橢圓的定義及標準方程

關(guān)于橢圓的定義及標準方程生活中的橢圓第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天生活中的橢圓第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天生活中的橢圓第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天五歲小朋友話說橢圓：媽媽，橢圓就是個“壓扁”的圓！第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天溫故而知新用一根細繩和筆，你能否畫一個圓？圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長（大于零）的點的軌跡是圓變式：若將一個定點“分裂”成兩個定點，你會有何新發(fā)現(xiàn)？第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天（1）取一根細繩（2）把它的兩端固定在兩定點F1和F2處（3）用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在紙上慢慢移動，看看畫出的圖形是什么？數(shù)學(xué)實驗第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天分析觀察做圖過程：（1）由于繩長固定，所以M與兩個定點F1、F2的距離的和也固定。（2）繩長應(yīng)當大于F1、F2之間的距離若繩長等于F1、F2之間的距離，軌跡是什么？若繩長小于F1、F2之間的距離，軌跡是什么？類比圓的定義，為橢圓下定義第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天1、橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離和等于常數(shù)2a（2a大于F1F2

）的點的軌跡叫做橢圓。定點F1、F2叫做橢圓的焦點。兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（2c）橢圓定義的符號表述：F1F2M第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天求動點的軌跡方程的基本步驟:建系列式設(shè)點證明化簡探索橢圓的標準方程第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天?探討建立平面直角坐標系的方案建立平面直角坐標系通常遵循的原則：對稱、簡潔OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM求橢圓的標準方程：第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天解：以兩定點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標分別是(

c,0)、(c,0).xF1F2M0y（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標得方程第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天聯(lián)想圖形令，得

兩邊同時除以，得第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天總體印象：對稱、簡潔、美觀焦點在y軸：焦點在x軸：2、橢圓的標準方程:F2oFyx1M12yoFFMx第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定義12yoFFMx注:共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點：焦點在x軸的橢圓項分母較大.

焦點在y軸的橢圓項分母較大.F2oFyx1M第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例1：（1）如果橢圓上一點P到焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離是

。

3、例題精煉

（2）若橢圓的焦點在X軸上，焦距為2，則實數(shù)m的值為

。

（3）若點P到點的距離之和為8，則動點P

的軌跡方程為

。

第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：①定位：確定焦點所在的坐標軸；②定量：求a,b的值。3、例題精煉例2：已知橢圓的兩個焦點在X軸上，且關(guān)于原點對稱，焦距為6，該橢圓經(jīng)過點（0，4），求它的標準方程。變式：將“焦點在x軸上”改為“焦點在坐標軸上”第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天4、回顧小結(jié)：1．知識與技能層面橢圓的定義；橢圓的標準方程；a,b,c之間的關(guān)系

2.過程與方法層面數(shù)形結(jié)合的思想、化歸思想、思維能力、運算能力3．情感、態(tài)