河北省唐山市樂亭縣2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

河北省唐山市樂亭縣2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末綜合測試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.反比例函數(shù)y=巴的圖象如圖所示，以下結(jié)論:

②在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

③若A(-1,h),B(2,k)在圖象上，貝!IhVk；

④若P(x,y)在圖象上，則，(一x,-y)也在圖象上.

其中正確的是

A.①②B.②③C.③④D.①④

9

2.點A(Lyi)、B(3,y2)是反比例函數(shù)y=一圖象上的兩點，則yi、y2的大小關系是()

X

A.yi>yiB.yi=yiC.yi<yiD.不能確定

3.在同一個直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+c,與二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖像大致為()

4.如圖1,點M從AA8C的頂點A出發(fā)，沿Af8fC勻速運動到點C,圖2是點M運動時，線段AM的長度了

隨時間x變化的關系圖象，其中N為曲線部分的最低點，則AA3C的面積為()

5.如圖，矩形的中心為直角坐標系的原點。，各邊分別與坐標軸平行，其中一邊交x軸于點C,交反比例函數(shù)

圖像于點P,且點P是AC的中點，已知圖中陰影部分的面積為8,則該反比例函數(shù)的表達式是（）

7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtAADE,點B經(jīng)過的路徑為

弧BD,則圖中陰影部分的面積是（）

8,若關于x的不等式組，無解，則a的取值范圍是（）

x>a-4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

9.如圖，小彬收集了三張除正面圖案外完全相同的卡片，其中兩張印有中國國際進口博覽會的標志，另外一張印有進

博會吉祥物"進寶”.現(xiàn)將三張卡片背面朝上放置，攪勻后從中一次性隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片圖案不相冋的

概率為（）

2

D.-

3

10.已知關于x的方程（，〃+4）*2+2*-3?i=0是一元二次方程，則，”的取值范圍是（）

A.m<-4B.m/0C.m*-4D.m>-4

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.拋物線y=3（x+2）2+5的頂點坐標是.

12.已知：如圖，△ABC的面積為12,點D、E分別是邊AB、AC的中點，則四邊形BCED的面積為

13.如圖所示，寫出一個能判定△4BCS&5AC的條件

14.如圖是拋物線yi=ax?+bx+c（aWO）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A（1,3）,與x軸的一個交點B（4,0）,

直線yz=mx+n（mWO）與拋物線交于A,B兩點，下列結(jié)論：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有兩個相等的

實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點是（-1,0）；⑤當1<XV4時，有yzVyi,

15.如圖所示，在△ABC中，BC=6,E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D,ZCBP

的平分線交CE于Q,當CQ=；CE時，EP+BP=

16.某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為100噸，2018年蔬菜實際產(chǎn)量為121噸，則蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為

k

17.如圖，面積為6的矩形。WC的頂點3在反比例函數(shù)y=—（x<0）的圖像上，則％=.

18.如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A,再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點

B,畫射線OB,則cosNAOB的值等于.

19.（10分）（1）如圖1,在AABC中，點。在邊3C上，且8￡>=AB=AC,AD^CD,求的度數(shù);

（2）如圖2,在菱形EFGH中,NE=72。，請設計三種不同的分法（只要有一條分割線段不同就視為不同分法），

將菱形EFG”分割成四個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形（不要求寫畫法，要求畫出分割線段，標出所得

三角形內(nèi)角的度數(shù)）.

HHH

20.(6分)如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且NBAC=NBDC=NDAE.

①試說明BEAD=CDAE；

②根據(jù)圖形特點，猜想些可能等于哪兩條線段的比?并證明你的猜想，(只須寫出有線段的一組即可)

21.(6分)解方程：x(x-3)+6=2x.

22.(8分)如圖，AB為。O的直徑，射線AP交。O于C點，NPCO的平分線交。。于D點，過點D作。石丄AP

交AP于E點.

(1)求證：DE為。O的切線；

(2)若DE=3,AC=8,求直徑AB的長.

23.(8分)如圖，以等腰AABC的一腰AC為直徑作(DO,交底邊BC于點D,過點D作腰AB的垂線，垂足為E,

交AC的延長線于點F.

(1)求證：EF是。O的切線；

(2)證明：ZCAD=ZCDF；

(3)若NF=30。，AD=G，求OO的面積.

24.（8分）為倡導綠色出行，某市推行“共享單車”公益活動，在某小區(qū)分別投放甲、乙兩種不同款型的共享單車，

甲型、乙型單車投放成本分別為30000元和28000元，乙型車的成本單價比甲型車便宜20元，但兩種類型共享單車

的投放量相同，求甲型共享單車的單價是多少元？

25.（10分）已知二次函數(shù)y=（x—，〃）（x+"i+4）,其中wi為常數(shù).

（1）求證：不論，”為何值，該二次函數(shù)的圖像與x軸有公共點.

（2）若4（一1,a）和8（〃，加是該二次函數(shù)圖像上的兩個點，請判斷a、5的大小關系.

26.（10分）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分.如果M是。。中弦的中點，EM

經(jīng)過圓心O交。O于點E,并且C〃=4,EM=6,求。。的半徑.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1,C

【解析】分析：因為函數(shù)圖象在一、三象限，故有m>0,故①錯誤；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故②錯；

對于③，將A、B坐標代入，得：h=-m,k,因為m>0,所以，h<k,故③正確;

2

函數(shù)圖象關于原點對稱，故④正確.

因此，正確的是③④.故選C.

2、A

9

【解析】?.?反比例函數(shù)y=一中的9>0,

x

???經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

XVA(l,j!),8(3,y2)都位于第一象限，且1<3,

?41州2，

故選A.

3、D

【分析】先分析一次函數(shù)，得到a、c的取值范圍后，對照二次函數(shù)的相關性質(zhì)是否一致，可得答案.

【詳解】解：依次分析選項可得：

A、分析一次函數(shù)y=ax+c可得，a>0,c>0,二次函數(shù)y=ax?+bx+c開口應向上；與圖不符.

B、分析一次函數(shù)y=ax+c可得，aVO,c>0,二次函數(shù)y=ax?+bx+c開口應向下，在y軸上與一次函數(shù)交于同一點；與

圖不符.

C^分析一次函數(shù)y=ax+c可得，a<0,cVO,二次函數(shù)y=ax?+bx+c開口應向下；與圖不符.

D、一次函數(shù)丫=2*+。和二次函數(shù)y=ax?+bx+c常數(shù)項相同，在y軸上應交于同一點；分析一次函數(shù)y=ax+c可得a<0,

二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下；符合題意.

故選：D.

【點睛】

本題考査一次函數(shù)、二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關系，有一定難度，注意分析簡單的函數(shù)，得到信息后對照復雜的函數(shù).

4、C

【分析】根據(jù)圖象可知點M在AB上運動時，此時AM不斷增大，而從B向C運動時，AM先變小后變大，從而得出

AC=AB,及AM丄3c時AM最短，再根據(jù)勾股定理求出4W丄時BM的長度，最后即可求出面積.

【詳解】解：?.?當4W丄3c時，AM最短

/.AM=3

?由圖可知，AC=AB=4

...當AM丄3c時，在中，BM=y/AB2-AM2=/7

:.BC=2BM=2近

:'SABc=gBC?AM=3幣

故選：C.

【點睛】

本題考査函數(shù)圖像的認識及勾股定理，解題關鍵是將函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為幾何圖形中各量.

5、B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性以及已知條件，可得矩形OC4。的面積是8,設A(x,y),則根據(jù)

孫=8,可得3孫=4,再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)攵的幾何意義即可求出該反比例函數(shù)的表達式.

【詳解】?.?矩形的中心為直角坐標系的原點O,反比例函數(shù)的圖象是關于原點對稱的中心對稱圖形，且圖中陰影部分

的面積為8,

.??矩形0C4。的面積是8,

設A(x,y),則孫=8,

,點P是AC的中點，

設反比例函數(shù)的解析式為y=丄，

X

???反比例函數(shù)圖象于點P,

711)

..k=%?—y=—xy=4,

22

4

...反比例函數(shù)的解析式為y=2.

x

故選：B.

【點睛】

本題考査了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)系數(shù)厶的幾何意義，得出矩形0C4D的面積是8是解題的關

鍵.

6、C

【解析】把(2,2)代入y=A求解即可.

X

k

【詳解】反比例函數(shù)y=y女力0)過點(2,2),

.,"=2x2=4,

故選：C.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

7、A

【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB=0,再根據(jù)扇形的面積公式計算出S南彩ABD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

RtAADE^RtAACB,于是S陰影部分=$0》￡+$a?ABD-SAABC=S扇彩ABD.

【詳解】VZACB=90",AC=BC=1,

.,.AB=V2>

.c30〃x（夜）

??S扇形ABD=_____\_，

3606

又VRtAABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtAADE,

JRtAADE^RtAACB,

S陰影部：^=S/\ADE+S扇形ABD_SAABC=S扇形ABD二—，

6

故選A.

【點睛】

本題考査扇形面積計算，熟記扇形面積公式，采用作差法計算面積是解題的關鍵.

8、A

【解析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可.

x<3。+2

【詳解】???不等式組,無解，

x>a-4

a-423a+2,

解得：a<-3,

故選A.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小

小大中間找、大大小小無處找”是解題的關鍵.

9、D

【分析】根據(jù)題意列出相應的表格，得到所有等可能出現(xiàn)的情況數(shù)，進而找出滿足題意的情況數(shù)，即可求出所求的概

率.

【詳解】設印有中國國際進口博覽會的標志為“A”，印有進博會吉祥物“進寶”為3,由題列表為

AAB

A(AA)(AB)

A(AA)(AB)

B（氏A）（民A）

??.所有的等可能的情況共有6種，抽到的兩卡片圖案不相同的等可能情況共有4種，

二，

63

故選：D.

【點睛】

本題考査了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

10>C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求出答案.

【詳解】由題意可知：m+4#）,

:.mW-4,

故選：C.

【點睛】

本題考查一元二次方程，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的定義，本題屬于基礎題型.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、（-2,5）

【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標.

【詳解】解：由y=3（x+2）2+5,根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（-2,5）.

故答案為：（-2,5）.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x-h）2+k中，頂點坐標為（h,k）,對稱

軸為x=h.

12、1

q

【解析】設四邊形BCED的面積為x,則SAADK=12-X,由題意知DE〃BC且DE=；BC,從而得

a.ABC

據(jù)此建立關于X的方程，解之可得.

【詳解】設四邊形BCED的面積為x,則SAADE=12-X,

??,點D、E分別是邊AB、AC的中點，

，DE是AABC的中位線，

ADE/7BC,JgLDE=—BC,

2

.,.△ADE^AABC,

S（DEy\112-x1

則nI二inF^=一=-,即nn-----=-,

SABC\BC）4124

解得：x=L

即四邊形BCED的面積為1,

故答案為1.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握中位線定理及相似三角形的面積比等于相似比的

平方的性質(zhì).

13、AC2=DCBC（答案不唯一）

【分析】已知有公共角NC,由相似三角形的判定方法可得出答案.

【詳解】已知AABC和ADCA中，ZACD=ZBAC；

如果AABCS2\DAC,需滿足的條件有：

①NDAC=NB或NADC=NBAC；

@AC2=DC?BC；

故答案為：AC2=DC?BC（答案不唯一）.

【點睛】

此題主要考査了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵.

14、①@?

【解析】①根據(jù)拋物線的開口方向以及對稱軸為x=l,即可得出a、b之間的關系以及ab的正負，由此得出①正確，根據(jù)

拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，可知C為正結(jié)合a<0、b>0即可得出②錯誤，將拋物線往下平移3個單位長度可

知拋物線與x軸只有一個交點從而得知③正確，根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合拋物線的對稱軸為x=l以及點B的坐標，即可

得出拋物線與x軸的另一交點坐標，④正確，⑤根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系即可解題.

【詳解】???拋物線的頂點坐標A（1,3）,

b

???對稱軸為x=------=1,

2a

.\2a+b=0,①正確，

Va<0,b>0,拋物線與y軸交于正半軸，

c>0,

.*.abc<0,②錯誤，

?.?把拋物線向下平移3個單位長度得到y(tǒng)=axZ+bx+c-3,此時拋物線的頂點也向下平移3個單位長度，

二頂點坐標為（1,0）,拋物線與x軸只有一個交點，即方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根，③正確.

?.?對稱軸為x=-2=l,與x軸的一個交點為(4,0),根據(jù)對稱性質(zhì)可知與x軸的另一個交點為(-2,0),④錯誤，

2a

由拋物線和直線的圖像可知，當l〈xV4時，有yzVyi.,⑤正確.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.

15、1.

【分析】延長BQ交射線EF于M,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF〃BC,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等

可得NM=NCBM,再根據(jù)角平分線的定義可得NPBM=NCBM,從而得到NM=NPBM,根據(jù)等角對等邊可得

BP=PM,求出EP+BP=EM,再根據(jù)CQ=：CE求出EQ=2CQ,然后根據(jù)AMEQ和aBCQ相似，利用相似三角形對

應邊成比例列式求解即可.

【詳解】如圖，延長BQ交射線EF于M,

/,EF/7BC.

/.ZM=ZCBM.

TBQ是NCBP的平分線,

/.ZPBM=ZCBM.

/.ZM=ZPBM.

；.BP=PM.

二EP+BP=EP+PM=EM.

1

VCQ=-CE,

，EQ=2CQ.

由EF〃BC得，

AMEQSABCQ,

,?BCCQ.

.*.EM=2BC=2x6=l,

即EP+BP=1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長BQ構造出相似三角形，求出EP+BP=EM

并得到相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

16、10%

【分析】2016年到2018年是2年的時間，設年增長率為x,可列式100X(1+X)2=12L解出x即可.

【詳解】設平均年增長率為x,可列方程

100X(1+X)2=121

解得x=10%

故本題答案應填10%.

【點睛】

本題考查了一元二次函數(shù)的應用問題.

17、-1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得|k|=l,再根據(jù)函數(shù)所在的象限確定k的值.

k

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=、(xvO)的圖象經(jīng)過面積為1的矩形OABC的頂點B,

|k|=l,k=±l,

k

?.?反比例函數(shù)y=-(%<0)的圖象經(jīng)過第二象限，

X

故答案為：-1.

【點睛】

k

主要考査了反比例函數(shù)y=1(x<0)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|.

1

18、一.

2

【解析】試題分析：根據(jù)作圖可以證明AAOB是等邊三角形，則NAOB=60。，據(jù)此即可求解.

試題解析：連接AB,

由畫圖可知：OA=OB,AO=AB

，OA=AB=OB,即三角形OAB為等邊三角形，

二ZAOB=60°,

cosZAOB=cos60°=—.

2

考點：1.特殊角的三角函數(shù)值；2.等邊三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題（共66分）

19、（1）ZB=36°；（2）詳見解析.

【分析】（1）設/8=廿，利用等邊對等角，可得NC=NB=x°,ZCAD^ZC=x°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

ZADB^ZDAC+ZC^2x0,再根據(jù)等邊對等角和三角形的內(nèi)角和公式即可求出x,從而求出NB.

（2）根據(jù)等腰三角形的定義和判定定理畫圖即可.

【詳解】證明：（1）設/B=x0

VAB^AC

NC=NB=x°

又,:AD=CD

：.ZCAD=ZC=x°

：.ZADB=ADAC+NC=2x°

又?:AB=BD

：.ZBAD=ZADB=2x°

又V/BAD+ZADB+ZB=180°

...2x+2x+x=180

解出：x=36

AZB=36°

（2）根據(jù)等腰三角形的定義和判定定理，畫出如下圖所示，（任選其三即可）.

vn-\/\/

BBBB

(1)(2)(3)(4)

DDDD

AO

BBBB

(5)(6)(7)(8)

【點睛】

此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及判定，掌握等邊對等角、等角對等邊和方程思想是解決此題的關鍵.

20、(1)證明見解析；

nrATAD

(2)猜想■—=一匕或(——理由見解析

DEADAE

【解析】試題分析：

4/7RF

(1)由已知條件易證NBAE=NCAD,NAEB=NADC,從而可得△AEBsaADC,由此可得——=—,這樣就可

ADDC

得至I」BEAD=DCAE；

AfiA17

(2)由(1)中所得△AEBs^ADC可得仝=—,結(jié)合NDAE=NBAC可得△BACsaEAD,從而可

ACAD

但BCAC—AB

得：——=——或(——).

DEADAE

試題解析：

?VZBAC=ZDAE,

AZBAC+ZCAE=ZDAE+ZCAE,

SPZDAC=ZBAE,

ZAEB=ZADB+ZDAE,

ZADC=ZADB+ZBDC,

XVZDAE=ZBDC,

AZAEB=ZADC,

.?.△BEA^ACDA,

*BEAE

??_______—_____9

CDAD

即BEAD=CDAE；

2皿BCAC一，AB、

②猜想一=——或(一?)，

DEADAE

ABAEABAC

由厶BEA^ACDA可知,—,即an——=—

ACADAEAD

又；NDAE=NBAC,

/.△BAC^AEAD,

.BCAC-,AB、

DEADAE

21、xi=2,X2=1.

【分析】先去掉括號，再把2x移到等號的左邊，再根據(jù)因式分解法即可求解.

【詳解】解：x(x-1)+6=2x,

x2-lx+6-2x=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0或x-1=0,

Xi=2,X2=l.

【點睛】

本題考査了解一元二次方程一因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次

方程，它們的解就都是原方程的解.

22、(1)證明見解析；(3)1.

【分析】(1)連接OD若要證明DE為。。的切線，只要證明NDOE=90。即可；

(3)過點O作OF丄AP于F,利用垂徑定理以及勾股定理計算即可.

【詳解】解：連接OD.

VOC=OD,

.,.Z1=Z3.

VCD平分NPCO,

/.Z1=Z3.

.?.N3=N3.

VDE±AP,

:.Z3+ZEDC=90°.

，Z3+ZEDC=90°.

即NODE=90°.

，OD丄DE.

二DE為。。的切線.

(3)過點O作OF丄AP于F.

由垂徑定理得，AF=CF.

VAC=8,

.*.AF=4.

VOD±DE,DE丄AP,

四邊形ODEF為矩形.

/.OF=DE.

VDE=3,

.?.OF=3.

在RtAAOF中，OA3=OF3+AF3=43+33=36.

/.OA=6.

.*.AB=3OA=1.

【點睛】

本題考查1.切線的判定；3.勾股定理；3.垂徑定理，屬于綜合性題目，掌握相關性質(zhì)定理正確推理論證是解題關鍵.

23、(1)見解析；(2)見解析；(3)兀

【分析】(1)連接OD,AD,證點D是BC的中點，由三角形中位線定理證OD〃AB,可推出NODF=90。，即可得

到結(jié)論；

(2)由OD=OC得至UNODC=NOCD,由NCAD+NOCD=90。和NCDF+NODC=90。即可推出NCAD=NCDF；

(3)由NF=30。得到NDOC=60。，推出NDAC=30。，在RtAADC中，由銳角三角函數(shù)可求出AC的長，推出。O

的半徑，即可求出。O的面積.

【詳解】解：(D證明：如圖，連接OD,AD,

?；AC是直徑，

.?.ZADC=90°,即AD丄BC,

XAB=AC,

ABD=CD,

XAO=CO,

，OD〃AB,

又FE丄AB,

AFE1OD,

JEF是。O的切線；

(2)VOD=OC,

AZODC=ZOCD,

VZADC=ZODF=90°,

/.ZCAD+ZOCD=90°,ZCDF+ZODC=90°,

AZCAD=ZCDF；

(3)在RtAODF中，ZF=30°,

:.ZDOC=90°-30°=60°,

VOA=OD,

JZOAD=ZODA=-ZDOC=30°,

2

在RtAADC中，

AD噂

A。=