特色題型專(zhuān)練05 最值問(wèn)題-三角形-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題

1．如圖，已知點(diǎn)D、E分別是等邊△ABC中BC、AB邊上的中點(diǎn)，AB=6，點(diǎn)F是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為() EG+FG的最小值等于()點(diǎn)E為AH上一點(diǎn)，連接BE,DE，如果m=BE+DE，BE=1，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．則PB+PE的最小值是.5．如圖，在△ABC中，AB=13,BC=10,D是BC中點(diǎn)，EF垂直平分A點(diǎn)E，交AC邊于點(diǎn)F，在EF上確定一點(diǎn)P，使PB—PD最大，則這個(gè)最大值為PAPB的最大值是()記為M、N，存在M、N使得△PMN的周長(zhǎng)最小．則△PMN周長(zhǎng)的最小值是10．如圖所示，點(diǎn)P為7O內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在7O的兩邊上，若ΔPAB的周長(zhǎng)最小，則7O與<APB的關(guān)系為()A．27O=7APBB．7O=27APBC．7O+7APB=180OD．27O+7APB=180O在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則7AMN+7ANM的度數(shù)12．如圖，在四邊形ABCD中，7B=7D=90O，AB=2，AD=3，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，當(dāng)7AMN+7ANM=120O時(shí)，△AMN的周長(zhǎng)最小，則它的周長(zhǎng)的最小值點(diǎn)，PE丄AC于點(diǎn)E，連接CP．若AD=6，則PC+PE的最小值是()P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是()則AQ+PQ的最小值為.AB、AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為.17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0,4)，直線l：y=kx(k>0)與x軸相交所成的銳角為75。．若P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，M，N是l上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為() 分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是()的坐標(biāo)為(0,4)，P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為.△NOQ△QOP△MOP.CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF．則EF的最小值為()22．如圖，拋物線x2-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，D是以點(diǎn)C(0,4)為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，E是線段AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE最小值是()為圓心，1為半徑的ΘC上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長(zhǎng)的最大值為，則k的值24．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合M，N分別是ED，EF的中點(diǎn)，則MN的最大值為.25．正方形ABCD，BEFG如圖放置，AB=6，AG，CE相交于點(diǎn)P，Q為AD邊上一點(diǎn)，且DQ:AQ=1:2，則PQ的最大值為()任意一點(diǎn)，且矩形BEFG的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接AG，則AG的最大值為()30．如圖，AB是ΘO的直徑，CE切ΘO于點(diǎn)C交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D是弦AC 32．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE=6，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為()在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE=6，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為()邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長(zhǎng)的能大的正方形，則能剪出的最大正方形的面積是()點(diǎn)B不重合連接AD，作B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在BC的下方時(shí)，連接BE、CE，則△BEC面積的最大值為()為圓心，半徑為1作ΘD，P為ΘD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、OP，則△AOP面積的最除外以BD為一邊作正方形BDEF，連接CE，則△CDE面41．如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接AP、PB、PC，若五個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①△AMB≌△ENB；②若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則AM＋CM的最小值2；③連接 AN，則AN⊥BE；④當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為4·3時(shí)，菱形ABCD的面積也為 43.43．如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AB=5，AD=8，N為邊BC上一點(diǎn)，連接點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE=，則CD十EF的最小值為()2 【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)求最短距離．連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BF，此時(shí)BF+EF的值最小，最小值為CE.【詳解】解：連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BF，:△ABC是等邊三角形，:BF=CF，BE=AE=AB=3，:BF+EF=CF+EF=CE， :BF+EF的最小值為33，積求出CD的長(zhǎng)即可.【詳解】解：連接CD,CE，:點(diǎn)B,C關(guān)于AH對(duì)稱(chēng)，:BE=CE，:S△ABC=AB.CD=12，直角三角形ABC關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)直角三角形ADC，連接DE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可.【詳解】解：如圖：作等腰直角三角形ABC關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)直角三角形ADC，連接DE，DP，∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PE最小，即此時(shí)PB+PE最小，【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系．延長(zhǎng)BC交直線EF于P，在EF上任取一點(diǎn)P/不與點(diǎn)P即可求解.【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC交直線EF于P，在EF上任取一點(diǎn)P/不與點(diǎn)P重合，連接:PB—PD>P’BP’D，:此時(shí)，PB—PD最大，最大值等于BD長(zhǎng)，作A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接A'B交CD于P，則點(diǎn)P就是使PA—PB的值最大的點(diǎn)．此時(shí)PAPB=A'B，結(jié)合條件證明△A'BC是等邊三角形，即可求得答案.【詳解】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連 AD+BE=AD+DF≥AF，則當(dāng)D在線段AF上時(shí)，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長(zhǎng)，延長(zhǎng)BG至H使得BH=AB=5，連接HD，則ADBE=ADHD接DF，在△ABE,△BFD中，E,=AD+DF≥AF，則當(dāng)D在線段AF上時(shí)，AD+BE取的最小值，最小值為AF在Rt△ABG中，AG=3，如圖所示，延長(zhǎng)BG至H使得BH=AB=5，連接HD，則HD=DF=BE， 運(yùn)動(dòng)路線．過(guò)P作PH丄BC于H，由三角形的面積公式求得PH=1，則點(diǎn)P在平行于BC【詳解】解：過(guò)P作PH丄BC于H，:點(diǎn)P在平行于BC且與BC的距離為1的直線l上運(yùn)動(dòng)，由題意，CMⅡBC，CDⅡAB， 故答案為：32.OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，得到△PMN的周長(zhǎng)的最小值為FG，再證得△FOG為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形即可得出答案.【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，如圖：∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為FG，:FG=4，:△PMN的周長(zhǎng)的最小值為4.【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P/，點(diǎn)P關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P//，其中P/P/【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑問(wèn)題，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．根據(jù)要使△AMN'則A'A''【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)求最值是解題的關(guān)鍵.于G,則A1A2即為△AMN周長(zhǎng)的最小值，求出A1A2的長(zhǎng)即可.【詳解】解：如圖：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，A2，連接A1A2，交BC于M1，交CDAA2D，A故答案為2.的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，從而得出當(dāng)P、B、E在同一直線上且BE丄AC時(shí)，PC+PE的值最小，:△ABC是等邊三角形，:點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，:PC=PB，:PC+PE=PB+PE，:當(dāng)P、B、E在同一直線上且BE丄AC時(shí)，PC+PE的值最小，為BE’，:PC+PE的最小值是6，即可得到結(jié)果.點(diǎn)H，:AD是△ABC的角平分線，Q與Q關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，:點(diǎn)Q在AB上，PC+PQ=PC+PQ≥CH，:CH=2.4，:CP+PQ≥2.4，:PC+PQ的最小值為2.4.【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB、AE、PE，作EF丄AB于點(diǎn)F，由EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，得AQ+PQ≥4，即可得出答案.【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB、AE、PE，作EF丄AB于點(diǎn)F，∵BC垂直平分AE，:AQ+PQ≥EF，即AQ+PQ≥4，∴AQ+PQ的最小值為4.故答案為：4.線是解題的關(guān)鍵.【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平CF，CE，由等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，BD=CD=3，則BF=CF，故當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線且CE丄AB時(shí)，BF+EF有最小值，最小值為CE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再運(yùn)用等面積法求CE的長(zhǎng)度即可.【詳解】解：如圖所示，連接CF，CE，∴AD垂直平分BC，BD=CD=3，∴BF+EF=CF+EF，∴當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線，且CE丄AB時(shí)，CF+EF有最小值，即此時(shí)BF+EF有最小值，最∵S△ABC=BC.AD=AB.CE，【分析】如圖所示，直線OA’、y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱(chēng)，直線OE、直線y=kx關(guān)于y軸對(duì)），【詳解】解：如圖所示，直線OA’、y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱(chēng)，直線OE、直線y=kx關(guān)于y線y=kx于M，作PN丄直線y=kx，垂足為N，:EO2+A ），【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)—最短問(wèn)題、垂線段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)正確找到點(diǎn)P的位置.N的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出<N′OM′=90°,由勾股定理求出M′N(xiāo)′即可.連接M′N(xiāo)′，即為MP+PQ+QN的最小值.:△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，:<N′OM′=90°,:在Rt△M′ON′中，【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)--最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)邊三角形是解題的關(guān)鍵. 利用軸對(duì)稱(chēng)性，找到正確的P的位置是解答本題的關(guān)鍵.作直線OC與y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱(chēng)，直線OD與直線y=kx關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A/是點(diǎn)A【詳解】如圖，直線OC與y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱(chēng)，直線OD與直線y=kx關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，作A/E丄OD，垂足為E，交y軸于點(diǎn)P，交直線y:PN=PE，AM=A/M，:AM+PM+PN=A/M+PM+PE=A/E，此時(shí)AM+MP+PN最小， :AM+MP+PN的最小值為2·3， 故答案為：23.【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M/，作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N/，連接MN//，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN,為等邊三角形，△OM連接MN//，/△NOQ△QOP△MOP=S△MON的位置是解題的關(guān)鍵.【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN丄BC于N．首先證明LACD=90O，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF=AG，求出AG的最小值即可解決問(wèn)題.【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作ANTBC于N.:7DMC=7MCD=60O，CM=DM=AM，:LACD=90O，∵AE=EH，GF=FH，:當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)N時(shí)，AG的最小，即AG的最小值為AN的長(zhǎng)，此時(shí)EF也最小，:AG最小值為，EF的最小值為.點(diǎn)是證明LACD=90O，屬于中考選擇題中的壓軸題.先計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)，再確定點(diǎn)B、D、C共線時(shí)，OE就如圖，連接BC交圓于點(diǎn)D,，【分析】連接BP，根據(jù)中位線定理可得BP長(zhǎng)的最大值為=3，當(dāng)理可得BC2=CD2+BD2，列出方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求解.當(dāng)BP過(guò)圓心C時(shí)，BP最長(zhǎng)，過(guò)B作BD丄x軸與D，:CP=1，:BC=3-1=2，B在直線y=2x上，設(shè)B(t,2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t,在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2:22=(t+2)2+(-2t)2, 是解題關(guān)鍵．連接DF，則MN是△DEF的中位線，MN=DF，當(dāng)DF最大時(shí)，MN有最大值，求出即可.【詳解】解：連接DF，如圖：:M，N分別是ED，EF的中點(diǎn)，:MN是△DEF的中位線，MN=，當(dāng)DF最大時(shí)，MN有最大值，:E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F與B重合時(shí)，DF最大為BD的長(zhǎng)， :MN的最大值為2， 【分析】如圖，連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接OQ，延長(zhǎng)AD至E，使DE=2，連接CE，OP，利用等腰直角三角形性質(zhì)可得AD=6，由DQ:AQ=1:2，可得DQ=2，AQ=4，利用勾股定理可得CE=2再由三角形中位線定△ABG≌△CBE(SAS)，進(jìn)而得出OP是△ACE的中線，即OP=3·,由CE，OP，∵四邊形ABCD、BEFG是正方形，AB=6， :OQ=，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等，熟練運(yùn)用三角形中位線定理和全等三角形的鍵.軌跡為以BC為直徑的半圓是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BC為直徑的半圓，如圖：取BC的中點(diǎn)O，點(diǎn)O即為圓心，連接AO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，此時(shí)AG最大，【詳解】:四邊形BEFG為矩形，且其中一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，:7BGC=90O，:點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BC為直徑的半圓，即（點(diǎn)B除外）.如圖：取BC的中點(diǎn)O，點(diǎn)O即為圓心，連接AO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，此時(shí)AG最大， 27．2理等，過(guò)點(diǎn)G作GH丄EF于H，過(guò)點(diǎn)H作PQⅡAB與過(guò)點(diǎn)G作GQ丄PQGQ丄PQ的垂線相交于點(diǎn)Q,根據(jù)中位線定理設(shè)PE=x，則AE=BF=2x，根據(jù)推出再證明△HEP∽△GHQ得出HQ=2x，GQ=4-2x，過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC于T，利用勾股定理表示出CQ的長(zhǎng)即可得出結(jié)果，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形，根據(jù)勾股定理得出CG的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH丄EF于H，過(guò)點(diǎn)H作PQⅡAB與過(guò)點(diǎn)G作GQ丄PQ的:H為EF的中點(diǎn)，:EH=FH，而PQⅡAB，:AE=2PE，AF=2PH，:AF=4-2x，:PH=2-x，,過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC于T， 28．26-2點(diǎn)，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵.定和性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可求出AC的最大值.D，過(guò)點(diǎn)P作PE丄DC，垂足為E，延長(zhǎng)EP ，:△ECP≌△FPB(AAS)， :EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=23-x:C(x+y,y+2-x)， +2y2 :x2+y2=1，:-1≤y≤1， :當(dāng)y=-1時(shí)，AC有最小值，AC的最大值為J26-8·=2·-·.故答案為:2-.【分析】由M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)MA+MB+MC最短時(shí)，得M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，以AC易求得<MBC=30°,以BF為邊，B為頂點(diǎn)向<MBC的外側(cè)作<FBG，使<FBG=30°,過(guò)EH'，由垂線段最短，知BE+CE=CE+EH≥CH'；因?yàn)橐椎肂C=2，又<GBC=60°就容易求得CH'就是BE+CE的最小值.下面計(jì)算CH':AB=AC=2且AB丄AC:M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)MA+MB+MC最短時(shí):M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn):正三角形ACF:<CAF=60°又AB丄AC:∠BAF=150°:∠ABF=15°:∠FBC=30°:∠GBC=60°在RT△BCH'中:BE+CE的最小值為.質(zhì).【分析】作OF平分LAOC，交ΘO于F，連接AF、CF、DF，過(guò)點(diǎn)D作DH丄OC于性質(zhì)可得AC平分上FAO，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可得DF=DO，數(shù)可求得CD=2DH，推得CD+2OD=2(DH+FD)，根據(jù)垂線三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD的值最小，即FH 三角函數(shù)可求得FH=23，即可求解.【詳解】解：作LAOC的角平分線OF，交ΘO于F，連接AF、CF、DF，過(guò)點(diǎn)D作DH丄OC于H，如圖：∵OF平分LAOC，:OC=OE，即OE=2OC，:2OC=OC+4，:四邊形AOCF是菱形，:AC平分上FAO，:△FAD≌△OAD(SAS)，:DH=DC.sin上DCH=DC.sin30o=DC，即CD=2DH，當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD=FH，此時(shí)DH+FD的值最小，邊對(duì)等角，特殊角的銳角三角函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-胡不歸，涉及等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、正弦三角函數(shù)勾股定理求出BD及sin上ABD=，在Rt△PBE中，求出PEPB，從而得到當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線，且CE丄AB時(shí)，BP+CP有最小值為CE，利用三角形等面積列方程求解即可:在等腰△ABC中，BD是AC邊上的高，如圖所示，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線，且CE丄AB時(shí)，BP+CP有最小值，為CE， 取FC中點(diǎn)G，BC中點(diǎn)H，GH=BF，在BE的外側(cè)作△IBE≌△HCG，IH的長(zhǎng)線和全等三角形，將BF+CE進(jìn)行轉(zhuǎn)化.延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，:點(diǎn)G是FC中點(diǎn)，點(diǎn)H是BC中點(diǎn)，:BE=CG，又:等邊三角形ABC，又:BI=CH，:△IBE≌△HCG，BF+CE=IE+CE，當(dāng)點(diǎn)E在線段IC上時(shí)IE+CE取最小值，長(zhǎng)度為線段IC的長(zhǎng)，【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，明確C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵.DE=3，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【詳解】解：如圖，連接CM、CN，:DE=6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，明確C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵.DE=3，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【詳解】解：如圖，連接CM、CN，:DE=6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，-和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF丄AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE=PC，則當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC【詳解】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF丄AP于F，:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8)，:OA=8,:點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，:AP=4,:△AEP是等邊三角形，EF丄AP，:AF=PF=2,AE=AP，:上BAE=上CAP，在△ABE和△ACP中，:△ABE≌△ACP(SAS)，:BE=PC,:當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即BE⊥x軸時(shí)，BE有最小值，:PC的最小值為6，確定出OD過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵．取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得利用勾股定理列式求出DE，【詳解】解：如圖：取線段AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE， 頂點(diǎn)為正方形四個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)正方形EAFG的邊長(zhǎng)是a，則B可.則EFⅡBC，BC=10，:能剪出的最大正方形的面積25.【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)△BEC面積的最大，如圖，過(guò)A作AE/丄BC于【詳解】解：連接AE，∵B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，AB=4，∵點(diǎn)E在BC的下方，:當(dāng)AE丄BC時(shí)，點(diǎn)A到BC的距離最小，則E到BC的距離最大，此時(shí)△BEC面積的最大，=AB.AC=BC.AH，:△BEC面積的最大值為，【分析】當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行于OA且與ΘD相切時(shí)，△AOP面積的最大，由于過(guò)點(diǎn)P的直線是ΘD的切線，得出DP垂直于切線，延長(zhǎng)PD交AC于M，則DM丄AC，進(jìn)而得出DM丄AC，根據(jù)勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，易得OA的長(zhǎng)，利用面積法解得DM的長(zhǎng)，從而求得PM的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得答案.【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行:DP垂直于切線，延長(zhǎng)PD交AC于M，則DM丄AC，:△AOP的最大面積OA×PM==14.5.故答案為：14.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，判斷出點(diǎn)P處于什么位置時(shí)面積最大是解題關(guān)鍵.的最大值.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AM丄BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EH丄CA:△AMC∽△BGC， :7BDG+7DBG=90°,【分析】分別以CP、CB為邊在下方構(gòu)造等邊三角形△PCQ、△DBC，分別取CQ、CD中點(diǎn)E、F，連接EF、QD、PE，先證得△BPC@△DQC，可得PB=QD，由中位線可得由等邊三角形性質(zhì)可得PC，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)即可求得AF=AP+PE+EF=PA+的最小值.【詳解】分別以CP、CB為邊在下方構(gòu)造等邊三角形△PCQ、△DBC，分別取CQ、CD中點(diǎn)E、F，連接EF、QD、PE，如圖所示，∵取CQ、CD中點(diǎn)E、F，∵等邊三角形△PCQ，∴PE=PC，PC=QC∵等邊三角形△DBC，∴DPCB=DQCD=60°-DQCB，∴當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)4PA+2PB+2PC222 用手拉手模型構(gòu)造輔助線.【分析】①根據(jù)菱形的性質(zhì)，運(yùn)用“SAS”證明即可；②根據(jù)菱形性質(zhì)可得A與C線BD對(duì)稱(chēng)，可知AM+CM最小為AC長(zhǎng)；③先假設(shè)AN⊥BE，而后逆推即可判斷；④根據(jù)的面積即可判斷④.【詳解】解①:△ABE是等邊三角形，:BA=BE，<ABE=60°.:<MBN=60°,又:MB=NB，:△AMB≥△ENB（SAS故①正確；:四邊形ABCD是菱形，:點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，:<ABC=60°,:△ABC是等邊三角形，:AC=2.:AN是BE的垂直平分線，:EN=BN=BM=MA，:條件沒(méi)有確定M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，故③錯(cuò)誤；④如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≥△ENB，:AM=EN，:△BMN是等邊三角形，:BM=MN，:AM+BM+CM=EN+MN+CM，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，:BC=2,EF=2，故④正確.的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)求最值以及勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵.【分析】將△ADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AD/M/，連接DD/、MM/，然后【詳解】如圖所示，將△ADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AD/M/，連接DD/、MM/，:AM=AM/=MM/，AD=AD/=DD/=8，:當(dāng)線段MD//、MM/、MN三條線段在同一直線上，且該直線與BC垂直時(shí)，:MA+MD+MN最小值為：D/E，即AB=EF=5，: