2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（精講）

題型目錄一覽

①指數(shù)幕的化簡與求值

②指數(shù)函數(shù)的圖像與性

質(zhì)

③解指數(shù)方程與不等式

④指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、知識點梳理

1.指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

（1）根式的定義：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中（〃>1,〃eN*）,記為標(biāo)，〃稱為根指數(shù)，。稱為根底數(shù).

⑵根式的性質(zhì)：

當(dāng)“為奇數(shù)時，正數(shù)的"次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的"次方根是一個負(fù)數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時，正數(shù)的“次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是累運(yùn)算中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，”為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，導(dǎo)運(yùn)算表示

指數(shù)個底數(shù)相乘.

（4）有理數(shù)指數(shù)幕的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)鬲優(yōu)=a.a/.p②零指數(shù)懸?！?1①彳。）；

③負(fù)整數(shù)指數(shù)幕/0,〃eN*）；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

（5）有理數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)

①優(yōu)'4=曖+"（〃>0,機(jī)，eg）；=am'\a>0,m,〃e。）；

_____m

③（而）"=a"%"'（a>0,b>。，meQ）；④至=〃（a>U，m,77G2）.

2.指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<a<la>l

jL

-o\~1

圖象

①定義域R,值域(。，+?)

②/=1,即時x=o,y=i,圖象都經(jīng)過(o，i)點

性質(zhì)③a'=a,即x=l時，＞等于底數(shù)”

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤尤V。時，ax＞1;%＞0時，0＜優(yōu)＜1尤＜0時，尤＞0時，ax＞l

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【常用結(jié)論】

1.指數(shù)函數(shù)常用技巧

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“4＞1”和兩種情形討論.

(2)當(dāng)0＜。＜1時，Xf+oo,y-o；。的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.

當(dāng)。＞1時X.+8,y-o；。的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

⑶指數(shù)函數(shù)y="與y=的圖象關(guān)于V軸對稱.

a

二、題型分類精講

刷真題明導(dǎo)向

一、單選題

1.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(*)=」，則對任意實數(shù)尤，有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B.Z(-x)-/(%)=0

C.f(-x)+f(x)=lD./(-x)-/(%)=1

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

112X1

【詳解】〃_尤)+〃尤)=----1----=----1----故A錯誤，C正確;

1+2一”1+2、1+2、1+2龍

12'1,2'-1^2

不是常數(shù)，故錯誤;

1+2'-1+2"-1+2'-2*+1--2'+1BD

故選：C.

2.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)°1。&4=2,貝"=

【答案】B

【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解

【詳解】由。1嗝4=2可得1幅4"=2,所以4"=9,

所以有4一"[,

故選:B.

【點睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)

題目.

3.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)，當(dāng)xe（0,+◎時，y="（0＜a＜l）,則該函數(shù)在（-9。）

【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.

【詳解】當(dāng)天e（0,+8）時，＞=優(yōu)（0＜。＜1）,所以〃尤）在（0,+e）上遞減,

f（x）是偶函數(shù)，所以〃尤）在（-雙。）上遞增.

注意到a°=l,

所以B選項符合.

故選：B

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

4

A.y=x+2x+4sinx+

C.y=2'v+22--D.y=ln無H------

Inx

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出氏。不符

合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=T時取等號，所以其最小值為3,A不符合題意；

4

對于B,因為0＜忖11可41,y=|sinx\+..N2"=4,當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=2時取等號，等號取不到，所以其最小值

Sillx\

不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2*>0,丁=2工+227=2'+金22/=4,當(dāng)且僅當(dāng)才=2,即x=l時取等號，所

以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+二，函數(shù)定義域為(0,1)L。,+℃),而InxeR且lnx.0,如當(dāng)In尤=-1,y=-5,D不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可

解出.

5.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知2"=5,log83=6,貝!]4y=()

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，塞的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

14a52_25

【詳解】因為2"=5,ft=log83=1log23,即2"=3,所以4?"=不

故選：C.

6.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)若2。2y<3一，-37,則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【分析】將不等式變?yōu)?工-3T根據(jù)/(。=2,-3T的單調(diào)性知x<y,以此去判斷各個選項中真數(shù)與1的

大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】由2*—2〉<3一,—3一，得：2工一3T<2、3一，，

令〃。=2T,

”=2工為R上的增函數(shù)，>=3-工為R上的減函數(shù)，⑺為R上的增函數(shù)，

Qy-x>0,y-x+l>l,.'.ln(y-x+l)>0,貝！JA正確，B錯誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到天川的

大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

7.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)“x)=ln(l+尤)-尤，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。涉，。的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)f(x)=ln(l+元)-尤(x>-l),因為/'(x)=P--1=-1匚，

當(dāng)xw(-l,0)時,f\x)>0,當(dāng)xw(0,+oo)時f'(x)<0,

所以函數(shù)f(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(}</(0)=0,所以In]-g<0,故g>ln孩=-ln0.9,即b>c,

191Q--1X1

所以/(-而)</(0)=0,所以In歷+而<0,故言”，所以旨。，匕

故4<人，

設(shè)g(尤)=xex+ln(lx<l),則g，(x)=(x+i)e*+^^=^~+J

令6(x)=e*(/-1)+1,h\x)=e-v(x2+2x-1),

當(dāng)O<x<a-1時，h\x)<0,函數(shù)g)=e、(x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)時，函數(shù)〃(x)=e，(/-1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<尤<&-1時，

所以當(dāng)0<無<虛-1時，/(以函數(shù)8。)=為上+111(1-0單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即(Me?！?gt;-In0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0Ae°l,匕=7^7，c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/W=x+ln(l—x),xG(0,0.1］,

1—丫

貝！Ir(x)=i---=--<o,

1-x1-x

故f(x)在(o,o.l］上單調(diào)遞減,

可得/(0-1)</(0)=0,即ln6z-lnZ?<0,所以a<b；

(2)?-c=O.leol+ln(l-O.l),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1］,

?、1(1+x)(1—-1

貝n!|g\x\=xex+ex-——————』----，

v71-x1-x

令k(x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以kf(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得k{x}>4(0)>0,即g'(x)>0，

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以?>c.

故c<a<b.

題型一指數(shù)幕的化簡與求值

畬策略方法指數(shù)幕運(yùn)算的一般原則

⑴有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運(yùn)算.

⑵先乘除后加減，負(fù)指數(shù)嘉化成正指數(shù)嘉的倒數(shù).

⑶底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).

⑷若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉，盡可能用嘉的形式表示，運(yùn)用指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)來解答.

【典例1】計算:

,11「4+41+2

(2)已知：［5+々5=3的值.

〃+。一2

【答案】（1）4（2）|

【分析】（1）利用指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值;

（2）在等式一+/=3兩邊平方可得出a+a，再利用平方關(guān)系可求得a?+a2，代入計算可得出a+的值.

a+a-3a2-^-a-2-2

312

【詳解】（1）解：原式=1—2“2“+（33尸—2?=1—2+9—4=4?

］l

(2)解：因為〃則=a+a~+2=99所以，a+a~=79

\7

所以，=/+/2+2=49,可得，〃+。一2=47,

因此竟*.J

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

<用+3

1.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）—=（）

l27J

A.9B.-C.3D.也

99

【答案】B

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.

故選：B.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）

設(shè)則若碑=貝土次

A.”0,LXLvB.72,!]m=

C.若〃+/=3,則對+￡=±6D.也一萬），=2一兀

【答案】B

【分析】根據(jù)分式指數(shù)累及根式的運(yùn)算法則，正確運(yùn)算，即可判斷出正誤.

434325

【詳解】對于A,根據(jù)分式指數(shù)塞的運(yùn)算法則，可得層./_二+1_4方’”，選項A錯誤；

對于B,4=2,故根=±啦，選項B正確；

對于C,。+：=3，儲+/）2=a+“T+2=3+2=5，因為。>0，所以/+小二石，選項C錯誤;

對于D,42—%J=|2—）=%一2,選項D錯誤.

故選：B.

二、填空題

3.（2023?全國-周二專題練習(xí)）若機(jī)H—=3,則—-=

mm~

【答案】7

【分析】在等式機(jī)+工=3兩邊平方，可得出的值.

mm

【詳解】在等式，〃+,=3兩邊平方可得（m+—|=m2++2m?—=m2++2=9,

m\mJmmm

因此，加2H——=7.

m

故答案為：7.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知孫<0,化簡二次根式上：的值是

y

【答案】Q.

【分析】利用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

【詳解】由J-孫2可知,x<0,又孫<0,所以y>。,

所以=y口,所以=Q

,y

故答案為：

3x-3x

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知〃2%=加+1,貝十〃二

ax+ax

【答案】20-1

【分析】利用立方和公式化簡，再代入求值即可.

【詳解】6=&+1,

。3%+〃一3工ax+axa2x-I+a~2x1

=a2x-l+a~2x=0+1-1+=2A/2-1.

ax+a~xax+a~xV2+1

故答案為：20-1

a2-h2

6.（2023?全國?IWJ三專題練習(xí)）已知a>5>0,a2+b2=4abf則-----的值為.

ab

【答案】2上

【分析】將變形為［+2=4,設(shè)”-求出t的值，可化為一工，

即可求得答案.

bababt

【詳解】由a>8>0,a2+b2=4ab,W￡1±^=4,.-.-+-=4,

abba

設(shè)％=—貝！I才>1,貝!）1+—=4,.,.產(chǎn)―4,+1=0,

b9t

解得:2+6，（"2-G舍去），

故a=，一2=/一』=2+6----/==2+6-2+石=2\/3,故答案為：2^/3

abbat2+J3

三、解答題

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）（1）i+M0.027^-（-1）-2+810-75+（1）°-3-1；

⑵若1+/=將求/+尸的值?

【答案】⑴-5；(2)14.

【分析】(1)由題意利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則，計算求得結(jié)果.

(2)由題意兩次利用完全平方公式，計算求得結(jié)果.

【詳解】(1)0,027-i-(-1)-2+81075+(1)°-31=0.3-1-36+33+1-；=與-36+27+1-1=-5.

(2)若兀5+工一5=^^，AXH-----F2=6,XH—=4,?*.x2+x-2+2=16,.*.x2+x-2=14.

8.(2023.全國.高三專題練習(xí))⑴計算：由”x層“四x圾4+(而產(chǎn)；

(2)已知是方程V-5x+5=0的兩根，求加一加+/+'的值.

y/a+y/b\a-y/b

【答案】⑴16；(2)2誓.

【分析】(1)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，然后由暴的運(yùn)算法則計算.

(2)由韋達(dá)定理箱出。+。,成，求出。-匕，求值式變形后代入已知值即可得.

五

1,11(金41

【詳解】(原式=25己X—+(2^x6^)4-4了=5x—+4x6+4,=4+12=16；

1)5

51J

(2)由題意〃+b=5,ab=5,JL(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4x5=5,而〃>人，所以〃一/?=6，

--\[b+y/b—a—2Jab+Z?+a+2Jab+b

所以-----1-----=------=-------

A/G+\fb-\[a—sfb(-\/G+\[b)(y[u—\[b)a-b

2{a+b)10

J5a-b=2下,

題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

全策略方法解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析,

從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

(a>0且"1)的圖象可能為()

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)=d一辦+1有兩個不同的零點，求出。的范圍，再根據(jù)函數(shù)>=優(yōu)-。的圖象是由函數(shù)>=優(yōu)

的圖象向下平移。個單位得到的，作出函數(shù)丫=屋-。的大致圖象，即可得解.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=d-辦+1有兩個不同的零點，

所以△=。2-4>0,解得。>2或。<-2,

則在函數(shù)丫=。'-〃中。>2,

函數(shù)y=°，-。的圖象是由函數(shù)y=4的圖象向下平移a個單位得到的,

所以y=(a>0且"1)的圖象可能為B選項.

故選：B.

【典例2］己知函數(shù)〃x)=，-2+l(a>0,a#l)的圖像恒過一點P,且點「在直線如+"'-1=0(〃掰>0)的圖像上,

則的最小值為()

mn

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的圖象所過的定點坐標(biāo)，由此建立人〃的關(guān)系，再利用均值不等式“產(chǎn)的妙用求解作答.

【詳解】函數(shù)/(%)=，-2+1(，>0,awl)中，當(dāng)％_2=0,即％=2時，恒有/(尤)=2,則點P(2,2),

依題意，2m+2n-l=0,即加+〃=;，又mn>0,因此m

-+-=2(m+?)(-+-)=2(2+-+-)>2(2+2.---)=8,當(dāng)且僅當(dāng)衛(wèi)='，即m=w='時取等號,

mnmnmnVmnmn4

所以工+工的最小值為8.

mn

故選：D

【典例3]比較下列幾組值的大?。?/p>

⑴(-2.5>和(-2.5*⑵[I]”和(0.4升；

⑷0.4幺5,29,2.516.

42

【答案】⑴(—2.5)=>(-2.5戶

⑶CmJ(4)0,425>2,51'6>2”

【分析】(1)(2)(3)(4)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析比較大小即可

2244

(1)由于(—2.5"=2.5§，(一2.5戶=2.5??

42

???y=2.5、在R上為增函數(shù)，且g>§，

?a2日n--

,?2,55>2,53，艮口(一2.5]>(-2.5)3；

3D_3

(2)由于(0.4"尸.

在R上為減函數(shù),且-3>_1'，

/.(|p<(0.4p；

(3)???)；=,]在R上為減函數(shù)，y=在尺上為增函數(shù)，且一3<°，

???(吳>1,(￥<1,

1_13--

???(-)2>(-)2；

(4)V0.4-2-5=2.52-5,y=2.5'在R上為增函數(shù)，且2.5>1.6>0>-0.2

,2,515>2.51-6>1>2.5”，

二0.4乜5>2.5">24.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?天津河?xùn)|?一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y=3"y=2\y=中一個的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征即可得答案.

【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

①是y的部分圖象；③是y=2,的部分圖象；④是>=3、的部分圖象;

所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.

故選：B.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=ox+6優(yōu)+6的圖象可能是（）

【答案】A

【分析】分析各選項中兩函數(shù)的單調(diào)性及其圖象與）'軸的交點位置，即可得出合適的選項.

【詳解】A選項，函數(shù)y=4+b為減函數(shù)，貝!

且函數(shù).v=a*+6的圖象交，軸正半軸點（0,6+1）,貝!）1+>>。，可得b>-l,

函數(shù)y=ax+b為增函數(shù)，且函數(shù)y=ax+b交y軸正半軸于點（0,6）,則。>0,b>0,A滿足;

對于B選項，函數(shù)y="+6交y軸于點（0S+1）,函數(shù)y="+b交y軸于點（0,6）,

顯然6+1>6,B不滿足;

對于C選項，函數(shù)y="+6交y軸于點（0力+1）,函數(shù),=依+方交y軸于點（0,6）,

顯然6+1>。，C不滿足；

對于D選項，函數(shù)y="+b為減函數(shù)，貝!

函數(shù)、=辦+6為減函數(shù)，則〃<0,D不滿足.

故選：A.

3.（2023?云南紅河?云南省建水第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)/（x）="-2+i（其中。>0,。=1）的圖象恒過的定點

是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

【答案】B

【分析】令x-2=0可得定點.

【詳解】令x-2=0,即x=2,得y=2,

函數(shù)〃無）=廣2+1（其中〃>0,?=1）的圖象恒過的定點是（2,2）.故選：B.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=優(yōu)--5（4>0且“中1）的圖象過定點的〃），則不等式

爐+mx+〃+l<0的解集為（）

A.（1,3）B.（-3,-1）C.（―oo,—3）U（1,+°°）D.（—3,1）

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點求解代入后再求解一元二次不等式.

【詳解】當(dāng)x=2時，/（2）=/2_5=a。-5=1-5=T，故〃?=2,〃=T,所以不等式為f+2>3<0,解得-3〈尤<1,

所以不等式的解集為（-3,1）.

故選：D

22

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=。3-，（0>0,。71）的圖像恒過定點4若點人在雙曲線L一匕=1（機(jī)>o,〃>o）

mn

上，則m-n的最大值為（）

A.6B.-2C.1D.4

【答案】D

【分析】令3-x=0,求得A（3,l）,由點A在雙曲線上，得到2-工=1,然后由“1”的代換，利用基本不等式求解.

mn

【詳解】令3-尤=0,解得x=3,y=l,

所以A（3,l）,

22

因為點A在雙曲線土-乙=1（機(jī)>0,〃>0）上，

mn

所以29一」1=1,

mn

所以根―〃=（機(jī)-----=10-1——<10-2./----------=4,

\mn）\mnJ\mn

911

-------=1

當(dāng)且僅當(dāng)?”，即m=6/=2時，等號成立，

、mn

所以m-n的最大值為4

故選：D

231

6.（2023?天津?一，模）已知〃=3號，b=2“，c=4'，貝U（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)的性質(zhì)即可判斷〃<〃，。<〃，再對力，。進(jìn)行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可

判斷。<人，進(jìn)而即可得到答案.

21311

【詳解】由。=3§=爐，b=24=8i,c=45,

rr111

^Z>=85<8i<95<a,C<a,

1312

43

Xlog2b=log28=-,log2c=log24=-,

則log?c<log?匕，即cvb,

所以cvZ?va.

故選：D.

7.（2023?北京東城?統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)〃x）=21I,若/⑺為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

[尤,x>a

A.（0,4]B.[2,4]

C.[2,+oo）D.[4,+oo）

【答案】B

【分析】首先分析函數(shù)在各段函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得a>0且/22。，結(jié)合y=x2與y=2'的函數(shù)圖象及增長趨

勢求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因為/'（無）=f；'x~a,當(dāng)XV。時“的=2,函數(shù)單調(diào)遞增，

[x,x>a

又y=/在（0,+s）上單調(diào)遞增，在（-8,0）上單調(diào)遞減，

要使函數(shù)/⑺為增函數(shù)，貝!|a>0且

又函數(shù)y=/與y=2*在（0,+8）上有兩個交點（2,4）和（4,16）,

且y=2'的增長趨勢比y=f快得多，

y=f與y=2工的函數(shù)圖象如下所示：

所以當(dāng)x>4時2工>無"當(dāng)2cx<4時f>2*,當(dāng)0<x<2時2">—

所以24a44,即實數(shù)。的取值范圍是⑵4].

故選：B

8.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知。=1.戶2,6=1.升3,。=13」，則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中間值102比較a,b的大小，再讓b,c與中間值13比較，判斷b,c的大小，即可得解.

【詳解】?=1,112<1,212<1,213=/>,又因為通過計算知10〈I,所以024m,即1.2璃<1.3。$,

又1.2°」<1.3°/，所以1.2門<13<13/=c,所以。<b<c.

故選：B

二、多選題

9.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级＃c”（X，X）在函數(shù)y=e'的圖象上，當(dāng)用e[0,l）,則汨■可能等于

（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為y=e,在xe[0.1）部分圖象上的動點M&,%）與點A（l,-1）所成直線的斜率3即可

求范圍.

【詳解】由汜表示“（為乂）與點41，-1）所成直線的斜率3

又M（玉,%）是y=e'在xe[0」）部分圖象上的動點，圖象如下:

如上圖，8（1,e）,則左e（-8,-2],只有B、C滿足.

故選：BC

三、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）請寫出一個同時滿足下列條件①②③的函數(shù)/（尤）=.

①/（0）=0；②對任意占,超eR,當(dāng)西＜々時，/（%1）＜/（%2）；③/（無）＜1.

【答案】1-（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)/（元）的圖像經(jīng)過原點，且在R上單調(diào)遞增，又“無）＜1,利用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)題意知/（x）的圖像經(jīng)過原點，且在R上單調(diào)遞增，又/（無）＜1.考慮到圖像有“漸近線”的指數(shù)函數(shù)，構(gòu)

造〃無）=1一曰符合題意.

故答案為：=（答案不唯一）

11.（2023秋?吉林松原?高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)?？计谀┮阎?（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤e[0,+8）時,

/?=2"一一二,則不等式/（3x-l）＜/（1-x）的解集為.

【答案】（-8,1）

【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解，

【詳解】由函數(shù)%不與1-工均在0+⑼上單調(diào)遞增，

故/（X）在[0,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

而了（x）為R上的奇函數(shù)，故/⑺在R上單調(diào)遞增，

/(3x-l)</(l-x)等價于—X,得

故答案為：（-°0,5）

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=在（-*周上單調(diào)遞減，則左的取值范圍為.

【答案】SO]

【分析】先畫出函數(shù)y=|4'-i|,再根據(jù)函數(shù)在（f,口上單調(diào)遞減求解.

【詳解】解：因為函數(shù)y=k'-l|的圖象是由函數(shù)y=4'的圖象向下平移一個單位后，再把位于X軸下方的圖象沿X

軸翻折到X軸上方得到的，

函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象知，其在（F,0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍是（-8,0].

故答案為：（-8,0]

四、解答題

f（X）

13.（2023?全國?高三練習(xí)）已知函數(shù)=（。為常數(shù)）和函數(shù)g（x）=2，-2-，，且加X）=氤為奇函數(shù).

⑴求實數(shù)。的值；

（2）設(shè)不等式X/（x）＞g。）恒成立，試求實數(shù)力的范圍.

【答案】⑴1

⑵[1,+CO）

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a；

（2）運(yùn)用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】⑴下）=『=2；:2：=戶為奇函數(shù),..風(fēng)）+做一））=0,即等+'±￡=（…"嗎,

g（x）2x-24X-141-14A-14X-1

解得o=l,

經(jīng)檢驗符合題意；

（2）由4/（x）＞g。），得2（2，+2-*）＞2,—2-',貝！

'）2X+2T

2"—2r4X-14x+l-2122

2無+2一*4*+14尤+14+14%+1

2

-1<1-<1,

4r+l

???實數(shù)2的取值范圍是口,+刃）;

題型三解指數(shù)方程與不等式

多策略方法指數(shù)方程或不等式的解法

⑴解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)

①</（*）=ag（x）弓（x）=g（x）.

②a"x）>談（2當(dāng)。>1時，等價于/（x）>g（x）；

當(dāng)Q<a<l時,等價于f（x）<g（x）.

⑵解指數(shù)方程或不等式的方法

先利用嘉的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)嘉，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

【典例1】不等式1<2以對于以€[0,2卜恒成立，貝壯的取值范圍是

【答案】（-00）

【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得+4x對于以q0,2卜恒成立，設(shè)/（“二/-以，結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)可求得答案.

【詳解】由g]“<24工得2*+。<24，得-/+”4巧即a<尤?十4尤對于Vxe[0,2卜恒成立，

設(shè)/'（尤）=爐+4%=（工+2）2-4,顯然，（無）開口向上,對稱軸為x=-2,

所以在[0,2]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時，“X）取得最小值0,

則a<0,即a的取值范圍為（一雙0）.

故答案為：（-8,0）.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合4="|；<2*<41,3={尤[0<尤<3},則A3=()

A.{%[0<%<2}B.|x|-l<x<3}

C.1x|0<x<31D.{止l<x<2}

【答案】A

【分析】先求出集合A,集合的交集運(yùn)算即可求出Ac3.

【詳解】集合A={無|；<2'<4}={尤[-1<無<2},

5={%[0<%<3},

/.AnB={x|0<x<2}.

故選：A.

2.(2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=〈；-?則滿足了(%)?2的1取值范圍是

[1-log2X,X>1

A.[-1,2]B.[0,2]C.[l,+oo)D.[0,+8)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不同區(qū)間對應(yīng)<2的x范圍，然后取并.

fx<lfx>l

【詳解】由"一C，可得。；或一"，可得；

1xdX>1

[2<2[l-log2x<2

綜上，/(x)<2的X取值范圍是。+8).

故選：D

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式G2W>2W+l(xeR)有實數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,-Hx))B.(2,+co)C.[l,+oo)D.[2,+co)

【答案】A

【分析】分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為。>1+?有解，計算即可.

【詳解】由題知。-2忖>2W+l(xeR),而州21，所以“>1+(,

又。<￡<1，所以1<1+#2?

因為關(guān)于x的不等式a-州>2H+l(xeR)有實數(shù)解，

即a>l+/(xeR)有實數(shù)解，所以。>1,即

故選：A

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))若不等式@「一點<23"/恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,-1)B.g,+8)C.(0,1)D.(冶)

【答案】B

【詳解】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為無2-2以>-(3X+〃)恒成立，利用判別式

A=（3-2fl）2-4a2<0,從而求得實數(shù)。的取值范圍.

詳解：不等式恒成立，即§產(chǎn)2“<§尸3工+島，即/_2依>_（3升/）恒成立，即￡+（3-2。）尤+/>o

恒成立，所以—。/〃尸而:。，解得a>=,所以實數(shù)”的取值范圍是J”），故選B.

點睛：該題考查的是有關(guān)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要明確指數(shù)式的運(yùn)算法則，

注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到指數(shù)所滿足的大小關(guān)系，利用二次不等式恒成立問題，結(jié)合式子的判別式，求得

結(jié)果.

二、填空題

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）logfl1<l,<1,）<],則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】/，；]

【分析】分別根據(jù)對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再求交集即可.

【詳解】loga1<1loga1<10gaa,

當(dāng)a>1時log。1<log.a成立；

當(dāng)Ova<l時,解得0<4<；.所以4￡[o,；）u（l,+8）

MY/?！?。，

a2<lo&<lo0w〃<l

???a的取值范圍是

故答案為：

3

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=2,+a2T的圖象關(guān)于原點對稱，若〃2元-1）>，則X的取值范圍為

【答案】x>l

3

【分析】先求得a的值，再利用函數(shù)單調(diào)性把不等式〃2x-l）>5轉(zhuǎn)化為2Al>1,解之即可求得x的取值范圍.

【詳解】定義在R上函數(shù)/（行=2,+心2一，的圖象關(guān)于原點對稱，

則〃0）=2°+a.2°=0,解之得。=-1,經(jīng)檢驗符合題意

y=2\y=-2'均為R上增函數(shù)，則/'（無）=2-2-，為R上增函數(shù),

3

又/⑴=2i_2-=3，

3

則不等式/(2x-l)>］等價于2xT>l,解之得x>l

故答案為：x>l

三、解答題

7.(2023?全國?高三練習(xí))解下列方程：

(l)22x+3-2A-1-l=O;

(2)3x4,+2x9*=5x6”;

⑶10扇工+淤，=20;

(4)lg(2*+x-54)=x(l-lg5).

【答案】⑴x=-l;

(2)尤=0或x=l；

(3)x=g或x=10；

⑷x=54

【分析】(1)(2)根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得;

(3)(4)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算律結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】(1)由22"+3-2*T-l=0,可得2x(2*y+3x2，-2=0,

所以(2x2-1"+2)=0,

所以2?2，1=0,即2口=1,

所以x=-l；

(2)由3x4,+2x9*=5x6”,可得3、(2工丫-5x2工、3工+2x(3、)=0,

^T^(2X-3X)(3X2X-2X3X)=0,

所以2*-3*=0或3x2'-2x3x=0,

由2'-3，=0,可得1,故x=0,

由3x2*-2x3*=0,可得2*T=3i,即1j=1,所以x—1=0,即x=l,

所以％=0或%=1；

(3)因為10a=(10峻廣=臚'，

所以原方程可化為2?臚*=20,即/'=10,

兩邊取對數(shù)可得lg?x=l,即lgx=±l,

所以尤=10或1=￡,

經(jīng)檢驗x=10或x=七是原方程的解，

所以尤=10或工=±；

（4）*lg（2r+x-54）=x（l-lg5）,可得Ig（2'+x-54）=xlg2=lg2",

所以2,+尤-54=21

即x=54,經(jīng)檢驗滿足題意，

所以尤=54.

8.（2023秋?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)了（》）=亍占（aeR）,與/（力的圖象關(guān)于直線

y=x對稱的圖象過點（2,1）.

⑴求。的值；

⑵求不等式/（另>:的解集.

【答案】⑴a=—1;

（2）{x[x<log23且XHO}.

【分析】（1）由對稱性知"X）的圖象過點（1,2）,代入后可得“值；

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式.

【詳解】（1）由題意/（幻的圖象過點（L2）,所以/⑴=4=2,?=-1；

2+（7

2X

（2）由（1）f（x）=--------，顯然xwO,

2乂-1

33

不等式為七化簡得2'<3,x<log32,

所以不等式的解集為{幻尤<1。殳3且xwO}.

題型四指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

畬策略方法指數(shù)函數(shù)通過平移、伸縮及翻折等變換，或與其他函數(shù)進(jìn)行結(jié)合形成復(fù)合函數(shù)時，我

們對這類問題的解決方式是進(jìn)行還原分離，化繁為簡，借助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性及周期性

解決問題.

【典例】函數(shù)（）（；）3+2￡+3

1/X=單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.C.（l,+8）D.（3,+co）

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減，即可判斷出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由八龍）=弓尸.工+3,設(shè)a（尤）=一/+2尤+3,貝!|〃&）=］￡|"為減函數(shù)，

求/（無）=（；）4+2，+3的單調(diào)遞增區(qū)間，等價于求a（x）=-f+2x+3的單調(diào)遞減區(qū)間，

因為“（X）=-（x-1）2+4在（1,+00）單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/'（無）=（；）*+"+3的單調(diào)遞增區(qū)間是（L-）,

故選：C.

【典例2】當(dāng)尤時，不等式l+Z'+k-/）/'〉。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.1-2