安徽省安慶市桐城中學2023-2024學年高一下學期開學檢測數(shù)學試題

桐城中學2023～2024學年度下學期高一開學檢測數(shù)學試題（考試總分：150分考試時長：120分鐘）一、單選題（本題共計8小題，總分40分）1.設集合,則集合中元素的個數(shù)是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當x=0，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當x=1，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當x=2，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是5個．故選C．2.已知實數(shù)集滿足條件:若，則，則集合中所有元素的乘積為（）A.1 B. C. D.與的取值有關【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案．【詳解】由題意，若，，，，，綜上，集合.所以集合A中所有元素的乘積為.故選：A.3.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式求出，再由兩角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)函數(shù)的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】因為，解得或，又，當時；當時；綜上可得.故選：D4.設函數(shù)，則A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域為，解得，又，所以函數(shù)的奇函數(shù)，由，令，又由，則，即，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在上增函數(shù)，故選A.考點：函數(shù)的單調性與奇偶性的應用.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的單調性與奇偶性的應用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性的判定、函數(shù)的單調性的判定與應用、復合函數(shù)的單調性的判定等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中確定函數(shù)的定義域是解答的一個易錯點，屬于基礎題.5.已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．6.定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，，，恒有，則關于x的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，由題設及單調性和奇偶性的知識易得為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，不等式等價于，即，最后利用單調性和奇偶性列出不等式組求解即可.【詳解】設，因為對任意的，，，恒有，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又，而，所以，所以為奇函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以不等式等價于，即，亦即，可得，解得.故選：B．【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵是合理構造函數(shù)，從而得出新函數(shù)的單調性和奇偶性，最后列出不等式組進行求解.7.設，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】設：的解集為A，所以A={x|2≤x＜0或0＜x≤2},設：的解集為B，所以B={x|m≤x≤m+1},由題知p是q的必要不充分條件，即得B是A的真子集，所以有綜合得m∈，故選D.8.對于定義在上的函數(shù)，若存在正常數(shù)、，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中：①；②；③；④.是“控制增長函數(shù)”的有（）個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對于①，即對一切恒成立，不存在滿足條件的正常數(shù)、，所以，函數(shù)不是“控制增長函數(shù)”；對于②，對一切恒成立，當時，不等式恒成立，所以，函數(shù)為“控制增長函數(shù)”；對于③，當且為任意正實數(shù)時，恒成立，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”；對于④，恒成立，即，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”.【詳解】對于①，可化為，即對一切恒成立，由函數(shù)的定義域為可知，不存在滿足條件的正常數(shù)、，所以，函數(shù)不是“控制增長函數(shù)”；對于②，若函數(shù)為“控制增長函數(shù)”，則可化為，∴對一切恒成立，又，若成立，則，顯然，當時，不等式恒成立，所以，函數(shù)為“控制增長函數(shù)”；對于③，∵，∴，當且為任意正實數(shù)時，恒成立，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”；對于④，若函數(shù)是“控制增長函數(shù)”，則恒成立，∵，若，即，所以，函數(shù)“控制增長函數(shù)”.因此，是“控制增長函數(shù)”的序號是②③④.故選：C【點睛】方法點睛：類似這種存在性問題的判斷，常用的方法有：（1）特例說明存在性；（2）證明它不存在；（3）證明它存在.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法解答.二、多選題（本題共計4小題，總分20分）9.已知正數(shù)x，y，z滿足，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將已知條件轉化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】正數(shù)x，y，z滿足，設，則，，．對于A，，故A正確；對于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B錯誤；對于C，由（），兩邊平方，可得，故C正確；對于D，由，可得（），故D正確．故選：ACD10.若“，使得成立”是假命題，則實數(shù)可能的值是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意可知，命題“，成立”，利用參變量分離法結合基本不等式可求得的取值范圍，由此可得結果.【詳解】由題意可知，命題“，成立”，所以，，可得，當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：AB.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學基地，村口的大水車，是一道獨特的風景.假設水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心O距離水面2米，水輪每60秒按逆時針轉動一圈，如果水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中）開始計時，則（）A.點P第一次達到最高點，需要20秒B.當水輪轉動155秒時，點P距離水面2米C.在水輪轉動的一圈內，有15秒的時間，點P距水面超過2米D.點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式，再從解析式出發(fā)求解ABC選項.【詳解】如圖所示，過點O作OC⊥水面于點C，作OA平行于水面交圓于點A，過點P作PB⊥OA于點B，則因為水輪每60秒按逆時針轉動一圈，故轉動的角速度為（），且點P從水中浮現(xiàn)時（圖中）開始計時，t（秒）后，可知，又水輪半徑為4米，水輪中心O距離水面2米，即m，m，所以，所以，因為m，所以，故，D選項正確；點P第一次達到最高點，此時，令，解得：（s），A正確；令，解得：，，當時，（s），B選項正確；，令，解得：，故有30s的時間點P距水面超過2米，C選項錯誤；故答案為：ABD12.已知函數(shù)，．若實數(shù)a，b（a，b均大于1）滿足，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調遞減 B.函數(shù)的圖像關于中心對稱C. D.【答案】BD【解析】【分析】A：求f(x)定義域和奇偶性，根據(jù)復合函數(shù)單調性即可判斷f(x)單調性；B：f(x)向右平移一個單位得到g(x)，據(jù)此即可判斷g(x)對稱中心；C：根據(jù)g(x)關于對稱化簡，再結合g(x)單調性得a與b的大小關系和范圍，由此可判斷和的大小關系；D：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性即可判斷．【詳解】對于A，，上恒成立，定義域為，即的定義域關于原點對稱，，為奇函數(shù)，函數(shù)的圖像關于點中心對稱，，，在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞增，故A錯誤；對于B，，，函數(shù)的圖像關于點中心對稱，故B正確；對于C，函數(shù)的圖像關于點中心對稱，，，，，相當于向右平移1個單位，和單調性相同，函數(shù)在上單調遞增，，，，故C錯誤；對于D，令，，令，則在上單調遞增，，，在上單調遞減，，，，故D正確．故選:BD.三、填空題（本題共計4小題，總分20分）13.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為________【答案】【解析】【分析】由的取值范圍求出的取值范圍，再令，求出的范圍即可.【詳解】當時，所以，所以，即，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：14.已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的圖象關于直線對稱，再根據(jù)在區(qū)間上有最小值，無最大值，可得，由此求得的值．【詳解】依題意，當時，y有最小值，即，則，所以.因為在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以，即，令，得.故答案為：15.已知實數(shù)，，滿足，則的最大值為________【答案】【解析】【分析】設，則利用基本不等式計算可得.【詳解】設，因為，所以，令，解得或（舍去），因此，即，當且時取等號，故的最大值為.故答案為：16.已知函數(shù),當時，設的最大值為，則的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】設，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應填答案．點睛：解答本題的難點在于分析函數(shù)的最大值是如何取得的，在一個就是如何構造絕對值不等式使得問題成立．求解時充分借助題設條件，先分出函數(shù)的最大值只有在中產(chǎn)生，如果直接求其最大值則很難奏效，這里是運用絕對值不等式的性質及不等式取等號的條件，也就是等且僅當時取等號，即取等號，這是解答本題的關鍵，也是解答本題的難點．四、解答題（本題共計6小題，總分70分）17.已知全集，集合，集合.（1）若，求和；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）={x∣x≤?3或x≥5}；=?；（2）?1≤a≤.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化簡集合A、B,利用集合的基本運算即可算出結果；（2）因為，所以，對集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，求出取值范圍．【詳解】（1）若，則集合，或，若，則集合，（2）因為，所以，①當時，，解，②當時，即時，，又由（1）可知集合，，解得，且，綜上所求，實數(shù)的取值范圍為：．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎題．18.（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.（2）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，利用換元法及二次函數(shù)的性質計算可得；（2）將函數(shù)變形為，結合的范圍及正切函數(shù)的性質計算可得.【詳解】（1），令，因為，所以，所以，所以，且，令，，顯然在上單調遞減，又，，所以函數(shù)在的值域為.（2）由，則，，所以，因為，所以，所以函數(shù)在上的值域為.19.（1）已知，求的最大值.（2）已知且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，把不等式轉化為，結合基本不等式，即可求解；（2）令，轉化為，結合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【詳解】解：（1）由題意，令，解得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.（2）由題意，令，可得，因為，可得，即，又由柯西不等式，可得，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，解得，所以實數(shù)的最大值為.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)，且，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，解不等式，可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）求得，求得、的值，由可求得的取值范圍，結合正弦型函數(shù)的基本性質可求得結果.【詳解】解：（1）由題意可得，所以，，，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；（2）由題意及（1）可知，因為，，又，且，所以，，則，則，，所以，所以，則，即在區(qū)間上的取值范圍為.【點睛】思路點睛：三角函數(shù)圖象與性質問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等）解決相關問題.21.定義在上的函數(shù)滿足對任意的x，，都有，且當時，．（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）求證：在上是減函數(shù)；（3）若，對任意，恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進行證明.（2）根據(jù)已知條件，利用單調性的定義、作差法進行證明.（3）把恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題進行處理，利用單調性、一次函數(shù)進行處理.【小問1詳解】令，，得，所以．令，得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)．【小問2詳解】設，則，所以．因為，，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是減函數(shù)．【小問3詳解】由（2）知函數(shù)在上是減