南開(kāi)?二模）在的展開(kāi)式中,五的系數(shù)是

【答案】-189

【詳解】由二項(xiàng)式定理知卜-9的展開(kāi)式的通項(xiàng)為:

Tr+l=G(3x廣,白)=(-1/3，”/,

令解得r=5,

22

所以9的系數(shù)是(-1)532^=789,

故答案為：-189.

6

12.（2022?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)x-2y+a=0與圓0：V+），=2相交于4

6兩點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且以03為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】±。##不或-石

【詳解】如圖：

因?yàn)槎@。是等于直角三角形，所以圓心（0,0）到直線(xiàn)x-2y+a=0的距離為=1,

6ZI-

應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：1="]2；_2『=4=±"；

故答案為：土石.

13.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）下圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一

個(gè)串聯(lián)線(xiàn)路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線(xiàn)點(diǎn)隨機(jī)地平均分成

三組，將右端的六個(gè)接線(xiàn)點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線(xiàn)點(diǎn)用導(dǎo)線(xiàn)連接，則這

五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是.

Q

【答案】1

泣

【詳解】由題意，左端的六個(gè)接線(xiàn)點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組有CG=15種分法,同理右端的六個(gè)接線(xiàn)點(diǎn)隨

^r

機(jī)地平均分成三組也有15種分法，所以共有225種：

要五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)，則需五個(gè)接收器與信號(hào)源串聯(lián)在同一個(gè)線(xiàn)路中，即五個(gè)接收器的一個(gè)全

排列，再將排列后的第一個(gè)接收器與信號(hào)源左端連接，最后一個(gè)接收器與信號(hào)源右端連接，所以符合條件

的連接方式共有A；=120種，

1702

所求的概率是p=呆=會(huì).

7

Q

故答案為：—

14.（2022?天津南開(kāi)?高三期中）在邊長(zhǎng)為2的菱形4BCD中，ZA3C=12O。，￡是BC的中點(diǎn)，廠(chǎng)是邊CO

上的一點(diǎn)，OE交"■于〃.若尸是CD的中點(diǎn)，+則2+〃=、若尸在邊CO上

（不含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是.

【答案】|（聞

【詳解】（1）如圖所示：

T§：AH=tAF=t(AD+-AB)=lBC+-AB,

22

由。三點(diǎn)共線(xiàn)，

可設(shè)AH=&AO+(l-k)4E

=&AO+(1-幻(48+:">)

426

AAH=-BC+-AB,即2+〃=丁

（2）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)。〃最長(zhǎng),

易知ADHs.CEH,且相似比為2:1,

ZDCB=60°,在△OCE中，由余弦定理得：

DE2=DC2+CE2-2DCXCEXCOS60°=3,

所以。E=JL此時(shí)滿(mǎn)足龐2+〃2=叱，所以QELCE,

8

所以NADE=90。，MDH=-DE=^-

33

由圖可知，?！皜(0,半),

則AHDH=(AD+DH)DH=AD-DH+DH'=e

故答案為：yKI

x2,x<0

15.(2022?天津?高三期中)已知函數(shù)〃x)=,x，若g(x)=/(x)-”恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

-r,x>0

的值為，若關(guān)于x的方程/(力_2/(力+2祖-1=0恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【答案】1:｛同

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)/(力=4,則f'(x)==，/(1)=1,

ee

令廣(無(wú))=0,解得x=l,

所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，制x)>0,“X)單調(diào)遞增，時(shí)，/'(力<。，/⑺單調(diào)遞減,

再根據(jù)題意可作出f(x)的圖象如下：

若g(x)=/(x)-。有2個(gè)零點(diǎn),則y=/(x)與y=。有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知。=1;

若關(guān)于x的方程/2(x)-2/(x)+2根—1=0恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

令t="x),則力⑺=產(chǎn)-2，+2加-1=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根32，

故y=6，y=，2與/(x)都有2個(gè)交點(diǎn)或者y=4與/(x)僅1個(gè)交點(diǎn)，yj與〃力有3個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)y=4，y=4與4X)都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得4=4=1,不滿(mǎn)足f產(chǎn)心舍去；

當(dāng)y=4與f(x)僅I個(gè)交點(diǎn)，y=，2與/(X)有3個(gè)交點(diǎn)，則弓?0，1)，

當(dāng)公。時(shí)，2m—1=0,解得機(jī)=g,故的)=，—2f=o,解得4=0或弓=2武0,1),舍去；

故/7(。=/_2￡+2〃7_1=?_1)2+2機(jī)_2=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為4e(l,+oo),t2e(0,l),

9

/?(1)=2m-2<0解得

所以g<"?<

〃⑼=2m-1>0

所以實(shí)數(shù)勿的取值范圍為｛時(shí);<%

故答案為：1;|w|^<?i<l|

三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）

16.（2022?天津?yàn)I海新?模擬預(yù)測(cè)）在_ABC中，角43,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4csin8=3asinC,

A1

tan—=-,ABC的面積為24.

22

(1)求sinb；

(2)求a的長(zhǎng);

⑶求sin(28-$的值.

3

【答案】⑴sinB=,

(2)8

(3).竺-7e

50

(1)

解：4csinB=3tzsinC,由正弦定理可得4sinCsinB=3sinAsinC,

3

QsinC>0,sinB=—sinA.

A1

tan—=—

22

A

2tan5

1_4

tanA=--------=—

1-tan2-1-

2

tanA=-------

cosA

4

又<sin2A4-cos2A=1解得sinA=g,

sinA>0

c3

/.sin?=-,

5

(2)

解：sinB<sinA,

10

I-----------4

,B為銳角，cosB=VI-sin2B=—.

r44A3

又tanA=—,cosA=—,

35

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3=1.

，c=g,則JU5c的面積為:必=24,

22

=48,

。_sinA_4

bsinB3'

.,.〃=8

(3)

,24

JW：sin2B=2sinficosB=—,

25

?7

cos2B=2cos2B-l=——,

25

JTIT7T

所以sin(2B----)=sin2Bcos----cos2Bsin—

333

24-76

--50-'

17.(2022?天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖，4反1平面ABCD,

Q

CFHAE,AD//BC,AD1AB,AB=AD=],AE=BC=2,CF=-

7

(1)求證：BF〃平面ADE；

(2)求直線(xiàn)方與平面破?所成角的正弦值：

(3)求平面雌、與平面》圻夾角的余弦值.

11

(1)

VCF//AE,CF<Z平面/龐；AEu平面/%1

CF〃平面ADE

同理：3C//平面組應(yīng)

CFBC=C,則平面3b〃平面/〃

BFu平面BCF,則BF//平面ADE

(2)

如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

8(l,0,0),0(0,l,0),C(l,2,0),E(0,0,2),F(l,2與

BE=(-1,0,2),BD=(-1,1,0),CE=(-1,-2,2)

設(shè)平面應(yīng)應(yīng)的一個(gè)法向量為”=(x,y,z),則有"2~，

、7[n-BD=-x+y=0

令z=l,貝ijx=2,y=2,即4=(2,2,1)

!rv\_CEn_4

?,?COM止戰(zhàn)=3

4

則直線(xiàn)四與平面比應(yīng)所成角的正弦值為x；

9

(3)

8Q=(-l,l,0),BF=(0,2g)

Q

,、w-BF=2v+-z=0

可設(shè)平面反V7的一個(gè)法向量為加=(x,y,z),則有“7

mBD=-x+y=0

12

令z=-7,則x=4,y=4,即“二(4,4,一7)

/\mn1

?cos｛m,n)=...i=-

一、/卜胴3

則平面應(yīng)火與平面叱夾角的余弦值為g.

18.(2022?天津?南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且邑=4邑，出“=2a“+l(〃wN*).

數(shù)列｛〃,｝為等比數(shù)列，且%-生=1,%%=1.

⑴求數(shù)列｛q｝和色｝的通項(xiàng)公式；

⑵求才％

ya

⑶求證：七上=半±±

k=lak*ak+l2%+]

【答案】(1)4=21,2=2〃；

⑵

2"

(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.

(1)

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,由邑=4邑得：

4q+6d=4(加+d),

因?yàn)椤?〃=2。“+1(〃￡N"),所以q+(2〃-l)d=24+2(〃-l)d+l,

聯(lián)立得：a產(chǎn)l,d=2,所以4=1+2(〃-1)二2〃-1；

則〃2=3,%=9,

設(shè)｛〃｝的公比為4,則％=1+3=4,b3=a5-l=9-l=8f

所以《=今=2,則4=g=2,

所以“=22一=2"；

(2)

故“2k-]

2A

21

+①,

2*

2k-32k-l

2&+2人句②,

13

11

1112k-l1,2~2^2k7￡12k—132k+3

①一②得:2芻瓦一—I----++1-

222"i2k+l2~T~lk22A+,

1—

2

所以需哇-符卜一2k+3

2"

(3)

k*2*4k2k2111If11)

%?%](2&-l).(2k+l)4k244(4/-1)4812%-12k+])'

▼r11<1111111If,11

48(3352〃-12〃+U48(2n+l)

2〃(2九+1)+2〃+1-14m(〃+1)n(n+l)

8(2/?+!)-8(2.+1，-2an+l'

19.(2022?天津?耀華中學(xué)模擬預(yù)測(cè))橢圓E:[+與=1(a>6>0)的離心率為;，右頂點(diǎn)為4設(shè)點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6為橢圓6上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，QA8面積的最大值為

(1)求桶圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線(xiàn)/：x=f交X軸于點(diǎn)尸，其中，>a,直線(xiàn)如交橢圓￡于另一點(diǎn)C,直線(xiàn)物和。分別交直線(xiàn)/于點(diǎn)

M和凡若。、小M/V四點(diǎn)共圓，求t的值.

)2

【答案】⑴三+工=1

43

(2)6

【詳解】⑴解：由題意，設(shè)橢圓半焦距為c,則￡=1，即￡=1-4」，得b二軋,

a2a2a242

設(shè)8(x”y),S.=ga|y|,由|加〃，所以S.的最大值為,

將6=3°代入!=若，W—a2=\/3?解得a=2/=5/5,

224

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土r+匕=1；

43

(2)解：設(shè)C(%,%),因?yàn)辄c(diǎn)8為橢圓￡上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)比1不與x軸重合，

設(shè)直線(xiàn)6c方程為x=my+t,與橢圓方程聯(lián)立得(3病+4)/+6,犯y+3/-12=0,

A=36=2/-12(3/+4)(4-4)>0,可得產(chǎn)<3濟(jì)+4,

由韋達(dá)定理可得M+獷-舄’丑=富去

直線(xiàn)BA的方程為尸己-2),令"得點(diǎn)歷縱坐標(biāo)加二號(hào)等,

14

同理可得點(diǎn)A'縱坐標(biāo)以=,

一2.

當(dāng)。、小雙"四點(diǎn)共圓，由相交弦定理可得|24||「0|=|「根?|印|，即々-2)=|加洞,

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