2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 平面向量基本定理和坐標(biāo)表示（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第01講集合（精練）

刷真題明導(dǎo)向

一、單選題

1.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在.ABC中，點(diǎn)。在邊A3上,BD=2DA.記CA=〃7,O)=7z,則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊48上，BD=2DA,所以8O=2ZM，^CD-CB=2(CA-CD],

所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故選:B.

2.（2020.山東?統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)、E,廠分別是AB,的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)AB="，

C.aD.—a+b

2

【答案】A

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案;

【詳解】連結(jié)AC,則AC為ABC的中位線,

：.EF^-AC=-a+-b,

222

故選:A

二、雙空題

3.（2022.天津?統(tǒng)考高考真題）在一ABC中，CA=a,CB=6,。是AC中點(diǎn)，=22E,試用。涉表示DE為

若ABJ_￡>￡，則/ACB的最大值為.

71

【答案】

22~6

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以可為基底，表示出47,龐，由可

得3片+/=助也，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)￡為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)夙0,0),3(1,0)。3,0),4(%外，由45，。石可得點(diǎn)八的軌跡為以“(-1,0)

為圓心，以廠=2為半徑的圓，方程為(X+1)2+/=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4與M相切時(shí)，/C最

大，即求出.

【詳解】方法一:

31

DE=CE-CD=-b--a9AB=CB-CA=b-a,ABLDE^(3b-a)(b-a)=09

3d+/=4a.bncosNACB=j1j=葡力2寸$=￥，當(dāng)且僅當(dāng)同=石忖時(shí)取等號(hào)，而0<NACB<7t,所

TT

以/ACB￡(O,—].

6

31TT

故答案為：-b--a?—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：

F(o,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(一苫3一，，AB=(l-x,-y),

DE1AB(^)(x-1)+^=0(x+1)2+y2=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以M(-l,0)為圓心，以廠=2為半徑的圓，當(dāng)

22'

r21TC

且僅當(dāng)C4與M相切時(shí)，/C最大，此時(shí)==：=

CM426

31TT

故答案為：-b--a?

22O

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.已知點(diǎn)40,1)1(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC等于()

A.(-7T)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

【答案】A

【分析】求出AB=(3,1),從而根據(jù)BC=AC-A3,即可求出向量8c的坐標(biāo).

【詳解】由題意，點(diǎn)4(0,1)1(3,2),所以AB=(3,1),

貝!12C=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),

故選:A.

2.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(L0),3(3,4),M是線段AB的中點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)是()

【答案】B

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(2,2)，所以O(shè)M=(2,2),

故選：B

3.下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.q=(0,0),e2=(-1,3)B..=(3,-2),e2=(-6,4)

C.ex=(1,2),e2=(2,3)D.=(1,1),e?=(2,2)

【答案】C

【分析】根據(jù)基底需為不共線的非零向量，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,q=0,不可以作為基底，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,6=-；6；,二毋4共線，不可以作為基底，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,e；與e?為不共線的非零向量，可以作為一組基底，C正確；

對(duì)于D,4=；e；,；w，e2共線，不可以作為基底，D錯(cuò)誤.

故選：C

4.己知a=(3,2),b=(3+m,m+\),a=AZ?(AeR),則()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可；

【詳解】因?yàn)椤?M(XeR),所以q//6,

所以2(3+/w)=3(加+1),m=3,

故選：C.

UUUUULUUUU

5.在.ABC中，已知。是A2邊上的中點(diǎn)，G是CO的中點(diǎn)，若AG=XA8+〃AC,貝I實(shí)數(shù)2+M=()

A.—B.—C.—D.1

424

【答案】C

uuir1uuffiHITitur

【分析】根據(jù)。是A3邊上的中點(diǎn)，G是⑺的中點(diǎn)，得到AD=：A氏CG=；C0,再利用平面向量的線性運(yùn)算求

22

解.

【詳解】解：因?yàn)?。是A3邊上的中點(diǎn)，G是8的中點(diǎn)，

IL1T1UUDUL1T1ULW

所以AO=-A5,CG=—C。，

22

UULTUULTUULFUULT1ULM

所以AG=AC+CG=AC+y

unrizUiirtur、imnniunr

=AC+-(AD-AC)=-AB+-AC,

_UUU.ULUUUUU

又因?yàn)锳G=XAB+〃AC,

一113

所以4=:,4=7，則％+〃=

424

故選：C

6.6知向量蒞=(1,3X),b=(2,7-A),若〃///?,則4=()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镚//Z?,所以2x32=7-4,解得4=1.

故選:A

7.如圖，在△045中，尸為線段A3上的一點(diǎn)，且R4=4PA-^OP=xOA+yOB,則()

B

c21

B.%二一y=一

33

13

D.x=—

4

【答案】A

【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡(jiǎn)整理即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?1=4%，所以有。4一。8=4（。4-OP）,

31

整理可得"=一。4+—

44

故選：A.

8.在梯形ABCD中，若AB=2DC,^AC=xAB+yAD,則%+V=（）

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理化簡(jiǎn)，可得答案.

【詳解】由題意，AB=2DC=2AC-2AD,化簡(jiǎn)得AC=gAB+AD,

13

即x=j，y=l，貝（Jx+y=3，

故選：A.

9.已知從尸分別為四邊形ABC。的邊C。、3C邊上的中點(diǎn)，設(shè)=BA=b，貝IJM=（）

1rr1

A.—（。+人）B.—（tz+b）

22

C.—（tz—6）D.—（/?—<2）

【答案】B

【分析】先判斷所為△CD5的中位線，可得E/=^=；（AB-AD）,化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

【詳解】如圖所示：

VE,F分別為四邊形ABCD的邊CD、BC邊上的中點(diǎn)，故跖為的中位線,

貝！IEb=T=AB-AD）=+匕）.

故選：B.

10.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊A3上，AM=3MB,記C4=a,CM=b,則AO=（）

3333

7414

C.—b——aD.—a——b

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解作答.

【詳解】在YABCD中，AM=3MB,CA=a,CM=b,

1一1—-.-14

所以AO=BC=8M+MC=3M4_CM=］（CA_CM）_CM=ga_§6.

故選：D

11.在正六邊形ABCDEF中，ED與CE相交于點(diǎn)G,沒FG=p,CG=q,則BC=（）

122111

A.+B.~P+~qC.p+-qD.-p+q

乙JJ乙乙乙

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出GE，即可得到結(jié)果.

如圖，連接CF,

因?yàn)锳BCDE尸為正六邊形，所以CF//DE,CF=2DE,

所以GE=gcG=；q,所以BC=FE=GE_GP=；g+p.

故選:C

12.已知向量。=?,2),6=(1,"1),貝『"=2"是“小/”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，可得1)-2=0,簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】???：/常，則(I)-2=0—=2或仁T.

.?.當(dāng)/=2時(shí)，2/辦命題成立，

反之，當(dāng)7/了時(shí)，1=2不一定成立.

所以“r=2”是“，//尸的充分不必要條件.

故選；A.

13.在_鉆。中2石=；"。,2戶=3(&1+261),點(diǎn)尸為AK與防的交點(diǎn)，AP=AAB+^iAC,貝1|幾一〃=()

A.0B.—C.-D.—

424

【答案】B

11o

【分析】利用平面向量基本定理得到AP=(1-4)A8+]Z:AC,AP^-mAC+-mAB,從而列出方程組，求出太山，

得到2=:,〃=:，求出答案.

24

【詳解】因?yàn)?尸=；(8A+8C),所以尸為AC中點(diǎn)，

民P,尸三點(diǎn)共線，故可設(shè)取=后加，^AP-AB=k(AF-AB),

^^^AP=kAF+(l-k)AB=(l-k)AB+^kAC,

因?yàn)?E=gEC,所以AE—A2=；AC-gAE,即AE=gAC+：AB,

三點(diǎn)共線，

(12A12

可得AP=mAE=m\—AC+—ABI=—mAC+—mAB,

2mI,f.I

——=l-kk=—

所以3,9,解得t,

mI,3

—=—km=—

〔32〔4

11III

可得AP=-A8+-AC,貝!|4=—,〃=—,彳一〃=一.

24244

故選：B

14.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它

是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若

BC=a,BA=b,BE=3EF,則3歹=()

A

B.2+N

2525

34,

C.—a+—bD.—a+—b

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算列式，再借助方程思想求解作答.

33

【詳解】因?yàn)?所以===

33

所以2F=d+CF=&——AE...①,BE=—BF=b+AE...②,

44、一

由①+3x②得：^BF=a+-b,^BF=—a+~b.

41642525

故選：B

15.如圖，在.ABC中，BD=2AD,E為C。的中點(diǎn)，設(shè)A8=a,AC=b,則AE=（）

32

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合條件即可得答案.

【詳解】由已知得

AE=-（AC+AD]^-AC+-AD^-AC+-x-AB=-b+-a.

2、'2222326

故選：D.

二、多選題

16.已知點(diǎn)A（4,6）,8,3,1）,則下列向量與A5平行的向量是（

B.可切

D.6/=(-7,9)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量平行的定理逐一判斷即可.

【詳解】由已知AB=（-7,-皆，

存在實(shí)數(shù)4=—|,使48=卜7,-||=-|]*3）=-*，

存在實(shí)數(shù)4=T，使鉆=卜7,-|）=-（7,?!）=-〃，

存在實(shí)數(shù)4='，使"=17，-3=|1?，-3）=},

不存在實(shí)數(shù)乙，使筋=%〃，

故選：ABC.

17.如圖，AB=2AE,AC=3AD,線段8。與CE交于點(diǎn)歹，記AB=a,AC=b,則()

12-

B.DE=——a+—b

23

21

D.AF——a~\—b

51555

【答案】AD

【分析】利用平面向量加法、減法以及數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案.

【詳解】DE=DA+AE=-a--b,

23

EF=EA+AF=+yO,EC=EA+AC=-^a+b,

設(shè)AF=xa+yb9

y(1x>一

,:EF〃EC,：?—1=^9同理+DB=a--b,DF〃DB，-=—

一2~3

聯(lián)立解得x=￡,y=g

故選：AD.

18.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、尸分別是CD邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）.

A.EF=^ABB.AD+DC=AB+BC

C.BE=CB-CED.AF=|AD+|AC

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量加法法則、向量減法法則及平面向量基本定理即可求解.

【詳解】選項(xiàng)A：由題意知，E、F分別是8邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且即與A5方向相同，則跖=：A8,故A

正確；

選項(xiàng)B：由圖可知，AD+DC=AC,AD+DC=AC,所以AD+OC=AB+3C,故B正確；

選項(xiàng)C：CB-CE=EB,所以C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：AFAD+DF=AD+^DC=AD+^AC-AD）^^AD+^AC,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

19.已知M為△ABC的重心，。為邊3c的中點(diǎn)，則（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=0

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=2^MB+MC^

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算、基本定理一一判定即可.

【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得MB+MC=2MD，故A正確；

由題意得M為線段AD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以M4=-2MD，

又MB+MC=2MD,所以AM+Affi+MC=O，故B正確；

BM=BA+^AD=BA+j^BD-BA^=^BA+^BD,故C正確；

AB+AC=2AD,MB+MC=2MD,又AD=3MD,所以AB+AC=3（MB+MC）,故D錯(cuò)誤.

c

故選：ABC

20.設(shè)點(diǎn)M是一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AM=-AB+—AC,則點(diǎn)Af是8c的中點(diǎn)

22

B.若AM=-BM+CM，則點(diǎn)〃是ABC的重心

C.^AM=2AB-AC,則點(diǎn)M,B,C三點(diǎn)共線

112

D.若BM=：BC,貝+

【答案】AC

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，以及ABC重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，如圖（1）所示，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得AB+AC=AE=2AM，

^AM=^AB+^AC,可得M為8C的中點(diǎn)，所以A正確；

對(duì)于B中，若M為ABC的重心，貝!I滿足AM+3M+CM=0，

即AM=-3M-CM,所以B不正確；

對(duì)于C中，由AM=2A3-AC,可得AM-AB=AB-AC,即BM=CB,

所以M,B,C三點(diǎn)共線，所以C正確；

對(duì)于D中，如圖（2）所示，由

1171

-^^AM=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC,所以D不正確.

故選：AC.

三、填空題

21.已知方=（2,-3）,b=（O,k）,。與2a+b平行，則實(shí)數(shù)上的值為.

【答案】0

【分析】首先求出2a+6的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)榉?（2,-3）,b=（0,k）,所以2。+6=2（2,-3）+（0㈤=（4,左-6）,

又。與2d+6平行，所以2（k-6）=-3x4,解得左=0.

故答案為：0

22.已知點(diǎn)A（-l,2）,3（2,8）,若向量A8=3AC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【答案】（0,4）

/、f3x+3=3

【分析】設(shè)C（x,y）,根據(jù)A5=3AC得至?。┮?=6'解得答案.

【詳解】設(shè)C（2）,AB=3AC，即（3,6）=3（x+l,y-2）=（3x+3,3y—6）,

f3x+3=3[x=0/、

故。A二解得“即點(diǎn)C的坐標(biāo)是0,4.

[3y—6=6[y=4

故答案為:（0,4）

23.已知meR,三點(diǎn)A（-1,-1）、3（1,3）、共線，則y.

【答案】1

【分析】求出向量AB、AC的坐標(biāo)，分析可知荒〃淺，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)，的值.

【詳解】因?yàn)?eR,三點(diǎn)A（T,-1）、川1,3）、C（私29+。共線,則那〃淺，

ULIU

且AB=（2,4）,AC=（m+l,2m+Z+l）,

所以，2（2帆+/+1）=4（%+1）,解得仁1.故答案為：1.

24.如圖，在中，。是A3的中點(diǎn)，石是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=2BC,用向量C4、C5表示

DE._________________

一3一1一

【答案】DE^-CB--CA

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锽E=2BC,所以C為BE的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，

所以DE=CE-CD=~CB——fCA+CB)=—CB—CA.

2、>22

31

故答案為：DE=--CB--CA.

25.已知向量。4=(12㈤，03=(5,4),OC=(10,d),若A、B、C三點(diǎn)共線，則氏=.

2

【答案】-j

【分析】計(jì)算出AC、AB的坐標(biāo)，由題意可知荒〃泥，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)人的值.

【詳解】已知向量。4=。2水)，03=(5,4),OC^(10,-k),

則45=0臺(tái)_04=(5,4)-(12,4)=(一7,4_左)，

ACOC-OA(10,-k)-(12,k)^(-2,-2k),

因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，貝！I/〃髏，所以，一7x(-2左)=-2x(4—左)，解得k=1.

2

故答案為：-

26.已知在平行四邊形A8CL?中，點(diǎn)E滿足筮=2淺，DE=\AB-^-AD,則實(shí)數(shù)2=____.

44

【答案】7

4

【分析】利用向量的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.

【詳解】如圖所示：

一，一一、，一,.、4IUUHUUUI

平仃四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足AE=2AC，

12

DE=DA+AE=DA+AAC=-AD+^AB+AD^=AAB+(A-1)AD=-AB-^AD,

解得：人;

故答案為：—

4

_____x

27.在/ABC中，點(diǎn)滿足:AM=2MC,BN=3NC，^MN=xAB+yAC,則一=.

y

【答案】3

【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運(yùn)算得到MN=J42+3AC,再利用平面向量基本定理求出％y,即可求出

412

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳M=2MC,BN=3NC，所以初\^二"。+。雙=彳240—750二彳240—二(240—245)=7245+二40,

3434412

1ix

故由平面向量基本定理得到，x=jy=A，所以一=3.

412y

故答案為：3.

28.已知ABC的面積為24,點(diǎn)。，E分別在邊BC,AC上，且滿足CE=3EA，CD=2DB,連接A。，BE交于點(diǎn)、

F,則aAB尸的面積為.

【答案】4

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論，即可由比例得面積關(guān)系.

13

【詳解】由CE=3EA，CD=2DB得BE=:BC七BA,

44

11o□Q4

設(shè)8歹=所以一臺(tái)尸=—20+—朋=-30+—朋？BF—BD+—BA,

X444444

由于4冗。三點(diǎn)共線，所以學(xué)+乎=1?X=|,

443

2

所以BF=§BE,

UUD3am1

由CE=3EA可得比=48,所以SABE=7sAsc=6,

22

由斯=耳師得

故答案為：4

29.若4(4,2),3(3,5),C(5,l),點(diǎn)。在第一象限且4)=43+幾AC，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是

【答案】(-3,5)

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合已知可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)其在第一象限即可求得答案.

【詳解】由題意得AB=(-1,3),AC=(1,-1),設(shè)￡>(〃?,〃)，

m_

由AD=AB+AACPTM(4,n—2)=(—1,3)+A(1,-1)=(2—1,3—A),

m—4=2—1m=2+3

則故

〃-2二3—XH=5-2

故D點(diǎn)坐標(biāo)為(幾+3,5-2),由于D在第一象限,

m=2+3>0

故-3<A<5,

n=5-2>0

即實(shí)數(shù)2的取值范圍是(-3,5),

故答案為：(-3,5)

四、解答題

30.如圖，在一。鉆中，C是AB的中點(diǎn)，。是線段上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，設(shè)。4=%05=6.

⑴用向量。與b表小向量。C,C￡)；

(2)若OE=goC,求證：A2E三點(diǎn)共線.

【答案】⑴OC=1a+6),CD=-\a-\b

2,，26

(2)證明見解析

【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解；

(2)利用向量的線性運(yùn)算及向量共線的充要條件即可求解.

【詳解】(1)04=。,。8=5?是48的中點(diǎn)，

OC=1(<9A+OB)=|(a+Z7)；

CD^OD-OC=-b--(b+a]=--a--b.

32、'26

(2)AD=OD-OA=-b-a,

3

AE^OE-OA=-x-x(a+b)-a=--a+-b=-AD

22、'444

AE與AD平行，

又AE與AO有公共點(diǎn)A,

??.ARK三點(diǎn)共線.

31.如圖,在平行四邊形ABCD中,E,尸分別為邊CD,4。的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)G.若AG=XA8+〃AO(2,〃wR),

求X+〃的值.

E

D7C

【答案】|3

【分析】作出輔助線，結(jié)合全等和相似知識(shí)和平面向量基本定理求出答案.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)CD,BF交于點(diǎn)H.

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，F(xiàn)為邊AD的中點(diǎn)，

易證HFD^VBFA,所以=

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，4B與CA平行，

所以ABG^EHG,

因?yàn)镋為邊CD的中點(diǎn)，

AGABAB2

所以無(wú)=玩丁。戶,

2

221(1^12-

所以==g(AO+OE)與產(chǎn)+萬(wàn)人修=^AB+^AD=AAB+^iAD,

所以2=W1，〃=：2,所以幾+〃三3.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.正方形ABC。中，E,尸分別是邊A。，DC的中點(diǎn)，BE與AP交于點(diǎn)G.貝U()

A.AG=-AB+-ADB.AG=-AB+-AD

5555

1332

C.AG=-AB+-ADD.AG==-AB+-AD

5555

【答案】A

【分析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以所在的直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,分別

利用AG,F三點(diǎn)共線和B,G,E三點(diǎn)共線結(jié)合共線向量定理可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再利用平面向量基本定理可求得結(jié)

果.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以A3,AD所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(0,1),F(l,2),

所以AF=(1,2),BE=(-2,1),AD=(0,2),AB=(2,0),

因?yàn)锳,GI三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)幾，使AG=XAF=〃1,2)=(%2X),

所以G。,2㈤,

因?yàn)橛肎,E三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)左，使BG=kBE,

\A-2=-2k2

所以(4-2,2田=依-2,1),所以”,,解得2=：,

[2/1=k5

所以AG'IT，

設(shè)AG=mAB+nAD,貝！I[H)=根(2,0)+n(0,2)=(2m,2n),

12

所以加,

12

所以43=二48+14。，

故選：A

2.如圖，在，ABC中，點(diǎn)。，E分別在邊BC和邊A3上，D,E分別為3C和54的三等分點(diǎn)，點(diǎn)?？拷c(diǎn)8,點(diǎn)

E靠近點(diǎn)A,AD交CE于點(diǎn)P,設(shè)BC=a,BA=b，則BP=()

cl4

B.—a+—bZ

77

cl3,24

C.—aH—hD.—ciH—b7

7777

【答案】B

【分析】利用BA,BC表示8P，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.

【詳解】設(shè)AP=XA。，EP=juEC，

所以2尸=AP-AB=XAD—A3=2(2D—2A)-AB,

又BD’BC,

3

夕

所以5尸=15。+(1—2)24,

2

因?yàn)?E=§3A,

r\Qr\

所以BP=BE+EP=BA+從EC=BA+從(BC—BE)=~^(1—4)BA+從BC,

工3

—=4%=-

所以:.,解得7

--=〃=]

1414

所以8P=—8C+—8A=—a+—6,

7777

故選：B.

3.在一ABC中，G滿足GA+GB+GC=O,點(diǎn)M滿足AG=3AM，貝U()

7271

A.BM=-BA+-BCB.BM=-BA+-BC

9999

2171

C.BM=-BA+-BCD.BM=——BA+-BC

3636

【答案】B

【分析】由已知可知G為ABC的重心，然后結(jié)合向量的線性運(yùn)算及三角形重心的性質(zhì)可求.

【詳解】因?yàn)镚滿足GA+GB+GC=O,，G為一ABC的重心，

AAG=gxg(A3+AC)=g(A8+AC),

又；AG=3AM，

：.BM=BA+AM=BA+-AG=BA+-x-(AB+AC)=BA--BA+-AC

33399

=-BA+-(BC-BA}=-BA+-BC.

99V>99

故選:B.

x+2y

4.如圖所示，ABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則BE=xBA+yBC,則——的最小值

孫

()

【答案】D

【分析】利用平面向量共線定理與線性運(yùn)算即可得x+2y=l,且x>0,y>0,再結(jié)合基本不等式“1”的代換即可求

得最值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，所以8C=2B￡>,

又E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，貝!）可設(shè)=且?guī)?0,1]

所以3E=a4+AE=BA+2AO=BA+/l（BO-3A）=（l-/l）BA+/lBO

[1—A=x

貝！|3E=x5A+y5C=x5A+2y5O,所以〈個(gè)八，貝!）％+2y=1,且％>0,y>0

[A=2y

所以￡±ZZ=_L+2=（L+2]（x+2y）=2+2+2+曳24+2/?^=8,當(dāng)且僅當(dāng)上=勺，即x=:,y=；時(shí)等號(hào)成

xyyxxjyxyyxyx24

立，

元+2v

所以一^的最小值為8.

孫

故選：D.

5.在，ABC中，點(diǎn)M是邊BC所在直線上的一點(diǎn)，且BM=23C，點(diǎn)P在直線AM上，若向量

12

3P=彳54+〃3。（彳>0,〃>0）,則不+一的最小值為（）

A.3B.4C.3+20D.9

【答案】B

【分析】由題意可得8P=ZBA+："BA1,又點(diǎn)A,P,M三點(diǎn)共線，所以2+g〃=l,再利用“1”的代換，結(jié)合基本

不等式求解即可.

【詳解】BM=2BC,BC=^BM,

BP=ABA+pBC=ABA+/JBM,

點(diǎn)A,P,M三點(diǎn)共線，

又A>0,〃>0,

12（12V.11°"22、c24“

4〃（4〃人2J22//

當(dāng)且僅當(dāng)名=2,即彳吳，〃=1時(shí)，等號(hào)成立，

Z/L〃2

12

3+一的最小值為4.

Z〃

故選：B.

6.如圖，在一至。中，。是線段8C上的一點(diǎn)，且30=430,過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線A5,AC于點(diǎn)M,N,

umuuum1

^AM=AAB,A7V=〃AC（/l>0,〃>0）,則〃一行的最小值是（）

A

A

A2A/3-4R273+4r2^_n26+2

3333

【答案】A

141

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線以及平面向量基本定理推出7-丁，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)

則A￡>-AM=t(AN-AD),

31

XAD=AB+BD=AB+-BC=AB+-{AC-AB)=-AB+-AC,

4444

~3131

所以_A5+_AC_AM=，(AN——AB——AC),

4444

又AM=AAB，AN=〃AC,

3131

所以一AB+—AC———AB——AC),

4444

3131

所以(一一A)AB+-AC=——tAB+t(u——)AC,

4444

-23

I4141

所以‘消去'得廠§3〃'

了=(〃_])

144

…141

所以〃一力=〃一1+“,

1411

因?yàn)?>°'得力=§一面得〃>4,

14-T42^-4立時(shí)，等號(hào)成立,

所以4+；；——->2,,當(dāng)且僅當(dāng)〃即"=

3/z33333

所以"T的最小值為當(dāng)士

故選：A

7.在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是..CDE內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=2AB+〃AF（Z〃eR）,則2+〃的

取值范圍是（）

A.[L2]B.[2,3]C.[2,4]D.[3,4]

【答案】D

【詳解】因?yàn)镻為動(dòng)點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來(lái)得到乙〃的關(guān)系，因?yàn)榱呅螢檎呅危越⒆鴺?biāo)系各個(gè)

點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定,

可得：2（1,0）4|岑],￡>（1,@/-；用詞0,@,則A2=（1,O）,AF=H）,所以設(shè)P（x,y）,則由

AP=2,AB+juAFKTW：P丸一,〃，-^-〃；因?yàn)镻在.CDE內(nèi)，CE:x+A/3Y=3,CD:y[3x+y=2A/3,所以P所滿

x+