2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第9講隱圓模型含解析

2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第9講隱圓模型含解析中考數(shù)學(xué)幾何模型9：隱圓模型名師點睛撥開云霧開門見山【點睛1】觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動點定長模型若P為動點，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長（2）直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑則A、B、C三點共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對動角∠P為定值原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則點P運動軌跡為過A、B、C三點的圓備注：點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可（4）四點共圓模型①若動角∠A+動角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補則A、B、C、D四點共圓備注：點A與點C在線段AB異側(cè)（5）四點共圓模型②固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點共圓備注：點P與點C需在線段AB同側(cè)【點睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題條件：線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周，點M是線段AB上的一動點，點C是定點（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運動路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．變式練習(xí)>>>1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．例題2.如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點O滿足OC=5，點P為圓C上一動點，經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過點C，則AB的最小值為________．變式練習(xí)>>>2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．例題3.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．變式練習(xí)>>>3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．例題4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為_________．變式練習(xí)>>>4．如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當(dāng)點E到達(dá)點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為．例題5.如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．變式練習(xí)>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長的取值范圍是________．例題6.如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，則正方形的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2變式練習(xí)>>>6．如圖，BE，CF為△ABC的高，且交于點H，連接AH并延長交于BC于點D，求證：AD⊥BC.例題7.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對角線，過點D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長線于點F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長為．變式練習(xí)>>>7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點，過點E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點F，求證：FE=DE.（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在對角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長為．圖1圖2例題8.在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．變式練習(xí)>>>8．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點B’．當(dāng)PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為．2.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長分別為3，5，求三角形OBE的面積．3.如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，點P是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為________．4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是_________．5.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_________．6.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是_________．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為_________．8.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為_________．9.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點O、P分別是邊AB、AD的中點，點H是邊CD上的一個動點，連接OH，將四邊形OBCH沿OH折疊，得到四邊形OFEH，連接PE，則PE長度的最小值是_________．10.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為．中考數(shù)學(xué)幾何模型9：隱圓模型名師點睛撥開云霧開門見山【點睛1】觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動點定長模型若P為動點，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長（2）直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑則A、B、C三點共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對動角∠P為定值原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則點P運動軌跡為過A、B、C三點的圓備注：點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可（4）四點共圓模型①若動角∠A+動角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補則A、B、C、D四點共圓備注：點A與點C在線段AB異側(cè)（5）四點共圓模型②固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點共圓備注：點P與點C需在線段AB同側(cè)【點睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題條件：線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周，點M是線段AB上的一動點，點C是定點（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運動路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’軌跡是以M點為圓心，MA為半徑的圓?。B接CM，與圓的交點即為所求的A’，此時A’C的值最小．構(gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A’M即可，答案為．變式練習(xí)>>>1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點軌跡是以F點為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓?。^F點作FH⊥AB，與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離最?。上嗨葡惹驠H，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.例題2.如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點O滿足OC=5，點P為圓C上一動點，經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過點C，則AB的最小值為________．【分析】連接OP，根據(jù)△APB為直角三角形且O是斜邊AB中點，可得OP是AB的一半，若AB最小，則OP最小即可．連接OC，與圓C交點即為所求點P，此時OP最小，AB也取到最小值．答案為4.變式練習(xí)>>>2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．答案為8.【分析】F點軌跡是以E點為圓心，EA為半徑的圓，作點D關(guān)于BC對稱點D’，連接PD’，PF+PD化為PF+PD’．連接ED’，與圓的交點為所求F點，與BC交點為所求P點，勾股定理先求ED‘,再減去EF即可．例題3.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．【分析】根據(jù)條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H點軌跡是以AB為直徑的圓弧當(dāng)D、H、O共線時，DH取到最小值，勾股定理可求．答案為變式練習(xí)>>>3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．答案為【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P點軌跡是以AB為直徑的圓?。?dāng)O、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．例題4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為_________．【分析】連接CE，由于CD為直徑，故∠CED=90°，考慮到CD是動線段，故可以將此題看成定線段CB對直角∠CEB．取CB中點M，所以E點軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓?。B接AM，與圓弧交點即為所求E點，此時AE值最小，．變式練習(xí)>>>4．如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當(dāng)點E到達(dá)點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為．【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對的BE邊是不確定的．重點放在AE=CF，可得EF必過正方形中心O點，連接BD，與EF交點即為O點．∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點軌跡是以BO為直徑的圓．記BO中點為M點，當(dāng)A、G、M共線時，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．答案為例題5.如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．答案為【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對的邊AF是變化的．所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值．所以如圖所示，P點軌跡是以點O為圓心的圓?。?gòu)造OA=OB且∠AOB=120°）當(dāng)O、P、C共線時，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．變式練習(xí)>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長的取值范圍是________．【分析】先作圖，如下答案為：條件不多，但已經(jīng)很明顯，AB是定值，∠C=60°，即定邊對定角．故點C的軌跡是以點O為圓心的圓?。ㄗ鰽O=BO且∠AOB=120°）題意要求∠A>∠B，即BC>AC，故點C的軌跡如下圖．當(dāng)BC為直徑時，BC取到最大值為，考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長邊，BC>AB=4．無最小值．例題6.如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，則正方形的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如圖，過點O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長線于N，∵∠CED＝90°，∴四邊形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，∴四邊形OMEN是正方形，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°∴DE＝a，CE＝a，亦可按隱圓模型解答設(shè)DN＝x，x+DE＝CE﹣x，解得：x＝，∴NE＝x+a＝，∵OE＝NE，∴＝?，∴a＝1，∴S正方形ABCD＝4故選：B．變式練習(xí)>>>6．如圖，BE，CF為△ABC的高，且交于點H，連接AH并延長交于BC于點D，求證：AD⊥BC.例題7.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對角線，過點D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長線于點F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長為．【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴點A，F(xiàn)，C，D四點共圓，∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，故答案為：．變式練習(xí)>>>7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點，過點E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點F，求證：FE=DE.（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在對角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長為3．圖1圖2證明：（1）如圖，連接DB、DF.∵四邊形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分線，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四點共圓．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對的圓周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．（2）解：作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖）∵∠ADF＝90°，∴AF為⊙O直徑，∵BD為正方形ABCD對角線，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴點E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AE＝EF，在△ABE與△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴CE＝EF，∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝CF＝3，∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴四邊形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，∵∠EBN＝45°，∴BE＝EN＝3，故答案為：3．例題8.在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．[解析]如圖，過點B作BD⊥AC，D為垂足，因為△ABC為銳角三角形，所以點D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；①當(dāng)P在AC上運動與AB垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．變式練習(xí)>>>8．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點B’．當(dāng)PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值．【分析】考慮l是經(jīng)過點P的直線，且△ABC沿直線l折疊，所以B’軌跡是以點P為圓心，PB為半徑的圓?。紤]△ACB’面積最大，因為AC是定值，只需B’到AC距離最大即可．過P作作PH⊥AC交AC于H點，與圓的交點即為所求B’點，先求HB’，再求面積．答案為.達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為．答案為：【分析】E是動點，E點由點C向AD作垂線得來，∠AEC=90°，且AC是一條定線段，所以E點軌跡是以AC為直徑的圓?。?dāng)B、E、M共線時，BE取到最小值．連接BC，勾股定理求BM，再減去EM即可．2.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長分別為3，5，求三角形OBE的面積．3.如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，點P是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為________．答案為：【分析】∠AFB=90°且AB是定線段，故F點軌跡是以AB中點O為圓心、AB為直徑的圓．考慮PC+PF是折線段，作點C關(guān)于AD的對稱點C’，化PC+PF為PC’+PF，當(dāng)C’、P、F、O共線時，取到最小值．4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC為定值，故E點軌跡是以AC為直徑的圓?。紤]EF⊥AB，且E點在圓上，故當(dāng)EF與圓相切的時候，CF取到最大值．連接OF，易證△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案為5.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_________．答案為6.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是﹣2≤BE＜3．【解答】解：如圖，由題意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，則BM＝＝＝，∴BE長度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，BE最長時，即E與C重合，∵BC＝3，且點E與點C不重合，∴BE＜3，綜上，﹣2≤BE＜3，故答案為：﹣2≤BE＜3．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為8．【解答】解：解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當(dāng)點Q、E、B共線時BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值為8，故答案為8．8.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為2﹣2．【解答】解：連結(jié)AE，如圖1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD為直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴點E在以AB為直徑的⊙O上，∵⊙O的半徑為2，∴當(dāng)點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即線段CE長度的最小值為2﹣2．故答案為2﹣2．9.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點O、P分別是邊AB、AD的中點，點H是邊CD上的一個動點，連接OH，將四邊形OBCH沿OH折疊，得到四邊形OFEH，連接PE，則PE長度的最小值是2﹣2．【解答】解：如圖，連接EO、PO、OC．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，∴OP＝＝2，∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值為2﹣2．故答案為2﹣2．10.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，設(shè)點G到AC的距離為h，∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，∵點G是以點E為圓心，BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點，∴EG⊥AC時，h最小，即點E，點G，點H共線．由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°，延長EG交AC于H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四邊形AGCD最小＝h+6＝+6＝．故答案為：．中考數(shù)學(xué)幾何模型10：胡不歸最值模型中考數(shù)學(xué)幾何模型10：胡不歸最值模型名師點睛撥開云霧開門見山在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓．【故事介紹】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_______．【分析】本題關(guān)鍵在于處理“”，考慮tanA=2，△ABE三邊之比為，，故作DH⊥AB交AB于H點，則．問題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時值最小，此時．【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將BA線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH，即可解決問題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造α，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關(guān)鍵所在．變式練習(xí)>>>1．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．【分析】考慮如何構(gòu)造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延長AD，作PH⊥AD延長線于H點，即可得，將問題轉(zhuǎn)化為：求PB+PH最小值．當(dāng)B、P、H三點共線時，可得PB+PH取到最小值，即BH的長，解直角△ABH即可得BH長．例題2.如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵的度數(shù)為120°，∴∠C＝60°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，連接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點E與M重合時，OD+BD的值最小，最小值為OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝，∴DB+OD的最小值為，故選：B．變式練習(xí)>>>2．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝﹣．【解答】解：如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．則BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案為﹣．例題3.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點，再沿GC到達(dá)C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標(biāo)為（0，）．【解答】解：如圖作GM⊥AB于M，設(shè)電子蟲在CG上的速度為v，電子蟲走完全全程的時間t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴電子蟲走完全全程的時間t＝（GM+CG），當(dāng)C、G、M共線時，且CM⊥AB時，GM+CG最短，此時CG＝AG＝2OG，易知OG＝?×6＝所以點G的坐標(biāo)為（0，﹣）．故答案為：（0，﹣）．變式練習(xí)>>>3．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標(biāo)應(yīng)為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）解：假設(shè)P在AD的速度為3V，在CD的速度為1V，總時間t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因為AB＝AC＝3，過點B作BH⊥AC交AC于點H，交OA于D，易證△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因為△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三點共線就行了．因為△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以O(shè)D＝，所以點D的坐標(biāo)應(yīng)為（0，）．例題4.直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設(shè)點B的橫坐標(biāo)為t（1）求點C的坐標(biāo)及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點B的坐標(biāo)；②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標(biāo)是（3，）．【解答】解：（1）拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的對稱軸為x＝3，令x＝3，則有y＝×3＝4，即點C的坐標(biāo)為（3，4）．拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的頂點D的坐標(biāo)為（3，﹣4m+3），∵點D在點C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵點B在直線y＝上，且其橫坐標(biāo)為t，則點B的坐標(biāo)為（t，t），將點B的坐標(biāo)代入拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照題意畫出圖形，如圖1所示．過點C作CE∥x軸，過點B作BE∥y軸交CE于點E．∵直線BC的解析式為y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．當(dāng)m＝﹣4時，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合適，∴m＝1，此時t＝+＝6，y＝×6＝8．故此時點B的坐標(biāo)為（6，8）．②作B點關(guān)于對稱軸的對稱點B′，過點F作FM⊥BC于點M，連接B′M、BB交拋物線對稱軸于點N，如圖2所示．∵直線BC的解析式為y＝x，F(xiàn)M⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′關(guān)于對稱軸對稱，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．當(dāng)點B′、F、M三點共線時B′F+FM最?。連點坐標(biāo)為（6，8），拋物線對稱軸為x＝3，∴B′點的坐標(biāo)為（0，8）．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N?tan∠NB′F＝，∴點F的坐標(biāo)為（3，）．故答案為：（3，）．變式練習(xí)>>>4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）直線l1的表達(dá)式為y＝2x﹣2；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）直線l2：y＝x+2，令y＝0，則x＝﹣2，令y＝0，則x＝2，故答案為（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，則直線l1的表達(dá)式為：y＝2x﹣2，故：答案為：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，將yE＝4代入l1的表達(dá)式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，則點E的坐標(biāo)為（3，4）；（4）過點P、C分別作y軸的平行線，分別交過點D作x軸平行線于點H、H′，H′C交BD于點P′，直線l2：y＝x+2，則∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，點H在整個運動過程中所用時間＝+＝PH+PC，當(dāng)C、P、H在一條直線上時，PH+PC最小，即為CH′＝6，點P坐標(biāo)（1，3），故：點H在整個運動過程中所用最少時間為6秒，此時點P的坐標(biāo)（1，3）．例題5.已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴點A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點B兩的坐標(biāo)為（1，0），∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，當(dāng)x＝2時，y＝﹣5，則點D的坐標(biāo)為（2，﹣5），∵點D在拋物線上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，則拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐標(biāo)為（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為：y＝x+3，①∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴CP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直線CP的解析式為：y＝﹣x+3，解得，（不合題意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴AP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直線AP的解析式為：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），綜上所述：點P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）；（3）如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，則tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的運動時間t＝+＝BE+=BE+EF，∴當(dāng)BE和EF共線時，t最小，則BE⊥DM，此時點E坐標(biāo)（1，﹣4）．變式練習(xí)>>>5．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（2，0）、B（﹣8，0），交y軸于點C，過點A、B、C三點的⊙M與y軸的另一個交點為D．（1）求此拋物線的表達(dá)式及圓心M的坐標(biāo)；（2）設(shè)P為弧BC上任意一點（不與點B，C重合），連接AP交y軸于點N，請問：AP?AN是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；（3）延長線段BD交拋物線于點E，設(shè)點F是線段BE上的任意一點（不含端點），連接AF．動點Q從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到點F，再沿線段FB以每秒個單位的速度運動到點B后停止，問當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？【解答】解：（1）拋物線解析式為y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；當(dāng)x＝0時，y＝﹣x2﹣x+4＝4，則C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB為直徑，∴圓心M點的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）以AP?AN為定值．理由如下：如圖1，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN?AP＝AB?AO＝20，所以AP?AN為定值，定值是20；（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，則D（0，﹣4），易得直線BD的解析式為y＝﹣x﹣4，過F點作FG⊥x軸于G，如圖2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴點Q沿線段FB以每秒個單位的速度運動到點B所用時間等于點Q以每秒1個單位的速度運動到G點的時間，∴當(dāng)AF+FG的值最小時，點Q在整個運動過程中所用時間最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y軸于I，作FH⊥BI于H，則FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，當(dāng)點A、F、H共線時，AF+FH的值最小，此時AH⊥BI，如圖2，作DK⊥BI，垂足為K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，設(shè)DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），設(shè)直線BI的解析式為y＝kx+n，把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直線BI的解析式為y＝﹣x﹣，∵AH⊥BI，∴直線AH的解析式可設(shè)為y＝x+q，把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直線AH的解析式為y＝x﹣，解方程組，解得，∴F（﹣2，﹣3），即當(dāng)點F的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）時，點Q在整個運動過程中所用時間最少．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點P為x軸上的一個動點，當(dāng)最小時，點P的坐標(biāo)為___________.[答案]：2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點M為對角線BD（不含點B）上的一動點，則的最小值為___________.[答案]：3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值．【解答】解：（1）由題意，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴頂點坐標(biāo)（，﹣）；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM＝AB，則（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此時點M的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM＝AB，則（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此時點M的坐標(biāo)為（，﹣+）或（，﹣﹣）；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM＝BM，則（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此時點M的坐標(biāo)為（，﹣）．綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最?。碛桑骸逴A＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此時PB+PD最短（垂線段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值為．4.【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB的長度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短？【特例分析】若n＝2，則時間t＝+，當(dāng)a為定值時，問題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點D，使得+的值最小．如圖②，過點C做射線CM，使得∠BCM＝30°．（1）過點D作DE⊥CM，垂足為E，試說明：DE＝；（2）請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′．【問題解決】（3）請你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問題．（寫出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）【綜合運用】（4）如圖③，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，E為OB中點，設(shè)F為線段BC上一點（不含端點），連接EF．一動點P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿著線段FC以每秒個單位的速度運動到C后停止．若點P在整個運動過程中用時最少，請求出最少時間和此時點F的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；（2）如圖①過點A作AE′⊥CM交BC于點D′，則點D′即為所用時間最短的登陸點；（3）如圖②，過點C作射線CM，使得sin∠BCM＝，過點A作AE⊥CM，垂足為E交BC于點D，則點D為為所用時間最短的登陸點；（4）由題意得：t＝＝EF+CF，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，過點F作GF⊥CD交CD于點G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，則EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故當(dāng)E、F、H三點共線且與CD垂直時，t最小，將點B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，點E是OB中點，其坐標(biāo)為：（3，0），當(dāng)x＝3時，對于y＝﹣x+3，y＝，點F坐標(biāo)為（3，），t＝＝EF+CF，當(dāng)H、F、E三點共線時，EF+FH＝OC＝3，即：最小時間為3秒．5.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發(fā)，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點D為△ABC內(nèi)任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設(shè)x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當(dāng)x取最小值時，寫出x，y的關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）解：如圖1中∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等邊三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）證明：如圖2中，將△ADC繞當(dāng)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，連接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等邊三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形（圖中△BDQ）．（3）如圖3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)E與F重合，P與G重合時，PA+2PC的值最小，最小值為2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y(tǒng)，F(xiàn)G＝y(tǒng)，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6.如圖，已知拋物線y＝（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【解答】解：（1）拋物線y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過點B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直線BD解析式為：y＝﹣x+．當(dāng)x＝﹣5時，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵點D（﹣5，3）在拋物線y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由拋物線解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC＝∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC＝∠PAB，如答圖2﹣2所示．設(shè)P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，綜上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：D（﹣5，3），如答圖2﹣2，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．過點D作DK∥x軸，則∠KDF＝∠DBA＝30°．過點F作FG⊥DK于點G，則FG＝DF．由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過點A作AH⊥DK于點H，則t最小＝AH，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．∵A點橫坐標(biāo)為﹣2，直線BD解析式為：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．綜上所述，當(dāng)點F坐標(biāo)為（﹣2，2）時，點M在整個運動過程中用時最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時，AF+FH最小，點M在整個運動中用時為：t＝，∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）．7.已如二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象和x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，（1）如圖1，P是直線BC上方拋物線上一動點（不與B、C重合）過P作PQ∥x軸交直線BC于Q，求線段PQ的最大值；（2）如圖2，點G為線段OC上一動點，求BG+CG的最小值及此時點G的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，M為直線BG上一動點，N為x軸上一動點，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即點A、B的坐標(biāo)分比為（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，則y＝3，則點C的坐標(biāo)為（0，3），直線BC過點C（0，3），則直線表達(dá)式為：y＝kx+3，將點B坐標(biāo)代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，則直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），n＝﹣m2+2m+3，則點Q坐標(biāo)為（3﹣n，n），則PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，則PQ有最大值，當(dāng)m＝﹣＝，PQ取得最大值為；（2）過直線CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，當(dāng)sinα＝時，HG＝GC，則BG+CG的最小值即為HG+GB的最小值，當(dāng)B、H、G三點共線時，HG+GB最小，則∠GBO＝α，∵sinα＝，則cosα＝，tanα＝，OG＝OB?tanα＝3×＝，即點G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值為：；（3）作點A關(guān)于直線BG的對稱點A′，過A′作A′N⊥x軸，交BG于點M，交x軸于點N，則此時AM+MN取得最小值，即為A′N的長度，則：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′Acosα＝×＝，即：AM+MN的最小值為．8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：延長AC到點P，使CP＝AC，連接BP，過點F作FH⊥BP于點H，取AC中點O，連接OG，過點O作OQ⊥BP于點Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形，∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點G，∴∠AGC＝90°∵O為AC中點，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點共圓，圓心為O，即點G在⊙O上運動∴當(dāng)點G運動到OQ上時，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值為故選：C．9.拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸于點F，PF與線段AC交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)拋物線解析式得A、B、C，直線AC的解析式為：，可知AC與x軸夾角為30°．根據(jù)題意考慮，P在何處時，PE+取到最大值．過點E作EH⊥y軸交y軸于H點，則∠CEH=30°，故CH=，問題轉(zhuǎn)化為PE+CH何時取到最小值．考慮到PE于CH并無公共端點，故用代數(shù)法計算，設(shè)，則，，，，∴當(dāng)PE+EC的值最大時，x＝﹣2，此時P（﹣2，），∴PC＝2，∵O1B1＝OB＝，∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，如圖2，將點P向右平移個單位長度得點P1（﹣，），連接P1B1，則PO1＝P1B1，再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2（﹣，﹣），則P1B1＝P2B1，∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，∴B1（﹣，0），將B1向左平移個單位長度即得點O1，此時PO1+B1C＝P2C＝＝，對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為（﹣，0），∴四邊形PO1B1C周長的最小值為+3.名師點睛撥開云霧開門見山在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓．【故事介紹】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．【問題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_______．變式練習(xí)>>>1．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．例題2.如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．變式練習(xí)>>>2．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．例題3.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點，再沿GC到達(dá)C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標(biāo)為．變式練習(xí)>>>3．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標(biāo)應(yīng)為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）例題4.直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設(shè)點B的橫坐標(biāo)為t（1）求點C的坐標(biāo)及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m