人教版七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題第5章相交線與平行線單元測試(培優(yōu)壓軸卷)(原卷版+解析)

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】第5章相交線與平行線單元測試（培優(yōu)壓軸卷，七下人教）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023秋?渝中區(qū)校級期末）下列說法正確的有（）A．相等的角是對頂角 B．直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到該直線的距離 C．兩條不相交的直線叫做平行線 D．在同一平面內(nèi)，若直線a⊥b，b⊥c，則直線a∥c2．(2023秋?唐河縣期末）如圖，∠1和∠2分別為直線l3與直線l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪個條件后，可判定l1∥l2（）A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°3．(2023秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE4．(2023春?隆陽區(qū)校級月考）如圖，AD⊥BC，垂足為D，且DE∥AB．若∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．25°5．(2023秋?平輿縣校級期末）如圖，從A地到C地有a、b、c三條路可以走，下列判斷正確的是（）A．路線a最短 B．路線b最短 C．路線c最短 D．三條路線長度一樣長6．(2023春?龍崗區(qū)校級期中）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么5條直線相交，最多交點的個數(shù)是（）A．10 B．14 C．21 D．157．(2023春?夏邑縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，則∠AOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°8．(2023春?銅仁市期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，AB∥CD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如圖4，AB∥CD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④9．(2023春?承德縣期末）黑板上有一個數(shù)學(xué)問題如圖所示：如圖AB⊥BC，BC交CD于點C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．幾位同學(xué)經(jīng)過研究得到以下結(jié)論：嘉嘉說：“AB∥CD”；琪琪說：“∠AEB+∠ADC＝180°”；薇薇說：“DE平分∠ADC”；亮亮說：“∠F＝135°”，則（）A．只有嘉嘉的結(jié)論正確 B．嘉嘉和琪琪的結(jié)論都正確 C．只有琪琪的結(jié)論不正確 D．四個人的結(jié)論都正確10．(2023春?海倫市期末）如圖，點E在CA延長線上，DE，AB交于點F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動點，Q為PC上一點，且滿足∠FQP＝∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．下列結(jié)論：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．(2023秋?文成縣期中）證明命題“若a2＝4，則a＝2”是假命題，反例是．12．(2023春?白云區(qū)期中）如圖，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，則∠BOE的度數(shù)是°．13．(2023春?海曙區(qū)校級期中）如圖，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，則z度數(shù)為．14．(2023春?榆次區(qū)期中）如圖，將周長為18的△ABC沿BC方向平移3個單位長度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為．15．(2023春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為AB、CD之間一點，且點E在MN的右側(cè)，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是．16．(2023春?鏡湖區(qū)校級期末）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當(dāng)x＝32°時，∠FGD′＝度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝.（用x的式子表示）．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023秋?磁縣期末）如圖1所示，兩個村莊A，B在河流1的兩側(cè)，現(xiàn)要在河邊修建一個水泵站，同時向A、B兩村供水，要使所鋪設(shè)的管道最短，水泵站P應(yīng)該建在什么位置？把河流1近似看作直線1，如圖2所示．小明提出了這樣的方案：過點A作直線l的垂線段AP，則點P為水泵站的位置．你同意小明的方案嗎？若同意，請說明理由若不同意，那么你認(rèn)為水泵站P應(yīng)該建在什么位置？請在圖3中作出來，并說明依據(jù)．18．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，直線AB和CD相交于點O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝58°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠EOF的度數(shù)．19．(2023秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求證：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．20．如圖，A、B是人工湖岸上的兩點，從A點看B點，測得∠BAC＝60°，現(xiàn)在過點A、B兩點有兩條相互平行的道路l1和l2，從l1上的點C經(jīng)點E到l2上的點D修一條公路，把l1和l2連起來，如果∠ACE＝150°，∠BDE＝100°．求：（1）∠ABD的度數(shù)；（2）∠DEC的度數(shù)．21．(2023?南京模擬）如圖，有三個條件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，從中任選兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，可以組成3個命題，例如：以③作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．（1）請按要求寫出命題：以①作為結(jié)論的命題是：；以②作為結(jié)論的命題是：；（2）請證明以②作為結(jié)論的命題．22．(2023秋?臥龍區(qū)校級期末）（1）【感知】如圖1，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、CE，試說明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面給出了這道題的解題過程，請將解題過程中的解題依據(jù)補充完整．證明：如圖2，過點E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，（）∵AB∥CD（已知），EF∥AB（輔助線作法），∴EF∥CD，（）∴∠2＝∠DCE，（）∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（）（2）【探究】當(dāng)點E在如圖2的位置時，其他條件不變，試說明∠A+∠AEC+∠C＝360°；（3）【應(yīng)用】如圖，延長線段AE交直線CD于點M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度數(shù)（請直接寫出答案）．23．(2023?蘇州模擬）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點M，若G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合）．（1）如圖1，若EG平分∠BEF，試判斷EM與EG的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當(dāng)點G在點F的右側(cè)時，若β＝60°，求α的度數(shù)；②在點G運動的過程中，α和β之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并說明理由．【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】第5章相交線與平行線單元測試（培優(yōu)壓軸卷，七下人教）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023秋?渝中區(qū)校級期末）下列說法正確的有（）A．相等的角是對頂角 B．直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到該直線的距離 C．兩條不相交的直線叫做平行線 D．在同一平面內(nèi)，若直線a⊥b，b⊥c，則直線a∥c【分析】根據(jù)對頂角的定義，點到直線的距離的定義，平行線的判定等知識，一一判斷即可．【解析】A、相等的角是對頂角，錯誤，相等的角不一定是對頂角，本選項不符合題意；B、直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到該直線的距離，錯誤，應(yīng)該是直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫做點到該直線的距離，本選項不符合題意；C、兩條不相交的直線叫做平行線，錯誤，條件是在同一平面內(nèi)，本選項不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，若直線a⊥b，b⊥c，則直線a∥c正確，本選項符合題意．故選：D．2．(2023秋?唐河縣期末）如圖，∠1和∠2分別為直線l3與直線l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪個條件后，可判定l1∥l2（）A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°【分析】欲證l1∥l2，在圖中發(fā)現(xiàn)l1、l2被直線l3所截，且已知∠1＝62°，可根據(jù)同位角相等，兩直線平行，再結(jié)合答案來補充條件．【解析】∠1＝62°，要使l1∥l2，則需∠3＝62°（同位角相等，兩直線平行），由圖可知，∠2與∠3是鄰補角，則只需∠2＝180°﹣62°＝118°，故選：A．3．(2023秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)一一判斷即可【解析】∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯誤．故選：B．4．(2023春?隆陽區(qū)校級月考）如圖，AD⊥BC，垂足為D，且DE∥AB．若∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．25°【分析】由垂直的定義可得∠ADC＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠A＝50°，進(jìn)而可求解∠CDE的度數(shù)．【解析】∵AD⊥BC，垂足為D，∴∠ADC＝90°，∵DE∥AB，∠A＝50°，∴∠ADE＝∠A＝50°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣50°＝40°．故選：C．5．(2023秋?平輿縣校級期末）如圖，從A地到C地有a、b、c三條路可以走，下列判斷正確的是（）A．路線a最短 B．路線b最短 C．路線c最短 D．三條路線長度一樣長【分析】根據(jù)兩點之間線段最短解決問題即可．【解析】根據(jù)兩點之間線段最短可知，路線b最短．故選：B．6．(2023春?龍崗區(qū)校級期中）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么5條直線相交，最多交點的個數(shù)是（）A．10 B．14 C．21 D．15【分析】根據(jù)圖示解決問題．【解析】兩條直線相交，最多交點數(shù)為1個；三條直線相交，最多交點數(shù)為1+2＝3（個）；四條直線相交，最多交點數(shù)為1+2+3＝6（個）；五條直線相交，最多交點數(shù)為1+2+3+4＝10（個）．故選：A．7．(2023春?夏邑縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，則∠AOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角、角平分線的定義解決此題．【解析】∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝60°．∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，∴∠AOE＝20°．∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．∵射線OF平分∠DOE，∴∠DOF＝＝50°．∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．故選：C．8．(2023春?銅仁市期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，AB∥CD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如圖4，AB∥CD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【分析】①過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E﹣∠1＝180°；④先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷．【解析】①過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小題錯誤；②過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小題正確；③過點E作直線EF∥AB，，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本選項正確；④∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠P，故本小題正確．綜上所述，正確的小題有②③④共3個．故選：C．9．(2023春?承德縣期末）黑板上有一個數(shù)學(xué)問題如圖所示：如圖AB⊥BC，BC交CD于點C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．幾位同學(xué)經(jīng)過研究得到以下結(jié)論：嘉嘉說：“AB∥CD”；琪琪說：“∠AEB+∠ADC＝180°”；薇薇說：“DE平分∠ADC”；亮亮說：“∠F＝135°”，則（）A．只有嘉嘉的結(jié)論正確 B．嘉嘉和琪琪的結(jié)論都正確 C．只有琪琪的結(jié)論不正確 D．四個人的結(jié)論都正確【分析】根據(jù)平行線得性質(zhì)，角平分線得定義，互補得性質(zhì)求解．【解析】過點E作EH∥AB交AD于點H，則∠1＝∠AEH，∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠DEH，∴EH∥CD，∴AB∥CD，∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠EAD，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠2，∴DE平分∠ADC，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．根據(jù)平行線的拐點問題得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，故選：C．10．(2023春?海倫市期末）如圖，點E在CA延長線上，DE，AB交于點F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動點，Q為PC上一點，且滿足∠FQP＝∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．下列結(jié)論：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤【分析】①由∠BDE＝∠AEF可得出CE∥BD，結(jié)論①正確；②由CE∥BD進(jìn)而可得出∠B＝∠EAF，結(jié)合∠B＝∠C可得出∠EAF＝∠C，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得出AB∥CD，結(jié)論②正確；③由AB∥CD可得出∠AFQ＝∠FQP，結(jié)合∠FQP＝∠QFP可得出∠AFQ＝∠QFP，即FQ平分∠AFP，結(jié)論③正確；④由AB∥CD可得出∠EFA＝∠FDC，結(jié)合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度數(shù)，再由∠B＝∠EAF結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出∠B+∠E＝140°，結(jié)論④正確；⑤根據(jù)角平分線的定義可得出∠MFP＝∠EFA+∠AFP以及∠QFP＝∠AFP，將其代入∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP可求出∠QFM的角度為定值20°，結(jié)論⑤正確．綜上即可得出結(jié)論．【解析】①∵∠BDE＝∠AEF，∴CE∥BD，結(jié)論①正確；②∵CE∥BD，∴∠B＝∠EAF．∵∠B＝∠C，∴∠EAF＝∠C，∴AB∥CD，結(jié)論②正確；③∵AB∥CD，∴∠AFQ＝∠FQP．∵∠FQP＝∠QFP，∴∠AFQ＝∠QFP，∴FQ平分∠AFP，結(jié)論③正確；④∵AB∥CD，∴∠EFA＝∠FDC．∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，∴∠EFA＝40°．∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°，∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝140°，結(jié)論④正確；⑤∵FM為∠EFP的平分線，∴∠MFP＝∠EFP＝∠EFA+∠AFP．∵∠AFQ＝∠QFP，∴∠QFP＝∠AFP，∴∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP＝∠EFA＝20°，結(jié)論⑤正確．綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④⑤．故選：A．二．填空題（共6小題）11．(2023秋?文成縣期中）證明命題“若a2＝4，則a＝2”是假命題，反例是a＝﹣2．【分析】取a＝﹣2，舉反例說明即可．【解析】∵（±2）2＝4，∴a＝±2，∴a＝﹣2時，a2＝4．故答案為：a＝﹣2．12．(2023春?白云區(qū)期中）如圖，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，則∠BOE的度數(shù)是50°．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)、鄰補角的定義解決此題．【解析】∵OE⊥CD于O，∴∠COE＝90°．∴∠BOE＝180°﹣（∠AOC+∠COE）＝180°﹣（40°+90°）＝50°．故答案為：50．13．(2023春?海曙區(qū)校級期中）如圖，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，則z度數(shù)為20°．【分析】延長AB交DE于H，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，進(jìn)而得到x﹣z＝y(tǒng)．【解析】如圖所示，延長AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴z＝x﹣y＝50°﹣30°＝20°．故答案為：20°．14．(2023春?榆次區(qū)期中）如圖，將周長為18的△ABC沿BC方向平移3個單位長度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為24．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD＝CF＝3，AC＝DF，然后根據(jù)四邊形的周長的定義列式計算即可得解．【解析】∵△ABC沿BC方向平移3個單位得到△DEF，∴AD＝CF＝3，AC＝DF，∴四邊形ABFD的周長＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周長＝18，∴AB+BC+AC＝18，∴四邊形ABFD的周長＝18+3+3＝24．故答案為：24．15．(2023春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為AB、CD之間一點，且點E在MN的右側(cè)，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是4．【分析】過E作EH∥AB，E1G∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義得出∠ME1N＝∠MEN，進(jìn)而得到∠MEnN＝∠MEN，然后解方程∠MEN＝×128°＝8°，即可求出n＝4．【解析】過E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵M(jìn)E1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1＝（∠BME+∠DNE）＝∠MEN，∴∠ME1N＝∠MEN，同理，∠ME2N＝∠ME1N＝∠MEN，∠ME3N＝∠ME2N＝∠MEN，???，∴∠MEnN＝∠MEn﹣1N＝∠MEN，若∠MEnN＝8°，則∠MEN＝×128°＝8°，∴n＝4．故答案為：4．16．(2023春?鏡湖區(qū)校級期末）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當(dāng)x＝32°時，∠FGD′＝64度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝2x.（用x的式子表示）．【分析】（1）由長方形的對邊是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由對頂角的性質(zhì)得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；（2）由長方形的對邊是平行的，設(shè)∠BFE＝∠DEF＝x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由對頂角的性質(zhì)得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分線的定義得到∠PGF＝x，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠GPE，從而求解．【解析】（1）由折疊可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵長方形的對邊是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴當(dāng)x＝32°時，∠GFD′的度數(shù)是64°．故答案為：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折疊可得∠GEF＝∠DEF，∵長方形的對邊是平行的，∴設(shè)∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案為：∠GPE＝2x．三．解答題（共7小題）17．(2023秋?磁縣期末）如圖1所示，兩個村莊A，B在河流1的兩側(cè)，現(xiàn)要在河邊修建一個水泵站，同時向A、B兩村供水，要使所鋪設(shè)的管道最短，水泵站P應(yīng)該建在什么位置？把河流1近似看作直線1，如圖2所示．小明提出了這樣的方案：過點A作直線l的垂線段AP，則點P為水泵站的位置．你同意小明的方案嗎？若同意，請說明理由若不同意，那么你認(rèn)為水泵站P應(yīng)該建在什么位置？請在圖3中作出來，并說明依據(jù)．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短即可完成作圖．【解析】不同意小明的方案，水泵站應(yīng)該建在如圖3的點P的位置，依據(jù)是兩點之間線段最短．如圖3，點P即為所求．18．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，直線AB和CD相交于點O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝58°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)鄰補角之和等于180°計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DOF的度數(shù)，計算即可．【解析】（1）∵∠BOE＝58°，∠COE＝90°，又∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠AOC＝180°﹣58°﹣90°＝32°，（2）∵∠DOE＝∠COE＝90°，∴∠BOD＝90°﹣58°＝32°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF＝32°，∴∠EOF＝58°+32°+32°＝122°．19．(2023秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求證：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代換得出∠ADC+∠3＝180°，即可根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得解；（2）由DA∥CE，DA⊥FE，得出CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根據(jù)角平分線的定義即可得解．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵DA∥CE，DA⊥FE，∴CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．20．如圖，A、B是人工湖岸上的兩點，從A點看B點，測得∠BAC＝60°，現(xiàn)在過點A、B兩點有兩條相互平行的道路l1和l2，從l1上的點C經(jīng)點E到l2上的點D修一條公路，把l1和l2連起來，如果∠ACE＝150°，∠BDE＝100°．求：（1）∠ABD的度數(shù)；（2）∠DEC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABD+∠BAC＝180°，由此即可解決問題；（2）過點E作EF∥l1，則可得到EF∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）∵l1∥l2，∴∠BAC+∠ABD＝180°．∵∠BAC＝60°，∴∠ABD＝120°．（2）過點E作過點E作EF∥l1，由題意可知l1∥l2，∵EF∥l1，l1∥l2，∴EF∥l2，∴∠BDE+∠DEF＝180°，∠ACE+∠FEC＝180°．∵∠ACE＝150°，∠BDE＝100°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝80°，∴∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝80°+30°＝110°．21．(2023?南京模擬）如圖，有三個條件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，從中任選兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，可以組成3個命題，例如：以③作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．（1）請按要求寫出命題：以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．；以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．；（2）請證明以②作為結(jié)論的命題．【分析】（1）根據(jù)題意要求寫出已知求證，寫出命題即可求解；（2）根據(jù)平行線的判定可得DB//EC，DF//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代換即可得證．【解析】（1）以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．故答案為：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．22．(2023秋?臥龍區(qū)校級期末）（1）【感知】如圖1，AB∥CD，點E