系統(tǒng)的穩(wěn)定性

關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性熟悉Bode穩(wěn)定判據(jù)的基本原理和應(yīng)用方法。熟悉系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性概念及其應(yīng)用

。

掌握穩(wěn)定性的概念；掌握Routh穩(wěn)定判據(jù)的基本原理和應(yīng)用方法；掌握Nyquist穩(wěn)定判據(jù)基本原理和應(yīng)用方法。內(nèi)容提要第2頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

1、系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生

（1）線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無(wú)關(guān)。

（2）系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔谩?/p>

（3）控制理論中所討論的穩(wěn)定性是指自由振蕩下的穩(wěn)定性。

第3頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義

指系統(tǒng)在使它偏離穩(wěn)定平衡狀態(tài)的擾動(dòng)消除之后，系統(tǒng)能夠以足夠精度逐漸恢復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

系統(tǒng)的穩(wěn)定性：從空間尺度來(lái)考察。

第4頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)穩(wěn)定不穩(wěn)定第5頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零（即回到平衡位置），則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)），則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性的定義：從時(shí)間尺度來(lái)考察。第6頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

穩(wěn)定不穩(wěn)定txo(t)txo(t)第7頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則在初始條件不超出允許區(qū)域

(

)的條件下，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)xo(t)最終只能在原平衡工作點(diǎn)附近變化，而與原平衡工作點(diǎn)的偏差不超出預(yù)先指定的正數(shù)

，則系統(tǒng)稱為在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定；反之，若對(duì)任意給定的正數(shù)，找不到不為零的正數(shù)滿足下式，則系統(tǒng)稱為在李雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性：→第8頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

如果系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定”。漸近穩(wěn)定性是對(duì)線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性，它要求初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零。漸近穩(wěn)定性：漸近穩(wěn)定性比李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性要求高；漸近穩(wěn)定的一定是李雅普諾夫穩(wěn)定，反之則不盡然。第9頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

用線性化方程來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，就只限于討論初始偏差不超出某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性，稱為“小偏差”穩(wěn)定性，又稱“小穩(wěn)定”或“局部穩(wěn)定性”。小偏差穩(wěn)定性：第10頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部。3．穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：或者說(shuō)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的全部極點(diǎn)均位于[S]平面的左半平面。第11頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．穩(wěn)定的條件5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有兩種類型：①直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根；②確定保證特征方程的根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域；包括：包括：直接求解特征根；根軌跡法。Routh穩(wěn)定判據(jù)，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。第12頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

式中si(i=1,2,3,···,n)

為線性系統(tǒng)的特征根。

第13頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)高階代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系為

第14頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)可求得線性系統(tǒng)特征根si(i=1,2,3,···,n)

具有負(fù)實(shí)部的必要條件為：①特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai(i=1,2,3,···,n)

都不等于0；②特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai的符號(hào)都相同。第15頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)列出Routh表，確定Routh穩(wěn)定判據(jù)。

應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟是：第一步，將給定的線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)按下列形式排成兩行：

第16頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第二步，根據(jù)上面的系數(shù)排列，通過(guò)規(guī)定的運(yùn)算求取如下的勞斯計(jì)算表。

第17頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第18頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)在排列特征方程的系數(shù)時(shí)，空位需要以零來(lái)填補(bǔ)；凡在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的空位，也必須置零，從而構(gòu)成一個(gè)完整矩陣形式的計(jì)算表。注意：第19頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第三步，根據(jù)勞斯計(jì)算表第一列各元素符號(hào)的改變次數(shù)確定特征根中具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。若第一列各元間依次序數(shù)下來(lái)，符號(hào)的改變次數(shù)為零，則具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)為零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若第一列各元符號(hào)不同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其各元間符號(hào)依次改變的次數(shù)等于具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。第20頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)Routh表中第一列各元的符號(hào)均為正，且值不為０。

第21頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例1

判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：改變1次符號(hào);又改變1次符號(hào);2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件有2個(gè)具有正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第22頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)舉例2

系統(tǒng)特征方程為試確定K取何值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第23頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K

的取值范圍為：解得

解得

由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要求：2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第24頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

第25頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．應(yīng)用Routh判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)（1）如果在Routh表中任意一行的第一個(gè)元為零，而其后各元均不為零或部分地為零，則在計(jì)算下一行第一個(gè)元時(shí)，該元必將趨于無(wú)窮大，于是Routh表計(jì)算將無(wú)法進(jìn)行。為了克服這一困難，可用一個(gè)很小的正數(shù)

來(lái)代替第一列等于０的元，然后計(jì)算Routh表的其余各元。第26頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例3

判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：改變1次符號(hào);又改變1次符號(hào);3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況有2個(gè)具有正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第27頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)（2）如果當(dāng)Routh表的任意一行中的所有元均為零時(shí)，系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的實(shí)根；或存在一對(duì)共軛純虛根；或上述的兩種類型的根同時(shí)存在；或存在實(shí)部符號(hào)相異，虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。第28頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)在這種情況下，可利用該行的上一行的元構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用這個(gè)多項(xiàng)式方程導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh計(jì)算表的一行代替全０行的元，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去，直到得出完成的Routh計(jì)算表。這些數(shù)值相同，符號(hào)相異的成對(duì)的特征根，可通過(guò)解輔助方程得到，即２p階的輔助多項(xiàng)式有這樣的p對(duì)特征根。第29頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例4

用Routh表判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況第30頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)將系數(shù)帶入Routh表第三行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算

3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況輔助方程

求導(dǎo)得

第31頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)3．應(yīng)用勞斯判據(jù)的特殊情況改變1次符號(hào);有1個(gè)具有正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第32頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的全部特征根位于

S

平面的左半部。

第33頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是通過(guò)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)G(jω)H(jω)與閉環(huán)特征方程

1+G(jω)H(jω)=0

的根在[s]

平面上分布之間的聯(lián)系,根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)G(jω)H(jω)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)第34頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.幅角原理5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)引入輔助函數(shù)，令

式中，pi為閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，zi

為閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)

第35頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)F(s)具有以下特點(diǎn)：（1）F(s)

與G(s)H(s)只相差1；（2）F(s)

的極點(diǎn)pi為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；其零點(diǎn)zi

為閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)；（3）對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)分母多項(xiàng)式的階數(shù)n大于或等于其分子多項(xiàng)式的階數(shù)m，因此，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)數(shù)目相同，都等于n。第36頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)幅角原理：設(shè)F(s)是復(fù)變函數(shù)，以[F]復(fù)平面上的s為復(fù)變量，以[s]平面上的表示。表示。第37頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)幅角原理：如果在[s]平面任取一個(gè)不穿過(guò)F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的封閉軌線LS，它包圍的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)分別為Z和P，封閉軌線

LS通過(guò)F(s)

映射到[F]平面上也是一條封閉軌線

LF。那么，當(dāng)復(fù)變量s在[s]平面中以順時(shí)針?lè)较蜓?/p>

LS旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，復(fù)變函數(shù)

F(s)在[F]平面上的映射軌跡

LF將按順時(shí)針的方向包圍原點(diǎn)

N=Z-P

次。第38頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)ImReF(s1)LFF(s2)[F]jωσs1Lss2[s]第39頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)jωσsLs[s]ImReF(s)LF[F]z1z2s-z1s–z2第40頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)向量F(s)的相位為

：假設(shè)LS

內(nèi)只包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)zi，其他零點(diǎn)和極點(diǎn)均在LS

之外，當(dāng)s沿LS

順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，向量（s-zi）的相位角變化-2π弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即F(s)在[F]平面上沿映射軌跡LF

繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一周。

第41頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)若［s］平面上的封閉曲線LS內(nèi)包圍著F(s)的Z

個(gè)零點(diǎn)，則在[F]平面上的映射曲線LF

將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)Z

周。同理，若［s］平面上的封閉曲線LS

內(nèi)包圍著F(s)的P

個(gè)極點(diǎn)，則在[F]平面上的映射曲線LF

將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P周。若LS

包圍了F(s)的Z

個(gè)零點(diǎn)和P

個(gè)極點(diǎn)，則F(s)平面上的映射曲線LF

將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)N=Z-P

周。第42頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)N>０，表示LF按順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)N次；N<０，表示LF

按逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)N次；N=０，表示LF

不包圍原點(diǎn)。第43頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)2．Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（1）[s]平面上的Nyquist軌跡

設(shè)在[s]平面上有封閉的曲線LS，其中，L1

段由ω＝－∞到＋∞的整個(gè)虛軸組成，L2

段是由半徑為R趨于無(wú)窮大的圓弧組成。因此LS

就封閉的包圍了整個(gè)[s]平面的右半平面。第44頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天jωσ0[s]LsR→∞5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)j∞-j∞2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

第45頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)由于應(yīng)用幅角原理時(shí)，LS

不能通過(guò)函數(shù)的任何極點(diǎn)，所以當(dāng)函數(shù)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于[s]平面的虛軸或原點(diǎn)上時(shí)，LS

應(yīng)被認(rèn)為是以這些點(diǎn)為圓心，以無(wú)窮小為半徑的圓弧按逆時(shí)針?lè)较驈倪@些點(diǎn)的右側(cè)繞過(guò)。由于這些小段圓弧緊貼極點(diǎn)繞過(guò)，因此，可以認(rèn)為L(zhǎng)S曲線包圍了整個(gè)[s]平面的右半平面，這一LS封閉曲線即為[s]平面上的Nyquist軌跡，當(dāng)ω由－∞變到＋∞時(shí)，軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉?/p>

第46頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天jωσ[s]LsR→∞5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)j∞-j∞00+0-ε2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

第47頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)[F]平面上的Nyquist軌跡按F(s)函數(shù)作出，由前述可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0。已知的F(s)函數(shù)，可以先求得F(s)位于[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P，從而可求得Z=N+P。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)使Z=0，即N=Z-P=-P。也就是，當(dāng)[F]平面的Nyquist軌跡LF

逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為N等于F(s)函數(shù)位于[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）[F]平面上的Nyquist軌跡第48頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（可見(jiàn)[GH]平面是將[F]平面的虛軸右移1個(gè)單位之后所構(gòu)成的新復(fù)平面。[GH]平面上的（-1,j0）點(diǎn)就是[F]平面上的原點(diǎn)。所以在[GH]平面上包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)N，就等于在[F]平面上LF

包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N。（3）[GH]平面上的Nyquist軌跡由可得第49頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

0ImRe[GH]LGH1G(s)H(s)(-1,j0)0ImRe[F]LF1F(s)(1,j0)第50頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)[s]平面上半徑為∞的半圓映射到[GH]平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。[s]平面上的虛軸j

映射到[GH]平面上的開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡G(j

)H(j

)作為包圍點(diǎn)（-1，j0）的評(píng)判依據(jù)。第51頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)ω由-∞到+∞時(shí)，若在[GH]平面的開(kāi)環(huán)頻率特性GK(jω)，即G(jω)H(jω)逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

第52頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（1）當(dāng)P=0，ω從-∞變到+∞時(shí)，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)不包圍原點(diǎn)（-1,j0），即N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（2）當(dāng)P≠0，ω從-∞變到+∞時(shí)，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)不到P圈或順時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第53頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)舉例

穩(wěn)定不穩(wěn)定ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞p=0

=-∞ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞p=0

=-∞第54頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（1）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)不是在[s]平面，而是在[GH]平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。是通過(guò)幅角原理將[s]平面的Nyquist軌跡（虛軸）映射為[GH]平面上的Nyquist軌跡G(jω)H(jω),然后根據(jù)G(jω)H(jω)軌跡包圍（-1,j0）點(diǎn)的情況來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而G(jω)H(jω)正是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性GK(jω)。

幾點(diǎn)說(shuō)明

第55頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（2）Nyquist判據(jù)的證明比較復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單。由于一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，當(dāng)P=0，故只要看開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡是否包圍點(diǎn)（-1,j0），若不包圍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P≠0，先求出P，再看Nyquist軌跡包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)，并注意ω由小到大的軌跡方向，若是逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第56頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（4）在P=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí)，有時(shí)稱為開(kāi)環(huán)穩(wěn)定；在P≠0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面有極點(diǎn)時(shí)，有時(shí)稱為開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)仍可穩(wěn)定；開(kāi)環(huán)穩(wěn)定,閉環(huán)系統(tǒng)也可能不穩(wěn)定。但開(kāi)環(huán)穩(wěn)定而其閉環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在實(shí)用上有時(shí)是不可靠的。

第57頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（5）開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，所以，一般只需繪出ω由0到+∞的曲線即可判別穩(wěn)定性。第58頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（6）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有特性。現(xiàn)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母是1+G(s)H(s)，即F(s).而F(s)包圍[F]平面上原點(diǎn)的情況與G(s)H(s)包圍[GH]平面上（-1,j0）點(diǎn)的情況完全一樣，因此，G(s)H(s)這一開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)包圍[GH]平面上（-1,j0）點(diǎn)的情況就反映了閉環(huán)系統(tǒng)的固有特性，因此，用它來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即由Nyquist判據(jù)用開(kāi)環(huán)傳遞數(shù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從物理意義上來(lái)說(shuō)也是容易解釋的。第59頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)1．Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|1234ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1234+-

g第60頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．奈奎斯特圖與伯德圖關(guān)系

①極坐標(biāo)的單位圓相當(dāng)于Bode圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。②極坐標(biāo)圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的-180°線，即對(duì)數(shù)象相頻特性圖的橫軸。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第61頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天（ωc為Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，亦即輸入與輸出幅值相等時(shí)的頻率，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，幅值交界頻率。

ωg為Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，亦即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率。

1．奈奎斯特圖與伯德圖關(guān)系

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第62頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡在（-1，j0）點(diǎn)以左穿過(guò)負(fù)實(shí)軸稱為穿越。2．穿越的概念

若沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過(guò)（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸稱為正穿越；若沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^(guò)（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸稱為負(fù)穿越。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第63頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天若沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸開(kāi)始向下稱為半次正穿越；若沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸開(kāi)始向上稱為半次負(fù)穿越2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第64頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天反之，沿頻率ω增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自上而下（相位減?。┐┻^(guò)-180°線為負(fù)穿越。對(duì)應(yīng)于Bode圖上，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿頻率ω增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而上（相位增加）穿過(guò)-180°線為正穿越；2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第65頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天反之，沿頻率ω增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-180°線開(kāi)始向下，為半次負(fù)穿越。若沿頻率ω增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-180°線開(kāi)始向上，為半次正穿越；2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第66頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)

-180o

GH正半次穿越負(fù)半次穿越第67頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．Bode穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)P為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在[S]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

P=0時(shí)，若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先交于橫軸，即ωc<ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性后交于橫軸，即ωc>ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若ωc=ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第68頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．伯德穩(wěn)定判據(jù)

P≠0時(shí)，在Bode圖上，當(dāng)ω由0變到+∞時(shí)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性在0到ωc的頻率范圍內(nèi)，正穿越和負(fù)穿越-180°軸線的次數(shù)之差為P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第69頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．伯德穩(wěn)定判據(jù)

若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)橫軸有多個(gè)剪切頻率，則取剪切頻率最大值來(lái)判別穩(wěn)定性，因?yàn)樽畲箢l率判別系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則低于它的頻率自然是穩(wěn)定的。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)

-180o

GH

c30

20lg|GH|

c1

c20o第70頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天4．Bode圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)①Bode圖可以用做漸進(jìn)線的方法作出，比較簡(jiǎn)便；②用Bode圖上的漸進(jìn)線可以粗略地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第71頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．伯德圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)

④在調(diào)整開(kāi)環(huán)增益K時(shí)，只需將Bode圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性上、下平移即可，因此很容易看出為保證穩(wěn)定性所需的增益值。

③在Bode圖中，可以分別作出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻、對(duì)數(shù)相頻特性曲線，以便明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定性的主要因素，從而對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正；5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第72頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例3．伯德圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第73頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1/Kg

φ(

c)

g

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|-90o

Kg(dB)>0相位裕度、幅值裕度為正第74頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1/Kg

φ(

c)

g

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|-90o

Kg(dB)<0相位裕度、幅值裕度為負(fù)第75頁(yè),共85頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)