專題09 存在性-直角三角形（含答案）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸滿分突破之二次函數(shù)篇

2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問題第9節(jié)直角三角形的存在性方法點撥一、勾股定理及其逆定理若▲ABC為直角三角形，那么：。(2)若，那么：▲ABC為直角三角形。二、直線與斜率的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，若兩直線垂直，()相似三角形相似，對應(yīng)邊成比例；▲ADB∽▲BEC，例題演練1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＝﹣2與x軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于x軸上方一點A，此拋物線與x軸的正半軸交于點B(1，0)，且AC＝2BC．(Ⅰ)求拋物線的解析式；(Ⅱ)點P是直線AB上方拋物線上的一點．過點P作PD垂直于x軸于點D，交線段AB于點E，使DE＝3PE；①求點P的坐標(biāo)；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為以AB為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y＝kx+n(k≠0)經(jīng)過B，C兩點，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．(1)試求出點B的坐標(biāo)．(2)分別求出直線BC和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．已知拋物線L經(jīng)過點A(﹣1，0)和B(3，0)與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)平移拋物線L，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，與x軸的另一個交點為Q，與y軸交于點P，同時滿足△BPQ是直角三角形，請你寫出平移過程并說明理由．4．拋物線C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，過點A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y軸于點C(0，﹣)．(1)求拋物線C的表達(dá)式；(2)已知拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點到定點Q(2，﹣)的距離與到直線y＝﹣的距離相等，若點M為拋物線C上的一動點，P(3，4)為平面內(nèi)一點，求MP+MQ的最小值，并求出此時點M的坐標(biāo)．(3)在此拋物線對稱軸上是否存在一點D，使以A、P、D三點構(gòu)成的三角形為直角三角形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C(0，﹣3)，點P為直線BC下方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)△PBC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)，并求這個最大面積；(3)試探究：是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．6．如圖①，已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點坐標(biāo)為(﹣1，)，交y軸于點A(0，3)，交直線l：x＝﹣2于點B，點C(0，2)在y軸上，連接BC并延長，交拋物線于點D．(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，E為直線l上位于點B下方一動點，連DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E點坐標(biāo)；(3)如圖②，在(2)的條件下，P為射線EB上一點，作PQ⊥直線DE于點Q，若△APQ為直角三角形，請求出P點坐標(biāo)．7．如圖，直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動(運動到點O停止)，運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F．(1)求點A，點B的坐標(biāo)．(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長．(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．8．已知拋物線與x軸交于點A、B(A在B的右側(cè))，與y軸交于點C，連接AC、BC，過點A作BC的平行線交拋物線于點D．(1)如圖1，若點P為直線BC下方拋物線上任意一點，直線AD上有一動點E，當(dāng)△BCP面積最大時，求PE﹣AE的最小值；(2)如圖2，將△BOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△B'OC'，點B，C的對應(yīng)點分別是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分線上(C'與C不重合)，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，則△B'OM能否為直角三角形？若能，請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．9．如圖，已知拋物線與x軸交于A(﹣3，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)，對稱軸l與x軸交于點D，點E在y軸上，且OE＝OB．P是該拋物線上的動點，連接PA、PE，PD與AE交于點F．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t(﹣3＜t＜0)①求△PAE的面積的最大值；②在對稱軸l上找一點M，使四邊形PAME是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)；③拋物線上存在點P，使得△PEF是以EF為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)，并判斷此時△PAE的形狀．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4(a≠0)經(jīng)過點A(﹣1，0)，B(3，0)和點C．(1)求拋物線的解析式；(2)作直線BC，點G是線段BC上一個動點，過點G作y軸的平行線交x軸于點E，交拋物線于點F，過點F作直線BC的垂線，垂足為點D，若設(shè)△BEG的周長為C1，△GDF的周長為C2，C＝C1+C2，點G的橫坐標(biāo)為m(0＜m＜3)，請用含m的代數(shù)式表示C，并計算當(dāng)m取何值時，C取得最大值；(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，若以點P，C，B為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．11．已知拋物線y＝ax2+2x+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)和點B，與直線y＝﹣x+3交于點B和點C，M為拋物線的頂點，直線ME是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的解析式及點M的坐標(biāo)；(2)直線ME與BC交于點N，點P為直線BC上方拋物線上一點，在直線BC上是否存在一點Q，使得以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；(3)點F為直線BC上一點，作點A關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'C，A'F，當(dāng)△FA'C是直角三角形時，直接寫出點F的坐標(biāo)．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問題第9節(jié)直角三角形的存在性方法點撥一、勾股定理及其逆定理若▲ABC為直角三角形，那么：。(2)若，那么：▲ABC為直角三角形。二、直線與斜率的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，若兩直線垂直，()相似三角形相似，對應(yīng)邊成比例；▲ADB∽▲BEC，例題演練1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＝﹣2與x軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于x軸上方一點A，此拋物線與x軸的正半軸交于點B(1，0)，且AC＝2BC．(Ⅰ)求拋物線的解析式；(Ⅱ)點P是直線AB上方拋物線上的一點．過點P作PD垂直于x軸于點D，交線段AB于點E，使DE＝3PE；①求點P的坐標(biāo)；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為以AB為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：(Ⅰ)∵直線x＝﹣2與x軸交于點C，∴C(﹣2，0)．∵B(1，0)，∴BC＝3，∵AC＝2BC，∴AC＝6，∵直線x＝﹣2與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于點A，∴A(﹣2，6)，把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；(Ⅱ)①∵點P是直線AB上方拋物線上的一點，∴設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，﹣a2﹣3a+4)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b(k≠0)，把點A、B的坐標(biāo)代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+2．∵PD⊥x軸于點D，交AB于點E，∴點E的坐標(biāo)為(a，﹣2a+2)，∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)＝﹣a2﹣a+2，∵DE＝3PE，∴﹣2a+2＝3(﹣a2﹣a+2)，解得：a1＝1(舍去)，a2＝﹣，∴當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣﹣3×(﹣)+4＝，∴點P的坐標(biāo)為(﹣，)；②∵點M在直線PD上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(﹣，m)，∵A(﹣2，6)，B(1，0)，∴AB＝＝，AM＝，BM＝，∵△ABM為以AB為直角邊的直角三角形，當(dāng)AB為斜邊時，AB2+AM2＝BM2，即45++(6﹣m)2＝+m2，解得：m＝，∴點M的坐標(biāo)為(﹣，)；當(dāng)AM為斜邊時，AB2+BM2＝AM2，即45++m2＝+(6﹣m)2，解得：m＝﹣，∴點M的坐標(biāo)為(﹣，﹣)．綜上所述，符合題意的點M的坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣，﹣)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y＝kx+n(k≠0)經(jīng)過B，C兩點，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．(1)試求出點B的坐標(biāo)．(2)分別求出直線BC和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵點C(0，3)，即OC＝3．∵BC＝5，在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得OB＝，即點B坐標(biāo)為(4，0)．(2)把B(4，0)、C(0，3)分別代入y＝kx+n中，得，解得．∴直線BC解析式為；把A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)分別代入y＝ax2+bx+c得，解得．∴拋物線的解析式是．(3)在拋物線的對稱軸上存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式是，∴拋物線對稱軸為直線x＝．設(shè)點P坐標(biāo)為()．①當(dāng)∠PCB＝90°時，有BP2＝BC2+PC2．∵，，BC2＝25．即＝+25，解得：m＝．故點P1()；②當(dāng)∠PBC＝90°時，有PC2＝PB2+BC2．∵，，BC2＝25．即＝+25，解得：m＝﹣2．故點P2()；③當(dāng)∠BPC＝90°時，有BC2＝BP2+PC2．即25＝+．解得：m1＝，m2＝．∴P3(，)，P4(，)．綜上所述，使得△BCP為直角三角形的點P的坐標(biāo)為()或()或(，)或(，)．3．已知拋物線L經(jīng)過點A(﹣1，0)和B(3，0)與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)平移拋物線L，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，與x軸的另一個交點為Q，與y軸交于點P，同時滿足△BPQ是直角三角形，請你寫出平移過程并說明理由．【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，把A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入y＝ax2+bx+c，得．解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．(2)設(shè)平移后的拋物線為K：y＝﹣x2+mx+n，∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點B(3，0)，∴﹣9+3m+n＝0，∴n＝9﹣3m，∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，∴P(0，9﹣3m)；當(dāng)y＝0時，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，∴x1＝3，x2＝m﹣3．如圖1，當(dāng)m﹣3≥0，即m≥3時，△BPQ不能是直角三角形；如圖2，當(dāng)m﹣3＜0，即m＜3時，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一種情況.∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，∴△POQ∽△BOP，∴，∴OP2＝OQ?OB，∴(9﹣3m)2＝3(3﹣m)，∴m1＝，m2＝3(不符合題意，舍去)，∴拋物線K：y＝﹣x2+x+1，∵拋物線L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，拋物線K：y＝﹣x2+x+1＝﹣(x﹣)2+，∴﹣1＝，﹣4＝﹣，∴拋物線L向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度．4．拋物線C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，過點A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y軸于點C(0，﹣)．(1)求拋物線C的表達(dá)式；(2)已知拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點到定點Q(2，﹣)的距離與到直線y＝﹣的距離相等，若點M為拋物線C上的一動點，P(3，4)為平面內(nèi)一點，求MP+MQ的最小值，并求出此時點M的坐標(biāo)．(3)在此拋物線對稱軸上是否存在一點D，使以A、P、D三點構(gòu)成的三角形為直角三角形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵拋物線C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，過點A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y軸于點C(0，﹣)，∴，解得：，∴拋物線C的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣；(2)如圖1，作PH⊥直線y＝﹣于點H，作MH′⊥直線y＝﹣于點H′，∵拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點到定點Q(2，﹣)的距離與到直線y＝﹣的距離相等，∴MQ＝MH′，∴MP+MQ＝MP+MH′，當(dāng)P，M，H′三點在同一條直線上，MP+MH′最小，∴M與M′重合時，MP+MQ最小，∵P(3，4)，∴PH＝4﹣(﹣)＝，∴MP+MQ的最小值為；當(dāng)x＝3時，y＝×32﹣3﹣＝﹣2，∴M(3，﹣2)；(3)∵y＝x2﹣x﹣＝y(tǒng)＝(x﹣2)2﹣；∴拋物線對稱軸為x＝2，設(shè)點坐稱為(2，m)，∵A(﹣1，0)，P(3，4)，D(2，m)，∴AP＝4，AD2＝9+m2，PD2＝1+(m﹣4)2，∵以A、P、D三點構(gòu)成的三角形為直角三角形，∴分三種情況討論：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°①當(dāng)∠DAP＝90°時，AP2+AD2＝PD2，∴(4)2+9+m2＝1+(m﹣4)2，解得：m＝﹣3，∴D1(2，﹣3)；②當(dāng)∠ADP＝90°時，PD2+AD2＝AP2，∴1+(m﹣4)2+9+m2＝(4)2，解得：m1＝2+，m2＝2﹣，∴D2(2，2+)；D3(2，2﹣)；③當(dāng)∠APD＝90°時，PD2+AP2＝AD2，∴1+(m﹣4)2+(4)2＝9+m2，解得：m＝5，∴D4(2，5)；綜上所述，點D的坐標(biāo)為(2，﹣3)或(2，2+)或(2，2﹣)或(2，5)．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C(0，﹣3)，點P為直線BC下方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)△PBC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)，并求這個最大面積；(3)試探究：是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．【解答】解：(1)將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3①；(2)過點P作y軸的平行線交BC于點H，由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝x﹣3，設(shè)點P的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則點H(t，t﹣3)，則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×(t﹣3﹣t2+2t+3)＝﹣(t﹣)2+≤，∴當(dāng)t＝時，△PBC的面積最大值為，此時點P的坐標(biāo)為(，﹣)；(3)∵點P為直線BC下方拋物線上一動點，故∠PBC≠90°，①當(dāng)∠PCB為直角時，由直線BC的表達(dá)式知，直線BC和x軸負(fù)半軸的夾角為45°，∴當(dāng)∠PCB為直角時，則直線PC與x軸的夾角為45°，故直線PC的表達(dá)式為y＝﹣x﹣3②，聯(lián)立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0(舍去)或1，即t＝1，②當(dāng)∠BPC為直角時，如圖2，過點P作y軸的垂線交y軸于點N，交過點B與y軸的平行線于點M，設(shè)點P的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，∴∠PBM＝∠CPN，∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，∴，解得t＝(不合題意的值已舍去)；綜上，t的值為1或．6．如圖①，已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點坐標(biāo)為(﹣1，)，交y軸于點A(0，3)，交直線l：x＝﹣2于點B，點C(0，2)在y軸上，連接BC并延長，交拋物線于點D．(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，E為直線l上位于點B下方一動點，連DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E點坐標(biāo)；(3)如圖②，在(2)的條件下，P為射線EB上一點，作PQ⊥直線DE于點Q，若△APQ為直角三角形，請求出P點坐標(biāo)．【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+1)2+，將A(0，3)代入y＝a(x+1)2+，得a+＝3，解得a＝，∴拋物線的解析式為y＝(x+1)2+，即y＝x2x+3．(2)當(dāng)x＝﹣2時，y＝×4+3+3＝3，∴B(﹣2，3)．由C(0，2)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+2，則﹣2k+2＝3，解得k＝，∴y＝x+2，由，得，，∴D(，)；∵AB∥x軸，且AB＝2，∴S△ABD＝×2×(3﹣)＝，∴S△BDE＝4S△ABD＝4×＝；設(shè)E(﹣2，m)，∵BE∥y軸，∴S△BDE＝×(+2)(3﹣m)，∴×(+2)(3﹣m)＝，解得m＝﹣1，∴E(﹣2，﹣1)．(3)設(shè)直線DE的解析式為y＝px+q，則，解得，∴y＝x+1．如圖2，設(shè)DE交x軸于點F，交y軸于點H，直線x＝﹣2交x軸于點M，則F(﹣1，0)，H(0，1)，M(﹣2，0)，在BM上取點G(﹣2，1)，連接FG、AG、BH，∵OF＝OH＝1，∠FOH＝90°，∴∠OFH＝∠OHF＝45°，∴∠MFE＝∠MEF＝45°，∠EPQ＝45°，∵M(jìn)F＝MG＝1，AB＝AH＝BG＝2，∴△ABG、△BAH、△FMG、△FOH、△PEQ都是等腰直角三角形，∵∠HBE＝∠HEB＝45°，∴∠BHE＝90°；∵∠GFM＝∠HFO＝45°，∴∠GFH＝90°，∴PQ∥GF∥BH．∵∠AGB＝∠MGF＝45°，∴∠AGF＝90°，當(dāng)PQ與GF重合時，則∠APQ＝∠AGF＝90°，此時P(﹣2，1)；當(dāng)PQ與BH重合時，則∠PAQ＝∠BAH＝90°，此時P(﹣2，3)；如圖3，∠PAQ＝90°，作QT⊥PE于點T，QR⊥BA交BA的延長線于點R，設(shè)P(﹣2，n)，則PB＝n﹣3，PE＝n+1，∴ET＝PT＝QT＝(n+1)，AR＝(n+1)﹣2，QR＝(n+1)﹣4，∵∠PBA＝∠ARQ＝90°，∠BPA＝90°﹣∠PAB＝∠RAQ，∴△ABP∽△QRA，∴，∴，解得n＝9，∴P(﹣2，9)．綜上所述，點P的坐標(biāo)為(﹣2，1)或(﹣2，3)或(﹣2，9)．7．如圖，直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動(運動到點O停止)，運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F．(1)求點A，點B的坐標(biāo)．(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長．(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)在直線y＝﹣x+2中，令y＝0，得：﹣x+2＝0，解得：x＝2，令x＝0，得：y＝2，∴A(2，0)，B(0，2)；(2)由(1)可知OA＝2，OB＝2，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∵運動時間為t秒，∴BE＝t，∵EF∥x軸，∴在Rt△BEF中，EF＝BE?tan∠ABO＝BE＝t，BF＝2EF＝2t，在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；(3)存在．∵EG∥x軸，∴∠GFA＝∠BAO＝60°，∵G點不能在拋物線的對稱軸上，∴∠FGA≠90°，∴當(dāng)△AGF為直角三角形時，則有∠FAG＝90°，又∠FGA＝30°，∴FG＝2AF，∵EF＝t，EG＝4，∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，∴4﹣t＝2(4﹣2t)，解得：t＝，即當(dāng)t的值為秒時，△AGF為直角三角形，此時OE＝OB﹣BE＝2﹣t＝2﹣×＝，∴E點坐標(biāo)為(0，)，∵拋物線的頂點為A，∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a(x﹣2)2，把E點坐標(biāo)代入可得：＝4a，解得：a＝，∴拋物線解析式為y＝(x﹣2)2，即y＝x2﹣x+．8．已知拋物線與x軸交于點A、B(A在B的右側(cè))，與y軸交于點C，連接AC、BC，過點A作BC的平行線交拋物線于點D．(1)如圖1，若點P為直線BC下方拋物線上任意一點，直線AD上有一動點E，當(dāng)△BCP面積最大時，求PE﹣AE的最小值；(2)如圖2，將△BOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△B'OC'，點B，C的對應(yīng)點分別是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分線上(C'與C不重合)，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，則△B'OM能否為直角三角形？若能，請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．【解答】解：(1)對于，令＝0，解得x＝1或﹣3，令x＝0，則y＝﹣，故點A、B、C的坐標(biāo)分別為(1，0)、(﹣3，0)、(0，﹣)，過點P作PH∥y軸交x軸于點H，交AD于點E，則點E為所求點，理由：由點B、C的坐標(biāo)知，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x﹣，則tan∠OBC＝，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，由AD∥BC知，∠DAB＝∠OBC＝30°，∴EH＝AE，則PE﹣AE＝PE﹣EN＝PN＝﹣yP為最小，由△BCP面積＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB，故△BCP面積最大，即PH的長度最大即可．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，x2+x﹣)，則點H的坐標(biāo)為(x，﹣x﹣)，則PH＝(﹣x﹣)﹣(x2+x﹣)＝﹣(x2+3x)，∵＜0，故PH有最大值，當(dāng)x＝﹣時，PH取得最大值，此時點P的坐標(biāo)為(﹣，﹣)，∴PE﹣AE的最小值為﹣yP＝；(2)連接CC′，∵C'恰好落在∠BCO的平分線上，∠OCB＝60°，OC＝OC′，則∠OC′C＝∠OC′C＝30°，則∠C′OC＝120°，即△BCO順時針旋了120°，則∠BOB′＝120°，∠B′OA＝60°，過點B′分別作x、y軸的垂線，垂足分別為M、N，則OM＝OB′cos60°＝OBcos60°＝，MB＝，故點B′的坐標(biāo)為(，)，由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為x＝﹣1，故設(shè)點M的坐標(biāo)為(﹣1，m)，由點O、M、B′的坐標(biāo)知，B′M2＝(+1)2+(m﹣)2，同理可得：OM2＝m2+1，OB′2＝9，當(dāng)BM是斜邊時，則m2+1+9＝(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；當(dāng)OM是斜邊時，則m2+1＝9+(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；當(dāng)OB′是斜邊時，則(+1)2+(m﹣)2+m2+1＝9，方程無解，故點M的坐標(biāo)為(﹣1，)或(﹣1，)．9．如圖，已知拋物線與x軸交于A(﹣3，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)，對稱軸l與x軸交于點D，點E在y軸上，且OE＝OB．P是該拋物線上的動點，連接PA、PE，PD與AE交于點F．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t(﹣3＜t＜0)①求△PAE的面積的最大值；②在對稱軸l上找一點M，使四邊形PAME是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)；③拋物線上存在點P，使得△PEF是以EF為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)，并判斷此時△PAE的形狀．【解答】解：(1)∵拋物線與x軸交于A(﹣3，0)、B(1，0)兩點，∴設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x+3)(x﹣1)，把點C(0，3)代入，得：3＝a(x+3)(x﹣1)，解得：a＝﹣1，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣(x+3)(x﹣1)，即：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)①【解法一】如圖1，過點P作PH⊥x軸于點H，交AE于點I，∵OE＝OB，∴E(0，1)，設(shè)直線AE的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，將A(﹣3，0)，E(0，1)分別代入，得：，解得：，∴直線AE的表達(dá)式為，由題意，點P的坐標(biāo)為(t，﹣t2﹣2t+3)，則點I的坐標(biāo)為，∴，∴．∵，且﹣3＜t＜0，∴當(dāng)時，△PAE的面積最大值為．【解法二】如圖1，連接PO，由題意，點P的坐標(biāo)為(t，﹣t2﹣2t+3)，∴S△PAE＝S△PAO+S△PEO﹣S△AOE＝AO?|yP|+EO?|xP|﹣AO?EO＝(﹣t2﹣2t+3)+(﹣t)﹣＝﹣t2﹣t+3＝﹣(t+)2+，∵a＝﹣＜0，且﹣3＜t＜0，∴當(dāng)時，△PAE的面積最大值為．②∵點M在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸x＝﹣1上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(﹣1，m)，由題意，點P的坐標(biāo)為(t，﹣t2﹣2t+3)，∵四邊形PAME是平行四邊形，AE、PM為對角線，∴xP+xM＝xA+xE，即t﹣1＝﹣3+0，解得：t＝﹣2，∴點P的坐標(biāo)為(﹣2，3)，∴yP+yM＝y(tǒng)A+yE，得3+m＝0+1，∴m＝﹣2．∴點M的坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)．③△PEF是以EF為直角邊的直角三角形分兩種情況：(Ⅰ)若∠PEF＝90°，如圖2，過點P作PG⊥y軸于點G，∴∠PGE＝∠AOE＝90°，∵∠PEG+∠AEO＝90°，∠AEO+∠EAO＝90°，∴∠PEG＝∠EAO，∴△EPG∽△AEO，∴，即，整理得t2﹣t﹣2＝0，解得t1＝﹣1，t2＝2(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(﹣1，4)，∴PG＝OE＝1，∴＝＝1，∴PE＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形．(Ⅱ)若∠PFE＝90°，如圖3，過點P作PH⊥x軸于點H，∴∠PHD＝∠AOE＝90°，∴∠DPH+∠PDH＝90°，∵∠AFD＝∠PFE＝90°，∴∠PDH+∠EAO＝90°，∴∠DPH＝∠EAO，∴△PHD∽△AOE，∴，即，整理得t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝﹣2，t2＝3(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(﹣2，3)，∴H(﹣2，0)，∴PH＝3，AH＝OA﹣OH＝3﹣2＝1，∴PH＝OA，AH＝OE，∠PHA＝∠AOE＝90°，∴△PHA≌△AOE(SAS)，∴△PAE是等腰三角形．綜上所述，P的坐標(biāo)為(﹣1，4)，△PAE是等腰直角三角形；或P的坐標(biāo)為(﹣2，3)，△PAE是等腰三角形．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4(a≠0)經(jīng)過點A(﹣1，0)，B(3，0)和點C．(1)求拋物線的解析式；(2)作直線BC，點G是線段BC上一個動點，過點G作y軸的平行線交x軸于點E，交拋物線于點F，過點F作直線BC的垂線，垂足為點D，若設(shè)△BEG的周長為C1，△GDF的周長為C2，C＝C1+C2，點G的橫坐標(biāo)為m(0＜m＜3)，請用含m的代數(shù)式表示C，并計算當(dāng)m取何值時，C取得最大值；(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，若以點P，C，B為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【解答】解：(1)將點A(﹣1，0)，B(3，0)分別代入拋物線的關(guān)系式中得，解得，∴拋物線的關(guān)系式為；(2)由題意得，點C(0，﹣4)，則BC＝5，∴△OBC的周長為3+4+5＝12，由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的關(guān)系式為．∵GE∥y軸，∴△BEG∽△BOC，∴．∵FD⊥BC，∠DGF＝∠OCB，∴△FDG～△BOC，∴．∵點G的橫坐標(biāo)為m(0＜m＜3)，∴，，∴，，∴C1＝12﹣4m，，即．當(dāng)時，C取得最大值；(3)由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x＝1，①當(dāng)∠BPC為直角時，過點P作x軸的平行線交過點B與y軸的平行線于點M，交y軸于點N，設(shè)點P的坐標(biāo)為(1，m)，則MB＝m，PM＝3﹣1＝2，NP＝1，CN＝m+4，∵∠MPB+∠NPC＝90°，∠NPC+∠PCN＝90°，∴∠MPB＝∠PCN，∴tan∠MPB＝tan∠PCN，則，∴，解得m＝﹣2±，故點P的坐標(biāo)為或；②∠BCP為直角時，∵直線BC的表達(dá)式為y＝x﹣4，∵PC⊥BC，故設(shè)直線PC的表達(dá)式為y＝﹣x+t，將點C的坐標(biāo)代入上式并解得y＝﹣4，故直線PC的表達(dá)式為y＝﹣x﹣4，當(dāng)x＝1時，y＝﹣x﹣4＝﹣，故點P的坐標(biāo)為(1，﹣)；③當(dāng)∠CBP為直角時，同理可得，直線PB的表達(dá)式為y＝﹣(x﹣3)，當(dāng)x＝1時，y＝﹣(x﹣3)＝，則點P的坐標(biāo)為(1，)；綜上，點P的坐標(biāo)為，，或．11．已知拋物線y＝ax2+2x+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)和點B，與直線y＝﹣x+3交于點B和點C，M為拋物線的頂點，直線ME是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的解析式及點M的坐標(biāo)；(2)直線ME與BC交于點N，點P為直線BC上方拋物線上一點，在直線BC上是否存在一點Q，使得以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；(3)點F為直線BC上一點，作點A關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'C，A'F，當(dāng)△FA'C是直角三角形時，直接寫出點F的坐標(biāo)．【解答】解：(1)∵直線y＝﹣x+3過點B和點C，∴B(3，0)、C(0，3)，OB＝OC＝3，把A(1，0)、B(3，0)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點M的坐標(biāo)為(1，4)．(2)對于直線y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時，y＝2，∴N(1，2)．設(shè)P(m，﹣m2+2m+3)．若MN是平行四邊形的一邊，如圖1，則PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q(m，﹣m+3)，∴﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝2，解得：m1＝2，m2＝1(不符合題意，舍去)，∴Q(2，1)若MN是平行四邊形的對角線，如圖2，∵線段MN的中點為坐標(biāo)為(1，3)，且點Q與點P關(guān)于點(1，3)成中心對稱，∴Q(2﹣m，m2﹣2m+3)，∵點Q在直線y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣(2﹣m)+3，解得m1＝0，m2＝2(不符合題意，舍去)，∴Q(0，3)．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(2，1)或(0，3)．(3)如圖3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x軸于點G，則FG＝A'G，設(shè)F(m，﹣m+3)，則﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F(2，1)；如圖4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x軸于點G，則∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝(m﹣1)，解得m＝，∴F(，)．綜上所述，點F的坐標(biāo)為(2，1)或(，)．故答案為：(2，1)，(，)．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問題第10節(jié)等邊三角形的存在性中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問題第10節(jié)等邊三角形的存在性方法點撥一、兩定一動A、確定點的位置B、求解過程二、兩動一定三、方法總結(jié)例題演練題組1：兩定一動1．如圖，已知拋物線C1與x軸交于A(4，0)，B(﹣1，0)兩點，與y軸交于點C(0，2)．將拋物線C1向右平移m(m＞0)個單位得到拋物線C2，C2與x軸交于D，E兩點(點D在點E的左側(cè))，與拋物線C1在第一象限交于點M．(1)求拋物線C1的解析式，并求出其對稱軸；(2)①當(dāng)m＝1時，直接寫出拋物線C2的解析式；②直接寫出用含m的代數(shù)式表示點M的坐標(biāo)．(3)連接DM，AM．在拋物線C1平移的過程中，是否存在△ADM是等邊三角形的情況？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)設(shè)拋物線C1的解析式為y＝ax2+bx+c(a≠0)，則，解得，拋物線C1的解析式為，對稱軸是直線；(2)①∵拋物線C1的解析式為，即y＝﹣+，∴當(dāng)m＝1時，由拋物線的平移規(guī)律可得拋物線C2解析式為：y＝﹣+＝；即拋物線C2解析式為y＝；②由拋物線的平移規(guī)律可得：拋物線C1向右平移m(m＞0)個單位得到拋物線C2的解析式為：y＝﹣+，其對稱軸為：x＝，∴交點M的橫坐標(biāo)為：+＝，將其代入拋物線C1的解析式可得：y＝，∴點M的坐標(biāo)為；(3)存在m值使△ADM是等邊三角形，理由如下：過點M作MN⊥AD于點N，∵，∴，，若△ADM是等邊三角形，則∠DMN＝30°，∴，即，解得m＝4﹣5或m＝5(不合題意，舍去)，∴當(dāng)時，△ADM是等邊三角形．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在原點，且點(2，1)在二次函數(shù)的圖象上，過點F(0，1)作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)P為平面內(nèi)一點，當(dāng)△PMN是等邊三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3)在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點E，使得以點E為圓心的圓過點F和點N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點E的坐標(biāo)，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．【解答】解：(1)∵二次函數(shù)的圖象頂點在原點，故設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2，將(2，1)代入上式并解得：a＝，故二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2；(2)將y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故點M、N的坐標(biāo)分別為(﹣2，1)、(2，1)，則MN＝4，∵△PMN是等邊三角形，∴點P在y軸上且PM＝4，∴PF＝2；∵點F(0，1)，∴點P的坐標(biāo)為(0，1+2)或(0，1﹣2)；(3)假設(shè)二次函數(shù)的圖象上存在一點E滿足條件，設(shè)點Q是FN的中點，則點Q(1，1)，故點E在FN的中垂線上．∴點E是FN的中垂線與y＝x2圖象的交點，∴y＝×12＝，則點E(1，)，EN＝＝，同理EF＝＝，點E到直線y＝﹣1的距離為|﹣(﹣1)|＝，故存在點E，使得以點E為圓心半徑為的圓過點F，N且與直線y＝﹣1相切．3．如圖，拋物線C1：y＝x2+bx+c經(jīng)過原點，與x軸的另一個交點為(2，0)，將拋物線C1向右平移m(m＞0)個單位得到拋物線C2，C2交x軸于A，B兩點(點A在點B的左邊)，交y軸于點C．(1)求拋物線C1的解析式及頂點坐標(biāo)；(2)以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當(dāng)點D落在拋物線C2的對稱軸上時，求拋物線C2的解析式；(3)若拋物線C2的對稱軸存在點P，使△PAC為等邊三角形，求m的值．【解答】解：(1)∵拋物線C1經(jīng)過原點，與X軸的另一個交點為(2，0)，∴，解得，∴拋物線C1的解析式為y＝x2﹣2x，∴拋物線C1的頂點坐標(biāo)(1，﹣1)，(2)如圖1，∵拋物線C1向右平移m(m＞0)個單位得到拋物線C2，∴C2的解析式為y＝(x﹣m﹣1)2﹣1，∴A(m，0)，B(m+2，0)，C(0，m2+2m)，過點C作CH⊥對稱軸DE，垂足為H，∵△ACD為等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°∴∠HCD＝∠ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2(舍去)，∴拋物線C2的解析式為：y＝(x﹣2)2﹣1．(3)如圖2，連接BC，BP，由拋物線對稱性可知AP＝BP，∵△PAC為等邊三角形，∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，∴C，A，B三點在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，∴∠CBO＝∠CPA＝30°，∴BC＝2OC，∴由勾股定理得OB＝＝OC，∴(m2+2m)＝m+2，解得m1＝，m2＝﹣2(舍去)，∴m＝．4．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1，0)和點C(0，3)與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時，求出⊙M的半徑．【解答】解：(1)把點A(﹣1，0)和點C(0，3)代入y＝ax2+x+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3；(2)不存在，理由如下：①當(dāng)點Q在y軸右邊時，如圖1所示：假設(shè)△QCO為等邊三角形，過點Q作QH⊥OC于H，∵點C(0，3)，∴OC＝3，則OH＝OC＝，tan60°＝，∴QH＝OH?tan60°＝×＝，∴Q(，)，把x＝代入y＝﹣x2+x+3，得：y＝﹣≠，∴假設(shè)不成立，∴當(dāng)點Q在y軸右邊時，不存在△QCO為等邊三角形；②當(dāng)點Q在y軸的左邊時，如圖2所示：假設(shè)△QCO為等邊三角形，過點Q作QT⊥OC于T，∵點C(0，3)，∴OC＝3，則OT＝OC＝，tan60°＝，∴QT＝OT?tan60°＝×＝，∴Q(﹣，)，把x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3，得：y＝﹣﹣≠，∴假設(shè)不成立，∴當(dāng)點Q在y軸左邊時，不存在△QCO為等邊三角形；綜上所述，在拋物線上不存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形；(3)令﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B(4，0)，設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入則，解得：，∴BC直線的解析式為：y＝﹣x+3，當(dāng)M在線段BC上，⊙M與x軸相切時，如圖3所示：延長PM交AB于點D，則點D為⊙M與x軸的切點，即PM＝MD，設(shè)P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，則PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)＝﹣x+3，解得：x1＝1，x2＝4(不合題意舍去)，∴⊙M的半徑為：MD＝﹣+3＝；當(dāng)M在線段BC上，⊙M與y軸相切時，如圖4所示：延長PM交AB于點D，過點M作ME⊥y軸于E，則點E為⊙M與y軸的切點，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，則PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)＝x，解得：x1＝，x2＝0(不合題意舍去)，∴⊙M的半徑為：EM＝；當(dāng)M在BC延長線，⊙M與x軸相切時，如圖5所示：點P與A重合，∴M的橫坐標(biāo)為﹣1，∴⊙M的半徑為：M的縱坐標(biāo)的值，即：﹣×(﹣1)+3＝；當(dāng)M在CB延長線，⊙M與y軸相切時，如圖6所示：延長PM交x軸于D，過點M作ME⊥y軸于E，則點E為⊙M與y軸的切點，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，則PD＝x2﹣x﹣3，MD＝x﹣3，∴(x2﹣x﹣3)﹣(x﹣3)＝x，解得：x1＝，x2＝0(不合題意舍去)，∴⊙M的半徑為：EM＝；綜上所述，⊙M的半徑為或或或．題組2：兩動一定5．如圖，拋物線y＝x2﹣2x+c經(jīng)過點A(﹣2，5)，與x軸相交于B，C兩點，點B在點C的左邊．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式與B，C兩點坐標(biāo)；(2)點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點C′恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C′和點D的坐標(biāo)；(3)設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：(1)由題意得：y＝x2﹣2x+c過點A(﹣2，5)，∴c＝﹣3，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3，∵B、C是拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的交點，x2﹣2x﹣3＝0，∴B(﹣1，0)，C(3，0)；(2)∵拋物線與x軸交于B(﹣1，0)，C(3，0)，∴BC＝4，拋物線的對稱軸為直線x＝1，如圖，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，則H點的坐標(biāo)為(1，0)，BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴點C′的坐標(biāo)為(1，2)，tan∠C′BH＝＝＝，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，∴點D的坐標(biāo)為(1，)；(3)取(2)中的點C′、D，連接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，△C′CB為等邊三角形，分類討論如下：①當(dāng)點P在x軸的上方時，點Q在x軸上方，連接BQ，C′P，∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌C′CP(SAS)，∴BQ＝C′P，∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，∴點D在直線BP上，設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+；②當(dāng)點P在x軸下方時，點Q在x軸下方，∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB﹣60°，∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ(SAS)，∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴∠CC′Q＝∠CC′B＝30°，∴∠CBP＝30°，設(shè)BP與x軸相交于點E，在Rt△BOE中，OE＝OB?tan∠CBP＝OB?tan30°＝1×＝．∴點E的坐標(biāo)為(0，)．設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，則，解得，∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣，綜上所述，直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+或y＝﹣x﹣．6．如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè))，與y軸交于點C，拋物線對稱軸與直線BC交于點D．(1)E點是線段BC上方拋物線上一點，過點E作直線EF平行于y軸，交BC于點F，若線段CD長度保持不變，沿直線BC移動得到C'D'，當(dāng)線段EF最大時，求EC'+C'D'+D'B的最小值；(2)Q是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形，若存在，請直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．【解答】解：(1)因為y＝﹣x2+x+5＝﹣(x﹣5)(x+)，∴A(﹣，0)，B(5，0)，C(0，5)，拋物線對稱軸為x＝＝2，由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y＝﹣x+5，令x＝2，則y＝﹣×2+5＝3，∴D(2，3)，∴CD＝C'D'＝4．設(shè)E(m，﹣m2+m+5)，則F(m，﹣m+5)，∴EF＝y(tǒng)E﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣(m﹣)2+，∴當(dāng)m＝時，EF取得最大值，此時E(，)．如圖1，作平行四邊形EC'D'E'，則EC'＝E'D'，E'(，)．作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，∴D'G＝D'B，∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，當(dāng)且僅當(dāng)E'、D'、G三點共線時，EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．(2)①如圖2，△APQ是等邊三角形，此時Q與B重合，∴等邊三角形的邊長為AQ＝AB＝6．②如圖3，△APQ是等邊三角形，此時Q與B重合，P在x軸下方．∴等邊三角形的邊長為AQ＝AB＝6．③如圖4，△APQ是等邊三角形，此時Q與C重合，P在x軸上方．∴等邊三角形的邊長為AQ＝AC＝2．④如圖5，△APQ是等邊三角形，此時Q在第三象限，P在x軸下方．∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三點在以P為圓心PA為半徑為圓周上，∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，∴直線BQ的解析式為y＝x﹣5，聯(lián)立方程組，解得或(舍)，∴Q＝(﹣2，﹣7)，∴AQ＝2，即等邊△APQ的邊長為2√．綜上所述，滿足要求的等邊三角形的邊長可以是：6、2、2．7．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B、C兩點，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD、BD．設(shè)點M運動的時間為t(t＞0)，請解答下列問題：(1)求點A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；(2)①請直接寫出點D的坐標(biāo)(用含t的式子表示)，并求點D落在直線l上時t的值；②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值．【解答】解：(1)當(dāng)y＝0時，，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵點A在點B的左側(cè)，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，當(dāng)x＝0時，y＝，即C(0，)，設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，將B，C兩點坐標(biāo)代入得，，解得，，則直線l的表達(dá)式為y＝﹣x+；(2)①如圖1，當(dāng)點M在AO上運動時，過點D作DN⊥x軸于N，由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN(AAS)，∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D(t﹣3+，t﹣3)；同理，如圖2，當(dāng)點M在OB上運動時，點D的坐標(biāo)為：D(﹣3+t+，t﹣3)將D點坐標(biāo)代入直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×(﹣3+t+)+，t＝6﹣2，即點D落在直線l上時，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴線段CM最小時，線段CD長度的最小，∵M(jìn)在AB上運動，∴當(dāng)CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根據(jù)勾股定理得，CD的最小值為．題組3：三動點8．如圖1，拋物線C1：y＝ax2﹣2ax+c(a＜0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標(biāo)為(﹣1，0)，點O為坐標(biāo)原點，OC＝3OA，拋物線C1的頂點為G．(1)求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標(biāo)；(2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：(3)在(2)的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y＝﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵點A的坐標(biāo)為(﹣1，0)，∴OA＝1，∴OC＝3OA，∴點C的坐標(biāo)為(0，3)，將A、C坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，所以點G的坐標(biāo)為(1，4)．(2)設(shè)拋物線C2的解析式為y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣(x﹣1)2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′＝m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D＝B′D＝m，則點B′的坐標(biāo)為(m+1，0)，點G′的坐標(biāo)為(1，m)，將點B′、G′的坐標(biāo)代入y＝﹣(x﹣1)2+4﹣k，得：，解得：(舍)，，∴k＝1；(3)設(shè)M(x，0)，則P(x，﹣x2+2x+3)、Q(x，﹣x2+2x+2)，∴PQ＝OA＝1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y＝﹣1于點H，則∠QHN＝∠OMQ＝90°，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ＝QN，∠AOQ＝∠PQN，∴∠MOQ＝∠HQN，∴△OQM≌△QNH(AAS)，∴OM＝QH，即x＝﹣x2+2x+2，解得：x＝(負(fù)值舍去)，當(dāng)x＝時，HN＝QM＝﹣x2+2x+2＝，點M(，0)，∴點N坐標(biāo)為(+，﹣1)