特色題型專練05 最值問題-三角形-2024年中考數(shù)學考試易錯題

1．如圖，已知點D、E分別是等邊△ABC中BC、AB邊上的中點，AB=6，點F是線段AD上的動點，則BF+EF的最小值為() EG+FG的最小值等于()點E為AH上一點，連接BE,DE，如果m=BE+DE，BE=1，AE=3BE，P是AC上一動點．則PB+PE的最小值是.5．如圖，在△ABC中，AB=13,BC=10,D是BC中點，EF垂直平分A點E，交AC邊于點F，在EF上確定一點P，使PB—PD最大，則這個最大值為PAPB的最大值是()記為M、N，存在M、N使得△PMN的周長最?。畡t△PMN周長的最小值是10．如圖所示，點P為7O內(nèi)一定點，點A，B分別在7O的兩邊上，若ΔPAB的周長最小，則7O與<APB的關系為()A．27O=7APBB．7O=27APBC．7O+7APB=180OD．27O+7APB=180O在BC、DE上分別找到一點M，N，使得△AMN的周長最小，則7AMN+7ANM的度數(shù)12．如圖，在四邊形ABCD中，7B=7D=90O，AB=2，AD=3，點M，N分別在邊BC，CD上，當7AMN+7ANM=120O時，△AMN的周長最小，則它的周長的最小值點，PE丄AC于點E，連接CP．若AD=6，則PC+PE的最小值是()P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是()則AQ+PQ的最小值為.AB、AD上一動點，則BF+EF的最小值為.17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A(0,4)，直線l：y=kx(k>0)與x軸相交所成的銳角為75。．若P是y軸上的動點，M，N是l上的動點，則AM+MP+PN的最小值為() 分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是()的坐標為(0,4)，P為y軸上的一個動點，M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上的兩個動點，則AM+MP+PN的最小值為.△NOQ△QOP△MOP.CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF．則EF的最小值為()22．如圖，拋物線x2-1與x軸交于A，B兩點，D是以點C(0,4)為圓心，1為半徑的圓上的動點，E是線段AD的中點，連接OE，則線段OE最小值是()為圓心，1為半徑的ΘC上，Q是AP的中點，已知OQ長的最大值為，則k的值24．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點（可與端點重合M，N分別是ED，EF的中點，則MN的最大值為.25．正方形ABCD，BEFG如圖放置，AB=6，AG，CE相交于點P，Q為AD邊上一點，且DQ:AQ=1:2，則PQ的最大值為()任意一點，且矩形BEFG的一邊始終經(jīng)過點C，連接AG，則AG的最大值為()30．如圖，AB是ΘO的直徑，CE切ΘO于點C交AB的延長線于點E．設點D是弦AC 32．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，E、F分別是邊AB、AC上的動點，且在邊AC，BC上滑動，且DE=6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為()在邊AC，BC上滑動，且DE=6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為()邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的能大的正方形，則能剪出的最大正方形的面積是()點B不重合連接AD，作B關于直線AD的對稱點E，當點E在BC的下方時，連接BE、CE，則△BEC面積的最大值為()為圓心，半徑為1作ΘD，P為ΘD上的一個動點，連接AP、OP，則△AOP面積的最除外以BD為一邊作正方形BDEF，連接CE，則△CDE面41．如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)的一點，連接AP、PB、PC，若五個結論中正確的個數(shù)是()①△AMB≌△ENB；②若菱形ABCD的邊長為2，則AM＋CM的最小值2；③連接 AN，則AN⊥BE；④當AM＋BM＋CM的最小值為4·3時，菱形ABCD的面積也為 43.43．如圖，點M是矩形ABCD內(nèi)一點，且AB=5，AD=8，N為邊BC上一點，連接點，F(xiàn)是邊AC上的一個動點，DE=，則CD十EF的最小值為()2 【分析】本題考查軸對稱求最短距離．連接CE交AD于點F，連接BF，此時BF+EF的值最小，最小值為CE.【詳解】解：連接CE交AD于點F，連接BF，:△ABC是等邊三角形，:BF=CF，BE=AE=AB=3，:BF+EF=CF+EF=CE， :BF+EF的最小值為33，積求出CD的長即可.【詳解】解：連接CD,CE，:點B,C關于AH對稱，:BE=CE，:S△ABC=AB.CD=12，直角三角形ABC關于AC的對稱直角三角形ADC，連接DE，根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可.【詳解】解：如圖：作等腰直角三角形ABC關于AC的對稱直角三角形ADC，連接DE，DP，∴當P、D、E三點共線時，PD+PE最小，即此時PB+PE最小，【分析】本題考查三角形三邊關系．延長BC交直線EF于P，在EF上任取一點P/不與點P即可求解.【詳解】解：如圖，延長BC交直線EF于P，在EF上任取一點P/不與點P重合，連接:PB—PD>P’BP’D，:此時，PB—PD最大，最大值等于BD長，作A關于CD的對稱點A，連接A'B交CD于P，則點P就是使PA—PB的值最大的點．此時PAPB=A'B，結合條件證明△A'BC是等邊三角形，即可求得答案.【詳解】解：作A關于CD的對稱點A，連 AD+BE=AD+DF≥AF，則當D在線段AF上時，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長，延長BG至H使得BH=AB=5，連接HD，則ADBE=ADHD接DF，在△ABE,△BFD中，E,=AD+DF≥AF，則當D在線段AF上時，AD+BE取的最小值，最小值為AF在Rt△ABG中，AG=3，如圖所示，延長BG至H使得BH=AB=5，連接HD，則HD=DF=BE， 運動路線．過P作PH丄BC于H，由三角形的面積公式求得PH=1，則點P在平行于BC【詳解】解：過P作PH丄BC于H，:點P在平行于BC且與BC的距離為1的直線l上運動，由題意，CMⅡBC，CDⅡAB， 故答案為：32.OA的對稱點F，作點P關于直線OB的對稱點G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，得到△PMN的周長的最小值為FG，再證得△FOG為邊長為4的等邊三角形即可得出答案.【詳解】解：作點P關于直線OA的對稱點F，作點P關于直線OB的對稱點G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，如圖：∴△PMN的周長的最小值為FG，:FG=4，:△PMN的周長的最小值為4.【分析】作點P關于OM的對稱點P/，點P關于ON的對稱點P//，其中P/P/【點睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.性質等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關鍵．根據(jù)要使△AMN'則A'A''【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、軸對稱的性質、三角形外角的性質等知識點，掌握運用軸對稱求最值是解題的關鍵.于G,則A1A2即為△AMN周長的最小值，求出A1A2的長即可.【詳解】解：如圖：作A關于BC和CD的對稱點A1，A2，連接A1A2，交BC于M1，交CDAA2D，A故答案為2.的對稱點為點B，從而得出當P、B、E在同一直線上且BE丄AC時，PC+PE的值最小，:△ABC是等邊三角形，:點C關于AD的對稱點為點B，:PC=PB，:PC+PE=PB+PE，:當P、B、E在同一直線上且BE丄AC時，PC+PE的值最小，為BE’，:PC+PE的最小值是6，即可得到結果.點H，:AD是△ABC的角平分線，Q與Q關于AD對稱，:點Q在AB上，PC+PQ=PC+PQ≥CH，:CH=2.4，:CP+PQ≥2.4，:PC+PQ的最小值為2.4.【分析】作點A關于直線BC的對稱點E，連接EB、AE、PE，作EF丄AB于點F，由EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，得AQ+PQ≥4，即可得出答案.【詳解】解：作點A關于直線BC的對稱點E，連接EB、AE、PE，作EF丄AB于點F，∵BC垂直平分AE，:AQ+PQ≥EF，即AQ+PQ≥4，∴AQ+PQ的最小值為4.故答案為：4.線是解題的關鍵.【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，線段垂直平CF，CE，由等腰三角形的性質得到AD垂直平分BC，BD=CD=3，則BF=CF，故當C、E、F三點共線且CE丄AB時，BF+EF有最小值，最小值為CE的長，利用勾股定理求出AD的長，再運用等面積法求CE的長度即可.【詳解】解：如圖所示，連接CF，CE，∴AD垂直平分BC，BD=CD=3，∴BF+EF=CF+EF，∴當C、E、F三點共線，且CE丄AB時，CF+EF有最小值，即此時BF+EF有最小值，最∵S△ABC=BC.AD=AB.CE，【分析】如圖所示，直線OA’、y軸關于直線y=kx對稱，直線OE、直線y=kx關于y軸對），【詳解】解：如圖所示，直線OA’、y軸關于直線y=kx對稱，直線OE、直線y=kx關于y線y=kx于M，作PN丄直線y=kx，垂足為N，:EO2+A ），【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、垂線段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知識．解題的關鍵是利用軸對稱性質正確找到點P的位置.N的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出<N′OM′=90°,由勾股定理求出M′N′即可.連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值.:△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，:<N′OM′=90°,:在Rt△M′ON′中，【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱邊三角形是解題的關鍵. 利用軸對稱性，找到正確的P的位置是解答本題的關鍵.作直線OC與y軸關于直線y=kx對稱，直線OD與直線y=kx關于y軸對稱，點A/是點A【詳解】如圖，直線OC與y軸關于直線y=kx對稱，直線OD與直線y=kx關于y軸對稱，作A/E丄OD，垂足為E，交y軸于點P，交直線y:PN=PE，AM=A/M，:AM+PM+PN=A/M+PM+PE=A/E，此時AM+MP+PN最小， :AM+MP+PN的最小值為2·3， 故答案為：23.【分析】作M關于OB的對稱點M/，作N關于OA的對稱點N/，連接MN//，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN,為等邊三角形，△OM連接MN//，/△NOQ△QOP△MOP=S△MON的位置是解題的關鍵.【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN丄BC于N．首先證明LACD=90O，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF=AG，求出AG的最小值即可解決問題.【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作ANTBC于N.:7DMC=7MCD=60O，CM=DM=AM，:LACD=90O，∵AE=EH，GF=FH，:當點G在點N時，AG的最小，即AG的最小值為AN的長，此時EF也最小，:AG最小值為，EF的最小值為.點是證明LACD=90O，屬于中考選擇題中的壓軸題.先計算交點坐標，再確定點B、D、C共線時，OE就如圖，連接BC交圓于點D,，【分析】連接BP，根據(jù)中位線定理可得BP長的最大值為=3，當理可得BC2=CD2+BD2，列出方程求出點B的坐標，代入反比例函數(shù)解析式即可求解.當BP過圓心C時，BP最長，過B作BD丄x軸與D，:CP=1，:BC=3-1=2，B在直線y=2x上，設B(t,2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t,在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2:22=(t+2)2+(-2t)2, 是解題關鍵．連接DF，則MN是△DEF的中位線，MN=DF，當DF最大時，MN有最大值，求出即可.【詳解】解：連接DF，如圖：:M，N分別是ED，EF的中點，:MN是△DEF的中位線，MN=，當DF最大時，MN有最大值，:E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，當F與B重合時，DF最大為BD的長， :MN的最大值為2， 【分析】如圖，連接AC，取AC的中點O，連接OQ，延長AD至E，使DE=2，連接CE，OP，利用等腰直角三角形性質可得AD=6，由DQ:AQ=1:2，可得DQ=2，AQ=4，利用勾股定理可得CE=2再由三角形中位線定△ABG≌△CBE(SAS)，進而得出OP是△ACE的中線，即OP=3·,由CE，OP，∵四邊形ABCD、BEFG是正方形，AB=6， :OQ=，【點睛】本題考查了正方形性質，直角三角形性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理等，熟練運用三角形中位線定理和全等三角形的鍵.軌跡為以BC為直徑的半圓是解題的關鍵.根據(jù)矩形的性質結合圓周角定理得到點G的運動軌跡為以BC為直徑的半圓，如圖：取BC的中點O，點O即為圓心，連接AO并延長交于點G，此時AG最大，【詳解】:四邊形BEFG為矩形，且其中一邊始終經(jīng)過點C，:7BGC=90O，:點G的運動軌跡為以BC為直徑的半圓，即（點B除外）.如圖：取BC的中點O，點O即為圓心，連接AO并延長交于點G，此時AG最大， 27．2理等，過點G作GH丄EF于H，過點H作PQⅡAB與過點G作GQ丄PQGQ丄PQ的垂線相交于點Q,根據(jù)中位線定理設PE=x，則AE=BF=2x，根據(jù)推出再證明△HEP∽△GHQ得出HQ=2x，GQ=4-2x，過點G作GT⊥BC于T，利用勾股定理表示出CQ的長即可得出結果，正確作出輔助線構造相似三角形，根據(jù)勾股定理得出CG的長是解題的關鍵.【詳解】解：如圖，過點G作GH丄EF于H，過點H作PQⅡAB與過點G作GQ丄PQ的:H為EF的中點，:EH=FH，而PQⅡAB，:AE=2PE，AF=2PH，:AF=4-2x，:PH=2-x，,過點G作GT⊥BC于T， 28．26-2點，根據(jù)題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼凳墙忸}的關鍵.定和性質求得點C的坐標，從而可求出AC的最大值.D，過點P作PE丄DC，垂足為E，延長EP ，:△ECP≌△FPB(AAS)， :EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=23-x:C(x+y,y+2-x)， +2y2 :x2+y2=1，:-1≤y≤1， :當y=-1時，AC有最小值，AC的最大值為J26-8·=2·-·.故答案為:2-.【分析】由M為△ABC內(nèi)一點，當MA+MB+MC最短時，得M為△ABC的費馬點，以AC易求得<MBC=30°,以BF為邊，B為頂點向<MBC的外側作<FBG，使<FBG=30°,過EH'，由垂線段最短，知BE+CE=CE+EH≥CH'；因為易得BC=2，又<GBC=60°就容易求得CH'就是BE+CE的最小值.下面計算CH':AB=AC=2且AB丄AC:M為△ABC內(nèi)一點，當MA+MB+MC最短時:M為△ABC的費馬點:正三角形ACF:<CAF=60°又AB丄AC:∠BAF=150°:∠ABF=15°:∠FBC=30°:∠GBC=60°在RT△BCH'中:BE+CE的最小值為.質.【分析】作OF平分LAOC，交ΘO于F，連接AF、CF、DF，過點D作DH丄OC于性質可得AC平分上FAO，根據(jù)角平分線的性質和全等三角形的判定和性質可得DF=DO，數(shù)可求得CD=2DH，推得CD+2OD=2(DH+FD)，根據(jù)垂線三點共線時，DH+FD的值最小，即FH 三角函數(shù)可求得FH=23，即可求解.【詳解】解：作LAOC的角平分線OF，交ΘO于F，連接AF、CF、DF，過點D作DH丄OC于H，如圖：∵OF平分LAOC，:OC=OE，即OE=2OC，:2OC=OC+4，:四邊形AOCF是菱形，:AC平分上FAO，:△FAD≌△OAD(SAS)，:DH=DC.sin上DCH=DC.sin30o=DC，即CD=2DH，當F、D、H三點共線時，DH+FD=FH，此時DH+FD的值最小，邊對等角，特殊角的銳角三角函數(shù)，垂線段最短，解題的關鍵是明確當F、D、H三點共【分析】本題考查動點最值問題-胡不歸，涉及等腰三角形性質、勾股定理、正弦三角函數(shù)勾股定理求出BD及sin上ABD=，在Rt△PBE中，求出PEPB，從而得到當C、P、E三點共線，且CE丄AB時，BP+CP有最小值為CE，利用三角形等面積列方程求解即可:在等腰△ABC中，BD是AC邊上的高，如圖所示，當C、P、E三點共線，且CE丄AB時，BP+CP有最小值，為CE， 取FC中點G，BC中點H，GH=BF，在BE的外側作△IBE≌△HCG，IH的長線和全等三角形，將BF+CE進行轉化.延長線于點J，:點G是FC中點，點H是BC中點，:BE=CG，又:等邊三角形ABC，又:BI=CH，:△IBE≌△HCG，BF+CE=IE+CE，當點E在線段IC上時IE+CE取最小值，長度為線段IC的長，【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，兩點之間線段最短，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關鍵.DE=3，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【詳解】解：如圖，連接CM、CN，:DE=6，點M、N分別是DE、AB的中點，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，兩點之間線段最短，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關鍵.DE=3，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【詳解】解：如圖，連接CM、CN，:DE=6，點M、N分別是DE、AB的中點，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，-和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF丄AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE=PC，則當BE有最小值時，PC【詳解】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF丄AP于F，:點A的坐標為(0,8)，:OA=8,:點P為OA的中點，:AP=4,:△AEP是等邊三角形，EF丄AP，:AF=PF=2,AE=AP，:上BAE=上CAP，在△ABE和△ACP中，:△ABE≌△ACP(SAS)，:BE=PC,:當BE有最小值時，PC有最小值，即BE⊥x軸時，BE有最小值，:PC的最小值為6，確定出OD過AB的中點時值最大是解題的關鍵．取AB的中點E，連接OD、OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得利用勾股定理列式求出DE，【詳解】解：如圖：取線段AB的中點E，連接OD、OE、DE， 頂點為正方形四個頂點，設正方形EAFG的邊長是a，則B可.則EFⅡBC，BC=10，:能剪出的最大正方形的面積25.【分析】本題考查軸對稱性質、垂線段最短、勾股定理，根據(jù)軸對稱時△BEC面積的最大，如圖，過A作AE/丄BC于【詳解】解：連接AE，∵B關于直線AD的對稱點E，AB=4，∵點E在BC的下方，:當AE丄BC時，點A到BC的距離最小，則E到BC的距離最大，此時△BEC面積的最大，=AB.AC=BC.AH，:△BEC面積的最大值為，【分析】當P點移動到過點P的直線平行于OA且與ΘD相切時，△AOP面積的最大，由于過點P的直線是ΘD的切線，得出DP垂直于切線，延長PD交AC于M，則DM丄AC，進而得出DM丄AC，根據(jù)勾股定理先求得AC的長，易得OA的長，利用面積法解得DM的長，從而求得PM的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得答案.【詳解】解：當P點移動到過點P的直線平行:DP垂直于切線，延長PD交AC于M，則DM丄AC，:△AOP的最大面積OA×PM==14.5.故答案為：14.5.【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質、矩形的性質、平行線的性質、勾股定理等知識，判斷出點P處于什么位置時面積最大是解題關鍵.的最大值.【詳解】解：過點A作AM丄BC于點M，過點E作EH丄CA:△AMC∽△BGC， :7BDG+7DBG=90°,【分析】分別以CP、CB為邊在下方構造等邊三角形△PCQ、△DBC，分別取CQ、CD中點E、F，連接EF、QD、PE，先證得△BPC@△DQC，可得PB=QD，由中位線可得由等邊三角形性質可得PC，當A、P、F三點共線時即可求得AF=AP+PE+EF=PA+的最小值.【詳解】分別以CP、CB為邊在下方構造等邊三角形△PCQ、△DBC，分別取CQ、CD中點E、F，連接EF、QD、PE，如圖所示，∵取CQ、CD中點E、F，∵等邊三角形△PCQ，∴PE=PC，PC=QC∵等邊三角形△DBC，∴DPCB=DQCD=60°-DQCB，∴當A、P、F三點共線時4PA+2PB+2PC222 用手拉手模型構造輔助線.【分析】①根據(jù)菱形的性質，運用“SAS”證明即可；②根據(jù)菱形性質可得A與C線BD對稱，可知AM+CM最小為AC長；③先假設AN⊥BE，而后逆推即可判斷；④根據(jù)的面積即可判斷④.【詳解】解①:△ABE是等邊三角形，:BA=BE，<ABE=60°.:<MBN=60°,又:MB=NB，:△AMB≥△ENB（SAS故①正確；:四邊形ABCD是菱形，:點A和點C關于直線BD對稱，:<ABC=60°,:△ABC是等邊三角形，:AC=2.:AN是BE的垂直平分線，:EN=BN=BM=MA，:條件沒有確定M點與O點重合，故③錯誤；④如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≥△ENB，:AM=EN，:△BMN是等邊三角形，:BM=MN，:AM+BM+CM=EN+MN+CM，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，:BC=2,EF=2，故④正確.的性質、軸對稱求最值以及勾股定理，綜合運用以上知識，添加輔助線是解題的關鍵.【分析】將△ADM繞點A逆時針旋轉60。得到△AD/M/，連接DD/、MM/，然后【詳解】如圖所示，將△ADM繞點A逆時針旋轉60。得到△AD/M/，連接DD/、MM/，:AM=AM/=MM/，AD=AD/=DD/=8，:當線段MD//、MM/、MN三條線段在同一直線上，且該直線與BC垂直時，:MA+MD+MN最小值為：D/E，即AB=EF=5，: