專題19以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題-挑戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘含答案

挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題19以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題

【例1】(2021·北京·中考真題)在中，，G是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作射線CP，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，取AB中點(diǎn)O，連接ON．(1)①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②求證：CM=BN；(2)猜想線段AM，BN，ON的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)當(dāng)∠BCP=22.5°時(shí)，若ON=1，則GN的值為___________．

【例2】(2021·山東濟(jì)南·中考真題)在中，，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，(1)中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【例3】(2021·遼寧鞍山·中考真題)如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作交直線AN于點(diǎn)F，在AM上取點(diǎn)E，使．(1)當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)時(shí)，寫出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)，時(shí)，若是直角三角形，直接寫出AF的長(zhǎng)．【例4】(2021·遼寧朝陽(yáng)·中考真題)如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上(點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合)，且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．(1)如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系(用含k的式子表示)，并證明；(3)點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM(k≠1)，且＜，請(qǐng)直接寫出的值(用含k的式子表示)．一、解答題1．(2021·湖北棗陽(yáng)·一模)問(wèn)題探究：(1)如圖1，、均為等邊三角形，連接、，則線段與的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2，在和中，，，連接、，試確定與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，且，，若將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的長(zhǎng)度是．2．(2021·山東單縣·二模)如圖1，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，________；②當(dāng)時(shí)，______．(2)拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．(3)問(wèn)題解決繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)________．3．(2021·廣東花都·三模)△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)若∠BAC＝120°，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上，BD＝AD，求證：DC＝2BD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，連接CD，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD為腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直線DE交BC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．4．(2021·廣東·深圳市南山區(qū)太子灣學(xué)校二模)問(wèn)題背景：如圖(1)，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試運(yùn)用：如圖(2)，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC與DE相交于點(diǎn)F，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)tan∠EDC＝時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；拓展創(chuàng)新：如圖(3)，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的長(zhǎng)．5．(2021·廣東深圳·三模)(1)問(wèn)題背景：如圖1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求證：△ABE∽△ACD；(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠BED＝45°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，連接CF．求的值；(3)拓展創(chuàng)新：如圖3，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，連接DE，BG．當(dāng)DF＝1，S四邊形AEDF＝5時(shí)，則BG的長(zhǎng)為．6．(2022·上海市羅星中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．(1)求證：；(2)如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；(3)如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．7．(2021·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)二模)如圖，等腰三角形的腰長(zhǎng)，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接和，和相交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)若當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)?(2)設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)是否存在某一時(shí)刻，使平分?若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的垂直平分線上?若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．(2021·福建·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，，是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)作于點(diǎn)，并連結(jié)．若，，求的面積．9．(2021·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖1，和都是等腰直角三角形，，，且點(diǎn)是上的點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若，求的值．10．(2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模)如圖，已知在直角中，，為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)作，交邊于點(diǎn)，(1)如圖1，若，，，求；圖1(2)如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，連接，若，求證：；圖2(3)如圖3，在(1)的條件下，為邊的中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，連接，以為斜邊向右作等腰直角三角形，連接，求的最小值．圖311．(2021·浙江·翠苑中學(xué)二模)(1)如圖1，在中，，，，請(qǐng)?jiān)趫D1中作一條直線，使得被分成兩個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注出相應(yīng)的角度．(2)如圖2，在兩個(gè)不相似的和中，，，，直線和直線將和分別分為兩個(gè)三角形，并使的兩部分能分別與的兩部分相似．請(qǐng)?jiān)趫D中作出直線和直線，并標(biāo)注出相應(yīng)的角度．12．(2021·安徽·安慶市第四中學(xué)二模)如圖(1)，∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是AM上一點(diǎn)，AB＝4，BG⊥AP于C點(diǎn)，交AN于點(diǎn)G，CD⊥AN，交AN于點(diǎn)D，連接BD交AP于點(diǎn)O，AF⊥BD于E，連接CE．(1)求證：∠BEC＝∠BAC；(2)請(qǐng)判斷CF與DF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)若∠MAN≠90°，如圖(2)試證明CF＝DF．13．(2022·湖北洪山·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，BD相交于點(diǎn)P，．(1)求證：∠BAC＝∠CBD；(2)如圖2，E，F(xiàn)分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，PEDC，，①求證：∠PFC＝∠CPD；②若BP＝2，PD＝1，銳角∠BCD的正弦值為，直接寫出BF的長(zhǎng)．14．(2021·山東寧陽(yáng)·二模)在四邊形中，，，垂足為．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，分別與，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)作于，，且．①證明；②若，探究與的數(shù)量關(guān)系．15．(2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．(1)基礎(chǔ)圖形：如圖1，當(dāng)PB＝4時(shí)，若點(diǎn)B′恰好在AC邊上，求的長(zhǎng)度；(2)模型變式：如圖2，當(dāng)PB＝5時(shí)，若直線l∥AC，則的長(zhǎng)度為______；(3)動(dòng)態(tài)探究：如圖3，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離為．①如果直線始終垂直于，那么的值是否變化？若變化，求出的變化范圍；若不變化，求出的值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出在直線的變化過(guò)程中，的最大值．16．(2021·安徽·合肥市第四十五中學(xué)三模)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．(1)求證：CD2＝DG?DA；(2)如圖1，若CF＝2EF，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)；(3)如圖2，若GC＝2，GE＝2，求GD．17．(2021·陜西·交大附中分校模擬預(yù)測(cè))問(wèn)題提出：(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，則∠A的大小為；問(wèn)題探究：(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四邊形ABCD的面積；問(wèn)題解決：(3)在西安市“三河一山”生態(tài)綠道長(zhǎng)廊建設(shè)中．規(guī)劃將某條綠道一側(cè)的四邊形區(qū)域修建成主題公園．設(shè)計(jì)要求：如圖③，四邊形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求這個(gè)主題公園的最大面積．18．(2021·江蘇·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)二模)已知：和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．(1)如圖1所示，點(diǎn)、分別在邊、上，求證：且；(2)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，線段與又有怎樣的關(guān)系，證明你的結(jié)論．(3)如圖3所示，當(dāng)，時(shí)，求長(zhǎng)的取值范圍．19．(2021·江蘇·景山中學(xué)一模)【背景】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A的直線MN∥BC，點(diǎn)D是直線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，將射線DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交線段AC于點(diǎn)P，使∠BDP＝∠BAC，試說(shuō)明：DB＝DP．小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點(diǎn)F，使DA＝DF，通過(guò)證明△BDF≌△PDA可以解決問(wèn)題．【嘗試】①請(qǐng)你幫助小麗完成說(shuō)理過(guò)程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖3，過(guò)點(diǎn)A的直線MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一點(diǎn)，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．20．(2021·內(nèi)蒙古東勝·二模)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)若四邊形是菱形，，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；【類比探究】(2)若四邊形是正方形，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰，其中，如圖2.當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，點(diǎn)E恰好在邊所在直線上時(shí)，則與之間的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；【拓展延伸】(3)在(2)的條件下，如圖3，在正方形中，，當(dāng)P是對(duì)角線的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接，若，求的面積．21．(2018·河南·模擬預(yù)測(cè))(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．22．(2021·福建·廈門一中三模)如圖①，線段，交于點(diǎn)，若與，與中有一組內(nèi)錯(cuò)角成兩倍關(guān)系，則稱與為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．(1)如圖②，在四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，為等邊三角形．求證：與為倍優(yōu)三角形．(2)如圖③，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)連接和，對(duì)角線和交于點(diǎn)，當(dāng)與為倍優(yōu)三角形時(shí)，求的正切值．挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題19以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題

【例1】(2021·北京·中考真題)在中，，G是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作射線CP，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，取AB中點(diǎn)O，連接ON．(1)①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②求證：CM=BN；(2)猜想線段AM，BN，ON的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)當(dāng)∠BCP=22.5°時(shí)，若ON=1，則GN的值為___________．

【答案】(1)①圖見解析；②見解析；(2)AM＋BN＝ON，證明見解析；(3)．【解析】【分析】(1)①由題意補(bǔ)全圖形，②證明△ACM≌△CBN(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)可得出CM＝BN．(2)連接OC，證明△OCM≌△OBN(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出MN＝ON，則可得出結(jié)論；(3)先求出∠AGM=67.5°，再得到∠MOG=67.5°，故可得到MO=MG，再根據(jù)勾股定理求出MN，故可求解．【詳解】解：(1)①補(bǔ)全圖形如圖，②證明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠ACM＋∠CAM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠CAM＝∠BCN，∵AC＝BC，∴△ACM≌△CBN(AAS)，∴CM＝BN．(2)依題意補(bǔ)全圖形如圖，結(jié)論：AM＋BN＝OM．證明：連接OC，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，∵△ACM≌△CBN，∴AM＝CN，∠OCM＋∠ACO＝∠CBO＋∠OBN，∴∠OCM＝∠OBN，∵CM＝BN，∴△OCM≌△OBN(SAS)，∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∵∠COM＋∠MOB＝90°，∴∠BON＋∠MOB＝90°，∴∠MON＝90°，△OMN是等腰直角三角形∴MN＝ON，∴AM＝CN＝CM＋MN＝BN＋ON；(3)∵∠BCP=22.5°，△ACM≌△CBN∴∠CAM=∠BCP=22.5°∴∠GAM=∠CAB-∠CAM=22.5°∵AM⊥CP∴∠AGM=90°-∠GAM=67.5°∵△OMN是等腰直角三角形∴∠OMN=45°∴∠MOG=180°-∠AGM-∠OMN=67.5°∴∠MOG=∠AGM

∴MO=ON=MG=1∴MN=∴GN=MN-MG=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【例2】(2021·山東濟(jì)南·中考真題)在中，，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，(1)中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①成立，理由見解析；②平行四邊形，理由見解析；【解析】【分析】(1)如圖1，證明，由平行線分線段成比例可得，由的余弦值可得；(2)①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明，即可得；②如圖3，過(guò)作，連接,交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結(jié)論可得,根據(jù)三角形內(nèi)角和以及可得，進(jìn)而可得，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】(1)如圖1，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，，，，即；(2)①仍然成立，理由如下：如圖2，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，即，，，，，，即；②四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖3，過(guò)作，連接,交于點(diǎn)，，，，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，，，，，，由①可知，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，，，，，即，，，，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【例3】(2021·遼寧鞍山·中考真題)如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作交直線AN于點(diǎn)F，在AM上取點(diǎn)E，使．(1)當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)時(shí)，寫出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)，時(shí)，若是直角三角形，直接寫出AF的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②，理由見解析；(2)或【解析】【分析】(1)①結(jié)論：．如圖1中，作交AM于T．想辦法證明，，可得結(jié)論．②結(jié)論：．過(guò)點(diǎn)C作于Q．想辦法證明，，可得結(jié)論．(2)分兩種情形：如圖3－1中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于J，過(guò)點(diǎn)F作于K．利用勾股定理以及面積法求出CD，再證明，可得結(jié)論．如圖3－2中，當(dāng)時(shí)，，解直角三角形求出AK，可得結(jié)論．【詳解】解：(1)①結(jié)論：．理由：如圖1中，作交AM于T．，，是等邊三角形，，，，，四邊形AFCT是平行四邊形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，．故答案為：．②如圖2中，結(jié)論：．理由：過(guò)點(diǎn)C作于Q．，，，，，四邊形AFCQ是矩形，，，，，，，，，，，，，．(2)如圖3－1中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于J，過(guò)點(diǎn)F作于K．在中，，，，，，，，，，，，，，，四邊形CDKF是平行四邊形，，四邊形CDKF是矩形，，，，，．如圖3－2中，當(dāng)時(shí)，同理可得：，，，在中，，，，，，，，，，，，．綜上所述，滿足條件的AF的值為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題．考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，此題是一道幾何綜合題，掌握各知識(shí)點(diǎn)并掌握推理能力是解題的關(guān)鍵．【例4】(2021·遼寧朝陽(yáng)·中考真題)如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上(點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合)，且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．(1)如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系(用含k的式子表示)，并證明；(3)點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM(k≠1)，且＜，請(qǐng)直接寫出的值(用含k的式子表示)．【答案】(1)OM＝ON，見解析；(2)ON＝k?OM，見解析；(3)【解析】【分析】(1)作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；(2)作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；(3)設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：(1)OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON(ASA)，∴OM＝ON．(2)如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由(1)知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由(1)知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k?OM．(3)如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k?OA，∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，由(2)知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，(＋1)x＝AC＋CM，∴x＝(AC＋CM)＜(AC＋AC)＝AC，∴k＞1∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)是條件得出k＞1．一、解答題1．(2021·湖北棗陽(yáng)·一模)問(wèn)題探究：(1)如圖1，、均為等邊三角形，連接、，則線段與的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2，在和中，，，連接、，試確定與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，且，，若將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的長(zhǎng)度是．【答案】(1)相等(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△EAC≌△DAB即可得到BD=CE；(2)證明，得到，證得，推出，由此得到結(jié)論；(3)連接，得到△為等腰直角三角形，證明ΔABC∽△，得到，推出，證得ΔCAD∽△．得到，求出．(1)解：(1)、均為等邊三角形，，，，∴∠EAC=60°-∠CAD，，，在與中，，，；(2)證明：，理由：，，，，，，，，，，；(3)解：連接，如圖③，，且，為等腰直角三角形．，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方形旋轉(zhuǎn)得到△為等腰直角三角形．∴ΔABC∽△，又，，，，△．，即A'B4=2．故答案為：．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．2．(2021·山東單縣·二模)如圖1，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，________；②當(dāng)時(shí)，______．(2)拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．(3)問(wèn)題解決繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)________．【答案】(1)，(2)當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，證明見解析(3)BD的長(zhǎng)為或【解析】【分析】(1)①當(dāng)α＝0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)＝，求出的值是多少即可．(2)首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)＝＝，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．(3)分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可．(1)解：①當(dāng)α＝0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如圖1中，當(dāng)α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案為：①，②．(2)解：如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，即當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化．(3)解：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，BE＝＝＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．3．(2021·廣東花都·三模)△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)若∠BAC＝120°，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上，BD＝AD，求證：DC＝2BD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，連接CD，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD為腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直線DE交BC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．【答案】(1)①證明見解析；②(2)證明見解析【解析】【分析】(1)①由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠BAD，可得∠DAC＝90°，由含30°的直角三角形的性質(zhì)可求解；②如圖2，以AB，AC為邊作等邊△ABH，等邊△ACH，以AD，BD為邊作等邊△ADE，等邊△BDG，連接GH，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DG，交GD的延長(zhǎng)線于N，由“SAS”可證△ADB≌△HGB，△DAC≌△EAH，可得AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°，DC＝EH，由直角三角形的性質(zhì)可得ND＝DE＝1，NE＝DN＝，在Rt△NEH中，由勾股定理可求EH，即可；(2)如圖3通過(guò)證明△ADE∽△ABC，可得∠ADE＝∠ABC，可證A、D、B、F四點(diǎn)共圓，可求∠BFA＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)可證點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．(1)解：①證明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝30°∵BD＝AD∴∠ABD＝∠BAD＝30°∴∠DAC＝90°∴CD＝2AD∴CD＝2BD②如圖2，以AB，AC為邊作等邊△ABH，等邊△ACH，以AD，BD為邊作等邊△ADE，等邊△BDG，連接GH，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DG，交GD的延長(zhǎng)線于N，∵△BDG和△ABH都是等邊三角形∴BD＝BG＝DG＝4，AB＝BH，∠DBG＝∠ABH＝60°＝∠BGD∴∠ABD＝∠GBH在△ADB和△HGB中∵∴△ADB≌△HGB(SAS)∴AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°∴∠DGB+∠BGH＝180°∴點(diǎn)G，H，D三點(diǎn)共線∴DH＝4+2＝6∵△ADE和△ACH都是等邊三角形∴AC＝AH，∠AE＝AD＝DE＝2，∠DAE＝∠CAH＝∠EDA＝60°∴∠DAC＝∠EAH同理△DAC≌△EAH(SAS)∴DC＝EH∵∠BDG＝∠EDN＝60°，EN⊥DG∴∠DEN＝30°∴ND＝DE＝1，NE＝DN＝∴HN＝DH+DN＝7∴EH＝∴CD＝EH＝2．(2)連接AF，如圖3所示：∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC∴∴△ADE∽△ABC∴∠ADE＝∠AB∴A、D、B、F四點(diǎn)共圓∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°∴AF⊥BC∵AB＝AC∴BF＝CF∴點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四點(diǎn)共圓等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．4．(2021·廣東·深圳市南山區(qū)太子灣學(xué)校二模)問(wèn)題背景：如圖(1)，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試運(yùn)用：如圖(2)，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC與DE相交于點(diǎn)F，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)tan∠EDC＝時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；拓展創(chuàng)新：如圖(3)，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題背景：見解析；嘗試運(yùn)用：；拓展創(chuàng)新：【解析】【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)△ABC∽△ADE，得出，∠BAC＝∠DAE，利用角的差得出∠BAD＝∠CAE，即可；嘗試應(yīng)用：連接CE，先證△ABC∽△ADE，，再證△BAD∽△CAE，得出∠B＝∠ACE，，可證∠DCE＝90°，根據(jù)tan∠EDC＝，列方程，求出x＝即可；拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，先證△BDC∽△MDA，得出，再證△BDM∽△CDA，得出，tan∠BAD＝，得出BD＝2CD，BM＝2AC＝4，DM＝2AD，根據(jù)勾股定理列方程AD2＋DM2＝AM2，AD2＋4AD2＝32，解方程即可．【詳解】證明：?jiǎn)栴}背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE．嘗試應(yīng)用：如圖(2)，連接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE=90°-∠DAC，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴設(shè)BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5－4x，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝，∴，∴x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝是方程的解，符合題意，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝．拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，∵∠BAD＝∠DBC，∴∠DAM＝∠BCD，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵tan∠BAD＝，∴BD＝2CD，∴BM＝2AC＝4，DM＝2AD，∴AM＝，∵AD2＋DM2＝AM2，∴AD2＋4AD2＝32，∴AD＝或舍去．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解分式方程，一元二次方程，勾股定理．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．5．(2021·廣東深圳·三模)(1)問(wèn)題背景：如圖1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求證：△ABE∽△ACD；(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠BED＝45°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，連接CF．求的值；(3)拓展創(chuàng)新：如圖3，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，連接DE，BG．當(dāng)DF＝1，S四邊形AEDF＝5時(shí)，則BG的長(zhǎng)為．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可得；(2)根據(jù)條件，證明即可；(3)由相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】(1)證明：如圖，，，，，且，，，，；(2)解：如圖2，連接，，，，在正方形中，，，，，；(3)解：如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得：(舍去)，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形以及相似三角形的的性質(zhì)．6．(2022·上海市羅星中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．(1)求證：；(2)如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；(3)如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)先證明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行線性質(zhì)可推出∠ADE=∠DCE，進(jìn)而證得△ADE∽△ECD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得G為AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可證得△ADE≌△ECD(SAS)，再求得，根據(jù)△ABE∽△AED且相似比為3:2，可求得，由可求答案；(3)由△ABE∽△AED，可求得：DE=，進(jìn)而得出，再利用△ADE∽△ECD，進(jìn)而求得：，再結(jié)合題意得出答案．(1)∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵∴∴△ABE∽△AED∵∠ABE=∠ADE∴∴，∠AED=∠CDE∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△ECD∴∴(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE∵BE=9=AB∴△ABE是等腰三角形∴G為AE的中點(diǎn)，由(1)可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵，AB=BE=9，AE=6∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3∴△ADE≌△ECD(SAS)在Rt△ABG中，BG=∴∵△ABE∽△AED且相似比為3:2∴∴=∴(3)由(1)知：△ABE∽△AED∴∵BE=x，AB=9,AE=6，∴∴由(1)知：,∴∵△ADE∽△ECDy關(guān)于x的函數(shù)解析式為【點(diǎn)睛】本題是相似三角形綜合題，考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．(2021·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)二模)如圖，等腰三角形的腰長(zhǎng)，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接和，和相交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)若當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)?(2)設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)是否存在某一時(shí)刻，使平分?若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的垂直平分線上?若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，2；(4)存在，【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，先利用勾股定理和三線合一定理求出AD，DP，CP，然后根據(jù)，進(jìn)行求解即可；(2)先證明△ADC∽△PEC，得到，則，，，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．(3)假設(shè)存在，證明△ADC∽△QHC，得到，則，由(2)得，即，解方程即可；(4)根據(jù)線段垂直平分線的定義可得，再由△ADC∽△QHC，得到，由此求解即可．【詳解】解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由題意得：恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，∠PAC=90°，，∵AB=AC=5cm，BC=8cm，∴BD=CD=4cm，∴，∴，，∴，又∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由題意得：∠PEC==90°，cm，，∴∠ADC=∠PEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△PEC，∴，∵，BD=CD=4cm，AD=3cm∴，∴，，∴∴；(3)存在，理由如下：假設(shè)存在某一時(shí)刻，使平分，如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，∴∠QHC=∠QHB=∠QEP=∠ADC=90°∴當(dāng)平分時(shí)，EQ=QH(角平分線的性質(zhì))，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△QHC，∴，∴即，∴，由(2)得，∴，解得，∴存在時(shí)，使平分；(4)存在，理由如下：假設(shè)存在，如圖所示，當(dāng)Q在PC的垂直平分線上時(shí)，∴，∵△ADC∽△QHC，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．8．(2021·福建·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，，是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)作于點(diǎn)，并連結(jié)．若，，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)的面積是【解析】【分析】(1)由可知，結(jié)合，判定即可得證．(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形三線合一知，，由條件，進(jìn)一步得到，再由，得到，求得,得到，結(jié)合代入求解，即可得到答案．【詳解】(1)證明：，，即，，，．(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，又∵，，即，，，，，，，則，由(1)得，，，的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，兩直線平行判定等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，牢記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．(2021·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖1，和都是等腰直角三角形，，，且點(diǎn)是上的點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【解析】【分析】(1)先判斷出，再判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；(2)先利用等式的旋轉(zhuǎn)判斷出，再判斷出，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；(3)先判斷出，得出，進(jìn)而得出和，進(jìn)而判斷出，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：(1)，，，，，，；(2)，，，，，，，，，，，，，；(3)如圖2，作于，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，設(shè)，，，【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．10．(2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模)如圖，已知在直角中，，為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)作，交邊于點(diǎn)，(1)如圖1，若，，，求；圖1(2)如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，連接，若，求證：；圖2(3)如圖3，在(1)的條件下，為邊的中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，連接，以為斜邊向右作等腰直角三角形，連接，求的最小值．圖3【答案】(1)；(2)見解析；(3)【解析】【分析】(1)運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及勾股定理分別求出和的值，運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即可；(2)過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)已知求證，然后證明，即可得出，結(jié)果可得；(3)連接，在上方作等腰直角三角形，連接，根據(jù)已知可得四邊形為正方形，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步證明，求出，當(dāng)共線時(shí)，最小，求出即可．【詳解】解：(1)在中，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∵，即，∴，∵在和中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；(3)連接，在上方作等腰直角三角形，連接，∵,∴四邊形為正方形，∴,∴,又∵,∴，∴,∴，∴,∴當(dāng)共線時(shí)，最小，∴,∵,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．11．(2021·浙江·翠苑中學(xué)二模)(1)如圖1，在中，，，，請(qǐng)?jiān)趫D1中作一條直線，使得被分成兩個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注出相應(yīng)的角度．(2)如圖2，在兩個(gè)不相似的和中，，，，直線和直線將和分別分為兩個(gè)三角形，并使的兩部分能分別與的兩部分相似．請(qǐng)?jiān)趫D中作出直線和直線，并標(biāo)注出相應(yīng)的角度．【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定解決問(wèn)題即可．(2)根據(jù)相似三角形的判定解決問(wèn)題即可．【詳解】解：(1)如圖，直線AE即為所求作．(2)如圖，直線a，直線b即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-相似變換，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．12．(2021·安徽·安慶市第四中學(xué)二模)如圖(1)，∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是AM上一點(diǎn)，AB＝4，BG⊥AP于C點(diǎn)，交AN于點(diǎn)G，CD⊥AN，交AN于點(diǎn)D，連接BD交AP于點(diǎn)O，AF⊥BD于E，連接CE．(1)求證：∠BEC＝∠BAC；(2)請(qǐng)判斷CF與DF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)若∠MAN≠90°，如圖(2)試證明CF＝DF．【答案】(1)證明見詳解；(2)CF=DF；理由見詳解；(3)證明見詳解．【解析】【分析】(1)由BG⊥AP于C點(diǎn)，AF⊥BD于E，可得點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，由∠BEC、∠BAC是所對(duì)圓周角，可得∠BEC=∠BAC；(2)CF=DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC=∠BAC=45°，由BG⊥AP于C點(diǎn)，可得∠GCA=∠BCA=90°，可證△ACG≌△ACB(ASA)，可得AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，可求GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理，由面積橋可得AF=，在Rt△AED中勾股定理，可得BE=，可證△DFE∽△BAE，可求即可；(3)由CD⊥AN，DE⊥AF，可證△DEF∽△ADF，可得，由∠AEB=∠ACB=90°，可證A、B、C、E四點(diǎn)在以AB為直徑的同一圓上，作輔助圓，作直徑CH，連結(jié)EH，由AP平分∠MAN，BC⊥AP，可得點(diǎn)C為BG中點(diǎn)，再證CD為圓的切線，由∠CAF=∠CHE，可得∠DCE=∠FAC，可證△AFC∽△CFE，可得即可．【詳解】(1)證明：∵BG⊥AP于C點(diǎn)，AF⊥BD于E，∴點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，∵∠BEC、∠BAC是所對(duì)圓周角，∴∠BEC=∠BAC；(2)解：CF=DF；理由如下，∵∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，∴∠GAC=∠BAC=45°，∵BG⊥AP于C點(diǎn)，∴∠GCA=∠BCA=90°，在△ACG和△ACB中∴△ACG≌△ACB(ASA)，∴AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，∵CD⊥AN，∴∠GCD=90°-∠DGC=45°，∴DC平分∠GCA，∴GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理∵AF⊥BD，，∴AF=，在Rt△AED中勾股定理，∴BE=BD-DE=，∵DF⊥AG，∠GAB=90°，∴DF∥AB，∴∠FDE=∠EBA，∠DFE=∠BAE，∴△DFE∽△BAE，∴即解得∴CF=CD-DF=2-1=1=DF；(3)證明：∵CD⊥AN，DE⊥AF，∴△DEF∽△ADF，∴即，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴A、B、C、E四點(diǎn)在以AB為直徑的同一圓上，作輔助圓，作直徑CH，連結(jié)EH，∵AP平分∠MAN，BC⊥AP，∴點(diǎn)C為BG中點(diǎn)，∴∠GAC=∠BAC=∠ACH，∴CH∥AD，∵CD⊥AD，∴CH⊥CD，∴CD為圓的切線，又∵∠CAF=∠CHE，∴∠CHE+∠ECH=∠CAF+∠ECH=90°，∵∠DCE+∠ECH=90°，∴∠DCE=∠FAC，∴△AFC∽△CFE，∴即，∴CF2=DF2，∴CF=DF．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓，三角形全等性質(zhì)與判定，勾股定理，圓周角性質(zhì)，角平分線定義，面積橋，三角形相似判定與性質(zhì)，圓的切線判定，掌握四點(diǎn)共圓，三角形全等性質(zhì)與判定，勾股定理，圓周角性質(zhì)，角平分線定義，面積橋，三角形相似判定與性質(zhì)，圓的切線判定是解題關(guān)鍵．13．(2022·湖北洪山·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，BD相交于點(diǎn)P，．(1)求證：∠BAC＝∠CBD；(2)如圖2，E，F(xiàn)分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，PEDC，，①求證：∠PFC＝∠CPD；②若BP＝2，PD＝1，銳角∠BCD的正弦值為，直接寫出BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【解析】【分析】(1)判定，可得，依據(jù)，可得，即可得出；(2)①延長(zhǎng)EP交BC于M，依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得出，即，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，可得中，，即可得到，再根據(jù)，可得，由，可得，即可得出；②過(guò)D作于N，由題意可得，，由，可得，，由，可得，，由，可得，即可得出．(1)解：∵，∴，又∵,∴,∴,又∵,∴,∴；(2)解：①如圖，延長(zhǎng)EP交BC于M，∵，∴，，又∵，∴，∴，即，∵，∴中，，∴，又∵，∴，∴，由(1)可得，∴，∴；②．理由：如圖，過(guò)D作于N，∵，,∴，由，可得，，根據(jù)勾股定理，在中，有，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及平行線分線段成比例定理等的綜合運(yùn)用；熟悉掌握證明三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等是本題的解題關(guān)鍵．14．(2021·山東寧陽(yáng)·二模)在四邊形中，，，垂足為．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，分別與，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)作于，，且．①證明；②若，探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，理由見解析【解析】【分析】(1)證，即可得出結(jié)論；(2)①過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，先由平行線的性質(zhì)得，，，再證，可得結(jié)論；②先證是等腰直角三角形，得，再證，得，則，然后證，得，，進(jìn)而得出結(jié)論．(1)(1)證明：，，平分，，在和中，，，；(2)(2)①證明：過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，如圖2所示：，，，，，，，是的外角，，，，；②解：，理由如下：由①知：，在中，，，，，，，，，且，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．(2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．(1)基礎(chǔ)圖形：如圖1，當(dāng)PB＝4時(shí)，若點(diǎn)B′恰好在AC邊上，求的長(zhǎng)度；(2)模型變式：如圖2，當(dāng)PB＝5時(shí)，若直線l∥AC，則的長(zhǎng)度為______；(3)動(dòng)態(tài)探究：如圖3，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離為．①如果直線始終垂直于，那么的值是否變化？若變化，求出的變化范圍；若不變化，求出的值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出在直線的變化過(guò)程中，的最大值．【答案】(1)的長(zhǎng)為4或0(2)(3)①；②的最大值為【解析】【分析】(1)證明△APB′是等邊三角形即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)Q，連接BB′交PQ于D，證明△PQB是等邊三角形，求出DB即可解決問(wèn)題；(3)①如圖3中，結(jié)論：m不變，證明BB′//AC,再證四邊形B′BFF′為矩形即可；②如圖4中，當(dāng)PB′⊥AC時(shí)，m最大，設(shè)直線交于F′，求出B′F′即可解決問(wèn)題.(1)解是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，綜上所述，的長(zhǎng)為4或0；(2)解如圖2中，設(shè)直線交于點(diǎn)Q．連接交于D．，，，是等邊三角形，，，關(guān)于對(duì)稱，

，，，故答案為：；(3)解①結(jié)論：的值不變，理由如下：如圖3，連接，過(guò)作于，過(guò)B′作B′F′⊥AC于F′，是等邊三角形，，，，，關(guān)于直線對(duì)稱，直線，

直線，，∴∠B′BF+∠BFF′=180°∵∠BFF′=90°∴∠B′BF=90°，∴∠B′BF=∠B′F′F=∠BFF′=90°∴四邊形B′BFF′為矩形∴B′F′=BF=，∴；②如圖4中，當(dāng)時(shí)，的值最大，設(shè)直線交于F′，在中，，，，，即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱變換，矩形判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.16．(2021·安徽·合肥市第四十五中學(xué)三模)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．(1)求證：CD2＝DG?DA；(2)如圖1，若CF＝2EF，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)；(3)如圖2，若GC＝2，GE＝2，求GD．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【解析】【分析】(1)先證明△ACD∽△CGD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2)如圖1，過(guò)E作EH∥AD交BC于點(diǎn)H，運(yùn)用平行線分線段成比例定理即可證得結(jié)論；(3)根據(jù)∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，可得△EGH是等腰直角三角形，再證明△CFG≌△EFH(AAS)，利用勾股定理和三角函數(shù)定義求出AG，再證明△CAG∽△DCG，運(yùn)用相似三角形性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：(1)∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠CGD＝∠ACB＝90°，∵∠CDA＝∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD：DG＝DA：CD，∴CD2＝DG?DA；(2)如圖1，過(guò)E作EH//AD交BC于點(diǎn)H，∵HE//AD，∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴E為AB的中點(diǎn)，∴BE：EA＝1，∴BH：HD＝BE：EA＝1，∵CF＝2EF，∴CD：HD＝CF：EF＝2，∴BH＝HD，CD＝2HD，∴BD＝BH+HD＝2HD，∴BD＝CD，∴D為BD的中點(diǎn)．(3)∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴A、C、G、E四點(diǎn)共圓，∴∠AGE＝∠ACE＝45°，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，∴△EGH是等腰直角三角形，EH＝GH＝GE?sin45°＝2×＝2，∵CG＝2，∴CG＝EH，∵∠CGF＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠EFH，∴△CFG≌△EFH(AAS)，∴FG＝FH＝1，CF＝EF，在Rt△CFG中，CF＝＝＝，∴CE＝2CF＝2，∴AC＝＝＝2，∴AG＝＝＝6，∵∠CGD＝∠AGC＝90°，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠ACG+∠DCG＝90°，∴∠CAG＝∠DCG，∴△CAG∽△DCG，∴＝，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)與判定，全等三角形判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．17．(2021·陜西·交大附中分校模擬預(yù)測(cè))問(wèn)題提出：(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，則∠A的大小為；問(wèn)題探究：(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四邊形ABCD的面積；問(wèn)題解決：(3)在西安市“三河一山”生態(tài)綠道長(zhǎng)廊建設(shè)中．規(guī)劃將某條綠道一側(cè)的四邊形區(qū)域修建成主題公園．設(shè)計(jì)要求：如圖③，四邊形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求這個(gè)主題公園的最大面積．【答案】(1)30°；(2)12；(3)m2．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知，求出tanA＝即可得到答案；(2)過(guò)A作AM⊥BD于M，過(guò)C作CN⊥BD于N，得到S四邊形ABCD＝S△BCD+S△BAD，再利用三角函數(shù)求解即可得到答案；(3)連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于E，連接DE，設(shè)BE＝a，則CE＝，BC＝2a，BD＝2a，tan∠BED＝2，通過(guò)把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積，由此求解即可．【詳解】解(1)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，∴tanA＝，∴∠A＝30°，故答案為：30°；(2)過(guò)A作AM⊥BD于M，過(guò)C作CN⊥BD于N，如圖：在Rt△CON中，CN＝OC?sin∠CON＝OC?sin∠AOD＝OC，在Rt△AOM中，AM＝OA?sin∠AOD＝OA，∴S△BCD＝BD?CN＝×6×OC＝OC，S△BAD＝BD?AM＝×6×OA＝OA，∴S四邊形ABCD＝S△BCD+S△BAD＝OC+OA＝(OC+OA)＝AC＝12；(3)如圖，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于E，連接DE，∵BC＝CD，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝90°，∵CE∥BD，∴∠CEB＝90°，∠CBE＝60°，設(shè)BE＝a，則CE＝，BC＝2a，∴BD＝2a，∴tan∠BED＝2，∵CE∥BD，∴S△BDE＝S△BDC，∴S四邊形ABCD＝S△ADE，∵∠AED為定角，AD為定長(zhǎng)，故畫出△ADE的外接圓，如圖，當(dāng)EH⊥AD，且EH經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，S△ADE最大，∵∠AOH＝∠AED，設(shè)OH＝am，則AH＝2am，由勾股定理得OA＝am，∵AD＝2AH，∴4a＝160，∴a＝，∴EH＝EO+OH＝，∴S△ADE＝∴主題公園的最大面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．18．(2021·江蘇·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)二模)已知：和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．(1)如圖1所示，點(diǎn)、分別在邊、上，求證：且；(2)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，線段與又有怎樣的關(guān)系，證明你的結(jié)論．(3)如圖3所示，當(dāng)，時(shí)，求長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)見解析；(2)且，見解析；(3)【解析】【分析】(1)只要證明△AOD≌△BOC(SAS)，即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD．延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，證明△BEH≌△CHO(SAS)，可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，證明△BEO≌△ODA(SAS)即可解決問(wèn)題；(3)延長(zhǎng)OH到M，使得HM=OH，連接BM．證明△BMH≌△COH(SAS)，得出BM=OC，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題．【詳解】解：(1)證明：如圖1中，與為等腰直角三角形，，，，在與中，，，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，，又，，，，，．(2)結(jié)論：，，如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，．(3)延長(zhǎng)到，使得，連接．，，，，，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．19．(2021·江蘇·景山中學(xué)一模)【背景】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A的直線MN∥BC，點(diǎn)D是直線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，將射線DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交線段AC于點(diǎn)P，使∠BDP＝∠BAC，試說(shuō)明：DB＝DP．小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點(diǎn)F，使DA＝DF，通過(guò)證明△BDF≌△PDA可以解決問(wèn)題．【嘗試】①請(qǐng)你幫助小麗完成說(shuō)理過(guò)程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖3，過(guò)點(diǎn)A的直線MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一點(diǎn)，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．【答案】嘗試：①見解析②4或8；拓展：【解析】【分析】嘗試：①先后證明∠BDF=∠PDA和∠DBF=∠DPA即可利用“AAS”證明兩個(gè)三角形全等；②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥AD于T，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB于K，先求出BT的長(zhǎng)從而求出DK的長(zhǎng)，即可得到AF和BF的長(zhǎng)，即可得到答案；拓展：類似于嘗試①中證全等的方法證明△BDF∽△PDA得到，再證明△ADF∽△BAC，．【詳解】解：嘗試：①∵M(jìn)N∥BC，∴∠DAB=∠ABC，∵AB=AC，DA=DF，∴∠ABC=∠ACB，∠DAF=∠DFA，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DAF+∠DFA+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠BAC=∠BDP，∴∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∴∠DBF=∠DPA，∵DA=DF，∴△BDF≌△PDA(AAS)，∴BD=PD；②如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥AD于T，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB于K，∵AD∥BC，BT⊥AD，AH⊥BC∴∠BTA=∠AHB=∠TBH=90°，∴四邊形BTAH是矩形，∴BT=AH，BH=AT，∵AB=AC，∴BH=CH=，∴，∵，∴，∵DA=DF，DK⊥AF，∴，∴，∴,∵△BDF≌△PDA，∴AP=BF=4；拓展：如圖所示，在AB上取一點(diǎn)F，使得∠ADF=∠CAB，設(shè)DP于AB交于O，∵∠BDP＝∠BAC，∴∠BDP＝∠ADF，即∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∠DBF=∠DPA，∴△BDF∽△PDA∴，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ABC，∵∠ADF=∠BAC，∴△ADF∽△BAC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形額性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠正確的作出輔助線進(jìn)行求解．20．(2021·內(nèi)蒙古東勝·二模)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)若四邊形是菱形，，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；【類比探究】(2)若四邊形是正方形，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰，其中，如圖2.當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，點(diǎn)E恰好在邊所在直線上時(shí)，則與之間的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；【拓展延伸】(3)在(2)的條件下，如圖3，在正方形中，，當(dāng)P是對(duì)角線的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接，若，求的面積．【答案】(1)BP=CE，理由見解析；(2)，理由見解析；(3)【解析】【分析】(1)先證明△ABC是等邊三角形，得到AP=AE，∠PAE=60°，然后證明△ABP≌ACE即可得到答案；(2)連接AC，只需要證明△BAP∽△CAE即可得到，由此求解即可；(3)連接AC交BD于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BD于G，證明△AFP≌△PGE，PG=AF=2，EG=FP，然后利用勾股定理求出GE的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：(1)BP=CE，理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=60°，又∵△PAE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠EAC，∴△ABP≌ACE(SAS)∴BP=CE；(2)，理由如下：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，∴，∴，∵△APE為等腰直角三角形，∠APE=90°，∴∠PAE=45°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴，∴；(3)連接AC交BD于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BD于G，∵四邊形ABCD是正方形，，∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，∴∴∠FAP+∠AFP=90°，又∵△APE是等腰直角三角形，∴AP=EP，∠APE=90°，∴∠APF+∠EPG=90°，∴∠FAP=∠EPF，又∵∠AFP=∠EGP=90°，∴△AFP≌△PGE(AAS)，∴PG=AF=2，EG=FP，設(shè)FP=GE=x，則BG=BF+FP+PG=4+x，∵，∴，解得(負(fù)值舍去)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．21．(2018·河南·模擬預(yù)測(cè))(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．【答案】(1)①60°；②相等；(2)∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；(3)，【解析】【分析】(1)由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．(3)由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于(2)中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【詳解】解：(1)①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．(3)點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由(2)中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用(2)中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第(3)的關(guān)鍵．22．(2021·福建·廈門一中三模)如圖①，線段，交于點(diǎn)，若與，與中有一組內(nèi)錯(cuò)角成兩倍關(guān)系，則稱與為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．(1)如圖②，在四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，為等邊三角形．求證：與為倍優(yōu)三角形．(2)如圖③，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)連接和，對(duì)角線和交于點(diǎn)，當(dāng)與為倍優(yōu)三角形時(shí)，求的正切值．【答案】(1)見解析；(2)或【解析】【分析】(1)△COD是等邊三角形，得到∠AOB=∠COD=60°，又AB⊥BD，故∠BAO=30°，即可求解；(2)①若∠BCO=2∠PAO，得到PD=PH，進(jìn)而求解；②若∠APO=2∠CBO，得到∠DAP=∠API=∠BPI=∠CBP，則DP=CP=1，即可求解．【詳解】解：(1)證明：∵△COD是等邊三角形，∴∠COD=∠OCD=60°，∴∠AOB=∠COD=60°，又∵AB⊥BD，∴∠BAO=30°，∴∠OCD=2∠BAO，∴△AOB與△COD為倍優(yōu)三角形．(2)由題意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．①若∠BCO=2∠PAO，則∠DAO=2∠PAO，∴AP平分∠DAC．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，得PD=PH，不妨設(shè)PD=PH=m，則PC=2-m．則PC＝PH，∴2?m＝m，∴m＝，∴tan∠DAP＝=；②若∠APO=2∠CBO，過(guò)點(diǎn)P作PI∥BC交AB于I，則∠BPI=∠CBO．又∵∠APO=2∠CBO，∴∠APO=2∠BPI，則∠DAP=∠API=∠BPI=∠CBP，故DP=CP=1，∴tan∠DAP＝=，綜上，∠DAP的正切值為或．【點(diǎn)睛】本題為三角形的綜合題，主要考查了解直角三角形、新定義等，綜合性強(qiáng)，難度較大．挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題20以四邊形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題

1．(2021·江蘇南通·中考真題)如圖，正方形中，點(diǎn)E在邊上(不與端點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，設(shè)．(1)求的大小(用含的式子表示)；(2)過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．2．(2021·遼寧阜新·中考真題)在圖1中似乎包含了一些曲線，其實(shí)它們是由多條線段構(gòu)成的．它不但漂亮，還蘊(yùn)含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是直線AB，BC上的點(diǎn)(E，F(xiàn)在直線AC的兩側(cè))，且．(1)如圖2，求證：；(2)若直線AC與EF相交于點(diǎn)G，如圖3，求證：；(3)設(shè)正方形ABCD的中心為O，，用含的式子表示的度數(shù)(不必證明)．3．(2021·遼寧盤錦·中考真題)如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，N為EF的中點(diǎn)，連結(jié)NA，以NA，NF為鄰邊作□ANFG．連結(jié)DG，DN，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°≤≤360°)．(1)如圖1，當(dāng)＝0°時(shí)