2023-2024學年四川省達州外國語學校高三（上）入學數(shù)學試卷（文科）（含解析）

2023-2024學年四川省達州外國語學校高三（上）入學數(shù)學試卷

（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復數(shù)2=小，則5在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知全集U={0,1,2,3,4},集合4={1,2,3},B={2,4},則BC（C"）=（）

A.{4}B.{2}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4）

3.在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖所示的樣

本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則（）

A.這種疾病患者的年齡小于等于30的概率為0.2

B.這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲

C.這種疾病患者的年齡的眾數(shù)為45歲

D.這種疾病患者的平均年齡為48歲

4.下列命題是真命題的是（）

A.若a>b>0,貝ijac?>be2B.若Q>b,貝!la2>/

11

貝d

2u->-

C.若a<bV0,則/<ab<bD.若aVb<0,Q>

D

5."M>N"是"InM>InN"的條件.（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

6.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是()

A.y=|x|B.y=3—xC.y=；D.y=-x2+4

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為

.()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

9.設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間［—1,0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=—f(x),

則有()

A.</(|)</(I)B./(|)<</(I)

C.〃1)<<D.</(1)<

10.已知尸1，尸2分別為橢圓E：各，=l(a>b>0)的兩個焦點，P是橢圓E上的點，P&_L

PF2,且sin/PF?&=3s譏4P&F2，則橢圓E的離心率為()

31

--③蔡，其中真命題的個數(shù)為()

11.下列四個命題：①伉兀>1,@ln44sin">

A.0個B.1個C.2個D.3個

12.已知函數(shù)/(x)=》若/⑶的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的

(xlnx4-%—(m+2)x+1(%>0).

點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(―8,仇2+1)B.(/n24-1,+8)C.[In2+1,4-oo)D.(―8,ln2+1]

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)命題p：Vx>0,x+1>a,若"是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

14.函數(shù)/(%)=舞為奇函數(shù)，則。=.

15.已知函數(shù)/'(X)的定義域為(一5，今，其導函數(shù)是f'(x).有/''(x)cosx+/(x)sinx<0,則關(guān)

于x的不等式/'(x)>2/(》cosx的解集為.

16.已知=2alnx+x2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1處取得極值,則:+，的最小值為

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且2b?cos4=c-cosA+a?cosC.

(1)求角4的大??；

(2)若a=17，b+c=4,求be的值.

18.(本小題12.0分)

某土特產(chǎn)超市為預估2022年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2021年元旦期間的90位游客

購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表：

購買金額(元)[1,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)1750,900)

人數(shù)101520152010

參考公式和數(shù)據(jù):K2_n(ad-/>c)2

附:—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

不少于600元少少于600元合合計計

男—40—

女18——

合計———

(2)為做好2022年元旦的營銷活動，該超市從2021年元旦期間的90位游客購買金額少于600元

的人群中按照分層抽樣的方法任選6人進行購物體驗回訪，并在這6人中隨機選取2人派發(fā)購

物券，問能拿到購物券的2人恰好是一男一女的概率是多少？

19.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-4BCO中，底面力為直角梯形，AB//CD,/.ABC=90°,AB=2,BC=

CD=1,△PAD為等邊三角形,平面24。1,平面4BCD.

(1)證明：BD1PA-.

(2)求三棱錐C-PBO的體積.

20.(本小題12.0分)

已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為F,點P?！?)在C上，且|PF|=2|OF|(。為坐標原

(1)求C的方程;

(2)若a,8是C上的兩個動點，且4,B兩點的橫坐標之和為8,求當|AB|取最大值時，直線4B

的方程.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=xlnx—a/-x,a&R.

(1)若/(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)若與，*2(%i<%2)為/(x)的兩個不同極值點，證明：4/nxj+lnx2>3.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，直線，的參數(shù)方程為2=2+Ct?為參數(shù))，以坐標原點。為極點,

X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2

2+sm9

(1)求直線l的普通方程及曲線c的直角坐標方程；

(2)已知點M(2,0),若直線I與曲線C交于4,B兩點,求高|+意的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=|3x4-3|—\2x—6|.

(1)求不等式/(x)>%-4的解集；

(2)設(shè)/'(x)的最小值為m,若正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=—zn,求4+貯+￡!的最小值.

cab

答案和解析

I.【答案】A

即2在復平面內(nèi)對應點坐標為01)，在第一象限.

故選：A.

先根據(jù)四則運算求出z,再求出其共舸復數(shù)，進而求解結(jié)論.

本題考查了復數(shù)的幾何意義以及共輒復數(shù)的求解，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：???U={0,1,2,3,4},A=[1,2,3),B={2,4},

???CuA={0,4},Bn(CM={4}.

故選：A.

進行補集和交集的運算即可.

本題考查了集合的列舉法的定義，補集和交集的定義及運算，全集的定義，考查了計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：小于等于30的概率為：0.001X10+0.002x10+0.012X10=0.15,故A錯誤；

中位數(shù)左右兩側(cè)的矩形的面積和相等，結(jié)合圖形可以看出中位數(shù)大于45,故B錯誤；

平均年齡：

x=(5x0.001+15x0.002+25x0.0124-35x0.0174-45x0.023+55x0.0204-65x

0.017+75X0.006+85X0.002)X10=47.9(歲)，故。錯誤；

而眾數(shù)為最高矩形的中點，所以眾數(shù)為45,故C正確：

故選：C.

利用概率、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、頻率分布直方圖直接求解.

本題考查概率、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：對于4若a>b>0,則tic?>be2,c=0時，4不成立；

對于B,若a>b,則a?>b2,反例a-0,b=—2,所以B不成立；

對于C,若a<b<0,則Q2<QbvZ)2,反例a=-4,b=—1,所以C不成立;

11

立

貝

H成

H->-

對于D,若a<b<0,JQ6

故選：D.

利用不等式的基本性質(zhì)，判斷選項的正誤即可.

本題考查命題的真假的判斷與應用，不等式的基本性質(zhì)的應用，是基本知識的考查.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)不等式的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】

解：由/nM>得M>N>0,則M>InN”可推出“M>N”，故必要性成立；

若“M>0>N"，則推不出“InM>InN”，故充分性不成立，

則“M>N”是“InM>InN”的必要不充分條件，

故選：B.

6.【答案】A

【解析】解：y=|x|是偶函數(shù)，并且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，正確；

y=3-x不是偶函數(shù)，錯誤；

y=:是奇函數(shù)，不正確；

、=一產(chǎn)+4是偶函數(shù)，但是在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，不正確；

故選：A.

判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可.

本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：?.?函數(shù)/(乃=空定義域為R,

且汽_乃=上生產(chǎn)2=誓=/(辦即為偶函數(shù)，

排除AC,

又樗)=?=-誓。，

排除B,

故選：D.

直接借助于定義域、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負判斷選項.

本題根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】a

【解析】【分析】

本題主要考查推理案例，屬于基礎(chǔ)題.

因為只有一個人預測正確，所以本題關(guān)鍵是要找到互相關(guān)聯(lián)的兩個預測入手就可找出矛盾，從而

得出正確結(jié)果.

【解答】解：由題意，可把三人的預測簡寫如下：

甲：甲〉乙.

乙：丙〉乙且丙〉甲.

丙：丙〉乙.

??,只有一個人預測正確，

二分析三人的預測：

如果乙預測正確，則丙預測正確，不符合題意；

如果丙預測正確，假設(shè)甲、乙預測不正確，

則有丙〉乙，乙〉甲，

???乙預測不正確，而丙〉乙正確，

???只有丙〉甲不正確，

二甲〉丙，這與丙＞乙，乙〉甲矛盾.

不符合題意；

???只有甲預測正確，乙、丙預測不正確，

則有甲〉乙，乙〉丙.

故選A.

9.【答案】A

【解析】解：因為/(乃為奇函數(shù)，

-f(T)=-7CO,

又???/?(%+2)=

所以/'(%+4)=f(x),即函數(shù)的周期為4,

???后)=一/(一>/(1)=-/(-1)./?)=/(—+2)=_/(一》,

又一1<-：<一：S0且函數(shù)在區(qū)間［一1,0)上是增函數(shù)，

11

>-/(-|)>-/(|)-/⑴>/(|)>熊)，

故選:A.

由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，周期性即可比較函數(shù)值的大小.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性，單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：由題意及正弦定理得：|PFi|=3仍?21

令|PF1|=3|PFz|=3n,則3n+n=2a,9n2+n2=4c2,可得|a2=4c2,

故選：B.

由題意得［PF/=3|PFz|,利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.

本題考查橢圓的離心率的求法，屬中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：由bur>/ne=l,所以①正確；

考慮函數(shù)/'(x)=Inx-x+1,/(I)=0,

又［。)=5-1,

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，且f(x)</(I)=0,

則/(》=尾+9<0,故②正確；

.32

考慮函數(shù)/(%)=sinx—x+?/'(%)=cosx—1+/，且/(0)=0.

又/"(%)=x—sinx,f"(0)=0,

由當欠>0時，x>sinx.

所以%>0時，/(%)為增函數(shù).

所以%>0時，/'(%)>0.

所以f(x)為(0,+8)上的增函數(shù).

硝>"0)=0,即sin：>微一抵肅蔡故③正確.

故選：D.

直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)，構(gòu)造相應的函數(shù)關(guān)系式，利用導數(shù)工具進行求解即可.

本題考查了對數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：/(%)在(一8,0)上關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為g(x)=/-2x-1,

即f(%)在(0,+8)上與g(x)圖像有交點，

，方程工"工4-%2—(m-F2)x4-1=%2—2%—1有根，

即方程工"尢-mx+2=0有根，

設(shè)九(%)=xlnx-mx+2(x>0),即九(%)存在零點，

?,?九'(%)=Inx+1—m,h〃(x)=；>0,

??.九'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令九'(%)=0得：x=em-1,

當Ovxvem-i時，九，(%)<0,以%)單調(diào)遞減；當時，〃(X)>(),世工)單調(diào)遞增，

:，hMmin=/i(emT)=2-em-i<o,

???m>ln2+1,

故選：C.

/(X)在(一8,0)上關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為g(x)=X2-2X-1,即/(%)在(0,+8)上與g(x)圖像有交

點，即方程%仇%—mx+2=0有根，設(shè)九(%)=-+2(%>0),即八(%)存在零點，求導得

當0<%<*T時,以%)單調(diào)遞減;當%>e^T時，似%)單調(diào)遞增，所以只需九(%)min=九(*-1)<0,

從而求出小的取值范圍.

本題主要考查了分段函數(shù)的應用，考查了函數(shù)的圖像變換，同時考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性和極值，是中檔題.

13.【答案】(一8,2V~^)

【解析】解：因為「p是假命題，故p為真命題，

因為x>0,故X+222，2,當且僅當％=「時，等號成立，

X

故a<2，攵，即Q的取值范圍是(―8,2A/~2).

故答案為：(—8,2/2).

根據(jù)原命題為真結(jié)合基本不等式可求參數(shù)的取值范圍.

本題主要考查全稱命題，命題真假的判斷與應用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：由f(x)=芝翳知該函數(shù)在x=0處有定義，

因為f(x)=震為奇函數(shù)，

所以"0)=0,則竽=0,解得a=l,經(jīng)檢驗符合題意.

故答案為：L

由奇函數(shù)的性質(zhì)，在x=0處有定義，/(0)=0,可得答案.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一羽)

【解析】解：依題意令F(x)=嫖，％6(一9》

則=f'Wcosx+/~(x)sEx,

I)COS2X

因為當一?<x<]時、f'[x}cosx4-/(x)smx<0,

所以當％W(一舞)時,F\x)<0,

所以F(x)在(一轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減,

則/(X)>2/G)cos無等價于?>純，即F(x)>尸6)，

3COSXCOS2J

(X<1

所以兀3兀,

(~2<X<2

解得冶<x<5，

所以所求不等式的解集為(-熱》.

故答案為：(-K).

構(gòu)造函數(shù)F(x)=3,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得

即可.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

16.【答案】4

【解析】解：因為/(%)=2alnx+%24-(b—4)x,

所以「(x)=F+2x+b—4,

因為f(x)在x=1處取得極值，

所以/'(1)=2a+2+b—4=0,即2Q+b=2,

因為a>0,b>0,

所以=2①￡/=§=4，

ab2ab~2a+b2

當且僅當及畀，即a=：,b=l時取等號，

2ab2

所以工+會的最小值為4.

ab

故答案為：4.

求出/'(%),由極值的定義得到((1)=0,即2a+b=2,然后利用基本不等式的結(jié)論求解最值即

可.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)極值的應用，基本不等式求解最值的應用，考查了邏輯推理能力與

轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)已知等式2b-cosA=c-cosA+a-cosC,

由正弦定理化簡得：2sinB-cosA=sinCcosA+sinAcosC,

即2s譏BcosA=sin(4+C)=sinB,

在△48C中，sinB0,

“1An

**?cosA=—,A=

(2)a=17,A=g；

由余弦定理得：

a2=h2+c2-2bccos60Q=7,

代入b+c=4得(b+c)2-3bc=7

be=3.

【解析】(1)利用正弦定理化簡已知等式，變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡,

根據(jù)sMB不為0求出cosA的值，即可確定出4的度數(shù)；

(2)利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將b+c,Q以及cosA的值代入求出兒的

值.

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用I.解題的關(guān)鍵是利用這兩個定理完成了邊角問題的互

化.

18.【答案】解：(1)2x2列聯(lián)表如下表所示:

不少于600元少于600元合計

男124052

女182038

合計306090

90x(12x20-40x18)2

K2工5.830>3.841，

30x60x52x38

因此有95%的把握認為購買金額是否少于600元與性別有關(guān).

(2)按照分層抽樣應該選4名男性，2名女性.

記4名男性分別為4、B、C、D,2名女性分別為a、b,

恰好選到一男一女的事件記為E,則任選2人派發(fā)購物券的所有可能結(jié)果為：

48、AC、A。、AayAb、BC、BDBa、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab,共15種,

事件E包含的基本事件有：Aa.Ab.Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db,共8種，

因此,P(E)=<

【解析】(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計算K2,對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論;

(2)根據(jù)古典概型概率公式計算即可.

本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎(chǔ)題目.

19.【答案】解:(1)證明:取4B中點E,連DE,

因為4B〃CD,￡.ABC=90%AB=2,BC=CD=1,

所以四邊形EBCD為正方形，△4ED為等腰直角三角形,

則AD=，7,BDJLAD,

因為面PADJL面ABC。，面PADn面力BCD=AD,BDu面ABC。，

所以8。1平面PAD,又24u平面24。，所以BD1PA.

(2)取AD中點0,連P。，則P0JL4D,且po=?,

因為平面P4C_L平面4BCD,面PADn面4BCD=4D,尸。u面PAD,

所以P。，平面ABC。，又△BCO面積為=；,

三棱錐C一P8。的體積為%_p80=VP_BCD=|sABCD-PO=冶.

【解析】(1)取AB中點E,連DE,易得EBCD為正方形,△力ED為等腰直角三角形，再根據(jù)面面垂

直的性質(zhì)有BC1平面PAD,最后由線面垂直的性質(zhì)證結(jié)論.

(2)取4D中點。，連P0,由面面垂直的性質(zhì)有PO1平面48CD,根據(jù)棱錐體積公式求三棱錐C-PBD

的體積.

本題考查線線垂直的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意得解得仁二；，

所以C的標準方程為必=?.

(2)設(shè)4(xi，yQ,8(尤2，丫2)，且*I+%2=8.

設(shè)4B中點為D(m,n),則m=紅/，n=上芳，

當％1=%2時，UB：x=4,\AB\=8；

當X】力?時，施8="=與義=+=2，

12%2-勺光一比及+%n

則加：y-n=^(%-4),即％=](y—九)+4,

與C聯(lián)立方程消去工,整理得、2一2政+2n2-16=0,

=2

由4>0,得小<16,yi+y22n,yry2=2n—16,

22

|4B|=J1+(J21yl-y2\=(n+4)(16-n)<精+4；6f2=心

當層=6時取“="，所以|AB|的最大值為10,

此時AB的方程為2x+V~6y-2=0-

【解析】(1)利用已知條件，列出方程組，求解p,即可求出C的標準方程.

(2)設(shè)B(x2,y2)-且+x2=8.設(shè)AB中點為。(m,n),當/=x2B^,lAB：x=4,\AB\=8；

當X1WX2時，求出直線的斜率，直線方程，然后直線方程與C聯(lián)立方程消去X,整理得y2—2ny+

2n2-16=0,利用韋達定理，弦長公式求解即可.

本題考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系，是中檔題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)定義域為(0,+8),根據(jù)題意知((x)=lnx-2ax>0有解，即a〈器有

解，

令g。)=嗷,則o'。)=舞，

且當Ov%<e時，g'(%)>0,g(%)單調(diào)遞增，當％>e時，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減,

二@<gO)mg=g(e)=

1

...ae(-co,—)；

(2)證明：由％i，彳2是/'(X)的不同的極值點，知X],&是f'(x)=0的兩根,

lnx-2Q%I=0則伊Xi=2axi

即1

AJUnx=2ax

lnx2—2ax2=022

lnxi—lnx2

xl-x2

要證4仇與+lnx2>3,只需證4-2axr+2ax2>3,BP2a(4x1+x2)>3‘即證(5+

%2)>3,

V%1<X2,

3(X「X2)3(*1),

?,?只需證In也<

X24XJ4-%24?又+1

x2

令"茅0<t<1,則問題轉(zhuǎn)化為證明"(t)=Int-若，<0(0<t<1)成立，

B，，八11516/―7t+l、cm,))

而W(t)=7----------7=----------5->0(0<t<1),

，Jt(4t+l)2t(4t+l)2''

???9(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，

???當te(0,1)時，(p(t)<0⑴=0,即？(t)=Int-筆奈<0(0<t<1)成立，由此得證.

【解析】(1)依題意，a〈野有解，令g(x)=野，對g(x)求導，求出g(x)的最大值，即可求得實

數(shù)a的取值范圍；

(2)利用分析法轉(zhuǎn)化為證明3(t)=bit-笑?<0(0<t<1)成立，利用導數(shù)求出租⑷在(0,1)上的

單調(diào)性，進而求得取值情況，由此得證.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力及運

算求解能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：⑴???直線，的參數(shù)方程為｛；：；+'不(t為參數(shù))，

???消去參數(shù)t得直線I的普通方程為x-Cy-2=0，

???曲線C的極坐標方程為p2=「%.

2+sin0

:，2p2+(psm0)2=6,又％2+y2=p2,pstn。=y,pcosQ=%,

???2(x2+y2)+y?=6,:.2x2+3y2=6,

???曲線C的直角坐標方程為q+4=1；