2022-2023學年河北省高一年級下冊期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河北省武強中學高一下學期期末數(shù)學試題

一、單選題

1.七位評委為某跳水運動員打出的分數(shù)如下：84,79,86,87,84,93,84,則這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)

分別是（）

A.84,85B.84,84C.85,84D.85,85

【答案】B

【分析】利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行判斷.

【詳解】數(shù)據(jù)84,79,86,87,84,93,84按從小到大的順序排一列:79,84,84,84,86,87,93,

所以這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是84,84,故A,C,D錯誤.

故選：B.

2.數(shù)據(jù)8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位數(shù)是（）

A.5B.6

C.7.5D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)百分位數(shù)概念計算可知位置，然后可得.

【詳解】把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得：

2,4,5,6,7,8,9,12,12,

因為9x40%=3.6,所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)6.

故選：B

3.從一個容量為加（m23,meJV）的總體中抽取一個容量為3的樣本，當選取簡單隨機抽樣方

法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是g,則選取分層隨機抽樣方法抽取樣本時，總體

中每個個體被抽中的可能性是（）

A.—B.—C.!D.—

5423

【答案】D

【分析】利用隨機抽樣每個個體被抽到的概率相等即得解

【詳解】隨機抽樣每個個體被抽到的概率相等，

選取分層抽樣抽取樣本時總體中每個個體被抽中的概率仍為g

故選：D

【點睛】本題考查了隨機抽樣每個個體被抽到的等可能性，考查了學生概念理解能力，屬于基礎題

4.某學校為了了解本校教師課外閱讀教育專著情況，對老年、中年、青年教師進行了分層抽樣調(diào)查,

已知老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，若從中年教師中抽取了4人，則從青年教

師中抽取的人數(shù)比從老年教師中抽取的人數(shù)多（）

A.5人B.4人C.3人D.2人

【答案】D

【分析】設從老年教師和青年教師中抽取的人數(shù)分別是x,y,然后根據(jù)分層抽樣的原理列方程，然

后解方程求解即可.

【詳解】設從老年教師和青年教師中抽取的人數(shù)分別是x,y因為老年、中年、青年教師分別有36

人，48人，60人，且從中年教師中抽取了4人，所以金=白=/，解得x=3,y=5,則y—x=2.

483660

故選：D.

5.某工廠對一批新產(chǎn)品的長度（單位：mm）進行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此

估計這批產(chǎn)品的眾數(shù)為（）

［頻率/組距

0.08------------1-?

SO4

SO3

O2

O.

0101520253035長度（mm）

A.20B.25C.22.5D.22.75

【答案】C

【分析】由頻率分布直方圖眾數(shù)的計算方式求解即可.

【詳解】這批產(chǎn)品的眾數(shù)為:空手=22.5.

故選：C.

6.從6個籃球、2個排球中任選3個球，則下列現(xiàn)象中，確定性現(xiàn)象的是（）

A.3個都是籃球B.至少有1個是排球

C.3個都是排球D.至少有1個是籃球

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用隨機事件、不可能事件、必然事件的定義逐項判斷作答.

【詳解】依題意，選出的3個球：“3個都是籃球”與“至少有1個是排球“可能發(fā)生，也可不發(fā)生，它

們是隨機事件，A,B都不是；

因只有2個排球，所以選出3個球不可能都是排球，“3個都是排球”是不可能事件，C不是；

因只有2個排球，所以選出的3個球至少有1個是籃球，“至少有1個是籃球”是必然事件，D是.

故選:D

7.設0為正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）

【答案】A

【分析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式

運算即可.

【詳解】如圖，從C,O5個點中任取3個有

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{A,C,0,{8,C,0共10種不同取法，

3點共線只有{A。C與{8。0共2種情況，

由古典概型的概率計算公式知，

取到3點共線的概率為2旨;1

【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容

易題.

8.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=4,CC,=3,ZACB=90,則與所成的

角的余弦值為（）

A.—B.叵C.@D.@

10345

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，寫出8G的坐標，由夾角公式可得結(jié)果.

【詳解】如圖，以C為坐標原點，CA,CB,CC,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則C（0,0,0）,A（3,0,3）,5（0,4,0）,C,（0,0,3）,

所以B=（3,0,3）,BC,=（O,-4,3）,

/…CA,■BC93&

所以小網(wǎng)叫=網(wǎng)網(wǎng)t=汨=而，

所以直線BC,與AC所成角的余弦值為述.

10

故選：A.

二、多選題

9.己知空間中三點A（0,1,0）,8（2,2,0）,C（—1,3,1）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.ABLACB.與AB共線的單位向量是（LL0）

C.AB與BC夾角的余弦值是D.平面A8C的一個法向量是（1,-2,5）

11

【答案】AD

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標運算可判斷AD,根據(jù)共線向量和單位向量判斷B,根據(jù)向量夾角

的坐標運算判斷C.

【詳解】由題意可得A3=(2,l,0),AC=(—1,2,1),BC=(-3,1,1),

選項A：ABAC=-2+2+0=0<故A8_LAC，正確；

選項B：(1,1,0)不是單位向量，且(1,1,0)與鉆=(2,1,0)不共線，錯誤;

cos(AB,BC)ABBC-6+1+0后

選項C：氐而丁，錯誤;

選項D：設加=(1,-2,5),則%48=2-2+0=0，相?AC=-l-4+5=0,

所以相，48，m_L4C，又=所以平面ABC的一個法向量是—2,5),正確;

故選：AD

10.某校高二(13)班某次測試數(shù)學成績累積頻數(shù)分布折線圖如圖所示，則下列說法正確的是()

累積頻數(shù)

A.沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)

B.第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)

C.第25百分位數(shù)位于40-50分這組內(nèi)

D.第75百分位數(shù)位于70-80分這組內(nèi)

【答案】ABC

【分析】按照百分位數(shù)的定義，一一進行計算即可.

【詳解】由題圖知沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)；故A正確；

由40x25%=10,取第10、11項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)；故C正確;

由40X50%=20,取第20、21項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)；故B正確;

由40x75%=30,取第30、31項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)位于60-70分這組內(nèi).故D不正

故選：ABC

11.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記”向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件B,

貝I（）

A.B

B.A=B

C.AcB表示向上的點數(shù)是2

D.AuB表示向上的點數(shù)是1或2或3

【答案】CD

【分析】根據(jù)事件的關系與運算的概念進行判斷.

【詳解】由題可知，”向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件8,

所以事件B不包含事件A,故A錯誤；

事件B也不等于事件A,故B錯誤；

事件ACB表示“向上的點數(shù)是2”，故C正確；

事件AUB表示“向上的點數(shù)是1或2或3”，故D正確.

故選：CD.

12.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）,設事件"第一

枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)“，事件N="第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（）

A.M與N互斥B.P（A/）=-C.M與N相互獨立D.P（MN）=-

【答案】BCD

【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷C；根據(jù)古典概型的

計算公式即可判斷B；根據(jù)對立事件的概率公式結(jié)合交事件的概率公式即可判斷D.

【詳解】解：由題意，第一枚骰子的點數(shù)與第二枚骰子的點數(shù)互不影響，

故事件〃與事件N為相互獨立事件，故A錯誤，C正確；

,31

尸W）十；；，故B正確；

P（MuN）=l-P（而cW）=l-；xg=故D正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.打靶3次，事件4=“擊中i發(fā)"，其中i=0,l,2,3.那么4=4&A,表示.

【答案】至少擊中1發(fā)

【分析】根據(jù)和事件的定義判斷.

【詳解】根據(jù)并事件的定義可知，4=AAA3表示A、4、A至少有一個發(fā)生，

所以A=AA,A3表示至少擊中1發(fā).

故答案為：至少擊中1發(fā).

14.已知一組數(shù)據(jù)-3,2”,4,5-a,1,9的平均數(shù)為3（其中aeR）,則中位數(shù)為.

【答案】3.5

【分析】首先根據(jù)平均數(shù)求出參數(shù)。，即可一一列出數(shù)據(jù)，再求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可；

【詳解】解：因為數(shù)據(jù)一3,24,4,5-。,1,9的平均數(shù)為3,所以一3+2。+4+5—。+1+9=3乂6,解得。=2,

所以則組數(shù)據(jù)分別是-3,4,4,3』,9,按從小到大排列分別為-313,4,4,9,故中位數(shù)為歲=3.5

故答案為：3.5

15.若樣本數(shù)據(jù)xi,X2,...,xio的標準差為8,則數(shù)據(jù)2x4,2x2-1,....2xu）-l的標準差為.

【答案】16

【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，9，.?.，布的標準差為8,,師=8,即。X=64,數(shù)據(jù)

2占-1,2%-1,...,2%-1的方差為。（2*-1）=4"=4*64,則對應的標準差為Jo（2X-l）=16,

故答案為16.

16.甲射擊命中目標的概率是;,乙射擊命中目標的概率是!，丙射擊命中目標的概率是9.現(xiàn)在三人同

時射擊目標，則目標被擊中的概率為.

3

【答案】4/0.75

4

【分析】先求出目標不被擊中的概率，再利用對立事件的概率公式即可求出目標被擊中的概率

【詳解】由題意可得，目標不被擊中的概率為：:1x2；x=3==1,

2344

則目標被擊中的概率為l-'=g.

44

【點睛】求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一

些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算.

二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式尸（A）=l一尸（?），即運用逆向思維（正難則

反），特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便.

四、解答題

17.某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設該組數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為。，第50百分位數(shù)為b,求。/的值.

【答案】a=14.7,b=l5

【分析】根據(jù)已知，利用平均數(shù)、百分位數(shù)的計算公式求解即可.

【詳解】把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

其平均數(shù)4=\*(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,

因為10x50%=5,

所以這10名工人一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為。=笥"=15.

18.某校夏令營有3名男同學4B.C和3名女同學X.F.Z,其年級情況如下表：

一年級二年級三年級

男同學ABC

女同學XYZ

現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)

用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果

設為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學“，求事件A/發(fā)生的概率.

2

【答案】(1)15,(2)丁

【詳解】試題分析：(1)列舉事件，關鍵是按一定順序，做到不重不漏.從6名同學中隨機選出2人參

加知識競賽的所有可能結(jié)果為

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y}.{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},

共15種.(2)”為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，其事件包含

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此，事件M發(fā)生的概率P(M)=(=|.

試題解析：解(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},

共15種.(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結(jié)果為

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此，事件,1/發(fā)生的概率P(M)$=|.

【解析】古典概型概率

19.杭州市某高中從學生中招收志愿者參加迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高

三180人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120

名.對抽出的120名同學某天參加運動的時間進行了統(tǒng)計，運動時間均在39.5至99.5分鐘之間，其

(1)需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人；

(2)請補全頻率分布直方圖.

【答案】(1)高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人

⑵答案見解析

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的定義按比例求解即可；

(2)由各組的頻率和為1求出第三組的頻率，從而可求出第三組的小矩形的高度，進而可補全頻率

分布直方圖.

【詳解】(1)報名的學生共有1080人，抽取的比例為置=",

所以高一抽取54()x9=60人，高二抽取360x^=40人，高三抽取180x1=20人；

(2)第三組的頻率為1-(0.1+0.15+0.3+0.25+0.05)=0.15,

故第三組的小矩形的高度為0015,補全頻率分布直方圖得

O39.549.559.569.579.589.599.5分數(shù)

20.如圖直角梯形ABC。中，AB〃Cr),AB，BC,BC=C。=5AB=2,E為A8中點.以OE為折痕

把VAOE折起，使點A到達點P的位置，且PC=2/.

⑴求證：PE_L平面A8C￡>；

(2)二面角P—OC—8的大小.

【答案】(1)證明見解析

嗎

【分析】根據(jù)已知，利用勾股定理以及線面的垂直判定定理進行證明.

根據(jù)己知，利用二面角的定義以及直角三角形的性質(zhì)進行求解.

【詳解】(1)因為在直角梯形ABC。中，48〃8,48,80,5為48中點.

所以P￡J_Z)E,

又PE=2,CE=2yf2,PC=2-j3.

所以2爐+慮2=尸（＞,即PEJ.EC,又DEcEC=E,DE,ECu平面ABCD,

所以PE_L平面ABC。；

連接PO,由（1）有：PEJ_平面A8CD,又￡>Cu平面ABC。，

所以PEJ.DC,又DELDC,PEcDE=E,PE,DEu平面PDE,

所以。C,平面PQE,又DPu平面PDE,

所以DC_LP￡),

則々DE即為二面角尸-OC-B的平面角，

TT

在RtARDE中，PE=DE=2,所以NPOE=:，

所以二面角p—r>c—8的大小為：：

21.如圖，在正方體ABC。-ABC。中，E為8線的中點.

DC

（I）求證：質(zhì)"/平面42《：

（II）求直線4A與平面ARE所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）

【分析】（I）證明出四邊形ABGR為平行四邊形，可得出BCJ/A。，然后利用線面平行的判定定

理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；

（II）可以將平面擴展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直

角坐標系，利用空間向量計算求解.

【詳解】（I）［方法一］：幾何法

如下圖所示：

在正方體AB8-A耳GR中，且AB=A￡,4耳〃GR且A與=GR,

.?.AB//GR且AB=CQ,所以，四邊形ABG。為平行四邊形，則

BG<Z平面AQE,A，u平面ARE,..BG〃平面A￡\E；

［方法二］:空間向量坐標法

以點A為坐標原點，A。、AB,AA所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標

系A-?孫z,

設正方體ABC。-AAGA的棱長為2,則A（o,o,o）、A（0,0,2）、D,（2,0,2）,E（0,2,l）,AR=（2,0,2）,

AE=（0,2,1）,

.、n-AD,=0（2x+2z=0

設平面ARE的法向量為〃=（x,y,z）,由“A］.。，得,丫+:。，

令z=-2,貝!］x=2,y=l,則〃=（2,1,-2）.

又；向量80=（2,0,2）,BC/〃=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又.BC1<Z平面..BG//平面AQE；

（II）［方法一］:幾何法

延長CG到尸，使得弓尸=8后，連接EF,交B￡于G,

又；QF//BE，，四邊形BEFG為平行四邊形，BC,HEF,

又：BC\/AD\,：.4。/小尸,所以平面4?！昙雌矫?2所，

連接。。，作CH_L"G,垂足為“，連接F",

???FC\1平面AB|GR,D}Gu平面4瓦GRFCJD,G,

又；FCqC'H=C,,A直線D,G1平面C/H,

又,/直線D,Gu平面D、GF,：.平面DfiF1平面CtFH,

G在平面DtGF中的射影在直線FH上,二直線FH為直線FC,在平面D,GF中的射影，/C、FH為

直線FG與平面。。尸所成的角,

根據(jù)直線尸C"/直線AA，可知NGF”為直線AA與平面ARG所成的角.

2x12

設正方體的棱長為2,則GG=GF=i，aG=6.?.GH=

?_C、H_2

??sinNC[FH=----=一,

FH3

即直線AA與平面ARE所成角的正弦值為不

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面ARE的法向量”=（2,1,-2）,

../??AA.42

XVM=（0,0,2）,.-.cos<",M>=噌=-而=個，

直線AA,與平面ARE所成角的正弦值為|.

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設B,G的中點為F,延長Ag,AE,RF,易證三線交于一點P.

因為BqaAVE/3AR,

所以直線A4與平面ARE所成的角，即直線BE與平面P所所成的角.

設正方體的棱長為2,在！PEF中，易得PE=PF=后,EF=6,

3

可得SPM=/.

1311

由V:棱颯-詆=&棱錐尸-叱,得1'/?旦//ugX/xlxlxZ,

整理得4〃=；.

所以sinNB^EH=*=；.

BlE3

所以直線4A與平面AQE所成角的正弦值為;.

［方法四1：純體積法

設正方體的棱長為2,點A到平面AEDy的距離為h,

在△AE。中，AE=?AD、=2&D\E=3,

21+4爐-皿9+5-8后

cosZAED=

12D.EAE-2x3x石-5

所以sinNAED、=~~，易得SAED,=3.

1I4

由％小耳=以-何，得丁人快小用二六碼/,解得〃=§,

h2

設直線