高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全套-第八章-第二節(jié)-雙曲線(xiàn)

1完整編輯ppt掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2完整編輯ppt3完整編輯ppt1．雙曲線(xiàn)的定義(1)第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的

等于常數(shù)

2a(2a

|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．(2)第二定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條

的距離的

比是常數(shù)e(e>1)的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．差的絕對(duì)值定直線(xiàn)l(F不在l上)<4完整編輯ppt[思考探究1]在雙曲線(xiàn)的第一定義中，如果常數(shù)2a＝|F1F2|,2a>|F1F2|，2a＝0時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？提示：如果2a＝|F1F2|，則M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；如果2a>|F1F2|，則軌跡不存在；如果2a＝0，則M的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)．5完整編輯ppt2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程

＝1(a>0，b>0)

＝1(a>0，b>0)圖形6完整編輯ppt標(biāo)準(zhǔn)方程

＝1(a>0，b>0)

＝1(a>0，b>0)性質(zhì)焦點(diǎn)F1

，F(xiàn)2F1

，F(xiàn)2

焦距|F1F2|＝

(c＝)|F1F2|＝

(c＝)范圍

2c2c(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R7完整編輯ppt標(biāo)準(zhǔn)方程

＝1(a>0，b>0)

＝1(a>0，b>0)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于

、

和

對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)

軸實(shí)軸

，虛軸

，實(shí)軸長(zhǎng)

，虛軸長(zhǎng)

x軸y軸原點(diǎn)(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)A1A2B1B22a2b8完整編輯ppt標(biāo)準(zhǔn)方程

＝1(a>0，b>0)

＝1(a>0，b>0)性質(zhì)離心率e＝(

)準(zhǔn)線(xiàn)方程x＝

y＝

漸近線(xiàn)e>19完整編輯ppt標(biāo)準(zhǔn)方程

＝1(a>0，b>0)

＝1(a>0，b>0)性質(zhì)焦半徑若點(diǎn)P在右半支上，則|PF1|＝

，|PF2|＝

；若點(diǎn)P在左半支上，則|PF1|＝

，|PF2|＝

若點(diǎn)P在上半支上，則|PF1|＝

，|PF2|＝

；若點(diǎn)P在下半支上，則|PF1|＝

，|PF2|＝

ex1＋aex1－a－(ex1＋a)－(ex1－a)ey1＋aey1－a－(ey1＋a)－(ey1－a)10完整編輯ppt[思考探究2]雙曲線(xiàn)的離心率的大小與雙曲線(xiàn)“開(kāi)口”大小有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越大，雙曲線(xiàn)的“開(kāi)口”越大．

11完整編輯ppt

1．雙曲線(xiàn)＝1的焦距為 (

)A．3

B．4C．3 D．4解析：由已知得c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故焦距為4.答案：D12完整編輯ppt2．已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)、(4,0)，則

雙曲線(xiàn)方程為 (

)A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝113完整編輯ppt解析：由已知有c＝4，e＝＝2，∴a＝2，b2＝12.∴雙曲線(xiàn)方程為＝1.答案：A14完整編輯ppt3．過(guò)雙曲線(xiàn)x2－y2＝8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，

若|PQ|＝7，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)

是 (

)A．28 B．14－8C．14＋8 D．815完整編輯ppt解析：由雙曲線(xiàn)定義知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8，又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8，∴△PF2Q的周長(zhǎng)為14＋8.答案：C16完整編輯ppt4．已知雙曲線(xiàn)－y2＝1，則其漸近線(xiàn)方程是________，

離心率e＝________.解析：由－y2＝0，得y＝±x即為漸近線(xiàn)方程．又a＝2，b＝1，∴c＝，∴e＝.答案：y＝± x

17完整編輯ppt5．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±3x，它的一個(gè)焦點(diǎn)是

(，0)，則雙曲線(xiàn)方程是________．解析：由條件知，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，且c＝，又∵＝3，∴c2＝a2＋b2＝10a2＝10，∴a2＝1，b2＝9，∴雙曲線(xiàn)方程為x2－＝1.答案：x2－＝118完整編輯ppt19完整編輯ppt1.在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差

的絕對(duì)值”，弄清是指整條雙曲線(xiàn)，還是雙曲線(xiàn)的哪一

支．2．求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿(mǎn)足定義，求出相應(yīng)a、

b、c即可求得方程．20完整編輯ppt(2)待定系數(shù)法①待定系數(shù)法的步驟定位：確定焦點(diǎn)位置；設(shè)方程：由焦點(diǎn)位置設(shè)方程；定值：根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù)．②待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的常用方法21完整編輯ppt與雙曲線(xiàn)=1共漸近線(xiàn)的可設(shè)為=λ（λ≠0）若漸近線(xiàn)方程為y=±x，則可設(shè)為=λ（λ≠0）若過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)則設(shè)為=1（mn<0）22完整編輯ppt[特別警示]

在雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，且對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b.23完整編輯ppt已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．[思路點(diǎn)撥]24完整編輯ppt[課堂筆記](méi)

設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴點(diǎn)M的軌跡方程是＝1(x≥)．

25完整編輯ppt若將本例中的條件改為：動(dòng)圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，及圓C2：(x－4)2＋y2＝2，一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．那么動(dòng)圓圓心的軌跡方程如何？解：由例題可知：當(dāng)圓M與圓C1外切與圓C2內(nèi)切時(shí)，|MC1|－|MC2|＝2.26完整編輯ppt當(dāng)圓M與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切時(shí)，|MC2|－|MC1|＝2.∴||MC1|－|MC2||＝2＜|C1C2|＝8.∴圓心的軌跡是以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＝1.27完整編輯ppt已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是x－2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．[思路點(diǎn)撥]28完整編輯ppt[課堂筆記](méi)法一：∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2<yp＝3.∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上．從而有，∴b＝2a.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為＝1，由于點(diǎn)P(4,3)在此雙曲線(xiàn)上，∴＝1，解得a2＝5.∴雙曲線(xiàn)方程為＝1.29完整編輯ppt法二：∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0，即－y＝0，∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為－y2＝0.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－y2＝λ(λ≠0)，∵雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.∴所求雙曲線(xiàn)方程為－y2＝－5，即＝1.30完整編輯ppt1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線(xiàn)中的“六點(diǎn)”(兩個(gè)

焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn))，“四線(xiàn)”(兩條對(duì)稱(chēng)

軸、兩條漸近線(xiàn))，“兩形”(中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)

成的三角形、雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形)研

究它們之間的相互聯(lián)系．31完整編輯ppt2．在雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

方程，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．同時(shí)要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1)已知雙曲線(xiàn)方程，求它的漸近線(xiàn)．(2)求已知漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程．(3)漸近線(xiàn)的斜率與離心率的關(guān)系．如k＝32完整編輯ppt雙曲線(xiàn)＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離與點(diǎn)(－1,0)到直線(xiàn)l的距離之和s≥c，求雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍．33完整編輯ppt[思路點(diǎn)撥]34完整編輯ppt[課堂筆記](méi)直線(xiàn)l的方程為＝1，即bx＋ay－ab＝0.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，且a>1，得點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離d1＝同理可得點(diǎn)(－1,0)到直線(xiàn)l的距離d2＝35完整編輯ppt∴s＝d1＋d2＝又s≥c得≥c，即5a·≥2c2，于是得：5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解得e2∈[，5]．又e>1，∴e的范圍是e∈[

]．36完整編輯ppt1.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系設(shè)雙曲線(xiàn)方程＝1(a>0，b>0)，直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0，將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程

mx2＋nx＋p＝0，(1)若m≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)Δ<0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)．37完整編輯ppt(2)若m＝0，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行．2．與直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，

常采用解方程組的思想方法，轉(zhuǎn)化為判別式進(jìn)行；與

弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，常常利用根與系數(shù)關(guān)系，以整體代

入的方法求解，這樣可以避免求交點(diǎn)，使運(yùn)算過(guò)程得

到簡(jiǎn)化．38完整編輯ppt已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)l：y＝kx＋與雙曲線(xiàn)C左支交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l0與y軸交于點(diǎn)M(0，m)，求m的取值范圍．39完整編輯ppt[思路點(diǎn)撥]40完整編輯ppt[課堂筆記](méi)

(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴雙曲線(xiàn)C的方程為－y2＝1.(2)設(shè)A(xA，yA)、B(xB，yB)，將y＝kx＋代入－y2＝1，41完整編輯ppt得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由題意知解得<k<1.∴當(dāng)<k<1時(shí)，l與雙曲線(xiàn)左支有兩個(gè)交點(diǎn)．42完整編輯ppt(3)由(2)得：xA＋xB＝，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.∴AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)直線(xiàn)l0的方程為：y＝－x＋m，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)l0的方程，得m＝.∵<k<1，∴－2<1－3k2<0.∴m<－2.∴m的取值范圍為(－∞，－2)．43完整編輯ppt雙曲線(xiàn)和橢圓一樣，都是解析幾何的重要組成部分，雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)都是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容.09年重慶高考中將雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)與三角函數(shù)、不等式融為一體，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，是一個(gè)新的考查方向.44完整編輯ppt[考題印證](2009·重慶高考)已知雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)、F2(c,0)．若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P使，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是________．45完整編輯ppt【解析】

∵(由正弦定理得)，∴∴|PF1|＝e|PF2|.又∵||PF1|－|PF2||＝2a(e>1)，∴(e－1)|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.由雙曲線(xiàn)性質(zhì)知|PF2|>c－a，∴>c－a，即>e－1，得e2－2e－1<0，又∵e>1，得1<e<1＋.【答案】

(1，＋1)46完整編輯ppt

[自主體驗(yàn)]已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則λ的值為(

)47完整編輯pptA.B.C.D.48完整編輯ppt解析：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為R，

S＝|PF1|·R，S＝|PF2|·R，S＝|F1F2|·R，∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，∴λ＝答案：B49完整編輯ppt50完整編輯pptA.B.C.D.1．(2010·合肥摸擬)已知雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)的

一條漸近線(xiàn)的方程為4x－3y＝0，則此雙曲線(xiàn)的離心率

為 (

)51完整編輯ppt解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)＝1的一條漸近線(xiàn)的方程為4x－3y＝0，所以，故雙曲線(xiàn)的離心率e＝＝答案：D52完整編輯ppt2．若雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)的右支上存在一點(diǎn)，

它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，則雙曲線(xiàn)離心率

的取值范圍是 (

)A.(1,]B.[,+∞)C.(1,+1]D.[+1,+∞)53完整編輯ppt解析：設(shè)右支上一點(diǎn)P(x0，y0)，P到左準(zhǔn)線(xiàn)距離為：x0＋P到右焦點(diǎn)距離為ex0－a，∴x0＋＝ex0－a.∴x0＝a·≥a.∴e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋，又∵e>1，∴1<e≤1＋答案：C54完整編輯ppt3．雙曲線(xiàn)－y2＝1(n>1)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線(xiàn)

上，且滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(

)A．1B.C．2D．455完整編輯ppt解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2 ，∴|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴S＝|PF1|·|PF2|＝1.答案：A56完整編輯ppt4．過(guò)點(diǎn)(2，－2)且與雙曲線(xiàn)－y2＝1有公共漸近線(xiàn)的雙

曲線(xiàn)

方程是____________．解析：由題意，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－y2＝λ(λ≠0)，由點(diǎn)(2，－2)在雙曲線(xiàn)上，∴λ＝－4＝－2，∴所求雙曲線(xiàn)方程為