2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

第一部分選擇題（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

I集合人{(lán)xlZsinxjxeR}1十—9},貝"人（）

A.[0,3]B.[}C.已用D.

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再解一元二次不等式求出集合8,即可求解.

IIT57r

【詳解】由2sinx=l得sinx=—解得x=—+2E或一+2E#￡Z,

266

TT57c

所以4=—+2/CJI或一+2E?€Z>,

66J

又由一一3》40解得0W,所以6={x|0W3}，

故選:D.

2.某地天氣預(yù)報(bào)中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6,為了用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來三天中恰

有兩天下雪的概率，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時(shí)，表示該天下雪,

其概率為0.6,每3個(gè)隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機(jī)數(shù)：

522553135354313531423521541142

125323345131332515324132255325

則據(jù)此估計(jì)該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為（）

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機(jī)數(shù)，再按照古典概型求概率.

【詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪,共有9

9

組隨機(jī)數(shù)，所以尸二—.

20

故選：B

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2-1|=>-目，則z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是（）

A.兩條直線B.橢圓C,圓D,雙曲線

【正確答案】A

【分析】設(shè)2=》+”,根據(jù)模長相等列出方程，得到z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.

（詳解】設(shè)z=X+yi,則Z=x-yi，

|z_l|=‘_z|可得：（X_l『+y2=（2?,

化簡得：（x-l）2=3V，

即x-l=3y或x-l=-3y,

則z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.

故選：A

4.在Z8C中，已知a=3,A=~,b=x,滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則x滿足（）

A.x=2y/3B.xe（0,3）

C.xe{2百}。（0,3）D.xe（273}u（0,3]

【正確答案】D

【分析】結(jié)合正弦定理得x=2jJsin8,滿足條件的三角形只有一個(gè)，即x有唯一的角與其對應(yīng)，即

可確定8的范圍，求得結(jié)果.

3_x_3sing_oJTe,D

【詳解】由正弦定理得一^嬴萬，則有“一^^一sin,81（0,兀-z）=g型

sin3TW3

?.?滿足條件的三角形只有一個(gè)，即x有唯一的角與其對應(yīng)，則曹京,故

x=2V3sin5I上6}（0,3],

故選：D

5.圓內(nèi)接四邊形Z8CZ）中Z0=2,CD=4,8。是圓的直徑，則（）

A.12B.-12C.20D.—20

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.

由題知N8/Z)=N8C0=9O°，AD=2,CD=4

AC-BD=(AD+DC)-BD=AD-BD+DC?BD

=4-16=—12.

故選：B.

6.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，若%+34<0，%/7<0,且數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和有最大值，那么

S“取得最小正值時(shí)〃為（）

A.11B.12C.7D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，判斷出。6，%，4+%的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可

求得.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前〃項(xiàng)和有最大值，故可得d<0,

因?yàn)樯?34<0,故可得4q+22d<0,即q+]d<0,

所以%-；d<0,可得的<；"<0，

又因?yàn)殛?lt;0，

故可得4>0,所以數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和有最大值，

且4+%=2q+1Id<0,

又因?yàn)?2=12乂^^=6（。6+%）<0，%=^x（q+qj=llxa6〉0，

故s〃取得最小正值時(shí)〃等于11.

故選：A.

7.已知過橢圓W+E

=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)尸(TO)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,與V

a2b2

軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)C,尸是線段48的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

22

D.土+匕=1

43

【正確答案】B

【分析】不妨設(shè)A在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)廠(-1,0),點(diǎn)C,E是線段Z8的三等分點(diǎn)，易得

/>2\/b>2\}4.b,22

N1,一，8-2,--代入橢圓方程可得:_+二=1，又。2=〃=1，兩式相結(jié)合即可求

,2,2

a)2a7a4a

解

【詳解】

不妨設(shè)A在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)點(diǎn)C,尸是線段48的三等分點(diǎn),

i2/2

則C為4耳的中點(diǎn)，耳為中點(diǎn)，所以犯二1,所以二+2=1,則為二幺

aba

b2\b2\b2\

即Z1,—,所以C0,--,B—2,----

「2a2a

77

bA

___4b2,

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得44a2「即二H----=1,

/+鏟=1°4。2

又〃=1，所以/=5，b2=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是《+己=1.

54

故選：B

8.定義在（0,+力）的函數(shù)y=/（x）滿足：對x2G（O,+a＞）,且玉w%，"J（F）二"（"）〉0

成立，且/（3）=9,則不等式/（x）＞3x的解集為（〉

A.（9,+oo）B,（0,9）C.（0,3）D.（3,+oo）

【正確答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=/3,討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

X

［詳解］由工/（'）一、/（入）＞0且Yx、,X2G（O,4W）,

玉一Z

fMfM

則兩邊同時(shí)除以X,X2可得w〉0，

王一二

令g（x）=，則g（x）=3在（0，+8）單調(diào)遞增，

XX

由/（x）〉3x得&1＞3且g（3）=&=3,

x3

即8a）＞8（3）解得》＞3,

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.已知雙曲線，一與=1?！?6＞0的右焦點(diǎn)為尸（c,0）,在線段OF上存在一點(diǎn)〃，使得朋到潮

ab~

3

近線的距離為巳c,則雙曲線離心率的值可以為（）

4

4廠

A.Jr7B.2C.-D.J2

3

【正確答案】AB

【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離列出不等式，得到￡〉WZ,判斷出AB正

a7

確.

22

【詳解】=-與=1的一條漸近線方程為bx-ay=O,

Eb2

設(shè)M,0),Q<m<c,

,整理得：|利|=藝,

114b

因?yàn)?<m<c,所以——<c>即3c<4b=4j<?，

4b

解得：土）也,

a7

因?yàn)?>垃，晨也,6〈晅,

77377

所以AB正確，CD錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知正實(shí)數(shù)。，b滿足ab+a+b=8,下列說法正確的是（）

A.ab的最大值為2B.a+6的最小值為4

111

C.a+2力的最小值為6&-3d而r%的最小值為g

【正確答案】BCD

【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將6=上q代入a+2〃，化簡，利用基本

Q+1

不等式求解可判斷C,利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)椤?+a+b=82+2及彳，

即（Jab）+2Jab—840，解得—4<Jab42）

又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b,所以0<J茄42，

則有當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號，故A錯(cuò)誤；

對于B,ab+a+b=84（“；'）—"F（a+b）,

即（a+b）2+4（“+b）—32N0,解得8（舍）a+b>4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時(shí)取得等號，故B正確；

8—Q

對于C,由題可得b（a+l）=8—a所以b=——>0,解得0<a<8,

a+\

a+2h=a+2^-=a+---2=a+l+—--3>2.

Q+l4+167+1

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)a+l=——即a=3&-l時(shí)取得等號，故C正確;

a+1

111

對于D,+D+b]

〃3+l)h8a(b+1)

17上b上。(b+1)4(2+2)="

8[a(b+\)bo2

ba(b+\)b,.4

當(dāng)且僅當(dāng)丁一:=—~^=。=「;=6=4,。=二時(shí)取得等號，故D正確,

a(b+l)bb+15

故選:BCD.

11.己知正方體力3CD-440R的邊長為2,E為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點(diǎn)，且滿足

sin/E。。=走，則下列說正確的有（）

'5

TT

A.若E為面44GA內(nèi)一點(diǎn)，則E點(diǎn)的軌跡長度為5

B.過N8作面a使得。EJ_a,若Eea,則￡的軌跡為橢圓的一部分

C.若凡G分別為49，及，的中點(diǎn)，Ee面FGB4,則E的軌跡為雙曲線的一部分

'24

D.若F,G分別為44，與G的中點(diǎn)，與面FG8/所成角為。，則sin。的范圍為

【正確答案】AB

【分析】對于A項(xiàng)，sinNE。"=*轉(zhuǎn)化為tan/E。。=；，得到E的軌跡再求解；對于BC項(xiàng),

根據(jù)平面截圓錐所得的曲線的四種情況解決；對于D項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系解決.

【詳解】對于A項(xiàng)，正方體力8co—44GA中，。2，平面4片。|〃，

若E為面4MGR內(nèi)一點(diǎn)，所以DR上RE.

又因?yàn)閟inNEDD]=與,所以tanNEDD、=g,

RE*1

在RtEDD］中,tanZEDD=

}函一〒一2所以。E=l,

故點(diǎn)E的軌跡是以。為圓心1為半徑的;個(gè)圓弧,

I兀

所以E點(diǎn)的軌跡長度為上故A正確;

42

好,

對于B項(xiàng)，因?yàn)閟inNED"即NE。？為定值，線段00也為定值,

5

取42的中點(diǎn)。一故點(diǎn)￡的軌跡是以0A為軸線，?！鯙槟妇€的圓錐的側(cè)面上的點(diǎn)，

設(shè)平面a即為下圖的圓。面，過點(diǎn)〃作。4的平行線交圓錐底面于點(diǎn)〃I，交。A于點(diǎn)M,

從圖形可得NDMH=NDQA=NEDD1,易得ZD0H>ZHM0=NEDD1,

故E的軌跡為橢圓的一部分，所以B正確；

對于C項(xiàng)，平面a與軸線DD,所成的角即為平面a與AA,所成的角,

/.A.AF是平面a與軸線D1所成的角，

4F1

1

在RtA{AF中tanZ.A}AF—■——,

而母線DF與軸線DDt所成的角為NFDR,

inFD1

在RtFDR中tan/FDA=京t=Q,

即母線與軸線所成的角與截面a與軸線所成的角,

所以點(diǎn)￡的軌跡應(yīng)為拋物線，故C不正確；

對于D項(xiàng)，以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系,

兀

連接。E并延長交上底面于點(diǎn)片,設(shè)&=7，ye0,-

則1)(0,0,0),耳(cosy,sin7,1),Z(2,0,0),5(2,2,0),尸(1,0,2),DEi=(cos/,sin/,l),

則AB=(0,2,0)"=(-1,0,2),設(shè)面Z8GF的法向量為〃=(x,gz),

n-AR=0f2y=0Xz、

所以XTn〃=(2,0,l),

n-AF=01—x+2z=°

DE1,2cosy+1||2cosy+1|

所以O(shè)E與面FG48所成角的正弦值為sin8=

阿|一V5xV2A/10

又因?yàn)?0,1-2cos/+le[l,3],

|2cos/+l|FV103A/TO

所以J一W三,故D錯(cuò)誤.

Vioioio

故選：AB.

用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線；

截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線;

截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；

截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線;

截面與軸線垂直得到截面曲線為圓.

12.已知函數(shù)/(x)=ln(-x),g(x)=ln(4+x),則()

A.函數(shù)y=/(2-x)+g(x-2)為偶函數(shù)

B.函數(shù)y=/(x)-g(x)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=/'(x-2)-g(x-2)為奇函數(shù)

D.x=-2為函數(shù)函數(shù)y=_/")+g(x)圖像的對稱軸

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C,根據(jù)對稱軸的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A,y=/(2-x)+g(x—2)=ln(x—2)+ln(x+2),

定義域?yàn)?2,+8),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤：

對于B,y=/(%)-8(%)=111(-%)-111(*+4)定義域?yàn)?-4,0),

所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對于C,^=/(x-2)-g(x-2)=ln(2-x)-ln(2+x),

定義域?yàn)?一2,2),設(shè)A(x)=ln(2-x)+ln(2+x),

h(-x)=ln(2+x)-ln(2-x)=-A(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；

對于D,設(shè)，(x)=/(x)+g(x)=ln(-x2-4x)定義域?yàn)?T,0),

/(-4-x)=ln[-(-4-x)2-4(-4-x)]=ln(-x2-4x)=f(x),

所以x=—2為函數(shù)函數(shù)y=/(x)+g(x)圖像的對稱軸，故D正確，

故選:CD.

第二部分非選擇題(共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛4｝對V〃wN*滿足an+i=3an+4,則數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式％

【正確答案】4x3"-'-2

【分析】構(gòu)造4+1+2=3(%+2),得到｛%+2｝是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到

n

an=4x3-'-2.

【詳解】設(shè)a,+i+4=3(a“+/l),即/川=3%+2/1,故22=4,解得：4=2,

故a”]=3a“+4變形為%_]+2=3(%+2),q+2=2+2=4,

故｛%+2｝是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3,

則a“+2=4x3"T,

所以4=4X3"T-2,

故4x3'i-2

14.已知直線/的方向向量為二（1,0,2）,點(diǎn)力（0,1,1）在直線/上，則點(diǎn)P。,2,2）到直線，的距離為

【正確答案】叵

5

【分析】求出/P與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】N尸=（1,1,1）,

點(diǎn)尸（1,2,2）到/的距離為1=］林苗（工^=限半=等.

故等

15.函數(shù)/（x）=J5cos（5+尹）0>0■!<］同〈兀的部分圖象如圖所示，直線歹=加（〃2<0）與

這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為4，演，七，貝抬出（2再+馬一天）=.

【正確答案】-巫

2

【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點(diǎn)及余弦函數(shù)的對稱性結(jié)合

sin（2X|+x2-x3）=sin（2（F+x2）-（x2+x3））即可求值

【詳解】由圖可知，/（與）=>/5cos（1o+夕）=1,BPcosf-^<?+^>l=?

5兀?！?/p>

——CD+(p=一"F2KTI

82

5兀7兀(、

彳°+9=了+2”解得。=2,夕冶,故/(x)gos(2x省.

則《

69>0''

|<M<7r

則/(o)=V2cos^-^-J=27r

-1,/（X）最小正周期為了=兀.

直線y=〃？（m<0）與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為多，巧，不，則由圖可

uX,+X-,5兀713兀X,+x,5兀71771

知」_1=_-_=—,-J__1=—+-=—

28482848

sin(2;q+x2-&)=sin(2(玉+x2)-(x2+x3))=sin

故一旦

2

16.已知實(shí)數(shù)x、y滿足岑-川川=1,則卜-2y+石|的取值范圍是

【正確答案】（亞2應(yīng)+同

【分析】討論x，N得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得z=x-2y+6的

取值范圍，進(jìn)而可得卜-2y+石|的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)兀y滿足乎-川川=1,

4

當(dāng)x〉0,y>0時(shí)，方程為'一了2=1的圖象為雙曲線在第一象限的部分；

丫2

當(dāng)x>0,y<0時(shí)，方程為土+/=i的圖象為橢圓在第四象限的部分；

4

2

當(dāng)x<O,y〉O時(shí)，方程為一r二一/=1的圖象不存在；

4.

V-2

當(dāng)X<0,y<0時(shí)，方程為一土+y2=1的圖象為雙曲線在第三象限的部分；

4

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示,

卜-2了+逐|表示點(diǎn)(三了)到直線x—2y+石=0的距離的退倍

根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為歹=±；x,

令z=x-2y+6，即歹=!》—三+亞，與雙曲線漸近線平行,

222

觀察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)(xj)且斜率為3的直線與橢圓相切時(shí)，點(diǎn)(xj)到直線x—2y+石=0的距

離最大，

即當(dāng)直線z=x-2y+逐與橢圓相切時(shí),，z最大，

X22,

—+y=1

4.

聯(lián)立方程組《得2f—(2z-2灼x+z2-2屈+1=0,

1zV5

y=—x---------F—

222

△=(2z-2石『_4x2x(z2-2后+1)=0，

解得z=J?±20，

又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分，

所以z=亞，

又直線x-2y+石=0與x-2y=0的距離為1,故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1,

所以z>Vs

綜上所述，V5<z<V5+2V2.

所以君<忖4J?+2逝，

即卜+2y-4|e(正,有+2逝］,

故答案為.（6,2亞+逐］

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟）

17.已知函數(shù)/(x)=2sinsin(x+￡+2百cos2+V3.

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)增區(qū)間;

712713兀5兀6兀7兀

(2)求f+f+/的值.

242424242424

【正確答案】（1）~~+kn,—+kn(左eZ)

1212V7

(2)14^/3

【分析】（1）由三角恒等變換化簡，由整體法結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列不等式求解即可;

(2)令g(x)=2sin12x-；),分析得g(x)關(guān)于171

,0對稱，根據(jù)對稱性化簡求值.

征4

【小問1詳解】

/

兀

/(x)=2sinx—+Y

3

2sin2V3

sin2卜用

+V3cos22V3

2sin(2x--+兀+273

33

2sin(2x-yj+2V3

令2x—四e--+2kn,—+2kjt(左eZ),則X€--+kit,—+kTt(左eZ).

3221212V7

故函數(shù)/'（X）的單調(diào)增區(qū)間為-五+她在■+At（AwZ）.

【小問2詳解】

/(x)=2sin(2x-y2V3,令g(x)=2sin(2x-1),

由=Z)得》花+?=隹|普MZ)，故g(x)關(guān)于Mz)

對稱，

故當(dāng)左=0時(shí)，g(x)關(guān)于;爵,0對稱.

=0+0+0+0+14/

=146

O

18.已知等比數(shù)列｛4｝對任意的〃€N+滿足a?+an+l=—.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

/\

⑵若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，定義min｛a,b｝為a,6中較小的數(shù)，2=min15”,1嗚-f

,八2J

求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

2

【正確答案】(1)—7

31

n2-n

,w<4A

〃一吧

+3n>4

18

Q

【分析】(1)由遞推公式得凡T+4“=1丁，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)與條件等式兩式相處，即可求得/

再令〃=1由等式求得外,即可根據(jù)公式法得通項(xiàng)公式；

(2)化簡對數(shù)式得logj3)=〃-1,分析S“與n-1的大小，即可根據(jù)min｛a,b｝定義得”的分段

函數(shù)，即可分段求和.

【小問1詳解】

%+a”+尸怎(l+q)T

l+q_l

設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為q，則有《?，兩式相除化簡得1+13,解得

o1r一

1+-q

q)3"T

1

q=—

3

/、8

又％+a2=^(1+7)=-可得4=2.

...數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=2x（；）=擊.

【小問2詳解】

2

1,則

S

1V3〃T

2、

3-左，*口!

211亨=min(.k1J

hn=min<3-*，log]=min^3--,H-1J.

33

7

令3--!->/?-1,即4--、>〃,：4一擊e（3,4）,當(dāng)〃<4時(shí)，4---1>n,即

3"-'3"T3"T

、1,

3-F>"T；

當(dāng)〃24時(shí)，4—J-j-<n,即3—<n

-1；

3〃""i

n-\,〃<4

/.bn-min〈3-—^-r,rt>4

3"-1

0+(n-1)M_rT-n

故當(dāng)〃<4,Tn-

22

當(dāng)〃24時(shí)，北二3+3(〃-3)+

3334

W1；jM-3

獺3?j

+3〃-”

3A?-6+=3n-6--+—

182區(qū)18

n2-n

-----,〃<4

2

故北=,

1f1Y-101094

—?—+3n----,n>4

2⑴18

19.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)尸（0,1）的距離比它到x軸的距離多1.

（1）求尸點(diǎn)的軌跡方程C；

（2）過點(diǎn)。（0,5）作直線/與曲線。交于48（A點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)），求+的最小值.

【正確答案】（1）f=4^或.》=0（了<0）

(2)20

【分析】（1）設(shè)尸（XJ）,得尸石二鏟=回+1即可解決；（2）設(shè)直線/為

-20

歹=去+5,4（項(xiàng),必）,6（工2，y2），聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得西=——，由基本不等式解決即可.

X2

【小問1詳解】

由題知，動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)/（0』）的距離比它到x軸的距離多1,

設(shè)P(xj)，

所以I尸產(chǎn)|=3+i,

當(dāng)V?0時(shí)，G+gy=.+[,化簡得刀2=4',

當(dāng)丁<0時(shí)，+(k1)2=]7,化簡得x=0,

所以尸點(diǎn)的軌跡方程為C:r=4y,或.X=0（N<0）.

【小問2詳解】

由題得，過點(diǎn)。（0,5）作直線/與曲線C交于48（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)）,

所以由（1）得=4y,

設(shè)直線/為_y=Ax+5,/（x”乂）,8（》2，8），

將歹="+5代入=4y中得f―4米—20=0,

所以A=16左2+80〉0,即《eR，

-20

X1+工2=4左，須吃--20,即苞=----

X2

所以S/8廣+SAF0—SAQF+SBQF+SAFO

=；以|您一到+J。呻|=2(々f)-；芭

c4010c50、Jc部“

=2x?4----1---=2%2---22l2x?■=20

x2x2x2yx2

c50

當(dāng)且僅當(dāng)2/=一，即馬=5時(shí)，取等號，

所以(S次+S/o)min=20

所以+S^AFO的最小值為20.

（1）求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列并求｛4｝的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S“,求數(shù)列1-^―\的前〃項(xiàng)和Pn.

、s〃,s〃+]

1,w=1

【正確答案】（I）a?=\『

1x3x7xx12-11,n>2

（2）P=2——^―

n2"+'-1

【分析】⑴利用da".=2?n+1+向天化簡M可得數(shù)列也｝是以g為公比g為首項(xiàng)的等比數(shù)

列，求出“可得&"=（2"-1）2,再利用累乘法求通項(xiàng)公式可得答案;

b

（2）求出不比丁利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.

【小問1詳解】

因?yàn)?二五"，所以“L芯匚

所以揚(yáng)N

J.“+l______

所以如=J—+V^i__+M）_a“M+J

”,+1

b”如囚（Ja“+2+Ja“+J&M，+2+施—

7^7+向

：%+必^J,且正向J,

2%+2揚(yáng)三？2''瘋+百2"

所以數(shù)列｛2｝是以去為公比，g為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即2=（；

即/阮/=臼,可得J^+l=2",-=（2n-l）2

W“+i+Ja“12J8a,,

所以“22時(shí)，—x-^-x^-xX-^-=12X32X72XX（2"LT）2,

-?la2%an-\

即4=YX32X72XX（2"T—1）」

而此時(shí)”=1時(shí)，％=（2一|-1）=0,

1,〃=1

=2

所以％\7J7（n\\；

_,

12X32X72Xx（2"-1）,n>2

【小問2詳解】

“iRflY'

由（1）b.=（￡|，所以,=2[S"M=

1-2

,fiT[t

所以人--------_=2_J---------L_

+1，

Hr]H€lMilHU

所以2=2—1~r----i~-+—i-----i~-++-11

鳴—1

21.已知四棱錐E-/8CZ）中，48=4CO=4,AE=2,CD//AB,AD=2丘,ADAB=45°,

面/8CZ>上面/BE,CE=yfn.

E

(l)求證：AELCB

(2)求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值

【正確答案】(1)證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】(1)過C作交工8于G,連接ZC,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得CGJ?面從

而可得CGLZE，再利用向量法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律證明/CL/E,從而可得NE_L面

再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)過。作。0J.48交于0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4，0B-。方分別為x,y,z軸正方向

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

證明：過C作CGJ_Z8交于G,連接ZC,

?.?面Z8CQ1面Z8E,且為交線，CGu平面/BCD,

CGJ_面ABE,

又ZEu平面N8E,CG_LZE,

'??斗??人▼▼一??叭、

EC=EA+AD+DC'EC={^EA+AD+DC^，

▼▼為▼▼八vvy\

即EU=川+AD+DC+2EA-^AD+DC)+2ADDC,

?..、??.、??_

即17=4+8+1+2及4.(/。+。。)+2.2岳0$45。，

?■?胡?ZC=O，即/C,ZE，

NCcCG=C,ZC,CGu平面4BCD,

/.ZE_L面ABCD,

又CBu平面力BCD,：.AELCB；

【小問2詳解】

解：過。作￡>O_LZ8交48于O,

OD//CG,/.。0_L面ABE,

由（1）得AE，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以/E，OB，0。分別為x，丹z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

由工。=2&，/DAB=45°,得40=2,8。=2,2）0=2,

.?.4（0,-2,0）,5（0,2,0）,￡>（0,0,2）,C（0,l,2）,￡（2,-2,0）,

AAE=（2,0,0）,/。=（0,2,2）,BC=（O,-l,2）,BE=（2,-4,0）,

設(shè)面/DE,面8CE的法向量分別為〃]=（XQ],zJ,n2=（x2,y2,z2）,

???feo-喈令乂"則〃「二（。,一）.

為3°,即廠2+2Z2-0