2024年上海市數(shù)學(xué)高考名校模擬題分類匯編 函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用含詳解

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編一一函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用

一、填空題

1.（2023秋?上海松江?高三?？茧A段練習(xí)）已知〃尤）為R上的奇函數(shù)，M/（x）+/（2-x）=0,當(dāng)-l<x<0時(shí)，

/W=2\貝|若）=—.

2.（2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中校考開學(xué)考試）已知/（x）=sinx-g,函數(shù)y=/（x）在無(wú)1+4。］零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

最大值為.

3.（2023秋?上海靜安?高三校考階段練習(xí)）己知函數(shù)y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，=若

/（ln2）=-4,則實(shí)數(shù)。的值為.

4.（2023?上海松江?校考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的偶函數(shù)/（X）=|x-〃?+1|-2,若正實(shí)數(shù)a、6滿足“。）+/（26）=m,

則上+：的最小值為—.

ab

5.（2023秋.上海徐匯.高三上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若〃尤）的值域?yàn)閧0,1,2},則

g（x）=（〃x）-x）（〃x）-2x）至多有個(gè)零點(diǎn).

6.（2023秋?上海楊浦?高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x>0時(shí)，/（X）=X2-2X-1,則/（尤）的解析式為

7.（2023秋?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)〃力=［吁丁匕>1在區(qū)間［0,+動(dòng)上嚴(yán)格增，

lx—2,xW1

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

8.（2023秋?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃幻=*4+23082（國(guó)+2）-。-1的零點(diǎn)有且只有

一個(gè)，則實(shí)數(shù)。的取值集合為.

9.（2023春?上海徐匯?高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試）己知/（X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線％=1對(duì)稱，

當(dāng)xe［0,2］時(shí)，f（x）=x（2-x）,對(duì)于閉區(qū)間/，用監(jiān)表示y=〃力在/上的最大值，若正數(shù)k滿足叫。閔=2叫⑼,

則女的值可以是（寫出一個(gè)即可）

1-1-x,0<x<24、十“、,

10.（2023春?上海嘉定?高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（元）=,右方程/(1)=丘

2/(x-2),2<x<8')

恰好有四個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

11.（2023秋?上海楊浦?高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)"x）=ln（x+FT）+l,若正實(shí)數(shù)依匕

滿足/（4“）+/（46—1）=2,則工+'的最小值為________.

ab

12.（2023秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他

fil是有理數(shù)

是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”，以其名命名的函數(shù)。（X）=：日之二狄利克

[0,x是無(wú)理數(shù)

['尤有理數(shù)

雷函數(shù)，現(xiàn)定義一個(gè)與狄利克雷函數(shù)類似的函數(shù)L（x）=：曰工鈿將“L函數(shù)”，則關(guān)于狄利雷函數(shù)和L函數(shù)有以

[U,尢埋

下四個(gè)結(jié)論：

（1）O（1）=Z⑴；

（2）函數(shù)以乃是偶函數(shù);

（3）L函數(shù)圖象上存在四個(gè)點(diǎn)A民CD,使得四邊形A3CD為菱形；

（4）乙函數(shù)圖象上存在三個(gè)點(diǎn)A民C,使得一ABC為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

13.（2023春?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知上eR,函數(shù)”尤）=[："+丘]2,無(wú),°，.若關(guān)于x

[Inx,x>Q

的方程|/（x）|+左=0恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是.

14.（2023秋?上海寶山?高三上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=若

則實(shí)數(shù)相的取值范圍是.

15.（2023秋?上海徐匯?高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=f-Ar+2/i（尤wR）,g（x）=ln（x+l）,令

“（x）=〃x>g（x）,若函數(shù)y=a（x）的圖象在各個(gè)象限均有分布，則實(shí)數(shù)X的取值范圍為.

16.（2023秋?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=〃x）,對(duì)任意xeR,都有〃尤+2>〃力=左

（左為常數(shù)），且當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/（x）=x2+l,則/（2023）=.

17.（2023.上海徐匯.統(tǒng)考二模）己知函數(shù)〃x）=x+?+6,xe[Z>,-Ko）,其中6>0,aeR,若/（x）的最小值為2,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

二、單選題

]尤2%為牙理數(shù)

18.（2023秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（同=':工,巾,，則以下4個(gè)命題:

[尤,x為有理數(shù)

①“X）是偶函數(shù)；②"X）在[0,+。）上是增函數(shù)；

③〃x）的值域?yàn)镼；④對(duì)于任意的正有理數(shù)a,g（x）=/（x）-。存在奇數(shù)個(gè)零點(diǎn).

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

19.（2023秋?上海浦東新?高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)"X）=加+61唱（x+^/77T）+2在（-*0）上

有最小值-5（a、b為常數(shù)）則函數(shù)〃元）在（0,+動(dòng)上（）

A.有最大值3B.有最大值7

C.有最大值9D.有最小值5

20.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥校┖瘮?shù)〃x）=（l+x）JU的奇偶性為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

—%2—2xYV0

21.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)/（x）='一，現(xiàn)有如下命題，①若方程/（%）=。有四個(gè)不同的實(shí)

inx\,x>u

根毛、4、Xs、乙，則%”「甘羽的取值范圍是他：!）；②方程廣⑺-、+￡|〃x）+l=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能

是1,2,3,8.下列判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

22.（2023秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/■（x）=￡?的圖像關(guān)于點(diǎn)p中心對(duì)稱，則

點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

23.（2023?上海閔行?上海市某中學(xué)?？级＃┮阎x在R上的函數(shù)/（X）,對(duì)于給定集合A,若V占,％eR,

當(dāng)%-％?A時(shí)都有/（^）-/（x2）eA,則稱〃x）是“A封閉”函數(shù).已知給定兩個(gè)命題：

P：若“X）是“｛1｝封閉”函數(shù)，則“X）一定是“｛心封閉''函數(shù)（"N*）；

Q：若“X）是”心,可封閉”函數(shù)（a,beN*）,則“力不一定是“｛成｝封閉”函數(shù).

則下列判斷正確的為（）

A.P對(duì)，。對(duì)B.P不對(duì)，。對(duì)C.P對(duì)，。不對(duì)D.P不對(duì)，。不對(duì)

三、解答題

24.（2023秋?上海普陀?高三曹楊二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2,+公2r住eR）是奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)Z的值；

⑵若關(guān)于x的不等式/（2依2-4%）+〃2-6）<0有且只有一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

25.(2023秋?上海靜安?高三校考階段練習(xí))在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)某個(gè)物體離地面的高度》(米)隨時(shí)間x(秒)的

變化規(guī)律可表示為>=,8x+m，Q~X~6.

12—Ax,6<x<12

(1)當(dāng)左=1,m=2時(shí)，若此物體的高度不低于4米時(shí)，能持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，此物體達(dá)到最大的高度6,求實(shí)數(shù)匕力滿足的條件?

26.(2023秋?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/'(了)=HX-。|+6,g(尤)=x+c(其中。，b,

c為常數(shù))

(1)當(dāng)a=3,b=2,c=4時(shí)，求函數(shù)戶(x)=/(x)-g(x)在［3,+oo)上的值域;

⑵當(dāng)a=3,b=2,c=4時(shí)，判斷函數(shù)G(x)=/(x)-g(x)在［3,”)上的單調(diào)性,并加以證明；

(3)當(dāng)6=4,c=2時(shí)，方程〃尤)=g(x)有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

1—YYIX

27.(2023秋?上海靜安?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=loga—r是奇函數(shù)

x-1

(1)求機(jī)的值；

⑵判斷/(X)在區(qū)間+8)上的單調(diào)性,并證明；

(3)當(dāng)。=g時(shí)，若對(duì)于［3,4］上的每一個(gè)x的值，不等式*x)>+6恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

28.(2023?上海浦東新?華師大二附中?？既?某晚報(bào)曾刊登過(guò)一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時(shí)，在半途

中罵罵咧咧要求司機(jī)臨時(shí)停靠，打表計(jì)價(jià)結(jié)賬，然后重新計(jì)價(jià)，繼續(xù)前行，該市民解釋說(shuō)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這樣分開支

付車費(fèi)比一次性付費(fèi)便宜一些，他的這一說(shuō)法有道理嗎？確實(shí)，由于出租車運(yùn)價(jià)上調(diào)，有些人出行時(shí)會(huì)估計(jì)一下可

能的價(jià)格，再?zèng)Q定是否乘坐出租車.據(jù)了解，2018年上海出租車在5時(shí)到23時(shí)之間起租價(jià)為14元/3千米，超起租

里程單價(jià)為2.50元/千米，總里程超過(guò)15千米(不含15千米)部分按超起租里程單價(jià)加50%.此外，相關(guān)部門還規(guī)

定了低速等候費(fèi)和其他時(shí)段的計(jì)價(jià)辦法，以及適合其他車型的計(jì)價(jià)辦法.你乘坐過(guò)出租車嗎？你會(huì)仿效那位市民唐某

的做法嗎？為什么？

(1)根據(jù)上述情境你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？為了解決你的問(wèn)題，你能否作出一些合理假設(shè)？

(2)你能否根據(jù)你的假設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，并回答你所提出的問(wèn)題.

29.（2023秋?上海靜安?高三?？茧A段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能

源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來(lái)的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.

生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x臺(tái)（xeN+）需要另投入成本a（x）（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量x不足45臺(tái)

時(shí)，。（元）=：/+30x-300萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量x不少于45臺(tái)時(shí)，。（彳）=65+*-900萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)與銷

售量的關(guān)系式為［60+岑1萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.

（1）求年利潤(rùn)了（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量尤為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

30.(2023秋?上海靜安?高三?？茧A段練習(xí))三個(gè)互不相同的函數(shù)y=/(尤),y=g(X)與y=〃⑺在區(qū)間。上恒有

f(x)2/z(x)>g(尤)或恒有f(x)<h(x)<g(x),則稱y=%(x)為y=與y=g(x)在區(qū)間。上的“分割函數(shù)”.

⑴設(shè)4(x)=4x,%(%)=尤+1,試分別判斷y=%(%),y=4(元)是否是y=2/+2與y=-X?+4x在區(qū)間(ro,-H?)上的

“分割函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵求所有的二次函數(shù)y=G?+cx+d(awO)(用。表示G"),使得該函數(shù)是y=2Y+2與y=4x在區(qū)間(YO,+CO)上

的“分割函數(shù)”；

(3)若且存在實(shí)數(shù)上涉，使得，=質(zhì)+>為y=x4-4d與>=4/-16在區(qū)間卜4〃］上的“分割函數(shù)”，求

的最大值.

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編一一函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用

一、填空題

1.(2023秋?上海松江?高三?？茧A段練習(xí))已知〃無(wú))為R上的奇函數(shù)，M/(x)+/(2-x)=0,當(dāng)T<x<0時(shí)，

/W=2\貝|若)=—.

【答案】縣

2

【分析】根據(jù)題意，求得了(2—X)=—/(X)=〃T),得至葉(2+尤)=〃X),得出函數(shù)〃尤)是周期為2的周期函數(shù),

再由〃J)=〃-g+8)=/(-f,即可求解.

【詳解】由〃尤)為R上的奇函數(shù)，且/(尤)+/(2-x)=0,可得/(2—X)=—〃X)=/(T),

所以/(2+尤)=〃可，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，

又由當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(x)=2\可得y(g)=/(一;+8)=/(一;)=2「；=?.

故答案為：—.

2

2.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中校考開學(xué)考試)已知/Q)=sinx-g,函數(shù)y=/(x)在尤e[J+40]零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

最大值為.

【答案】14

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)結(jié)合零點(diǎn)的定義求解.

【詳解】令/(x)=sinx-；可得sinx=；,

TT7T

貝U有x=±—H----卜2kji,keZ,

32

設(shè)玉,々是相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)，

則有|為一馬|=事或上一引=?,

函數(shù)y=/(x)在上J+2兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

在上+2憶+4兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

在在+4兀J+6兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

在上+6兀,/+8兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

在卜+8兀J+10兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

在上+10口+12兀)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)槎?lt;40-12兀<——,

33

所以Ax)在上+12兀J+40)可能沒(méi)有零點(diǎn),

可能有1個(gè)零點(diǎn)，可能有2個(gè)零點(diǎn)，不可能有3個(gè)零點(diǎn)，

所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)最大值為2x6+2=14個(gè)，

故答案為：14.

3.(2023秋?上海靜安?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/。)=六.若

/(ln2)=T,則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】—2

【分析】根據(jù)給定條件，確定ln2>0,再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=eOT,而ln2>0,

于是y(ln2)=-/(-ln2)=-/(ln5)=-e"I"5=-eM2-"=一2一"=-4,解得a=—2,

所以實(shí)數(shù)。的值為-2.

故答案為：-2

4.(2023?上海松江??？寄M預(yù)測(cè))已知定義在口上的偶函數(shù)/(尤)=歸-%+1|-2,若正實(shí)數(shù)以6滿足〃。)+〃23=〃2,

則上1+［9的最小值為—.

ab

【答案】|9

【分析】首先根據(jù)偶函數(shù)的定義，得出機(jī)的值，再由/(a)+f(?)="2得出。+抄=5,用不等式“1”的妙用，即可

得出最小值.

【詳解】因?yàn)?(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以/(_工)=卜無(wú)_m+1|_2=f(x)-\x-m+l\-2,gpm=l,

所以廣。)=國(guó)—2,

因?yàn)槿粽龑?shí)數(shù)。、6滿足/(。)+/(%)=1,

所以/(Q)+f(2Z?)=a—2+2b—2=1,即a+2b=5,

,12、/〃2b、12b2〃、1c29

貝nt|l(—l—)(—l----)=Id-------1----->l+2x—=

ab555a5b55

當(dāng)且僅當(dāng)"==,即a=6時(shí)，等號(hào)成立,

ja5b

9

故答案為：—.

5.(2023秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試)若〃力的值域?yàn)閧0,1,2},則

g(x)=(/(x)-x)(/(x)-2x)至多有,_____個(gè)零點(diǎn).

【答案】4

【分析】分別代入〃x)=0、/(介=1、/(%)=2,求出g(x)=O的解,即可得出答案.

【詳解】當(dāng)〃力=0時(shí),g(x)=2x2,

由g(x)=O可得，x=0；

當(dāng)〃x)=l時(shí)，g(x)=(%-l)(2x-l),

由8(力=0可得，x=l或x=3；

當(dāng)〃x)=2時(shí)，g(x)=2(x—l)(x—2),

由g(x)=O可得，x=l或x=2.

綜上所述，g(x)的零點(diǎn)可能是x=0或x=l或x=g或x=2.

所以，g(x)的零點(diǎn)至多有4個(gè).

故答案為：4.

6.(2023秋?上海楊浦?高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x>0時(shí)，/(X)=X2-2X-1,則/(尤)的解析式為

x2-2x-1尤>0

【答案】/?=0x=0

—x"—2x+1尤<0

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)即可求A》)的解析式；

【詳解】設(shè)尤<0,貝lJ-x>0

/(-%)=(-%)2-2(—x)-1=X2+2X-1,

又，函數(shù)/Xx)為奇函數(shù)

/(一元)=~f(x)

/(%)=-/(-%)=—x2—2x+l,

當(dāng)x=0時(shí)，由〃0)=-/(0),

/(0)=0.

x2-2x-lx>0

故f(x)=<0x=0.

——2x+1x<0

x2-2x-1x>0

故答案為：/（%）=0%=0

--2x+1x<0

7.（2023秋?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)校考開學(xué)考試）若函數(shù)〃尤）=[19]磯:泊在區(qū)間[0,+句上嚴(yán)格增，

lx—2,xW1

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】

【分析】根據(jù)符合單調(diào)性可得y=ig|x-詞的單調(diào)性，再結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.

【詳解】因?yàn)閥=ig"在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且〃=歸-同在（f,m）上單調(diào)遞減，在（必收）上單調(diào)遞增，

所以y=lg忖-刊在（HO,上單調(diào)遞減，在（m,-Ko）上單調(diào)遞增，

又因?yàn)閥=V-2在（-應(yīng)0）上單調(diào)遞減，在（0,+向上單調(diào)遞增,

若函數(shù)“X）在區(qū)間[0,+8）上嚴(yán)格增，貝葉_1<咽1_同，解得根《木，

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為18,\.

故答案為：卜巴布?

8.（2023秋?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/+2alog2（國(guó)+2）-的零點(diǎn)有且只有

一個(gè)，則實(shí)數(shù)。的取值集合為.

【答案】{1}

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知Ax）為偶函數(shù)，則只能是/（0）=0,帶入求解即可.

【詳解】因?yàn)?（x）=x4+2alog2（N+2）-a-l的定義域?yàn)镽,

44

又f（—x）=（-x）+2alog2（|-x|+2）-a-1=x+2alog2（|x|+2）-tz-1=f（x）,

所以/（?為偶函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，故"0）=0,即2a—a-l=0,即a=l.

故答案為：{1}

9.（2023春?上海徐匯?高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知/（無(wú)）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

當(dāng)xe[0,2]時(shí)，〃x）=x（2-X）,對(duì)于閉區(qū)間/，用M表示y=/⑺在/上的最大值，若正數(shù)%滿足M[Ok]=2M[k2k],

則上的值可以是（寫出一個(gè)即可）

【答案】上史(答案不唯一)

2

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)稱軸得函數(shù)的周期，再結(jié)合已知解析式作出函數(shù)圖象，由于/(x)皿x=l,由的定義

及函數(shù)的單調(diào)性得出1日0,燈，叫。同=1,%儂產(chǎn)g，求出y=g與“龍)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(在［。，2］上求出，由周

期性易得其他值)，然后分析推理得出Mgk］=g時(shí)的上值.

【詳解】因?yàn)椤癤)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，貝(尤+2)=/(l+(x+l))=/(l-(x+l))=/(—x)=——(x),

于是/a+4)=-f(x+2)=/(x),即函數(shù)/(丈)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

當(dāng)xe［0,2］時(shí)，/(x)=x(2-x)=-(x-l)2+l,最大值為1,因此F3的最大值為1,且"1)=1,/(5)=1,

由于叫04=2%tM，因此leM,2對(duì)，否則叫0如VI,叫⑶=1,矛盾，

f(x)在［0,1］上遞增,若左<1,貝!J%,對(duì)=/(1)<L即叫。同<叫*陽(yáng),矛盾，于是左［0,幻,

即有叫0#1=1，叫院2娼=3，并且有％<4,否則叫￡2%］=1,從而2左<5,

由x(l—x)=彳得x=1+^^或x=1—,所以圖中a=l+^^,b=1—^^-+4=5-,

222222

當(dāng)％=<7=1+^^時(shí)，1k=2+A/2<b>滿足題意，當(dāng)2左=》=5—^^時(shí)，k=—~>a>滿足題意，

224

綜上，上的值為土史或吐史.

24

故答案為：土區(qū)

2

10.(2023春?上海嘉定?高三上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)=-，0若方程〃力=履

［27(x-2),2<xV8

恰好有四個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

4

【答案】(j.D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)分段作出函數(shù)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)與gQ)=入圖象交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可得解.

1%0VY.［

【詳解】當(dāng)xe［0,2］時(shí)，/(元)=］，一,C，八尤)的圖象向右平移2個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到

I2-x,l<x<2

2/(x-2)的圖象，也即八九)在區(qū)間24］上的圖象，以此類推，則在區(qū)間［0,8］上的圖象如圖所示,

設(shè)g(x)=丘，若方程〃x)=質(zhì)恰好有四個(gè)實(shí)根，

則函數(shù)與g(%)的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)，

由圖得，A(11),5(3,2),C(5,4),D(7,8),

248

則自A=Ik0B=—，k()c=g，k0口=~,

則k°B<he<k()A<k°D,

4

所以/(x)與g(%)的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)gV化<1,

故答案為：(二,1)

11.(2023秋.上海楊浦.高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ln(x+4r77)+1,若正實(shí)數(shù)

滿足/(4")+/(46—1)=2,則工+工的最小值為________.

ab

【答案】16

【分析】根據(jù)題意設(shè)g(x)=ln(x+G7T),利用函數(shù)奇偶性可以得到設(shè)44+46=1,再利用基本不等式即可求出結(jié)

果.

【詳解】由函數(shù)〃x)=ln(x+77W)+l,

設(shè)g(x)=ln(x+Jd+i卜則g(x)的定義域?yàn)镽,

g(x)+g(-x)=In(x+Jx?+"+In^-x+{(-x)2+])=0,

則g(r)=-g(x),所以g(元)是奇函數(shù)，

貝U〃x)+〃-x)=2,

又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足/(4a)+/(4b-l)=2,

所以4a+4b=1,

11f11tg4a4b、。M

—+—=—+—(zi4〃+4b)=o8+——+——>8+o8=16,

abyab)ba

當(dāng)且僅當(dāng)=：時(shí)取到等號(hào).

oo

故答案為：16.

12.(2023秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí))德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他

flx是有理數(shù)

是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”，以其名命名的函數(shù)如=0.是無(wú)理數(shù)狄利克

匹x是有理數(shù)

雷函數(shù)，現(xiàn)定義一個(gè)與狄利克雷函數(shù)類似的函數(shù)”句=乙函數(shù)”，則關(guān)于狄利雷函數(shù)和L函數(shù)有以

0,x是無(wú)理數(shù)

下四個(gè)結(jié)論：

(1)r?(D=L(i)；

(2)函數(shù)L(x)是偶函數(shù)；

(3)乙函數(shù)圖象上存在四個(gè)點(diǎn)使得四邊形ABCD為菱形；

(4)工函數(shù)圖象上存在三個(gè)點(diǎn)4氏C,使得一MC為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】(1)(4)

【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義，結(jié)合奇偶性，可判定(1)(2)；利用反證法，可證得(3)錯(cuò)誤；直接取點(diǎn)說(shuō)

明(4)正確；

【詳解】由狄利克雷函數(shù)的定義，可得。⑴=〃1)=1,所以(1)正確；

尤，龍是有理數(shù)

由L(x)=可得L(-l)=-1,￡(1)=1,不滿足￡(-1)=￡(1),

0,x是無(wú)理數(shù)

所以函數(shù)L(x)不是偶函數(shù)，所以(2)錯(cuò)誤；

由L函數(shù)定義，可得函數(shù)”幻圖象上的點(diǎn)要么在直線丁=龍上，要么在直線>=0上，若函數(shù)L圖象上存在四個(gè)點(diǎn)

A,B,C,D,使得四邊形ABC。為菱形,

因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，則直線產(chǎn)了和y=o不是對(duì)角線所在的直線,

不妨設(shè)A(a,不B(b,b),C(m,O),Z>(n,0),

ab

a-mb-n

〃+%7h+n

則AC與BD互相垂直平分，可得匕—，可得A與8,C與。重合，且方程不成立，所以(3)錯(cuò)誤;

a_b

2~2

取函數(shù)L圖象上三個(gè)點(diǎn)A(3,3),8(3-石,0),C(3+也,0),

則43=灰?=4。=2/，使得—46(?為等邊三角形，所以(4)正確.

故答案為：(1)(4)

13.(2023春?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習(xí))已知左eR,函數(shù)〃X)=+丘+2,尤,。，.若關(guān)于兀

IInx,x>0

的方程|/（x）|+k=O恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是.

【答案】（-2,0）

【分析】分析可知，上<0,且知方程|/（%）|+k=。在（0,+“）有兩個(gè)不等的實(shí)根，則|/（到+左=。在（-*0］上的圖象，

作出函數(shù)丁=-左、>=的圖象數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

【詳解】由|〃到+左=0可得心=/（力性0,可得左40,

若左=0,當(dāng)x>0時(shí)，i|/（x）|=|lnx|=0,可得x=l,

當(dāng)xWO時(shí)，由|/（力|=0,可得/一日一2=0,該方程至多兩個(gè)根，不合乎題意.

所以，k<0,當(dāng)x>0時(shí)，由|/（x）|=|lnx|=-左可得x=e”或無(wú)=/，

即方程|/（x）|+k=O在（0,+e）有兩個(gè)不等的實(shí)根，

當(dāng)x<0時(shí)，由，（尤）|=_左可得_h_21=_左，

對(duì)于二次函數(shù)g（x）=f-履-2,該函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線X=g,

V\^^y=~k

O1X

△=/+4>0,設(shè)函數(shù)g（x）=x?-6一2的兩個(gè)零點(diǎn)分別為X［、巧，則占々=-2<0,

若使得關(guān)于x的方程〃（力|+%=0恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程|/（元）|+左=0在（f,。］上只有兩個(gè)不等的實(shí)根，

22

所以,0一<2或一左（七k］弋一k萬(wàn)一2=k1+2（無(wú)解），解得-2仆。.

綜上所述，實(shí)數(shù)上的取值范圍是（-2,0）.

故答案為：（-2,0）.

14.（2023秋?上海寶山?高三上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí)）己知函數(shù)AM=［>2>若/（〃加）”0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】I，+s）

【分析】作出函數(shù)的圖象得到了(，，7?-2,然后結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】作出函數(shù)Ax)的圖象，如圖所示，

如/(“m)”。，則/(〃?)2-2,

又因?yàn)?(7)=2-|-4|=-2,結(jié)合圖象可知：機(jī)2-4,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是1，內(nèi)),

故答案為：

15.(2023秋.上海徐匯?高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)=忒+24(xwR),g(x)=ln(尤+1),令

M(x)=/(x)-g(x),若函數(shù)y=a(x)的圖象在各個(gè)象限均有分布，則實(shí)數(shù)X的取值范圍為.

【答案】-1<A<0

【分析】根據(jù)g(x)的正負(fù)情況，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(力=/-疝+2彳在O>x>-1和x>0上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，利用二次

函數(shù)根的分布即可求解.

【詳解】“⑺=1(%)?g(x)的定義域?yàn)?-1,+8),

當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0恒成立,當(dāng)0>x>-l時(shí),g(x)<0恒成立,

要使y="("的圖象在各個(gè)象限均有分布，則需要『(X)在尤>0和0>X>T上均有正有負(fù),

所以/(x)=f-；lx+2；l在0>x>T和x>0上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

1+2+22>0解得一:<幾<0,

貝人，即

/(0)<022<0

故答案為：——<A<0

16.(2023秋?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=f(x),對(duì)任意xeR,都有/(x+2)./(x)=k

(左為常數(shù))，且當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(x)=x2+l,貝i]f(2023)=.

【答案】|

【分析】根據(jù)左=〃。)-"2)可得出左的值，推導(dǎo)出函數(shù)〃元)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期性可求得“2023)的

值.

【詳解】對(duì)任意xeR,都有〃x+2)"(x)=左(左為常數(shù))，當(dāng)x?0,2］時(shí)，f(x)=x2+l,

則"0)=1，"2)=5,則」=〃0)"(2)=5,所以，/(1)/(-1)=5,

所以，/(x+2)-/(x+4)=5M/(x+2)-/(x)=5,

所以，/(尤+4)=〃x),故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，

則〃2023)=〃4x506-1)=〃-1)=齋=：,

故答案為：g.

17.(2023.上海徐匯.統(tǒng)考二模)已知函數(shù)”x)=x+?+6,xe［b,-w),其中6>0,aeR,若〃x)的最小值為2,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(f,l)

【分析】根據(jù)。討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定。的取值范圍.

【詳解】①當(dāng)時(shí)，/⑺在山,+8)上單調(diào)遞增，

所以=/僅)=26+4=2,b>0,.,.b=—,因止匕aW0滿足題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，Ax)在［而,+oo)上單調(diào)遞增，在(0,，r)上單調(diào)遞減

（i）當(dāng)時(shí)，了⑺在山,+8）上單調(diào)遞增,

所以/（尤）nin=/（*）=2b2，貝|J2b2-2b+a=Q,

1b

A1c八7l±Jl—2a[—

/\=l-2a>0,b=--------->y/a,

所以a<02,2b-2b1<b1,b>0,

…271+』1—2a

32

2

1

1a>-114

—或｛4nO<〃V—或一<QW—,

4l-2a>4a-+144）

4

0<QW—;

9

（ii）當(dāng)時(shí)，/（尤）在[&,+8）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以〃力3=/（&）=26+》=2,

0<Z?<y/a?BP\[a>2-2>fa>0,

綜上，a的取值范圍為a<1.

故答案為：（f,D

二、單選題

（無(wú)2x為干理數(shù)

18.（2023秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=';上用二，則以下4個(gè)命題:

為有理數(shù)

①“X）是偶函數(shù)；②"X）在［0,+8）上是增函數(shù)；

③〃元）的值域?yàn)镼；④對(duì)于任意的正有理數(shù)a,g（x）=〃x）-。存在奇數(shù)個(gè)零點(diǎn).

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】取特殊值可判斷①②；根據(jù)值域中含正無(wú)理數(shù)可判斷③；根據(jù)x=。，x為有理數(shù)或爐=°,尤為無(wú)理數(shù),

解出可判斷④.

一,尤為無(wú)理數(shù)

【詳解】〃尤）=

為有理數(shù)

=〃T）=T，所以“X）不是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；

7（3）=3,/陰=5,3>指,但〃3）</（國(guó),

所以函數(shù)〃x）在［0,+8）上不是增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

/（1+血）=（1+0）2=3+20,\外勾的值域中有正無(wú)理數(shù)，故③錯(cuò)誤；

g（x）="x）-。的零點(diǎn)即/'（x）=a,即x=a,尤為有理數(shù)或爐=°,x為無(wú)理數(shù),

對(duì)于x=a,x為有理數(shù)，必有解x=a,

對(duì)于無(wú)2=4,x為無(wú)理數(shù)，有解了=±?■或無(wú)解，

故g（x）=/（》）-a有三個(gè)或一個(gè)零點(diǎn)，故④正確.

故選：B.

19.（2023秋?上海浦東新?高三上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)〃司=63+610821+朽石）+2在（-8,0）上

有最小值-5（a、6為常數(shù)）則函數(shù)在（0,+8）上（）

A.有最大值3B.有最大值7

C.有最大值9D.有最小值5

【答案】C

【分析】構(gòu)造新函數(shù)g(x)=/(x)-2=加+。1082(%+正~71),確定它是奇函數(shù)，然后利用奇函數(shù)性質(zhì)求解.

【詳解】設(shè)g。)=/(%)一2=依3+01og2(X+A/%2+1),

=國(guó)之X,；?x+dx2+1>0，，g(x)的定義域是(一8,+8),

g(_x)——ax^+lo§2(_x++1)=_cue1_log2(%++1)——g(x)，g(X)函,

fM在(-oo,0)上最小值是-5,則g(x)在(-00,0)上最小值是-7,

從而g(x)在(0,+8)上最大值是7，.二fM在(0,+co)上最大值是9,

故選：C.

20.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥?函數(shù)/(x)=(l+x)后]的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

【答案】C

【分析】求出了(無(wú))的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷f(x)為非奇非偶函數(shù).

【詳解】由函數(shù)〃x)=(l+x)耳|的定義域可得三20,

則卜+祖1-小。=_1<1，

[xw-l

由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故/(尤)為非奇非偶函數(shù).

故選：C.

—%2—2xYV0

21.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)/(x)='一，現(xiàn)有如下命題，①若方程/'(%)=。有四個(gè)不同的實(shí)

inx\,x>u

根毛、4、Xs、乙，則%”「甘羽的取值范圍是他：!)；②方程廣⑺-、+￡|〃x)+l=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能

是1,2,3,8.下列判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】C

【分析】首先畫出函數(shù)y=/(x)的圖象.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得%+尤2=-2,根據(jù)|ln口=|lnx/得退通=1，從而

求得士?馬?尤334的取值范圍，進(jìn)而判斷出命題①的真假；先根據(jù)方程求出Ax)的根，再對(duì)根的大小分類討論，并結(jié)

合y=/(x)的圖象判斷出根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷出命題②的真假.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=-X2-2X,圖象為拋物線的一部分，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=-l,頂點(diǎn)為(-M),

過(guò)(一2,0)和(0,0)；

當(dāng)尤＞0時(shí)，/(x)=|ln^,圖象過(guò)(1,0),如圖所示.

對(duì)于①，當(dāng)方程/(x)=。有四個(gè)不同的實(shí)根毛、々、馬、匕時(shí),

不妨假設(shè)%1<%2<%3<%4-

貝!-2<<-1<x2<0<x3<1<x4<e,^_xl+x2=-2,|ln司=|lnxj,

所以一In%=ln%,所以￡?尤4=1.

X2

因此芯.無(wú)2.%3.%4=尤1.4=(一2-尤2)?無(wú)2=~2-2x2=-(%2+I)+1,-1<x2<0,

所以西?馬?尤33€(0』)，故①為真命題.

對(duì)于②，方程/(可一,+￡|〃司+1=0等價(jià)于(/(x)-a)(/(x)-￡|=o且awo,所以/⑺=a或〃耳=：

當(dāng)a＞l時(shí)，。＜:＜1，由y=/(x)的圖象得〃x)=a有2個(gè)不同實(shí)根，/⑺=:有4個(gè)不同實(shí)根，故原方程有6個(gè)

不同實(shí)根；

當(dāng)。=1時(shí)，|=a=l,由y=/(M的圖象得〃x)=l有3個(gè)不同實(shí)根，故原方程有3個(gè)不同實(shí)根；

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，-＞1,由＞=/(尤)的圖象得〃力=。有4個(gè)不同實(shí)根，〃x)=:有2個(gè)不同實(shí)根，故原方程有6個(gè)

不同實(shí)根；

當(dāng)。=-1時(shí)，!=?=-1,由＞=/(無(wú))的圖象得〃力=-1有1個(gè)實(shí)根，故原方程有1個(gè)實(shí)根；

當(dāng)〃＜0且。工-1時(shí)，且由y=/(x)的圖象得/'(力=。有1個(gè)實(shí)根，/(2=:有1個(gè)實(shí)根，故原方程

有2個(gè)不同實(shí)根；

綜上所述，方程尸(x)-1a+￡|”x)+l=。的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)可能是1,2,3,6.

故②為假命題.

故選：C

22.(2023秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)/(無(wú))=］三的圖像關(guān)于點(diǎn)尸中心對(duì)稱，則

點(diǎn)尸的坐標(biāo)是()

【答案】B

【分析】運(yùn)用對(duì)稱性可知f(x+a)-6為奇函數(shù)，4-2*+。片0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求得a的值，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)

可求得b的值.

【詳解】因?yàn)椤?的對(duì)稱中心為尸3勿，所以f(x+。)-匕為奇函數(shù)，

設(shè)/7(元)=/(尤+<7)-匕，則〃(X)=：=-匕，

4-2

由4-2,+"#0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2,

此時(shí)〃(無(wú))=^—(xwO)

4-2

任取xe(f,0)u(0,+oo),A(-x)+/j(x)=0,

所以一二7-6+—J-b=O,

4—2r+24-2X2

目n?112"12X-11々刀田71

即：2人=匚尹+匚產(chǎn)=5’+匚產(chǎn)=彳—="解侍此鼠

所以/(尤)=-^―圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(2,J).

4-28

故選：B.

23.(2023?上海閔行?上海某寶中學(xué)校