2023高考一輪考點(diǎn)突破 09 導(dǎo)數(shù)和函數(shù)壓軸小題歸類一（解析版）

09導(dǎo)數(shù)和函數(shù)壓軸小題歸類(1)

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】整數(shù)解..........................................................................1

【題型二】零點(diǎn)求參.......................................................................5

【題型三】同構(gòu)............................................................................8

【題型四】恒成立求參：移項(xiàng)討論型........................................................10

【題型五】恒成立求參：代入消參型(虛設(shè)根型)............................................14

【題型六】恒成立求參：構(gòu)造函數(shù)型........................................................18

【題型七】恒成立求參：參變分離(常規(guī)型)................................................21

【題型八】恒成立求參：參變分離(洛必達(dá)法則型).........................................24

【題型九】恒成立求參：倍函數(shù)............................................................26

【題型十】恒成立求參：雙函數(shù)最值型......................................................29

【題型十一】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)型................................................................33

二、最新模考題組練............................................................................38

【題型一】整數(shù)解

【典例分析】

在關(guān)于x的不等式e42-(ae'+4e2)x+ae'+4e2>0(其中e=2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù))的解集中，有且

僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

9O

「、

Cf164]94

-史威D.立司

【答案】D

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為e2(x-2『>a(x-l)e)分別研究兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，確定。的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，

利用放縮法進(jìn)一步縮小"的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.

【詳解】由e，%2-(后+4/b+如*+4/>0,化簡得：e2(x-2)2>a(x-l)e\

設(shè)〃力=d(尤-2)2,g(x)=?(x-l)e\則原不等式即為〃尤)>g(x).若aVO,則當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,

g(x)<0,

二原不等式的解集中有無數(shù)個(gè)大于2的整數(shù)，...a>0.："2)=0,8(2)=府>0,，〃2)<g(2).

當(dāng)〃3)Vg⑶，即止:時(shí)，^/z(x)=/(x)-g(x)(x>4),貝酎(耳=2/(》-2)-依-4262"-2)-旦.

2e2e

15^(%)=2e2(%-2)--(x>4),則“⑺=2e?-1"十0'在艮內(nèi))單調(diào)遞減,所以

2e2e

“(x)=2e2_(+l)e屋砥3)=0,所以夕(x)=2e?(》一2)-今在[4,+⑹單調(diào)遞減，

0(x)<0(4)=2e2(2-e)<0,

.?.當(dāng)x1時(shí)，〃(x)<0,，/?(無)在［4,+oo］上為減函數(shù)，即〃(x)V/i(4)=4e。Ve［4-■—l<0,

.?.當(dāng)x"時(shí)，不等式〃x)<g(x)恒成立，，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).

了⑶>g(3)2>2d3

2

二要使原不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則上⑷>g⑷，gp)4e>3郎，解得

2

254e3e-

,/(5)<。(5)l9e<4ae

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問題

【變式演練】

1.已知函數(shù)7'(x)=4(x+l)e，-x,若存在唯一的正整數(shù)%,使得〃毛)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

21

【答案】C

【分析】

題意等價(jià)于存在唯一的正整數(shù)X。使得不等式。+成立，求出函數(shù)g(x)=W的單調(diào)區(qū)間，直線

y=a(x+l)過定點(diǎn)(-1,0),作出函數(shù)g(x).和直線y=a(x+l)圖像，結(jié)合圖形列出不等式組化簡即可.

解：函數(shù)〃x)=a(x+l)/-x,若存在唯一的正整數(shù)％,使得等價(jià)于存在唯一的正整數(shù)力,使

得不等式。(x+1)弓成立，令g(x)=；貝ijg'(無)=?，由g'(x)>0得尤<1,由g'(元)<0得x>l

所以函數(shù)g(x)=^在區(qū)間(3,1)上遞增，在區(qū)間。,轉(zhuǎn))上遞減。所以g(x)1nM=g(l)=L

ee

直線y=a(x+l)過定點(diǎn)(—1,0),作出函數(shù)g(x)=?和直線y=a(x+l)圖像如下:

由圖可得要使存在唯一的正整數(shù)與使得不等式a(x+1)<3成立

2a<—

必有Ie2所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是2

3e2'2eJ

(2+l)?>—

Ie

故選：c.

2.已知偶函數(shù)滿足〃3+x)=〃3.x),且當(dāng)xe［0,3］時(shí)，若關(guān)于工的不等式尸(x)-于(力>。

在［-150,150］上有且只有150個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

(J_A「二_3A/_3A<A

A.0,e2B.e2,3^2C.3e2,2exD.e2,2^-1

\7L7\7k7

【答案】B

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)滿足〃3+X)=〃3-X),得到函數(shù)〃x)是以6為周期的周期函數(shù)，由xe［0,3］時(shí)，〃彳)=加=，

用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合偶函數(shù)，作出數(shù)“X)在(-3,3］上的圖象，將不等式尸(%)-4力>0在［-150,150］上有且只有

150個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在一個(gè)周期(-3,3］上有3個(gè)整數(shù)解分別為-2,2,3求解.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)/(0滿足〃3+丈)=〃3-x),所以〃6-x)=〃x)=〃r),即〃6+x)=/(x),

所以函數(shù)/(尤)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)xe［0,3］時(shí)，〃x)=/3,所以尸(x)=e2(『］),

當(dāng)0?2時(shí),r(x)>0,函數(shù)/(x)遞增；當(dāng)2<xW3時(shí)，r(x)<0,函數(shù)遞減；

當(dāng)當(dāng)尤=2時(shí)，函數(shù)〃力取得極大值“力=：,作出函數(shù)在(-3,引上的圖象，如圖所示：

因?yàn)椴坏仁絝(力-獷(力>0在［-150,150］上有且只有150個(gè)整數(shù)解，

所以不等式/(同一步句>0在(-3,3］上有且只有3個(gè)整數(shù)解，

當(dāng)〃x)=0時(shí)，不符合題意，故不等式〃x)〉t在(-3,引上有且只有3個(gè)整數(shù)解,

因?yàn)椤╨)=eH〃3)=3e/，所以笳=工>1，即/⑴T⑶，

故不等式/(%)>。在(-3,3］上的3個(gè)整數(shù)解分別為-2,2,3,

所以，f(l)<f<f(3),即/</<3二，故選：B

7Y

3.已知對任意實(shí)數(shù)左＞1,關(guān)于x的不等式Mx-。）＞m在（0,+"）上恒成立，則。的最大整數(shù)值為

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【詳解】令/（尤）=寧（彳＞0）,依題意，對任意左＞1,當(dāng)X＞o時(shí)，＞=/（%）圖象在直線產(chǎn)人（彳-。）下方,

X(0.1)1(1.-H?)

??廣（小幺戶列表

r（x）+0—

2

/(x)T

e

y=/（x）得的大致圖象

則當(dāng)a=0時(shí)，?.,/'（0）=2,.,.當(dāng)1〈后＜2時(shí)不成立；

當(dāng)a=-1時(shí)，設(shè)y=%（x+l）與y=〃x）相切于點(diǎn)&J?））.

則原=町母=.=1一年=/，解得毛=，le（O,l）.

,_3-V51.

原=飛了＜仁＜1,故成立，，當(dāng)aeZ時(shí)，。皿x=T.故選B.

e2

【題型二】零點(diǎn)

【典例分析】

已知函數(shù)/■（尤）=（x2-2x）e",若方程〃x）=a有3個(gè)不同的實(shí)根占，z，W（再＜馬（尤3），則一^7的取

值范圍是（）

【答案】B

【分析】對/（X）求導(dǎo)，利用〃力的圖像求得3的范圍，以及。與乙的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于3的函數(shù)值

域的問題進(jìn)行處理即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?（必-2x）e",故可得尸（x）="（Y-2）,令/'（x）=0,解得》=±應(yīng)，

故可得了（無）在區(qū)間卜單調(diào)遞增，在卜單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又外-忘）=馬芋，拒）=（2-2血,巴且當(dāng)x趨近于負(fù)無窮時(shí)，〃x）趨近于零，故〃x）的圖象如

下所示:

-4-3-2-101\1134

-1卜\I

-2卜\/

■3卜\/

(2+26、

故若方程〃x)=。有3個(gè)不同的實(shí)根，則ae0,—,又因?yàn)?'(%)=(只一2%)*=。，/4-夜,0)故

\eJ

黃工=,不妨令"x)=xe=xe(-72,0),貝I」砥x)=/(x+1),令〃(x)=0,解得x=一1,

容易知網(wǎng)尤)在區(qū)間(-A/2,-I)單調(diào)遞減，在(-1,0)單調(diào)遞增.故可得力⑺.=M-i)=4,又耳-志)=-專

＜人(0)=0故可得/i(x)＜0,則〃(x)e-即三工?J,。]故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求零點(diǎn)或者討論零點(diǎn)求參

1.函數(shù)討論法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

3.數(shù)形結(jié)合法：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.(常規(guī)題是函數(shù)與直線，較復(fù)雜的，就需要構(gòu)造

需要借助求導(dǎo)來畫圖的函數(shù)了)

【變式演練】

1.已知〃力=加-3/+1,若/(尤)存在唯一的零點(diǎn)七,且%＞。，則。的取值范圍是()

A.(2,+co)B.(-00,-2)C.(1,+℃)D.(—8,1)

【答案】B

【分析】

分類討論：當(dāng)。20時(shí)，容易判斷出不符合題意；當(dāng)。＜0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系

轉(zhuǎn)化為求極小值/[l]＞。，解出即可.

解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-3x2+l=0,解得＞±￥，函數(shù)”力有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)”＞0時(shí)，令/(x)=3亦2_6x=3ar(x_[]=0,解得尤=0或x=2＞0,歹!]表如下：

(-00,0)2,+oo

0BJ

Xa

f40-0+

\單調(diào)遞極大單調(diào)遞極小單調(diào)遞

/(q曾

值減值增

xf—00,/(x)^-oo,而/(0)=l>0,

二?存在％<0,使得〃1)=0,

不符合條件：/(力存在唯一的零點(diǎn)/，且%>0,應(yīng)舍去,

當(dāng)QV0時(shí)，f(x)=3ax2-6x-3ax[x-—|=0,

2

解得x=0或1=一<。，

a

列表如下:

1T2

0(0,+oo)

Xa

f0+0-

.調(diào)遞

極小單調(diào)遞極大單調(diào)遞

/(

械值增值減

而〃0)=l>0,X-時(shí)，〃尤)fYO,.?.存在%>0,使得〃1)=0,

“X)存在唯一的零點(diǎn)％,且無。>。，.?.極小值/[2]=。(2)3-3(2)2+1>。，化為/>4,

\a)aa

.avO,「.〃<-2,綜上可知：4的取值范圍是(r°，-2).故選:B.

2.已知函數(shù)〃幻=三字⑺<O),g(x)=20,設(shè)方程/(g(x))+,=。的3個(gè)實(shí)根分別為占,馬，尤3,且

3xxm

玉<%<工3，貝!1g(玉)+2g(犬2)+3g(&)的值可能為()

2233

A.—B.—C.—D.一

eeee

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性、極值及區(qū)間值域，由題設(shè)可知3/+爾-2M=0在(-8,。)(0,+8)上必有兩

2m22m

個(gè)不等的實(shí)根％山(假設(shè)L>L)且A=T7g=￥，結(jié)合g。)的性質(zhì)有一<=<0且芍=g(%)=g(%)，

~3e3

4=g(W),進(jìn)而求目標(biāo)式的值，即可確定答案.

【詳解】

由題設(shè)，g(元)=-----^的定義域?yàn)?-00,。)，且g(X)=---------5------，

XX

???當(dāng)X￡(-OO,—e)時(shí)，gr(x)<0,即g(x)遞減；當(dāng)％￡(—e,0)時(shí)，g\x)>0,即g(x)遞增.

2

gO)>g(-e)=—-,又工在(-8,-e)上逐漸變小時(shí)g(x)逐漸趨近于0,當(dāng)-1vxvO時(shí)g(x)>g(—l)=0且隨工

e

趨向于0,g(%)趨向無窮大.

???g(x)的圖象如下：

?.?/。）的定義域?yàn)?》大0},由/（x）+L=O可得：-2/=0在（-8,。）（。,+⑹上必有兩個(gè)不等的

m

2m

實(shí)根44（假設(shè)。＞G）且4=-加出=§（加＜。），

1222m3

.?.令t=g（x）,要使/⑺+—=0的3個(gè)實(shí)根，則4e[0,+q）、Z2e（—,0）,即――＜一＜0,可得一巳＜〃z＜0.

mee3e

3

.?.由再＜%知：=g（%）=g（Xz）,%=g（W）,8（占）+28（/）+385）=3（%+幻=1，€（0,—）.故選：

e

B.

3.已知函數(shù)/（x）=W，對于正實(shí)數(shù)a,若關(guān)于，的方程/⑺=恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則。的取

值范圍是（）

A.（1,8）B.1，8）C.（8,+oo）D.（e2,+＜?）

【答案】D

【分析】

研究〃”=叱的圖像可知，若〃。=/已],令%=『,々=@,貝廳（可）=/（冬），且玉,%＞1,可以推出，

x\tJt

司=%或占%=。，通過對數(shù)不等式寫出關(guān)于士馬的不等式，即可求出。的范圍

【詳解】

因?yàn)閒(x)=(，f\x)1—Inx人工1—Inx人工1—In%?”

—2—，令/(x)=--2—>0得：0<x<e；令/(x)=—>0Z得I=J：x>e,所

XXX

以在區(qū)間（o,e）單調(diào)遞增，在（e,+a））單調(diào)遞減，且xf8時(shí)，〃x）＞0恒成立，的圖像如下:

令占=匕々="|,則/（玉）=/（9），且石＞1

①當(dāng)%=%時(shí)，/=/,/=&,成立，所以夜是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根

、/、Inxlnx,InxIn/

②當(dāng)X]/%時(shí)，由/(玉)=/(/)得：---=---9=，令---=----m

(nue.=lnxInx,-Inx0Inx+Inx,

則：,，兩式相減得：m=---------,兩式相加得：m=-----------

\mx2-Inx2玉-x2%+x2

玉-x玉+xx-x<石+X

所以:22,由對數(shù)均值不等式得:122

In玉-Inx2In玉+Inx2In^-lnx22

X,+X,~roao

所以：i-------r-->且x”W>l，所以lnX]X2>2,Xj%>e~,即：t—^a>e'

In%+Inx?22t

所以q>e2故選：D

【題型三】同構(gòu)

【典例分析】

定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在(。力)上的導(dǎo)函數(shù)為尸(無)，若尸(無)在(。力)上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)>=/(》)在

(。,6)上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為y=/"(x).若在區(qū)間(。,加上/(無)>0,則稱函數(shù)y="X)在區(qū)間(。力)上為

“凹函數(shù)”.已知/(x)=me'+(X+1)2[l+21nm-2In(尤+1)]+x在區(qū)間(T+◎上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

4

范圍為()

A.(1,+℃)B.(@+oo)C.(e,+<?)D.(Ve,e)

【答案】A

【分析】

根據(jù)題中“凹函數(shù)”的定義，/'(x)=7/7e'+lnw-ln(x+l)-1>0對任意尤6(-1,+oo)都成立，

同構(gòu)為*411根+(x+lnM>ehia+i)+]n(%+l),利用g(x)=^+x在(-8,+8)是增函數(shù)，得不等式

In心/z(x)=ln(x+l)-x的最大值，求出g(x)=ln(x+l)-x的最大值，即可得解.

解：因?yàn)閒(x)=mex++-[1+2Inm—2ln(x+1)]+x

4

所以/(%)二加四■(%+1)[Inm-ln(x+l)]+l,-ln(x+l)-1,

因?yàn)?(%)=/e"+("+D[1+2Imn—25(%+1)]+%在區(qū)間(-1,+s)上為“凹函數(shù)”，

4

所以/'(x)=M"+lwn-ln(x+l)-1>0對任意工￡(-1,+8)都成立，因?yàn)橄鄀^+livn--

1>0^1聲111心111(%+1)+1

+lnzMln(x+1)

<=^x+imn+a+]nM>]n(x+i)+(x+1)<=^+(x4-lnm)>e+ln(x+1),且8⑴二^+%在(-8,+8)是增函數(shù)，

所以^+lnw+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+l)<=^+lnm>ln(x+l)^4nm>ln(x+l)-x,

由題意，In心/z(x)=ln(x+l)-x的最大值，g(x)=ln(x+l)-x,g?)=^7T,xe(-l,0),g'(x)>0,g(x)

x+1

單調(diào)遞增；

xe(0,-H?),g'(^)<0,g(x)單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,

BPlnm>0,所以m>1,故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.注意同構(gòu)法在解題中的應(yīng)用，對于常見形式的同構(gòu)要熟練運(yùn)用，如機(jī)=.

2.注意同構(gòu)技巧在試題中的轉(zhuǎn)化意識(shí)，適當(dāng)?shù)欠N“同構(gòu)就結(jié)束解題”的題型。區(qū)別就是如練習(xí)1和3。

【變式演練】

1.已知函數(shù)"x)=x-ln(x+l),g(x)=e'-x-l,若g(x)2"(力對Vx?0,+s)恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值

范圍.

解析：由題意得：e*-無一1"[尤-ln(x+l)]

右邊式子湊1得e'—尤—1W左[x+1—ln(x+1)—1]

BP-x-1>-In(x+1)-1],因?yàn)閤Nln(x+l)

當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號(hào)成立，所以滿足ZW1即可

當(dāng)且僅當(dāng)e，-尤-1=1,即x=0等號(hào)成立，所以ZW1.

2.已知不等式尤e向-尤Nlnx+2加+3對Txe(0,w)恒成立，則機(jī)取值范圍為()

A.m<——B.m>——C.m<—2D.m>—2

22

【答案】A

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為-x-Inx2+3對Vxe(0,內(nèi))恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(x)=xe^1-x-lnx,進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)

方法求出函數(shù)的最小值，即可得到答案.

【詳解】

不等式xex+1-x>lnx++3對Vx?(0,a)恒成立，即xex+1-x-]nx>2租+3對Vxe(0,吩)恒成立，令

/(x)=%ex+1-x-lnx(x>0),/(x)=(x+l)eI+1-1-i=(x+l)p+1而g(x)=在(0,+e)單調(diào)遞

X\XJx

g⑴=1

且g]。一16〃所以『(id-唯一)，使得g

增(增+增),

則xe(O,Xo)時(shí)，g(x)<0n「(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，xe?,”)時(shí)，g(x)>0=1(x)>0,單調(diào)

遞增.所以向"=/(%)=-尤。一Inx0

尤o*一

?^U)=^+1--=0=><

X。lnx0=-(x0+l);

所以/(x)1nhi=1-龍0+(1+1)=2,所以2N2〃z+3nmW-g.

3.設(shè)k>0,若存在正實(shí)數(shù)x,使得不等式1。827彳-源3人匕0成立，貝必的最大值為()

A.B.—C.-——D.-----

eln3eIn32

【答案】A

log3X

【分析】化簡log27%，3入t之。得logs%2左3",從而xlog3龍與履,3-log3xAx-3^,

構(gòu)造函數(shù)〃司=尤3,有單調(diào)性得log,x,區(qū)>0,再化簡得左W0,

X

再構(gòu)造函數(shù)g(x)=W，求g(x)="丁得最大值即可.

解：因?yàn)?嗎"》上3tlT,所以logsX〉左3%因?yàn)閤>0,所以xlog3X》fco3",即3啕，JogsX》履?3&,

設(shè)函數(shù)〃x)=x-3"尤>0,0x)=3-ln3=3，(l+x-ln3)>0,所以函數(shù)〃x)=x-3*在(0,+8)為增函數(shù),

所以log/M區(qū)>0所以左W0，設(shè)函數(shù)g(x)=0,/Q_71n3"T°g丘而一1n31nx,

xxg㈠一/一/-ln3.x2

所以函數(shù)g(x)=3在(0,e)為增函數(shù)，在(e,+8)為減函數(shù)，所以8(力厘=屋4=陛='，

xeemJ

所以女的最大值為，/，故選：A.

【題型四】恒成立求參：移項(xiàng)討論型

【典例分析】

若xe(0,l],儂-xln尤〈根恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.[1,+00)B.jC.[2,+oo)D.(f/]

【答案】A

【分析】

把給定恒成立的不等式變形，構(gòu)造函數(shù)/(x)=Mx-l)-xlnx(O<x〈l),利用導(dǎo)數(shù)探討/(x)的最大值不超過

0即可作答.

【詳解】

Vxe(0,1］,mx-xlnx<mom(x-l)-xlnx<0,

令/(%)二根(％一1)一xlnx(0<x?l),貝！=M—l—lnx,而lnx<。成立，

當(dāng)為27時(shí),Ax)>0,即/⑴在(0,1］上遞增，當(dāng)％=1時(shí)/⑶0=0,

于是有當(dāng)機(jī)時(shí)，恒有加(％-1)一xlnxK。，

當(dāng)相<1時(shí)，由［(無)=。得了=?2,0<x<e”T有/(九)>。，61<%<1有/(犬)<。，即/⑴在［*工1)上遞

減，

當(dāng)時(shí)，f(x)>f(l)=0,即根(％-1)一%1口%>0成立，不符合題意，

綜上：m>l,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為［1,+8).

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn)。

2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵。

3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來“壓縮”參數(shù)的討論范圍

【變式演練】

L若關(guān)于x的不等式eiNin尤+〃對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.1應(yīng)1B.(^?,e］C.D.(-2］

【答案】C

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=e--"5°a>0),將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)/(x)的最小值，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研

究函數(shù)的最值，得到淖~-阮v°_a.O,再利用基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解:設(shè)/0)="-"-加:-"0>0),則，(無)..0對一切正實(shí)數(shù)為恒成立，即/(X)樹"..0,

由r(x)=ei-L令〃(>)=*"-!,則〃(x)=ei+±>0恒成立，所以6(元)在(0,+(?)上為增函數(shù)，

XXX

當(dāng)X30時(shí)，力(無)fT?,當(dāng)x—y時(shí)，h{x}->+00,則在(0,+00)上，存在與使得人。0)=0,

當(dāng)。<尤<不時(shí)，h(x)<0,當(dāng)x>x()時(shí)，/z(x)>0,故函數(shù)/(尤)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)在X=%處取得最小值為f(x0)=-lnxo-a..O,

因?yàn)閑""=一,即％-“=-加；0,所以,+%-a-a.O恒成立，即2a,,Xo+,，

工0%0天)

又飛+,..2)：％一工=2,當(dāng)且僅當(dāng)天=一,即%=1時(shí)取等號(hào)，故2《,2,所以6,1.故選：C.

%V無o%

2.已知函數(shù)〃同=加工&一；。f+1,無?0,y)，若〃x)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[e,+oo)B.(e,+co)C.■|e2,+oo]D.[■|e2,+oo]

【答案】C

【分析】

對函數(shù)y=〃x)求導(dǎo)得出尸(x)=(x+D(e*-6)，由題意得出函數(shù)y=〃x)在(0,+。)上存在極小值點(diǎn)，然

后對參數(shù)〃分類討論，在。<e時(shí)，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增，無最小值；在"e時(shí)，根據(jù)函數(shù)y=/(x)的單

調(diào)性得出了(尤)極小值4/(0)，從而求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

Q/(x)=x^x-^ar3-^ax2+l,/./r(x)=(x+l)e%-ax2-ar=(x+l)^x-ax^,

構(gòu)造函數(shù)g(%)="-依，其中x〉0,則g〈x)=e”-a.

①當(dāng)Q?1時(shí)，對任意的%>0,gr(x)>0,則函數(shù)y=g⑺在(0,+a)上單調(diào)遞減,

此時(shí)，g(x)>g(O)=l>O,則對任意的x>0,/'(%)>0.

此時(shí)，函數(shù)y=〃%)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，無最小值；

②當(dāng)。>1時(shí)，解方程g<x)=eX_a=0,得了=in〃.

當(dāng)Ovxvlna時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>lna時(shí)，g'(%)>0,

止匕時(shí)，g(九).uglma)：]一]1n〃=a(l—lna).

(i)當(dāng)1-lnaNO時(shí),即當(dāng)lva<e時(shí),則對任意的尤>0,/r(x)>0,

此時(shí)，函數(shù)>=〃％)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，無最小值；

(ii)當(dāng)1-lnavO時(shí)，即當(dāng)〃〉e時(shí)，..g(0)=l,當(dāng)時(shí)，g(x)f+oo,

由零點(diǎn)存在定理可知,存在.￡(O,lna)和％￡(1口。,也)，使得g&)=g?2)=。,

1，2,

gpe'-atl=e-at2=0,且當(dāng)0<x<(和x>f2時(shí)，g(x)>0,止匕時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)4Vx時(shí)，g(x)<。，此時(shí)，r(x)<。.

所以，函數(shù)y=/(x)在x=%處取得極大值，在x=L取得極小值，

由題意可知，極小值=〃幻<”0)=1,

二./(打)=~cit^一-at\=qe'z—_——t^2+1=1—§+<1,

3e’2a

可得方2之一，又*—at?=。,可得。=—,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=—，其中%之弓，

2元2

則〃(x)「'(；T)>o,此時(shí)，函數(shù)y=/i(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

3

當(dāng)時(shí)，則"(同2彳||=弓=+2,...讓全上

2

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是ge；+8：故選C.

3.已知函數(shù)〃力=(彳-4-1孵+。，若存在bwR,對于任意xe[l,2],都有則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是?

【答案】上日

【分析】

設(shè)g(x)=(x-a-l)d,問題轉(zhuǎn)化為對于任意xe[1,2],都有g(shù)(x)1n”-8(壯誣<e,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的最值，

建立關(guān)于〃的不等式即可求解.

【詳解】設(shè)g(x)=(尤-。-1)/,由b的任意性，結(jié)合題意可知，對于任意xe[l,2],

即g(X)max-g(X)1nin<C,

又，(x)=(x-a)e1易知函數(shù)g(x)在(-s,“)單調(diào)遞減，在3—)上單調(diào)遞增，

①當(dāng)aWl時(shí)，g(x)在[L2]上單調(diào)遞增，

貝Ug(x)max=g(2)=(1-謫,g(x)min=g(l)=-ae

故g(x)max-gC^hnin=(l-a)e2+ae<e,解得a>l,此時(shí)無解.

②當(dāng)“22時(shí)，g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，

則g(x)max=g(X)=-ae,g(x)=g(2)=(l-a)e?故g(x)maXmin=-ae-(l-a)e2<e，解得2,“<--

1nhie-1

③當(dāng)1<〃<2時(shí)，冢尤)在［1,。］一上單調(diào)遞減，在(〃,2］上單調(diào)遞增，

則g(x)min=g(a)=—e"，g(x)max=max{g⑴,g(2)},

故只需g⑴-g(a)=e"-<e且g(2)-g(a)=ea+(1-a)e2<e

記函數(shù)m(a)=ea-ae-e,則/⑷=e"-e>0,函數(shù)m{d)在(1,2)上遞增,

則m(a)<m(2)=e2-3e=e(e-3)<0,

t己函數(shù)"(a)=e"+(1—a)e2-e貝!jnr(a)=ea-e2<0,

函數(shù)n(a)在(1,2)上遞減,貝ljn(a)<〃⑴=3+0-e=0

故當(dāng)1<〃<2時(shí)，g⑴一g(〃)<e且g(2)-g(a)<e'恒成立，滿足題意，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,故答案為：［1，詈］

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，查了不等式的恒成立問題，考查分類討論思想，考查了

推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

【題型五】恒成立求參：代入消參型(虛設(shè)根型)

【典例分析】

設(shè)實(shí)數(shù)2>0,若對任意x?0,y),不等式9-In(2x)20恒成立，則幾的取值范圍是()

A.0<2<-B.0<2<^—1C.0<A<eD.0<A<e2

e

【答案】C

【分析】

令/(x)=--ln(2x),根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷了'(尤)的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知比e(0,+⑹使

/Vo)=O,止匕時(shí)2=%/。，進(jìn)而討論了(X)的單調(diào)性可知/(X)2/(X。)，要使題設(shè)不等式恒成立，即

/(%)=g-In2-In毛20成立，構(gòu)造g(x0)=J-2InX。-％利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定g(x0)2。的區(qū)間,

進(jìn)而求彳的范圍.

【詳解】令〃x)=C-in/x),只需要xe(O,y)上/(尤)20恒成立，

A-

x1

VfXx)=—e--S.A>0,

Ax

/./"(x)=—+-^>0,即/(尤)在xe(O,+x))上單調(diào)遞增，

?.?limff(x)=-oolimff(x)=+oo

?xfo+'xf+00

x

玉oe(0,+°o)，使((尤o)=。，即2=Xoe°,：.xe(0,尤0)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；xe(尤°,+℃)時(shí)，/'(x)>0,

/(x)單調(diào)遞增；

故只需〃力2/(尤0)=三ln(/Uo)=三--ln2-lnx0>0,令g(x())=^--21n無0-%,

44xo

g'Oo)=-('+if<。，故g(尤0)在尤0e(0,+<?)上遞減，而g⑴=0,

xo

???/￡(0,1]時(shí)，g(x0)20恒成立，可知；1=為淖w(0,e].故選:C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.代入消參，也是壓軸大題的一個(gè)類型。

2.解題框架(主要的)：

(1)導(dǎo)函數(shù)(主要是一階導(dǎo)函數(shù))等零這一步，有根X。但不可解。但得到參數(shù)和X。的等量代換關(guān)系。備

用

(2)知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根X。

(3)利用X。與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出X。不等式，求得X。范圍。

(4)再代入?yún)?shù)和X。互化式中求得參數(shù)范圍。

【變式演練】

1.已知函數(shù)〃x)=x2Tn(l+x)-ln(a-x)有唯一零點(diǎn)，則”()

A.0B.--C.1D.2

2

【答案】C

【分析】

分析可知函數(shù)〃力存在極小值/(不)=0且滿足一^=」7-2%,由此可得出

CL—XQXQ+1

/(x°)=x；+ln己了一三個(gè)=0,構(gòu)造函數(shù)0(x)=Y+ln,其中一〈苫〈號(hào)■,利用導(dǎo)

數(shù)分析得出函數(shù)。(另在區(qū)間T號(hào)一上為減函數(shù)，可求得與的值，進(jìn)而可求得。的值.

【詳解】函數(shù)"X)的定義域?yàn)?—1,4),則。>一1,;(無)=2尤--二---,

x+1x-a

貝U"(x)=2++r->0,所以，函數(shù)尸(x)在(-U)上為增函數(shù)，

當(dāng)了-—-時(shí)，/'(%)--00，當(dāng)Xf〃-時(shí)，/'(%)—+00，

則存在不,使得廣(%0)=2%o—=。，則=—77一2”。,

XQ+iXQ—aQ—XQXQ+I

當(dāng)-l<x<x°時(shí)，尸(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)不<了<。時(shí)，/(%)>0,此時(shí)函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，.?"(X)疝"=/(%)=%一ln(l+Xo)—ln(a-Xo),

由于函數(shù)〃力=爐-111(1+彳)一In(a-x)有唯一零點(diǎn)，則"x).=/(毛)=*一ln(l+x())-皿。一%)=。，

-------=----------2%>0/9_1

由Ja-與x0+l,解得

x0>-12

1/11

所以，XQ-ln(l+x0)+ln-------=XQ-ln(l+x0)+ln----------2x0=x；+ln

、a—x。[%+l)

令夕(%)=%2+ln--^--3-,其中,

(x+1)x+lj2

，/、(%+l)22(x+2)_2]+2(x+2)4x4+8x3+2x2+4

(p,(x\=2x+v/—

V71-2X2-2X(%+l)3(2爐+2x-l)(x+l)(2f+2%_l)(x+l)

4X2(X+1)2+2(2-^2)

(2尤2+2x-l)(x+l)

n_\

-1<X<^—,貝1」2爐+2%—1<0,x+l>0,2—爐>0,貝Ij0'(x)v。，

所以，函數(shù)在|-1，氣一上單調(diào)遞減，且°(0)=0,，/二。，

從而可得！=1,解得。=1.故選：C.

a

2.已知函數(shù)/(x)=xe2l-l,不等式于(x)>mx+^x對任意xe(0,內(nèi))恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-8,2]B.[0,2]C.(-a),e2-l]D.[0,e2-l]

【答案】A

【分析】

問題等價(jià)于隙W,二一比x-1對任意**(0,+8)恒成立,構(gòu)造函數(shù)gQ)=史二^]，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的

XX

單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出g(x)的最小值，即可求出機(jī)的取值范圍.

【詳解】

xe2x-Inx-1

由題可得/(%)>mx+lnx對任意xe(0,+oo)恒成立，等價(jià)于m<對任意工￡(0,+9)恒成立，

x

令g(%)=----^――~~~，則g'(1)=2'2+山',令h(x)=2x2e2x