角平分線第1課時(shí)課件北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第一章三角形的證明1.4角平分線第1課時(shí)1.會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理（重點(diǎn)）2.會(huì)應(yīng)用角平分線定理解決簡(jiǎn)單問題（難點(diǎn)）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處500米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）SＯ公路鐵路二、新課導(dǎo)入一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.我們先來回顧一下角平分線的概念，OBCA12三、概念剖析如圖∠1=∠2，OC是∠AOB的角平分線.你知道如何得到角平分線嗎？可以折紙或尺規(guī)作圖等三、概念剖析思考：利用折紙的方法可以得到角平分線，用尺規(guī)作圖也可以作出角平分線，那你知道角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?寫出已知、求證，然后再寫出具體的證明過程.如圖，PE=PF如何證明這個(gè)結(jié)論？角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）.DPEAOBC∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.三、概念剖析命題：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在△PDO和△PEO中，求證：PD=PE.角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.歸納：定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證明兩條線段相等.應(yīng)用格式：∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PEDPEAOBC三、概念剖析討論：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.逆命題思考：如何證明這個(gè)結(jié)論？角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．PAOBCDE三、概念剖析已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP.BADOPE三、概念剖析∴∠PDO=∠PEO=90°，∴點(diǎn)P在∠AOB角的平分線上.定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部，垂直距離（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.歸納：PAOBCDE應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.三、概念剖析四、典型例題例1：我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).求證:OE=OF.證明:在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC.又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF.分析：欲證明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通過全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABD=∠CBD，即可得證.×1.判斷正誤，并說明理由：（1）如圖，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF.解：錯(cuò)誤，缺少∠AOP=∠BOP，無法得到PE=PF.AOBPEF（2）如圖，P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn)，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF.×AOBPEF解：錯(cuò)誤，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，無法得到PE=PF.總結(jié)：定理應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.【當(dāng)堂檢測(cè)】2.已知:如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn).求證:EB=FC.分析：首先由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），BD＝CDDE＝DF在Rt△BED和Rt△CFD中，∴EB=FC．【當(dāng)堂檢測(cè)】四、典型例題例2:如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=8，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng).BFEDCA解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC=60°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=8，∴DE=AD=×8=4（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.∴∠BAD=30°.分析：可作出輔助線，如圖，應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得DE=DC=BC-BD=3.3.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是

.3解：∵AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE又∵BC=8，BD=5，ABCDE【當(dāng)堂檢測(cè)】∴DE=DC=BC-BD=8-5=3解：∵DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF.∴點(diǎn)D在∠ABG的平分線上.∵∠EBD=180°-∠DEB-∠EDB=180°-90°-60°=30°∴∠EBF=2∠EBD=60°由BD=BD，DE=DF，可證Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF4.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG【當(dāng)堂檢測(cè)】角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距