第12講 函數(shù)的基本性質(zhì)-奇偶性（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第2課函數(shù)的奇偶性

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函

數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象

對稱性之間的關(guān)系.

2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，

函數(shù)的奇偶性解有關(guān)函數(shù)不等式，利用函會求與奇偶函數(shù)有關(guān)的函數(shù)解析式，能處理與函數(shù)單調(diào)

數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍.性、周期性相關(guān)的綜合問題.

3.能解決與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性有

關(guān)的綜合問題.

陽:知井

3'知識點(diǎn)01函數(shù)的奇偶性

一般地，如果對于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（—X）=/（X）,那么函數(shù)/（X）就叫做偶函

數(shù).

一般地，如果對于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（—x）=—/（X）,那么函數(shù)/（X）就叫做奇

函數(shù).

【微點(diǎn)撥】（1）①首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是非奇非偶

函數(shù)；

②在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，進(jìn)一步判定f{-x）是否等于±/（x）.

(2)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說明/(-x)與/(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)

系時，才能判定函數(shù)的奇偶性.

(3)若奇函數(shù)的定義域包括0,則/(())=().

【即學(xué)即練1】下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域是(0,+8)的函數(shù)是()

A.y=2x+l(x>0)B.y=正_［

_12

c.y-inD.y=—

Vx2-1X

【即學(xué)即練2］函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法：

①〃。)=0;

②若“X)在［0,+?))上有最小值—1,則“力在(―⑼上有最大值1；

③若“X)在上為增函數(shù)，則“X)在(-00,-1］上為減函數(shù).

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【即學(xué)即練3】(多選題)下列判斷不正確的是()

A.函數(shù)=三且是奇函數(shù)

x-2

工2(yI1A

B.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

X+1

C.函數(shù)f(x)=x+冏是非奇非偶函數(shù)

D.函數(shù)/(x)=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

在'知識點(diǎn)02奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征

如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果

一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).

如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).

【即學(xué)即練4］已知偶函數(shù)Ax)與奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-2⑵，它們在［0,2］上的圖象如圖所示，則使

關(guān)于龍的不等式/(x).g(x)>0成立的x的取值范圍為()

C.(-2,-1)50,1)D.(-1,0)5,2)

*,知識點(diǎn)03

奇、偶函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到:

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)

性.上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異

(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在

關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).

【即學(xué)即練5】(多選題)若奇函數(shù)f(x)在［1,3］上為增函數(shù)，且有最小值0,則它在［-3,-1|上()

A.是減函數(shù)B.是增函數(shù)C.有最大值0D.有最小值0

【即學(xué)即練6】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.y=x+\B.y=-JCC.y=D.y

知識點(diǎn)04性質(zhì)法判斷函數(shù)的奇偶性

f(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

/(X)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)/(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

【即學(xué)即練7】已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則()

A./(x)可能是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)

B.f(x)可能是偶函數(shù)，但不可能是奇函數(shù)

C./(x)可能是奇函數(shù)，且可能是偶函數(shù)

D.f(x)不可能是奇函數(shù)，且不可能是偶函數(shù)

【即學(xué)即練8】f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，且〃6-8(尤)=/+3*+2,則/⑴的值為()

A.1B.3C.4D.6

【即學(xué)即練9】(多選題)設(shè)函數(shù)〃x),g(x)的定義域都為R,且〃x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列

結(jié)論中正確的是()

A.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)B.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

C.〃x)+|g(x)|是偶函數(shù)D.|/(x)|+g(x)是偶函數(shù)

【即學(xué)即練10](多選題)已知函數(shù)人r)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)x,y滿足Hx+y)=/a)+Hy)+g,且/(；)

=0,當(dāng)時，兀v)>0,則以下結(jié)論正確的是()

A.40)=一a，A-l)=-|

B.7U)為R上的減函數(shù)

C.以x)+g為奇函數(shù)

D.兀0+1為偶函數(shù)

口能力拓展

考法01

判斷函數(shù)的奇偶性：

判斷函數(shù)的奇偶性的常用方法：

(1)定義法

一般地，對于較簡單的函數(shù)解析式，可通過定義直接作出判斷；對于較復(fù)雜的解析式，可先對其進(jìn)行化

簡，再利用定義進(jìn)行判斷.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

I結(jié)論I

(2)圖象法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸成軸對稱.因此要證函數(shù)的圖象關(guān)

于原點(diǎn)對稱，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對稱，只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即

可.反之，也可利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.

(3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法

①兩個奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù).

②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù).

③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”.

(4)分段函數(shù)的奇偶性判定

分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)1.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于/(x)的方程，從而可得/(%)

的解析式.

(4)性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來判斷.

判斷了(-x)與/(X)的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論:

f(—

如果/(一劃一/。)=0或尢：=1(/(幻#0),則函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；

f(—x)

如果/(一x)+/(x)=O或尢：=一1(/(》)聲0),則函數(shù)“X)為奇函數(shù).

【典例1］判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑴/(x)=x+J；

(2)/(x)=2x2+|x|；

⑶小)力

【即學(xué)即練11】下面四個函數(shù)中既為奇函數(shù)，又在定義域上單調(diào)遞減的是()

A.y=x3B.y=—C.y=y/\—xD.y=2"'-2'1

【即學(xué)即練12］設(shè)函數(shù)f(x)=x2-j,則/(x)()

A.是偶函數(shù)，且在(3,0)單調(diào)遞增B.是偶函數(shù)，且在(—,0)單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，且在(—,())單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,0)單調(diào)遞減

考法02

奇偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此可以借助函數(shù)一部分的圖象得出函數(shù)

另一部分的圖象，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì).

【典例2］已知函數(shù)F(X)與g(x)的部分圖象如圖1,則圖2可能是下列哪個函數(shù)的部分圖象()

A.y=f(g(x))B.y=f(x)g(x)c.y=g(/3)D.y=--

g(x)

【即學(xué)即練13］函數(shù)y=(e'-gcosx在上的圖象可能是()

e22_

考法03

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

（1）利用奇偶性的定義求函數(shù)的值或參數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函

數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解.

（2）利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上

的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，把

它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

（3）利用奇偶性比較大小，通過奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)

對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)

區(qū)間上比較大小.

【典例3】已知奇函數(shù)/（幻=奴2+笈+-（4867?）,且/（1）=3.

X

（1）求f（x）的解析式；

（2）用單調(diào)性的定義證明：/（x）在（0,&）上單調(diào)遞減.

【典例4】已知定義在［-3,3］上的奇函數(shù)y=/（x）是增函數(shù).

(1)若/(，"+1)+/(1-2利)>0,求』的取值范圍;

(2)若f(2)=1,解不等式/(x+l)+l>0.

【即學(xué)即練14】已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x)滿足+=當(dāng)04x41時〃幻="-1,則

2"43時/")的解析式為()

A./(x)=1-e'-2B.f(x)=e"2-i

C.f(x)=］-e'-'D.f(x)=e'T—1

【即學(xué)即練15】已知/(X)=O?-加+1是定義域?yàn)椋踑,a+1］的偶函數(shù)，則/-儲=()

3

A.0B.-

4

C.72D.4

【即學(xué)即練16】定義在R上的偶函數(shù)/(X),對任意％,x,e［0,+oo)(x產(chǎn)x,),有〃土匕也)<0,則()

Xl~X2

A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)

C./(3)</(-2)</(1)D.〃3)<川)<〃-2)

【即學(xué)即練17】已知"X)是定義在［帆-9,2〃z+3］上的奇函數(shù)，且當(dāng)&0時,=f-X,則/(加)的值為

()

A.-2B.-6C.2D.6

考法04

易錯提示-…判斷函數(shù)奇偶性時，注意定義域

【典例4】判斷函數(shù)/(力=/+3/,*6(-2,2］的奇偶性.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.若函數(shù)為冗)為R上的偶函數(shù),且f(2)=3,則/(-2)=()

A.-3B.3C.2D.-2

2.下列函數(shù)具備奇偶性的函數(shù)是()

A./(x)=x+lB./(x)=

C.f(x)=x2D./(x)=x2+2x

3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在［1,+co)單調(diào)遞增，且f(x+1)為偶函數(shù)，若/(3)=1,則不等式/(2x+l)<1

的解集為()

A.y,-i),(i,+^)B.(-1,+=?)

c.y,i)D.(—1,1)

5.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽.且/(x+1)為偶函數(shù)，/(2x-l)為奇函數(shù),則()

A./出=。

B./(0)=0

6.設(shè)F(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),)

AB

-4-433

7.已知函數(shù)/Xx)=H+6(氏/0),則“/(。)=0”是"函數(shù)"V)為奇函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知定義在R上的函數(shù)在(-1,+oo)上為增函數(shù)，且函數(shù)/(x-1)為偶函數(shù)，則的

大小關(guān)系為()

A./f-y]</(-4)</(3)

B./(-4)</</(3)

C./(3)</f-y]</(-4)

D./(-4)</(3)<

題組B能力提升練

1.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足在［0,+co)上單調(diào)遞增，/(3)=0,則關(guān)于X的不等式

‘"2壯”士2)>0的解集為()

x

A.(-5,-2)(0,+8)B.;(0,1)

C.(-3,0)53,”)D.(-5,0-)

2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù),/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時，f(x)=ax2+b.若

9

/(0)+/(3)=6,則/()

97c5

A.——C.-D.-

442

3.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)X..0時，f(x)=x-x2,則下列說法正確的是()

A.八幻的最大值為工B./(x)在(-1,-3是增函數(shù)

42

C.f(x)>0的解集為(-1,1)D./(x)+2x..O的解集為［0,3］

4.(多選題)設(shè)函數(shù)y(x),g(x)的定義域都為R,且凡r)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.y(x)g(x)是奇函數(shù)B.|/(x)|g(x)是偶函數(shù)

C.八x)|g(x)|是偶函數(shù)D.|/(x)g(x)|是偶函數(shù)

5.已知函數(shù)f(x),xe(y,0)u(0,+<?),對于任意的x,ye(7,0)」(0,”)，/Cyy)=/(x)+/(y),則()

A.f(x)的圖象過點(diǎn)(1,0)和(-1,0)

B./(x)在定義域上為奇函數(shù)

C.若當(dāng)x>l時，有/(力>0,則當(dāng)-l<x<0時，/(x)<0

D.若當(dāng)0<x<l時，有,f(x)<0,則f(x)>0的解集為(1,+8)

6.已知二次函數(shù)〃到=丁+區(qū)+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,13),且函數(shù)y