波動(dòng)方程初值問題與行波法

關(guān)于波動(dòng)方程初值問題與行波法行波法——d’Alembert公式

d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，最著名的有8卷巨著《數(shù)學(xué)手冊(cè)》、力學(xué)專著《動(dòng)力學(xué)》、23卷的《文集》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究》中。第2頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一維波動(dòng)方程定解問題無(wú)界弦自由振動(dòng)*無(wú)界弦強(qiáng)迫振動(dòng)半無(wú)界弦自由振動(dòng)*半無(wú)界弦強(qiáng)迫振動(dòng)三維波動(dòng)方程定解問題二維波動(dòng)方程的定解問題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動(dòng)問題第3頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.1

一維波動(dòng)方程初始位移，初始速度

的無(wú)界弦自由振動(dòng)初值問題(Cauchy問題)一.d’Alembert公式推導(dǎo)第4頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們可以求出方程的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么？第5頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理可得：將兩式代入原方程,可得：連續(xù)積分兩次得其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有第6頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：

是方程

的通解,它包含兩個(gè)任意函數(shù)。對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng),利用初始條件,則：第7頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩端對(duì)

x

積分，可得：第8頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此即得原定解問題的解:無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾(d’Alembert)公式.第9頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天行波法小結(jié)(注：行波法僅適用于雙曲型方程)3.變量替換：1.波動(dòng)方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：5.利用初始條件解F、G：第10頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：求解無(wú)界自由振動(dòng)波動(dòng)方程柯西問題：解：由達(dá)朗貝爾公式：第11頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：解定解問題:解:

第12頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：求解波動(dòng)方程柯西問題解：由達(dá)朗貝爾公式：第13頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4：求二階線性偏微分方程初值問題的解解:先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：或者

第14頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗(yàn)證，經(jīng)過變換原方程化成它的通解為第15頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有把這個(gè)函數(shù)代入到條件

第16頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天代入到得原問題的解為：

第17頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5求二階線性偏微分方程的通解

解：特征方程為

積分曲線為：第18頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天經(jīng)過變換原方程化成所以,令為原問題的通解，其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。第19頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.d’Alembert公式物理意義1.考慮若的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時(shí)間t

的推移，的圖形以速度a向x軸正方向平行移動(dòng),故稱齊次波動(dòng)方程形如的解為右行波。2,表示一個(gè)以速度a

向x軸負(fù)方向傳播的行波，且傳播過程中，波形也不變化。

稱為左行波。

第20頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)第21頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天考慮：的物理意義,如圖給出的特例行波速度：弦拉的越緊,波傳播速度越快;密度越小,波傳播越快P9第22頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a

的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時(shí)：(1)只有初始位移時(shí)，代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0第23頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天依賴區(qū)間三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)間為解的依賴區(qū)間。u(x,t)

僅僅依賴于內(nèi)的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時(shí)，解的值不變。它是過（x，t）點(diǎn)，斜率為的直線與x

軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。1.依賴區(qū)間第24頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天該區(qū)域中任一點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c,d]內(nèi)部，因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間[c,d]上的初始條件決定。該區(qū)域稱為區(qū)間[c

,d]的決定區(qū)域。在區(qū)間[c

,d]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。決定區(qū)域2.決定區(qū)域第25頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.影響區(qū)域如果在初始時(shí)刻t＝0，擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時(shí)間t后，擾動(dòng)傳到的范圍為定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。影響區(qū)域第26頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間小結(jié)：特征線特征變換第27頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為的兩族直線：對(duì)一維波動(dòng)方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程的特征線。波動(dòng)沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。自變量變換4.行波法又叫特征線法第28頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征線恰好是常微分方程的解。

這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng)方程的特征方程。

第29頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一維非齊次波動(dòng)方程柯西問題的Kirchihoff公式.四.無(wú)界弦受迫振動(dòng)問題第30頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：解：第31頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們先考慮情形，即端點(diǎn)固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解五.半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問題第32頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天為此，我們要作奇延拓(有時(shí)也作偶延拓)：第33頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天

半無(wú)界問題的解為：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：當(dāng)在

x=0

處有一個(gè)自由端，即：則需要作偶延拓。第34頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天例當(dāng)當(dāng)?shù)?5頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§4.2

三維波動(dòng)方程柯西問題的解

一.三維波動(dòng)方程和球?qū)ΨQ解r第36頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天球坐標(biāo)中的Laplace運(yùn)算：所謂球?qū)ΨQ是指與無(wú)關(guān)，則波動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為球?qū)ΨQ性：第37頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天得到關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程的通解：即此為三維波動(dòng)方程在球?qū)ΨQ情況下的解，其中F、G為任意二次可微函數(shù)，可由初始條件確定。第38頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月