南郵離散數(shù)學(xué)-代數(shù)結(jié)構(gòu)省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

代數(shù)結(jié)構(gòu)又稱為代數(shù)系統(tǒng)或抽象代數(shù)。用代數(shù)方法建立模型稱為代數(shù)系統(tǒng)。它在計算機領(lǐng)域有主要作用，尤其是計算機安全方面：加密、解密等方面會用到代數(shù)系統(tǒng)理論。

代數(shù)系統(tǒng)引入運算及其性質(zhì)半群群與子群阿貝爾群和循環(huán)群陪集與拉格朗日定理同態(tài)與同構(gòu)環(huán)與域第五章代數(shù)結(jié)構(gòu)第1頁g:R

Rg(x)=

x

求大于x最小整數(shù)

2=2,2.3=3 -2=-2,-2.3=-2則g為R上一元運算1、n元運算：

f:An

B函數(shù)，則稱f為A上n元運算（代數(shù)系統(tǒng)中運算概念）如f:N

Nf(n)=n+1則f為一元運算f:QRf(x)=則f是Q上一元運算5-1代數(shù)系統(tǒng)引入

第2頁f:R2Rfx,yxy(或xy,xyxy)則f是R上二元運算在數(shù)學(xué)中，用/來表示運算，而在代數(shù)系統(tǒng)中，用*表示運算（注意：*是一個抽象運算符號，可表示或其它運算）*：A2B<a,b>a*b*<a,b>=a*b可用函數(shù)來表示運算，也可利用給出運算結(jié)果來表示一個運算：如A=*

5-1代數(shù)系統(tǒng)引入

第3頁3、代數(shù)系統(tǒng)：定義：非空A，若干個A上運算f1,f2,.fk所組成系統(tǒng)稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，記作〈A,f1,f2,...,fk>如〈N，+〉，

Q，+，-，均是代數(shù)系統(tǒng)若S，則P(s),,也是代數(shù)系統(tǒng)則不封閉而f(x)=2、封閉：對于*：AnB若BA，則稱運算*是封閉對代數(shù)系統(tǒng)而言，其上定義運算未必封閉如上面所舉例f(n)=n+1g(x)=x等則分別在N，在R上封閉5-1代數(shù)系統(tǒng)引入

第4頁2、交換律：

〈A，*〉，*是A上二元運算，若對

a,ba*b=b*a,則稱*是可交換。例A=Q（Q為有理數(shù)集），為Q上二元運算，定義a,bQ，ab=a+b-ab,則是可交換，∵ab=a+b-ab,ba=b+a-ba=a+b-ab=ab,是可交換。

1、封閉性：

〈A，*〉，即*是A上二元運算，假如對

a,b,都有則稱運算*是封閉。5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第5頁

3、結(jié)合律：

〈A，*〉，*是A上二元運算，若對

a,b，c都有(a*b)*c=a*(b*c),則稱*是可結(jié)合。5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

4、分配律：

若對a,b,c有a(bc)=(ab)(ac),(bc)a=(ba)(ca)則稱對于是可分配（要求左右分配均滿足）如a

(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca

是普通定義上抽象符號。第6頁例A=，，以下

*

則對可分配嗎？對呢？

（）*要求對集合A中任意元素都成立，共有82種左右分配，一一驗證可知成立，∴對可分配而對不分配：（而∴對不可分配?5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第7頁5、吸收律：

〈A，*，

〉，*，均可交換，若a,b,有a(ab)=a,a(ab)=a,則稱和滿足吸收律。例：*運算：a*b=max(a,b)

運算：ab=min(a,b)可交換成立a(ab)=max(a,min(a,b))=a,a(a*b)=min(a,max(a,b))=a∴吸收律成立例：，也滿足吸收律?！居蠵(PQ)=P；P(PQ)=P】5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第8頁6、等冪律：

〈A，*〉，若對

aA,有a*a=a,則稱*是等冪或是冪等。對冪等運算有nN且n>1,an=a例：S,對代數(shù)系統(tǒng)<P(s),,>,AP(s),有AA=A,AA=A,∴,是等冪5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第9頁7、幺元（單位元）：

〈A，*〉，若有elA,對

xA,有el*x=x,則稱el為A中關(guān)于*左幺元?！救鏏=R，*：

xR,1x=x∴1是左幺元】

若有erA,對xA,xer=x,則稱er

為A關(guān)于*右幺元?！救鐇1=x∴1也是右幺元】

若有eA,e既是左幺元又是右幺元，則稱e是A上關(guān)于*幺元?！?是R上關(guān)于幺元】R上關(guān)于+幺元為0（∵0+x=x+0=x）5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第10頁不一樣運算可有不一樣幺元，也可無幺元?？捎凶箸墼鵁o右幺元；有右幺元而無左幺元。若存在el和er則必有幺元存在定理：〈A，*〉，*是A上二元運算，若左幺元el和右幺元er，則er=el=e，且e是唯一。證實：（e是幺元）設(shè)er，elA，el=el

*er=

er=e

（唯一性）假設(shè)若有幺元e1A，則e1=

e1*e=e∴e是唯一。5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第11頁8、零元：

〈A，*〉，若有

lA，對xA,有l(wèi)*x=l,則稱為A中關(guān)于*左零元?！救鏡上0x=0,0是l

】

若有rA，對xA,有x*

r

=r,則稱

r為A中關(guān)于*右零元。【如R上x0=00是r】

若有一A，既是左零元又是右零元，則稱是A中關(guān)于*零元，有*x=x*=。【如0是R中關(guān)于零元,即<R，>有=0，R中關(guān)于+沒有零元即〈R，+〉無】

零元與幺元類似：可有左零元而無右零元，可有右零元而無左零元，也可有可無。同時存在

l

，r時二者相等

5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第12頁定理：〈A，*〉為一代數(shù)系統(tǒng)，且A中元素個數(shù)大于1，假如A中有幺元e和零元

，則

e。如：〈R，

〉這一代數(shù)系統(tǒng)中，相當于R中0，而e相當于R中1，即=0，e=1，10。定理：〈A，*〉，*是A上二元運算，A中關(guān)于*有左零元

l和右零元

r

，則

l

=

r

=

，且

是唯一。5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第13頁9、逆元：

〈A，*〉，*是A上二元運算，e是幺元，如對某個aA,bA,使得b*a=e,則稱b是a左逆元【如<R,

>，e=1，是2左逆元假如a*b=e，則稱b為a右逆元【如<R,

>，是2右逆元】

假如b既是a左逆元又是a右逆元，則稱b是a一個逆元，記b=a-1(只是記號，并不代表倒數(shù)）【如<R,

>，】〈R，+〉中，x+(-x)=0∴x-1=(-x)5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第14頁例：S=，*定義以下，試求各元素逆元。*

∴

是幺元-1

左逆元為，右逆元為左逆元為，右逆元為，左逆元為右逆元為左逆元無右逆元為∴有逆元5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第15頁定理：<A,

>有e,若任意x∈A,都有左逆元,且

是可結(jié)合，則任一元素x左逆元必是它右逆元，且x逆元是唯一。定義逆元時先有幺元5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第16頁

例：結(jié)構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)，使其中只有一個元素有逆元。解：T={x|x∈I,m≤x≤n,m≤n}，則<T,max>

幺元是m,僅有m有逆元,max(m,m)=m.

（

x,x∈T,max(x,m)=x）5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第17頁

例：結(jié)構(gòu)一代數(shù)系統(tǒng)，每一個元素都有逆元。解：Nk={0,1,2,…,k－1}＋k

為模k加法

x、y∈Nk.

x＋ky=x+y,x+y＜kx+y－k,x+y≥k<Nk,＋k>幺元是0,0?1=0,x∈Nk,

x≠0x?1

=

k

–

x∵x+x?1=x+(－x)=k∴x＋kx?1=05-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

第18頁5-2代數(shù)系統(tǒng)基本性質(zhì)

封閉性：表中每個元素都屬于A可交換性：表關(guān)于主對角線對稱等冪性：主對角線元素與所在行(列)頭元素相同零元：所在行(列）元素與該元素（零元）相同幺元：所在行(列）元素與運算表列(行)相同任一元素a逆元：a所在行(列）中幺元對應(yīng)列(行)頭元素第19頁5-3半群

半群是一個特殊代數(shù)系統(tǒng)2、半群：若<A,

>是廣群（A≠），且

是可結(jié)合，則稱代數(shù)系統(tǒng)<A,

>為半群（封閉、可結(jié)合

半群）

第20頁5-3半群例：1.<R,·>是半群。

2.<R,/>不是廣群，不是半群∵x/0不存在，結(jié)果不在R中。（x/y）/z≠x/（y/z）

3.<I＋,－>不是廣群，也不是半群?！?－2=–1

I＋

4.SK={x|x∈I∧x≥k}(k≥0),<Sk,+>是半群。若k<0,則+是不封閉。第21頁3、子半群

<A,

>是半群，B

A，若<B,

>是半群，則稱<B,

>是<A,

>子半群。定理：

<A,

>是半群，B

A，若

在B上是封閉，則<B,

>是<A,

>子半群。例：<R,·>是半群，[0,1]、[0,1)、I均是R子集;·在[0,1]、[0,1)、I上都封閉;∴<[0,1],·>、<[0,1),·>、<I,·>均是<R,·>子半群。5-3半群第22頁定理：

<A,

>是半群，若A是有限集，則必有

a∈A，使a

a=a，

稱a為等冪元。（性質(zhì)）4、獨異點（單位半群）：存在幺元半群<A,

>稱為獨異點（單位半群）如①<R,·>，1是幺元，∴<R,·>為獨異點；②<R,+>含有封閉性、可結(jié)合性且0為幺元，∴<R,+>為獨異點；③<I,·>也是獨異點。④<N－{0},+>是半群，但非獨異點。5-3半群第23頁定理：<A,

>是獨異點，則在

運算表中，任意兩行或兩列都不相同證實：<A,

>是獨異點，必存在幺元e∈A，則橫、豎列有e‥a‥e‥b‥︰︰︰︰︰︰︰︰a‥︰‥ae‥︰‥︰︰︰︰︰︰︰︰e‥e

a‥‥‥eb‥︰︰︰︰︰︰︰︰b‥︰‥be‥︰‥a、b∈A,a≠b

a

e=a≠b=b

e∴任兩行不一樣同理：e

a=a≠b=e

b∴任兩列不一樣5-3半群第24頁

介紹一個主要代數(shù)系統(tǒng)：

例：I為整數(shù)集，m∈I＋

R={<x,y>|x,y∈I,x

y(modm)}——同余模m關(guān)系

則R是等價關(guān)系（自反、對稱、傳遞）。

[a]R={x|x∈I,aRx}={x|x∈I,x

a(modm)}=簡記為[a]——模m同余類

[2]={···,2－m,2,m+2,···}I/R={[0],[1],[2],···,[m－1]}=Zm——模m同余類集在Zm上定義兩個運算：＋m,×m

任意[i],[j]∈Zm[i]＋m[j]=[(i+j)(modm)][i]×m[j]=[(i

j)(modm)]

（要證＋m,×m運算表中任意兩行、兩列不相同）

5-3半群第25頁證實：只需證<Zm,＋m>,<Zm,×m>是獨異點①封閉性②可結(jié)合性([i]＋m[j])＋m[k]=[i]＋m([j]＋m[k])=[(i+j+k)modm]×m

類似③幺元：＋m

幺元[0]×m

幺元[1]（主要類）∴<Zm,＋m>,<Zm,×m>是獨異點。5-3半群第26頁定理：<A,

>是獨異點，對任意a、b∈A，a有逆元a-1，b有

逆元b-1，則⑴(a?1)?1=a;⑵ab有逆元，且(ab)?1=b?1

a?15-3半群第27頁<A,

>廣群半群獨異點

可結(jié)合封閉

有幺元5-3半群廣群、半群、獨異點

三者之間關(guān)系：第28頁2、有限群、無限群：若<A,

>是群，且A是有限集，則稱<A,

>是有限群；|A|=n，n稱為有限群階；若A是無限集，則稱<A,

>為無限群。1、群：

<A,

>滿足：A≠

，

是A上二元運算

⑴<A,

>是獨異點，⑵A中每個元素都有逆元則稱<A,

>是群5-4群與子群第29頁例：（1）<R,·>：是獨異點e=1——不是群，∵0無逆元。（2）<R－{0},·>：是群，e=1x?1=1/x。（3）<I,+>：是群，幺元為0x?1=–x。（4）<(s),>：是群，幺元e=A∈(s)A?1=A

（5）<G,

>G={e}是群,{e}和G稱為平凡子群。

5-4群與子群第30頁5-4群與子群<A,

>廣群半群獨異點

可結(jié)合封閉

有幺元廣群、半群、獨異點、群

四者之間關(guān)系：群

中每個元素有逆元第31頁如S={a,b,c,d}f={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,a>}則f是雙射3、置換：非空集合S到本身一個雙射稱為S一個置換

若|S|=n，則S上共有n!個不一樣置換5-4群與子群第32頁(2)群滿足消去律。即a,b,c∈G,若a*b=a*c,則b=c

或若b*a=c*a,則b=c4、群性質(zhì)：(1)群中不可能有零元。5-4群與子群

證：〈G,*〉是群，當│G│=1，G={e},e為幺元，無零元

當│G│≠1時，假設(shè)有零元θ∈G,

x∈G,x*θ=θ*x=θ≠e,θ無逆元,矛盾證：若a*b=a*c,a∈G有逆元a-1,則a-1*(a*b)=a-1*(a*c) ∴(a-1*a)*b=(a-1*a)*c即e*b=e*c∴b=c第33頁(3)群中除了幺元之外，沒有其它等冪元（幺元是等冪元e*e=e）(4)在群中，方程a*x=b有唯一解。其中a,b∈G

5-4群與子群證實：假設(shè)a∈G，a≠e,且a*a=a,則

a=e*a=(a-1

*a)*a=a-1

*(a*a)=a-1

*a=e

與a≠e矛盾！

證：要證實

x

G,使a

x=b,且x是唯一。

a∈G,∴a-1∈G,取x=a-1*b

G，則

a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b.∴a-1*b是方程解。若存在另一解x1，a*x1=b,則a-1*(a*x1)=a-1*b∴(a-1*a)*x1=a-1*b即x1=a-1*b第34頁反證法（如左圖）：b1≠b2,a*b1=c=a*b2由消去律知：∴b1=b2（與b1≠b2矛盾）∴在同一行中，不可能有兩個相同元素。*...b1......b2....................a....c.....c......5-4群與子群(5)在群〈G,*〉中，*運算表中每一行或每一列都是G

元素一個置換。

(1)第35頁5-4群與子群*...(a-1b)...............a......b.......對

bG，有b=a(a-1b)，而a-1bG，∴b出現(xiàn)在a這一行，a-1*b所在列中?！郍中每個元素都在每一行中出現(xiàn)。(2)(5)在群〈G,*〉中，*運算表中每一行或每一列都是G

元素一個置換。

第36頁定理：<B,*>是<G,*>子群，則<G,*>中幺元也是<B,*>中

幺元。且對任意b∈B，b在<B,*>逆元b-1也是它在<G,*>中b

逆元。證：設(shè)<B,*>中幺元是e1

任意x∈B,e1*x=x=e*x群滿足消去律∴e1=e

另可證b*b-1B=e=b*b-1G==>b-1B=b-1G5、子群、平凡子群：

<G,*>是群，B是G非空子集，且<B,*>是群，則<B,*>是<G,*>子群若B={e}或B=G，則稱<B,*>為平凡子群。5-4群與子群第37頁

例：<I,+>是群，IE={x|x=2n,n∈I}，證實<IE,+>是<I,+>子群。證實：易證IE是I非空子集，需證IE是一個群。1)封閉性：即證x,y∈IE,x+y∈IE

有x=2n1,y=2n2，x+y=2(n1+n2)∈IE

2)結(jié)合律：顯然成立

3)幺元：04)逆元：任意x∈IE

，x=2n，有x’=-2n=2(-n)∈IE，使x+x’=0∴<IE,+>是〈I,+〉子群。5-4群與子群第38頁子群兩個判定定理：(1)<G,*>是群，B是G非空子集且B是有限集，

*在B上封閉，

則<B,*>是<G,*>子群5-4群與子群(2)<G,*>是群，

SG，S≠，對

a,b∈S，都有a*b-1∈S

<S,*>是<G,*>子群第39頁證實：（ａ）封閉性：顯然（ｂ）可結(jié)合性：<B,*>是半群（P186定理5-3.1），故可結(jié)合（ｃ）幺元：B為有限集且*封閉，則任意b必有bi=bj(i<j)，則有

bi=bi*bj-i=bi*e，由消去律可知bj-i為<B,*>中幺元。（ｄ）逆元：

①若j-i=1，則有e=b，即b為<G,*>中幺元，則b逆元為b.②若j-i>1，則有bj-i=b*bj-i-1，bj-i-1也在B中，可知bj-i-1是b

逆元。5-4群與子群(1)<G,*>是群，B是G非空子集且B是有限集，*在B上封閉，

則<B,*>是<G,*>子群第40頁證：

見書P196

顯然正確5-4群與子群(2)<G,*>是群，

SG，S≠，對

a,b∈S，都有a*b-1∈S

<S,*>是<G,*>子群第41頁

H∩KG，最少有e∈H∩K，∴

H∩K≠

a,b∈H∩K,b-1∈H,b-1∈K,∴

b-1∈H∩K又a∈H∩K,*在H，K中封閉∴a*b-1∈H∩K依據(jù)子群判定定理2有〈H∩K，*〉是〈G，*〉子群

例：〈H，*〉，〈K，*〉都是〈G，*〉子群。則①〈H∩K，*〉也是〈G，*〉子群。5-4群與子群第42頁

反例：如<Z12,+12>是群（有限群）

H={[0]，[4]，[8]}（封閉）K={[0]，[6]}是子群，但H∪K不是子群。如：[4]+[6]=[10]

H∪K，不含有封閉性。

例：〈H，*〉，〈K，*〉都是〈G，*〉子群。則②若H∪K，則<H∪K,*>未必是<G,*>子群。5-4群與子群第43頁1、阿貝爾群(交換群）：<G,*>是群，若*在G中可交換，則稱<G,*>為交換（阿貝爾）群例1：<R-{0}，·>是群，·可交換∴是交換群

<ρ（S）,

>是群，

可交換∴是交換群例2：S={a,b,c,d}f:SSf2=f?ff3=f?f2f4=f?f3

＝Ｉ(恒等映射)

F={f0,f1,

f2,f3}(復(fù)合函數(shù)形成集合)∴<F,?>是群，而且是阿貝爾群5-5阿貝爾群和循環(huán)群第44頁2、阿貝爾群判定定理證實：

由題意知：*滿足交換律和結(jié)合律5-5阿貝爾群和循環(huán)群第45頁5-5阿貝爾群和循環(huán)群第46頁3、循環(huán)群5-5阿貝爾群和循環(huán)群第47頁5-5阿貝爾群和循環(huán)群第48頁4、定理：<G,*>是循環(huán)群，則<G,*>必是阿貝爾群證：a為生成元5、定理稱n是a階5-5阿貝爾群和循環(huán)群第49頁5-5阿貝爾群和循環(huán)群第50頁5-5阿貝爾群和循環(huán)群第51頁*

封閉可結(jié)合

幺元逆元存在

—

β—β

γ—δ有生成元γ，δ<G,*>是循環(huán)群，生成元未必唯一。

例：G＝｛，，，｝γ2=βγ3=δγ4=

5-5阿貝爾群和循環(huán)群第52頁2.定義：若〈H，＊〉是〈G，＊〉子群。a∈G.{a}H=aH----稱為H關(guān)于a左陪集={a＊h∣h∈H}H{a}=Ha----稱為H關(guān)于a右陪集={h＊a∣h∈H}

ａ稱為aH/Ha代表元素。1.定義：

<G,＊>是群，A，B∈

(G）。A，B≠空集，

AB={a＊b∣a∈A,b∈B}----A,B積。

A-1={a-1∣a∈A}是A逆。

例：G-R×R<x1,y1>,<x2,y2>∈G.+:<x1,y1>+<x2,y2>=<x1+x2,y1+y2><G,+>是一個阿貝爾群。幺元<0,0><x,y>-1=<-x,-y>.H={<x,y>∣y=2x}H

G.

5-7陪集與拉格朗日定理第53頁∴<H,*>是〈G,*>子群。<x0,y0>∈G.H關(guān)與<x0,y0>左陪集:<x0,y0>H={<x0+x,y0+y>∣y=2x｝＝{<x,y>∣y-y0=2<x-x0>}幾何意義：過<x0,y0>與y=2x平行直線5-7陪集與拉格朗日定理第54頁3.拉格朗日定理(有限群)：〈G,＊>是群,〈H,＊>是<G,＊>子群.則，（1）關(guān)系R={<a,b>∣a,b∈G且a-1＊b∈H}是G一個等價關(guān)系。對于a∈G,記[a]R={x∣x∈G且<a,x>∈R}則[a]R=aH(2)若G是有限群，|G|=n,|H|=m,則m|n證實：(1)R是等價關(guān)系自反性a∈G,a-1∈G,a-1＊a=e

∈H.<a,a>∈R

對稱性若<a,b>∈R,則a-1＊b∈H.

而H是子群?！?a-1＊b)-1∈H.即b-1＊a∈H∴<ｂ,ａ>∈R.

傳遞性若<a,b>∈R,<b,c>∈R則a-1＊b∈H.5-7陪集與拉格朗日定理第55頁

b-1＊c∈H.∴a-1＊c=(a-1*b)*(b-1*c)∈H.=a-1*e*c.∴<a,ｃ>∈R∴R是G等價關(guān)系。

x∈[a]R<==>

<a,x>∈R<==>a-1*x∈H<==>x∈aH∴[a]R=aH.

對<G,*>某一個子群<H,*>.其所在左陪集也組成一個G劃分。說明:aH全體組成G劃分。G/R={aH|a∈G}。（2）{[a]x|x∈G}

G/R是G一個劃分。

G/R={[a1]R,[a2]R,……[ak]R}.∴G=

∴|G|=|aiH|=|H|=m.∵h1,h2∈H.h1≠h2時aih1≠aih25-7陪集與拉格朗日定理第56頁而aiH={aih1,aih2……aihm}∴|G|=ｍｋ=n.∴m｜n.推理1）群G階數(shù)是質(zhì)數(shù)，則G不可能有非平凡子群。若<G,*>有非平凡子群<H,*>,則|H|=m,|G|=n,m|n.n不是質(zhì)數(shù)，矛盾!推理2）|G|=n,

a∈G,a階（使an=e最小正整數(shù)n)必是n因子，且an=e.H={a,a2,…,am=e},G有限集，封閉。

<H,*>是循環(huán)群，是<G,*>子群。

m=|H|能整除n,n=mｋ,an=amｋ=(am)k=ek=e.推理3）|G|=n,n是質(zhì)數(shù)，則<G,*>是循環(huán)群。

n>=2.可取a∈G,a≠e,a階必是n,H={a,a2,…,am=e}循環(huán)群H=G.n=1時，|G|≠{e}.5-7陪集與拉格朗日定理第57頁（兩代數(shù)系統(tǒng)之間關(guān)系）代數(shù)系統(tǒng)<{0,1},\/><{a,b},*>a---0,b---1,他們是同構(gòu)，本質(zhì)上是一樣。

\/01*

ab001aab111bbb1.同構(gòu)

<A,¤>和<B,*>是兩個代數(shù)系統(tǒng)，¤,*分別是A,B上二元運算。若雙射f:AB使得a,b∈A

f(a¤b)=f(a)*f(b)則稱f是從<A,¤>到<B,*>一個同構(gòu)映射。

<A,¤>和<B,*>是同構(gòu)，記作<A,¤>≌<B,*>.上例中：{a,b}{0,1}f(a)=0,f(b)=1.5-8同態(tài)與同構(gòu)第58頁f(a*b)是否等于f(a)∨f(b)f(b)=0∨1=1∴f是{a,b}{0,1}同構(gòu)映射。<{a,b},*>≌<{0,1},∨>即使符號不一樣，但本質(zhì)上是完全一樣。5-8同態(tài)與同構(gòu)第59頁例：<R,+>≌<R+,。>f:R

R+.滿足運算f(x)=exf(x+y)=ex+yf(x)f(y)=exey=ex+y∴<R,+>≌<R+,。>f未必唯一。2）定理：G是代數(shù)系統(tǒng)集合，則G中代數(shù)系統(tǒng)之間同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。證：自反性：<A,*>∈G,<A,*>≌<A,*>IA:AA滿足運算。對稱性：<A,＊>,〈B,*>∈G,<A,＊>≌<B,*>,,則有

f:AB雙射

f-1:BA

也滿足雙射。傳遞性：〈A,＊>≌f〈B,*〉〈B,*>≌g〈C,+〉∴〈A,＊>≌g.f〈C,+〉同構(gòu)映射。

5-8同態(tài)與同構(gòu)第60頁∴可將G分類，同一類中只是形式不一樣。若f是映射，則為同態(tài)，條件放寬。2.同態(tài)

〈A,＊>〈B,*〉同上。若存在映射f:AB使Va,b∈A

f(a＊b)=f(a)*f(b)則稱f是<A,＊><B,*>同態(tài)映射。<A,＊>同態(tài)于<B,*>，運算象=象運算。5-8同態(tài)與同構(gòu)第61頁

例：<I,．>,<B,*>,B={正，負，零}f:IBx∈I,正x＞0.f(x)=

0

x=0.

負x＜0.

對a,b∈If(a．b)=f(a)*f(b)

∴<I,．>~<B,*>只研究系統(tǒng)中一些性質(zhì)（本質(zhì)問題）是共同5-8同態(tài)與同構(gòu)第62頁2）定義:f是<A,*>到<Ｂ,

>同態(tài)映射，若：

f是A到B滿射,則稱f是滿同態(tài)；

f是A到B入射,則稱f是單一同態(tài)；

f是A到B雙射,則稱f是AB同構(gòu)。若f是<A,*>到<A,*>同態(tài)（構(gòu)）映射，則稱是自同態(tài)（構(gòu)）。3)性質(zhì)：若<A,*>~f<B,

>,則

1.若*在<A,*>中封閉，則在<f(A),

>中也是封閉。

2.若*在<A,*>中滿足結(jié)合律，則在<f(A),

>中也滿足結(jié)合律。

3.若*在<A,*>中滿足交換律，則在<f(A),

>中也滿足交換律。

4.若<A,*>中有幺元，則f(e)是<f(A),>幺元。5-8同態(tài)與同構(gòu)第63頁5.若<A,*>中有零元，則f()也是<f(A),>零元。6.若對每個x有逆元，則f(x-1)是f(x)逆元。證：4.e是<A,*>幺元，證f(e)是<f(A),>幺元。

x∈f(A),xf(e)是否等于f(e)x=x?

存在a

∈A使x=f(a).xf(e)=f(a)f(e)=f(a*e)=f(a)=x.f(e)x=f(e)f(a)=f(e*a)=f(a)=x.∴f(e)是<f(A),>幺元。4).推論:f:AB同態(tài)映射。

1).若<A,*>是半群，則<f(A),*>是半群。

2).若<A,*>是獨異點，則<f(A),*>是獨異點。

3).若<A,*>是群，則<f(A),*>是群。

5-8同態(tài)與同構(gòu)第64頁5).若f:AB同構(gòu)映射。

1).<A,*>是半群<B,*>是半群。

2).<A,*>是獨異點<B,*>是獨異點。

3).<A,*>是群<B,*>是群。

4).<A,*>階=<B,*>階。|A|=|B|<A,*><B,+>同態(tài)f:AB映射,f(a*b)=f(a)+f(b)<A,*>~<B,+>同構(gòu)

f:AB雙射,f(a*b)=f(a)+f(b)<A,*>≌<B,+>

存在兩個群f:<A,*><B,*>同態(tài),A中幺元e,B中幺元e’同態(tài)核：

1）定義:Ker(f)={x|x∈A,f(x)=e’}稱為f同態(tài)核.

其中e’是<B,*>幺元5-8同態(tài)與同構(gòu)第65頁2)定理：ker(f)是<A,*>子群。

證：kA,k≠,a,b

∈k,只要證a*b-1

∈k即可。1)e

∈A,f(e)是B中幺元f(e)=e’,所以e∈k.2)f(a*b-1)=f(a)*f(b-1)=e,*f(b)-1=e,*e,-1=e,2.同余關(guān)系

（比等價關(guān)系強）討論一個與同態(tài)相關(guān)非常主要關(guān)系。1）定義：代數(shù)系統(tǒng)<A,*>R是A上等價關(guān)系若<a1,b1>

∈R,<a2,b2>

∈R有<a1*a2,b1*b2>

∈R,則稱R是關(guān)于運算*同余關(guān)系。5-8同態(tài)與同構(gòu)第66頁所以同余關(guān)系是一個特殊等價關(guān)系，它與代數(shù)系統(tǒng)運算相關(guān)。例：<I,+>,R={<x,y>|xy(mod3)y,R是同余關(guān)系。因為<x１,y１>∈R,<x２,y２>

∈R，則x１y１(mod3),x２

y２(mod3)所以x１+x２y１+y２(mod3)<x１+x２,y１+y２>

∈RR是同余關(guān)系。２）BA/R={[x1]R,[x2]R,…,[xr]R}={A1,A2,…,AR}

(R是等價關(guān)系）

B中定義運算＊5-8同態(tài)與同構(gòu)第67頁xi∈[xi]R,xj∈[xj]R,若xi*xj∈[xk]R.則[xi]R*［xj]R∈[xk]R

即Ai*Aj=Ak.稱B={A１,A２,…,Ar}為A關(guān)于R同余類,<B,*>=<A/R,*>為<A,*>商代數(shù)。定理：<A,*>商代數(shù)是<A,*>同態(tài)象。證：f:AA/R.ai所在分塊當ai∈Ai

f(ai)=Ai

f是AA/R滿射.注意：要證實<B,*>*是否確實是B上一個運算與代表元選取無關(guān)，即ai∈[ai]R,

ai,∈[ai]R,aj∈[aj]R,aj,∈[aj]R,ai*aj∈Ak.f(ai*aj)=Ak.ai,*aj,∈Ak?即要證ai*aj與ai,*aj’在同一分塊中這是因為R是同余關(guān)系5-8同態(tài)與同構(gòu)第68頁<ai,ai,>∈R<aj,aj,>∈R在同一分塊中。所以<ai*aj,ai,*aj,>∈R

即ai*aj與ai,*aj,在同一分塊中∈Ak...f(a*b)=Ak=Ai*Aj=f(a)*f(b)a∈Ai,b∈Aj,a*b∈Ak3)定理:f<A;☆>→<B,*>同態(tài)映射，則作關(guān)系

R:<a,b>∈Rf(a)=f(b)

則R是A上同余關(guān)系。證：R是等價關(guān)系

1）自反性f(a)=f(a)所以<a,a>∈R2)對稱性<a,b>∈R=>f(a)=f(b)=>f(a)=f(b)所以<b,a>∈R

5-8同態(tài)與同構(gòu)第69頁

3)傳遞性<a,b>∈R,<b,c>∈R

f(a)=f(b),f(b)=f(c)

所以f(a)=f(c)

<a,c>∈R

設(shè)<a1,b1>∈R,<a2,b2>∈R則f(a1)=f(b1)f(a2)=f(b2)f(a1☆a2)=f(a1)*f(a2)=f(b1)*f(b2)=f(b1☆b2)

所以<a1☆a2,b1☆b2>∈R5-8同態(tài)與同構(gòu)第70頁一、環(huán)5-9環(huán)與域第71頁5-9環(huán)與域第72頁5-9環(huán)與域第73頁<A,+,·>是整環(huán)整環(huán)