2023-2024學(xué)年?？谑屑蝿字袑W(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年海口市嘉勛中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷

2023.09

（考試時(shí)間120分鐘；試卷滿(mǎn)分150分）

一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）

1.下列說(shuō)法：

①零向量是沒(méi)有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個(gè)向量共線.其中，正確說(shuō)法

的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量a=(l,2),。=(3,1),則［-￡=()

A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)

3.若復(fù)數(shù)z=(2-i)(4一i),則2=()

A.-7-6zB.-7+6iC.7-6/D.7+6/

4.200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如右圖所示，則時(shí)速在［60,70）的汽車(chē)大約

5.從編號(hào)為1、2、3、4的4球中，任取2個(gè)球，則這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是（）

A.-B.-C.1D.|

3423

232

6.甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為彳，4,7,那么三人中恰有兩人合格的概率

345

是

A.2B.1C.UD.1

515306

7.已知〃、方為兩條不同的直線，a、夕為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a〃6,bua,則a〃a

B.若“ua,bu0,atlb,則a〃6

C.若a//￡,“ua,則a〃夕

D.若a/〃?，aua,bu0,則〃〃5

1

8.已知4。,BE分別為ABC的邊BC,AC上的中線，設(shè)4。=〃，8E=6,則BC=（）

42242424

A.—<7+—/?B.—?+—/7C.-ahL).——a~r-h

Ji3j

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若a,beR,且（a+i）i=〃+i,則（）

A.a=]B.47=-1C.b=\D.b=-l

10.棱臺(tái)具備的特點(diǎn)有（）

A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱都相等D.側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)

11.如圖，在四面體PA8C中，AB=AC,PB=PC,D,E,F分別是棱4B,BC,C4的中點(diǎn)，則

下列結(jié)論中成立的是（）

B.。尸工平面PAE

C.平面平面E4ED.平面PDFJ_平面ABC

12.為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中抽取了20名運(yùn)動(dòng)員的年

齡進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.就這個(gè)問(wèn)題，下列說(shuō)法中正確的有（）

A.2000名運(yùn)動(dòng)員是總體；B.所抽取的20名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本；

C.樣本容量為20；D.每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會(huì)相等.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.-4+5i+（i-2）2=.

14.已知q,e2是兩個(gè)不共線的向量，而4=/24+（1_|左泡，6=2q+302是兩個(gè)共線向量，則實(shí)數(shù)

k=.

15.廣東某家具廠為游泳比賽場(chǎng)館生產(chǎn)觀眾座椅，質(zhì)檢人員對(duì)該廠的2500套座椅進(jìn)行抽查，共抽檢了

100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問(wèn)該廠所產(chǎn)的2500套座椅中大約有套次品.

2

16.在A4BC中，8。為NA8C的平分線，AB=3,BC=2,AC=@,則sinNABO等于.

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，E、尸分別是小、80上的點(diǎn)且E、F分

別是R4、BD的中點(diǎn).求證：EFUPBC.

18.設(shè)A,B,C,。為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).

(1)若A8=CO，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量“=AB,6=BC,若向量h與a+36平行，求實(shí)數(shù)/的值.

19.某數(shù)學(xué)興趣小組共有5名學(xué)生，其中有3名男生A、4、4,2名女生與、B2,現(xiàn)從中隨機(jī)抽

取2名學(xué)生參加比賽.

(1)問(wèn)共有多少個(gè)基本事件(列舉說(shuō)明)？

(2)抽取的學(xué)生恰有一男生一女生的概率是多少？

20.己知三棱錐P-ABC中，PC,底面ABC,AB=BC,。,尸分別為AC,PC的中點(diǎn)，于

E.

⑴求證：API平面3Z5E；

(2)求證：平面平面BDF.

21.在AABC中，已知角AB,C所對(duì)的邊分別為a也c,且2/=(2a-0)a+(2"-a)6

⑴求角C的大小：

(2)求2cosA+2cos3的最大值.

3

22.某校為了探索一種新的教學(xué)模式，進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，乙班為實(shí)驗(yàn)班，甲班為對(duì)比班，甲、乙兩班

均有50人，一年后對(duì)兩班進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)分別如表1和表2所示(總分：150分).

表I

成績(jī)[80,90)[90,100)[100J10)[110,120)[120,130)

頻數(shù)42015101

表2

成績(jī)[80,90)190,100)[100,110)1110,120)[120,130)

頻數(shù)11123132

(1)現(xiàn)從甲班成績(jī)位于［90,120)內(nèi)的試卷中抽取9份進(jìn)行試卷分析，用什么抽樣方法更合理？并寫(xiě)出最后

的抽樣結(jié)果；

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測(cè)試中，甲班的平均分是101.8,請(qǐng)你估計(jì)乙班的平均分，并計(jì)算兩班平

均分相差幾分.

1.C

【分析】根據(jù)零向量的定義、性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤，②③正確;

故選：C

2.B

【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知，方-。=(3,1)-(1,2)=(2,-1),

故選：B.

3.D

【解析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得z,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)定義可求得結(jié)果.

［詳解】z=(2—i)(4—i)=8—6?+產(chǎn)=7-6".-.z=7+6/.

故選：D.

4.D

【分析】計(jì)算出［60,70)的頻率，再乘以總數(shù)即可.

【詳解】由于時(shí)速在［60,70)的頻率為0.04x10=0.4,

所以時(shí)速在［60,70)的汽車(chē)大約有200x0.4=80.

故選：D.

5.A

【分析】列舉法求解古典概型的概率.

4

【詳解】從編號(hào)為1、2、3、4的4球中，任取2個(gè)球，一共有以下情況：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情況,

其中這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的情況有(1,3),(2,4),共2種情況

故這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為：=

63

故選：A

6.B

【詳解】分析：本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，三個(gè)人中恰有2個(gè)合格，包括三種情況，這

三種情況是互斥的，寫(xiě)出三個(gè)人各有一次合格的概率的積，再求和.

詳解：由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，

三個(gè)人中恰有2個(gè)合格，包括三種情況，這三種情況是互斥的

1322122337

三人中恰有兩人合格的概率++

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，本題解題的關(guān)鍵是看出事件發(fā)生包括的所有的情況，這

里的數(shù)字比較多，容易出錯(cuò).

7.C

【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：若a//b,bua,則“//a或“ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若“ua,bup,a〃4則a//尸或a與4相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：巖a邛，“ua,則故C正確；

對(duì)于D：若。〃夕，aua,bu/3,則a//6或。與匕異面，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】AD,BE分別為:ABC的邊8C,4c上的中線，

則A￡>=8￡>-8A=gBC-8A,

BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^AB+BC^=^BA+BC^,

由于AO=a，BE=b>所以a=58(7-84,8=584+58。，

24

故解得BC=；a+-

33

故選：B

5

9.AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?a+i)i=-l+ai=b+i,

a=1

所以

b=—l

故選：AD.

10.ABD

【分析】根據(jù)棱臺(tái)是由平行棱錐底面的平面截得的判斷.

【詳解】解：因?yàn)槔馀_(tái)是由平行棱錐底面的平面截得的，

所以棱臺(tái)的兩底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)，

故選：ABD

11.ABC

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求得.

【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)镽尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，可得BC//EF,

又因?yàn)?CU平面PDF,且￡>Fu平面PDF,所以8c〃平面PDF,所以A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)??=AC,且E為8c的中點(diǎn)，可得

又因?yàn)镻B=PC,且E為8C的中點(diǎn)，可得BCLPE,

因?yàn)?1后門(mén)/^=后且4￡尸￡匚平面P4E,所以8cl平面R4E,

又因?yàn)镈F//BC,所以。尸上平面孫E,所以B正確.

對(duì)于C中，由B項(xiàng)知：。尸1平面R4E,因?yàn)镈Pu平面尸。尸，

所以平面平面Q4E,所以C正確；

對(duì)于D中，設(shè)直線。尸AE=。，易得A/W注可得P￡)=PF,所以POJLOF,

假設(shè)平面P0FJ_平面ABC,且平面尸。F平面尸，POu平面PDF,

所以PO1平面ABC,

因?yàn)镺￡u平面ABC,所以

又因?yàn)槭?。與OE不一定垂直，所以平面9尸與平面ABC不一定垂直，所以D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

P

12.ABCD

6

【分析】根據(jù)總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等

即可求解.

【詳解】由已知可得，2000名運(yùn)動(dòng)員或他們的年齡是總體，20名運(yùn)動(dòng)員或他們的年齡是樣本，總體容

量為2000,樣本容量為20,在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會(huì)均為看，

所以A、B、C、D均正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及抽樣的公平性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.

13.-l+i##z-l

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】-4+5i+(i-2)2=-4+5i+3-4i=-l+i.

故答案為：—1+i.

14.-2或：##；或-2

【分析】由已知，根據(jù)給的〃，。借助兩向量共線，可直接建立等量關(guān)系求解出實(shí)數(shù)匕

【詳解】由已知，q,e?是兩個(gè)不共線的向量，

-,-5

a-k~et+(y--k)e2,6=2^+3e2是兩個(gè)共線向量，

所以北2=2(1-|公，解得：&=一2或％=(

故答案為：-2或g.

15.125

【分析】根據(jù)共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，得到次品率，再求2500套座椅中的次品數(shù).

【詳解】因?yàn)楣渤闄z了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，

所以次品率為，，

所以該廠所產(chǎn)的2500套座椅中大約有，x2500=125.

故答案為：125

【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】試題分析：因?yàn)?。為/ABC的平分線，所以=由余弦定理得

7

…八AB2+BC2-AC232+22-(>/7)21..2,.1

cosZABC=----------------=---------———=—,..cos/.ABC=1-2osinZ.AoBnD=—,

2xABxBC2x3x222

.?.sinNABO=1.所以答案應(yīng)填：

考點(diǎn)：1、余弦定理；2、二倍角公式.

17.證明見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，即可證明.

【詳解】因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BC。中，F(xiàn)分別是30的中點(diǎn)，

所以尸是4c的中點(diǎn)，

因?yàn)镋是R4的中點(diǎn)，所以EB//PC,

又所O平面PBC,PCu平面P8C,

所以所〃平面P8C.

18.(1)D(5,Y)；(2)-g.

【分析】(1)求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.

(2)求出a,。的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】(1)設(shè)。(x,y),因?yàn)锳B=CO,于是(2,-2)-(1,3)=。,田一(4,1),整理得(l,-5)=(x-4,yT),

/一4=1“,[x=5

即有｛,＜，解得”，

[y-1=-5[y=-4

所以0(5,-4).

1uiaiiuuu

(2)因?yàn)閍=AB=(1,-5),=SC=(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以工J=A(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5A-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

因?yàn)橄蛄柯?〃與a+36平行，因此7(-5Z—3)-4伏—2)=0,解得&=_；,

所以實(shí)數(shù)*的值為-g.

3

19.(1)答案見(jiàn)解析(2),

【分析】(1)列舉出所有情況，得到基本事件數(shù)；

(2)求出抽取的學(xué)生恰有一男生一女生的基本事件數(shù)，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.

【詳解】(1)列舉出所有情況，如下：

{(4,4),(4,4),(4,4)，(4也),(&，4),(4,4),(4,52),(4出),(人,砧,(4也)}，

共10個(gè)基本事件；

(2)記事件“抽取的學(xué)生恰有一男生一女生”為A,

8

則4包含基本事件｛(A，8j,(A，鳥(niǎo)),(42,4),(&,鳥(niǎo)),(4,4),(4，鳥(niǎo))｝共6個(gè)，

因此P(A)=A=|.

20.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)首先根據(jù)線面垂直的判定得到80/平面PAC,從而得到以_L8D,再利用線面垂直的判

定即可得到AP上平面30E.

(2)根據(jù)已知得到￡>EJ_8￡),DFVBD,/￡0尸為平面8?！昱c平面3￡)尸的二面角，又因?yàn)?即/7=90,

即可證明平面BDE_L平面BDF.

【詳解】(1)底面A8C,初匚底面4以丁二/^,友)；

又回二臺(tái)。，。為4c的中點(diǎn)，

BDVAC,

又?；PC,ACu平面PAC,PCcAC=C,

；?8。工平面PAC,PAu平面PAC,

APA±BD,又DELAP,BROEu平面BDE,BDcDE=D，

AP/平面BOE；

(2)由AP2平面BZ汨知I,APYDEi又分別為AC,PC的中點(diǎn)，

?！甘恰鱌AC的中位線，，DF//AP,；.DFIDE,即ZEDF=90,

由平面PAC可知，DEA.BD,DFLBD,

NE。廠為平面3OE與平面BDF的二面角，又NEDF=90，

平面BZ)￡_L平面3DF.

21.(嗚⑵2

【分析】(1)將條件化筒，然后利用余弦定理求解即可；

(2)先利用cosB=-cos(A+C)化簡(jiǎn)整理得到2cos4+2cosB=2sinH，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及

A的范圍求最值.

【詳解】(1)由已知2c2=(2。—。)。+(?-a)b,整理得/+從—。2="，

一a2+b2-c2