廣東省中山市永安中學2023-2024學年高一下學期第一次段考數(shù)學試題（含答案）

中山市永安中學2023級高一下學期第一次段考數(shù)學試題時長：120分鐘總分150分一、單選題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題只有一個正確選項.1．（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B．C．6 D．3．已知，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在平行四邊形中，點是的中點，點為線段上的一個三等分點，且，若，則（

）A．1 B． C． D．5．點P是菱形內(nèi)部一點，若，則的面積與的面積的比值是（

）A．6 B．8 C．12 D．156．如圖，在中，已知是邊上的一點，，則的長為（

）

A． B． C． D．107．已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心8．已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求的.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量是10．已知是邊長為1的等邊三角形，點D是邊AC上，且，點E是BC邊上任意一點（包含B，C點），則的取值可能是（

）A． B． C．0 D．11．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若，，則B．若，則是等腰直角三角形C．若是銳角三角形，則D．若為非直角三角形，則12．中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（

）A．外接圓的半徑為B．若的平分線與交于，則的長為C．若為的中點，則的長為D．若為的外心，則三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13．在銳角中，若，則的范圍．14．已知Rt的面積為6，斜邊長為6，設為在上的投影向量，.15．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑．16．如圖，中，，，，為重心，為線段上一點，則的最大值為，若、分別是邊、的中點，則的取值范圍是．

四、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)點D在線段BC上，，，求的值．18．已知向量與的夾角為，且.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.19．已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域.20．定理：如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則.試用“奔馳定理”或其它方法解決下列問題.(1)點在內(nèi)部，滿足，求的值；(2)點為內(nèi)一點，若，設，求實數(shù)和的值；(3)用“奔馳定理”證明推論②.21．在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范圍．22．如圖，扇形ABC是一塊半徑（單位：千米），圓心角的風景區(qū)，點P在弧BC上（不與B，C重合）．現(xiàn)欲在風景區(qū)規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直于點Q，街道PR與AC垂直于點R，線段RQ表示第三條街道．記．(1)若點P是弧的中點，求三條街道的總長度；(2)通過計算說明街道的長度是否會隨的變化而變化；(3)由于環(huán)境的原因，三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每千米300，200，400（單位：萬元），求這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益的最大值．參考答案：1．B【分析】根據(jù)正弦的差角公式即可化簡求解.【詳解】,故選：B2．D【分析】利用向量共線的坐標表示，列式計算作答.【詳解】向量，且，則，所以.故選：D3．C【分析】根據(jù)誘導公式和二倍角的余弦公式即可.【詳解】因為，所以.故選：C.4．D【分析】由題意可知，，根據(jù)平面向量基本定理，將用線性表示，根據(jù)兩個向量相等即可求出的值，即可得出答案.【詳解】由題知點為線段上的一個三等分點，所以，所以，因為不共線，所以，故.故選：D.5．A【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，即可表示出面積關(guān)系.【詳解】如圖，設中點為，中點為，因為，即，則，即，則，所以的面積與的面積的比值是6.故選：A.6．B【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.【詳解】在中，，因為，所以，在中，.故選：B.7．D【分析】計算的值，可得出結(jié)論.【詳解】因為，，，因此，點的軌跡經(jīng)過的垂心，故選：D.8．C【分析】由為奇函數(shù)，可得，，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組求解即可.【詳解】解:

因為為奇函數(shù)，，所以，所以.令，，，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.9．BCD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算逐項判斷.【詳解】對于A：，故A錯誤.對于B：，因為，所以，故B正確；對于C：，則，故C正確；對于D：在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.10．AB【分析】設，然后分別將表示為的形式，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及的取值范圍求解出可取值.【詳解】設，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，又因為，所以，故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：圖形中向量的數(shù)量積問題，通過找基底并將未知的待計算的向量表示為基底的形式去計算能很大程度上簡化計算；本例中利用基底表示出，然后再進行計算.11．CD【分析】A由正弦定理有，代入目標式即可判斷；B正弦邊角關(guān)系及三角恒等變換得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可判斷；C由題設且都為銳角即可判斷；D利用商數(shù)關(guān)系、和差角正余弦公式化簡判斷是否與右側(cè)相等.【詳解】A：由，則，錯；B：，而，所以或，即是等腰三角形或直角三角形，錯；C：由銳角三角形知：，故，對；D：，對.故選：CD12．BD【分析】依題意由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得，再由正弦定理可得A錯誤；根據(jù)等面積法可得角平分線的長為，即B正確；由可求得，即C錯誤；利用外接圓以及投影向量的幾何意義可得D正確.【詳解】根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對于選項A，設外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯誤；對于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：

易知的面積為，可得，即B正確；對于C，若為的中點，易知，如下圖所示：

所以可得，可得，即C錯誤；對于D，延長交外接圓于點，連接；如下圖所示：

易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．【點睛】方法點睛：在解三角形問題中遇到與角平分線或者中線相關(guān)的問題時，可根據(jù)題目信息采用等面積法求解角平分線長度，利用向量求解中線長度.13．【分析】根據(jù)正弦定理，邊化角，然后利用銳角三角形角的范圍即可求解.【詳解】由正弦定理可知,而在銳角中，,,所以,從而有,故答案為:.14．【分析】根據(jù)向量的投影、向量數(shù)量積等知識求得正確答案.【詳解】依題意.依題意，,所以.故答案為：15．2【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出，再由正弦定理求外接圓直徑即可.【詳解】由，，即，由，所以，，.故答案為：16．20【分析】利用向量求得的表達式，由此求得的最大值.利用向量求得的表達式，由此求得的取值范圍.【詳解】由余弦定理，，由于，所以.設是中點，則共線，如圖，

，.，.因為的最大值為，所以的最大值為.，其中，即，所以，故.即的取值范圍是.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵在于利用向量數(shù)量積運算得到，從而轉(zhuǎn)化為求的范圍即可，同理得到，再代入相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為求的范圍即可.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）根據(jù)角之間的關(guān)系及正弦定理求出，即可得出答案.【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得，因為，所以，所以，即，因為，所以，因為，所以；（2）如圖，

在中，，在中，，由正弦定理可得：，故，即，所以，故的值為．18．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義得出內(nèi)積的值，并根據(jù)展開得到；（2）利用直接計算即可得到結(jié)果；（3）將條件轉(zhuǎn)化為且，然后計算，解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題目條件知，.（2）.（3）由于，，，而與夾角為鈍角，這等價于且.從而且，即且.將方程變形為，整理得到，即.這在時一定不成立，故可直接去除該條件.從而的取值范圍是.19．(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦以及輔助角公式化簡，即可得出.然后由已知推得，即可得出，得出解析式；整體代換，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)圖象平移得出的解析式，然后根據(jù)已知的范圍得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，.又圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，，即，所以，所以，.由可得，，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象.再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.因為，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，所以，當時，，所以，，所以，函數(shù)的值域為.20．(1)(2)，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)奔馳定理可求得的值；（2）由奔馳定理得出，進而可得出，即可求得、的值；（3）設的外接圓半徑為，，，，利用三角形的面積公式結(jié)合“奔馳定理”可證得推論②成立.【詳解】（1）解：因為，根據(jù)奔馳定理可得，因此，.（2）解：根據(jù)奔馳定理，得，即，整理可得，因為與不共線，所以由平面向量基本定理得，.（3）證明：若為的外心，則可設的外接圓半徑為，，，，故，同理，，根據(jù)奔馳定理，.即.所以.21．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）因為，由正弦定理邊化角可得，所以，又，所以，又為銳角，則；（2）由正弦定理，則，所以，，因為在銳角三角形中，得，所以，則，所以的取值范圍為.22．(1)(2)，不會隨的變化而變化.(3)