2023-2024學(xué)年寧夏銀川二中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年寧夏銀川二中高二(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.直線％+「丫一5=0的傾斜角是()

A-B-C-D史

A6D-3J36

2.“a=I”是“直線x+2ay-l=0和直線(a-l)x+ay+1=0平行”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.直線/經(jīng)過4(2,1)、B(l,m2)(7neR)兩點(diǎn)，那么直線/的傾斜角的取值范圍是()

A.[0,71)B.[0,JU即㈤C.[0幣D.[O.JU&兀)

4.已知點(diǎn)4與點(diǎn)B(l,2)關(guān)于直線x+y+3=0對稱，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(3,4)B.(4,5)C.(-4,-3)D.(-5,-4)

5.如圖，空間四邊形。4BC中，萬？=。而=瓦元=3點(diǎn)M在函上，且。M=2M4點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則

麗=()

121211

ATKTb一T

Q+BQ+-+C

2-3-2-3-22-

C.ia+D.|a+|b-|c

6.在長方體/^。。一必當(dāng)口為中，BC=CCi=l,AB=^T1.,則異面直線BQ與

所成角的余弦值為()

A手D?

3

7.已知圓Ci：(x-27+(y-3)2=1,圓。2：0—3)2+(y—4產(chǎn)=9,M)N分別是圓C1，C2的動(dòng)點(diǎn)，P為

x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.5AT2-4B.yT~V7-2C.6-D.V^7

8.點(diǎn)(x,y)在曲線y=74—刀2—2上,則|3x—4y+4|的取值范圍為()

A.[|,y]B.[2,18]C.[1,9]D.靛]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.過點(diǎn)(1,4)且與圓(X++y2=4相切的直線方程為()

A.%-1=0B.y—4=0

C.3%—4y+13=0D.4%—3y+8=0

10.下列說法中正確的是()

A.已知空間向量日，ft,向量五〃3是d=43的充要條件

B.a=(x,-2,5),b=(l,y,-3)，若江與石共線，則xy=-2

C.空間向量五b，［不共面，且而=為+3,BC=a+c>CD=b-c>則4，B,C,。四點(diǎn)共面

D.a=(1,0,1),b=(2,-4,6).另在日方向上的投影為上=(4,0,4)

11.已知直線心ax+by-―=0與圓C：/+y2=「2,點(diǎn)火心匕)，則下列說法正確的是()

A.若點(diǎn)4在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)4在圓C外，則直線(與圓C相離

C.若點(diǎn)A在直線［上，則直線I與圓C相切D.若點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則直線［與圓C相離

12.在棱長為2的正方體ABC。-41B1G5中，M,N分別是BC,CG的中點(diǎn)，則()

A.4M與D］N為異面直線

B.AN1BD

C.點(diǎn)/到平面DMN的距離為2

D.若點(diǎn)Q為線段&C上的一動(dòng)點(diǎn)，貝”QDi的范圍生等

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知圓Q：x2+y2+2x-6y+l=0,圓C2：%2+y2-4x+2y-11=0,則兩圓的公共弦所在的直

線方程為.

14.已知五=(5,3,1),h=(-2,t,-|),若，與3的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

15.如圖，平行六面體4BCD—4BiGDi的底面力BCD是矩形，AB=尸,AD=

>J~2,AAX=2/7,且乙44。=^AB=60°,則線段4cl的長為

16.設(shè)a>0,A(2a,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以04為弦，且與4B相切于點(diǎn)4的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

若該圓與以O(shè)B為直徑的圓相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(該點(diǎn)稱為直角A048的Brocard點(diǎn))，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的最

大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知點(diǎn)P(l,2),直線八2x-y-1=0.

(1)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線］平行的直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線I垂直的直線的方程.

18.(本小題12.0分)

已知圓C：(x—I)2+(y-2)2—25,直線八(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0(mG/?).

(1)求證：直線，恒過定點(diǎn)；

(2)當(dāng)zn=0時(shí)，求直線I被圓C截得的弦長.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱臺(tái)ABC-aBiG中，Z.BAC=90°,AiA1平面ABC,AB=AC=2A1C1=2,且D為BC中點(diǎn).

C

(1)證明：BC_L平面A1AD：

(2)若4A=<3,求此時(shí)直線BQ和平面4CD所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已知直線％—2y+1=0與圓C：%?+y2—4％+2y—Q=0交于A,B兩點(diǎn)，CALCB.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足而=2而，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

21.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PA。為等邊三角形且垂直于底面4BCD,AB=BC=\AD,^BAD=乙ABC=

90°,E是PD的中點(diǎn).

⑴證明：直線CE〃平面P4B；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面4BCD所成角為45。，求二面角M—AB-D的平面角的余弦值.

22.(本小題12.0分)

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)E(0,6),尸(4,4),且圓心在直線心2x-5y+13=0±.

(1)求圓C的方程.

(2)直線y=Ax+3與圓C交于4B兩點(diǎn)，問：在直線y=3上是否存在定點(diǎn)N；使得心N+冊加=0(以N、kBN

分別為直線4N,BN的斜率)恒成立？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：％+—5=0的斜率為—?，

則所求傾斜角為".

O

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

本題主要考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：若直線x+2ay-1=0與直線(a-l)x+ay+1=0平行，

則有1xa=2ax(a-1),解得a=0或a=

而當(dāng)a=0時(shí)，直線x+2ay-1=0與直線(a-l)x+ay+1=0重合，舍去，

所以，直線無+2ay-1=0與直線(a-l)x+ay+1=0平行=a=|,

所以“a=|”是“直線x+2ay—l=0和直線(a-1)%+ay+1=0平行”的充要條件.

故選：A.

由兩直線平行求得a的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

本題考查了兩直線平行的求法，充要條件的判定，屬于中檔題.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查直線的傾斜角，要求學(xué)生結(jié)合斜率的計(jì)算公式，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，進(jìn)行分析求解，屬于

基礎(chǔ)題.

設(shè)直線的傾斜角為0,0式。<兀，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得4B的斜率為卜="=1—巾2,進(jìn)而可

2—1

得k的范圍，由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tan。41,進(jìn)而由正切函數(shù)的圖象分析可得答案.

【解答】

解：設(shè)直線4B的傾斜角為氏0<d<n,

根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得的斜率為％=/=1_m2,

2—1

易得k<1,

由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tan。41,

由正切函數(shù)的圖象，可得。的范圍是［0,，U6,7T),

故選D.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相互垂直直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

片+半+3=。，解出即可得出.

設(shè)點(diǎn)A(x,y),由點(diǎn)4與點(diǎn)8(1,2)關(guān)于直線x+y+3=0對稱，可得

『(-1)=-1

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)4(x,y).

???點(diǎn)4與點(diǎn)8(1,2)關(guān)于直線x+y+3=0對稱,

寸號(hào)+3=。，解得——4

臥(一1)=一1

則點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-5,-4).

故選：D.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形

把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，把刀，0B，瓦三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，

將麗用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案.

【解答】

解：由題意

~MN=~MA+AB+~BN

1一——.I—

=^OA+OB-OA+^BC

2_,_,1_,1_

=--^OA+0B+-^OC-^OB

2__1_1__

=一可。2+^0B+^0C

又瓦？=五，OB=OC=c

—.2_1_1_

???MN=-?+2+2C

故選艮

6.【答案】C

【解析】解：如圖，???BC=CCi=1,BCi=y/~2,

:"Q

4?r?

111

色少4^..?…jc

'..y

AB

vAB=：,BD=V_3?C]D=V-3,

乙BGD是異面直線BCi和AB1所成的角或其補(bǔ)角，

“RrD-時(shí)+"2一萩_2_XT6

COS乙BC1D--2BC"[D__2XQXC_

故選：c.

推導(dǎo)出4BC1D是異面直線BC1和4B1所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理能求出異面直線8cl與4%所成角的余

弦值.

本題考查異面直線所成角、余弦定理等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解:圓G：[-2)2+(y-3)2=1的圓心(2,3),半徑為J

圓C2：(X-3)2+0-4)2=9,的圓心(3,4),半徑為3,

圓G關(guān)于％軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)。3(2,-3),半徑為1,

由圖象可知當(dāng)P,C2,C3,三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值，

\PM\+|PN|的最小值為圓C3與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

即|C3c2|-3-1=J(3-2產(chǎn)+(4+31-4=5<2-4.

故選：A.

求出圓C1關(guān)于X軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)。3，以及半徑，然后求解圓C3與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

即可求出|PM|+|PN|的最小值.

本題考查圓的對稱圓的方程的求法，兩個(gè)圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，曲線y=44-N一2為圓*2+(y+2)2=4的上半圓,

圓心4(0,-2),半徑為2,B(2,-2),

|—4x(—2)+4|12

點(diǎn)4到直線3x-4y+4=0的距離依m(xù)=J32；(一4)2=V>2即直線3x—4y+4=0與圓相離,

|3x2-4x(-2)+4|18

點(diǎn)B到直線3x-4y+4=。的距離出口=5，

|3x-4y+4］的最小值為5(|4D|-2)=2,|3x-4y+4|的最大值為5|BC|=18,

則|3x-4y+4］的取值范圍為［2,18］.

故選：B.

根據(jù)給定條件，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點(diǎn)到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.

本題考查曲線與方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.

討論切線的斜率是否存在，然后結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可求.

【解答】

解：圓(x+l)2+y2=*圓心坐標(biāo)為(一1,0),半徑為2,

過點(diǎn)(1,4)作圓(x+I)2+y2=4的切線,

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x=l符合題意;

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線方程為y—4=k(x—1),B|Jfcx-y+4-/c=0,

\-k+4-k\_Q

則k，

3

得

解k

4-_y+￥=0,即3x-4y+13=0,

4

故過點(diǎn)(1,4)且與圓(x+I)2+y2=4相切的直線方程為x=1或3x-4y+13=0.

故選AC.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4空間向量五，b，向量3〃方是五=4方出r6)的充要條件，故A錯(cuò)誤，

對于B,a=(x,-2,5),b=(l,y,-3)，日與旗線，

則L=馬=高解得x=-|,y=

%—2535

故xy=-2,故B正確，

對于C，空間向量五，b>^不共面，且彳^=為+匕，=a4-c，CD=b-c>

則而=荏一就=(a+K)-(a+c)>

故A,B,C,。四點(diǎn)共面，故C正確，

對于D,a=(1,0,1),b=(2,-4,6),

則加在日方向上的投影為曾=等=44，故。錯(cuò)誤.

|a|V2

故選：BC.

對于A,結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解，

對于B,結(jié)合空間向量共線的性質(zhì)，即可求解，

對于C,結(jié)合四點(diǎn)共面的性質(zhì)，即可求解，

對于。，結(jié)合向量的投影公式，即可求解.

本題主要考查共線向量與共面向量，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

r2

【解析】解：力中，若4在圓上，則。2+〃=「2,而圓心到直線’的距離d=『『=四，所以直線與圓相

Ja2+bz

切，即A正確；

r2

B中，點(diǎn)4在圓C外，則。2+川>「2,而圓心到直線I的距離d=-^虧<|r|,所以直線，與圓相交，所以B不

Ja2+b2

正確；

2

C中，點(diǎn)4在直線/上，則。2+廿=/，而圓心到直線I的距離d=丁『r=舊，所以直線/與圓相切，所以

Ja2+b2

C正確；

r2

。中，點(diǎn)A在圓C內(nèi)，^\a2+b2<r2,而圓心到直線/的距離4="]=^>舊，所以直線1與圓相離，所以。

Ja^+b2

正確；

故選：ACD.

4中，由點(diǎn)4在圓上，可得a,b,r的關(guān)系，求出圓心到直線I的距離，與半徑比較可得4的真假；B中，由點(diǎn)

4在圓外，可得a,b,r的關(guān)系，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較，可得B的真假；C中，點(diǎn)4在直線1上，

可得a,b,r的關(guān)系，求出圓心到直線m勺距離，與半徑比較，可得C的真假；。中，由點(diǎn)4在圓內(nèi)，可得a,

b,r的關(guān)系，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較，可得。的真假.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)與圓，點(diǎn)與直線的關(guān)系的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BC

【解析】解：在棱長為2的正方體中，M,N分別是BC,

CCi的中點(diǎn)，

連接AM,DMDC,并延長，由三角形的中位線定理可得它們交于一點(diǎn)，

設(shè)為E,

故AM,D[N為相交直線，故A錯(cuò)誤；

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。A所在直線為無軸,DC所在直線為y軸,DDi所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則4(2,0,0),8(2,2,0),D(0,0,0),N(0,2,l),M(l,2,0),

Bi(2,2,2),4(2,0,2),C(0,2,0),劣(0,0,2),

則前=(-2,2,1)，BD=(-2,-2,0).

?.?福?麗=4-4+0=0,

.?.前J.前，故8正確；

DM=(1,2,0).而=(0,2,1)，西=(2,2,2)，

設(shè)平面DMN的法向量為元=(x,y,z),

則｛一一.，取x=2,得ri=(2,-1,2),

(n-DN=2y+z=0

則見到平面DMN的距離為d=|霄|=I上/I=2,故C正確；

設(shè)&Q，=0<A<1,貝i](m-2,n,t—2)=4(-2,2,-2),

解得Q(一2九2尢2-24),則6=(2+2九一2424—2),砧=(2尢-24,24),

、QAQD^4A+4A2+4A2+4A2-4AI~/VT5

則COS<Q4Q5)=嬴麗TJ⑵2+8.J⑵2[崎一亍'

Vcos<QA，E>>0.-<?4QD1不為鈍角，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

連接AM,DNDC,并延長，由三角形的中位線定理可得它們交于一點(diǎn)，設(shè)為E,由此判斷4以D為坐標(biāo)

原點(diǎn)，以所在直線為x軸，0C所在直線為y軸，。劣所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用

向量法判斷BCD.

本題考查異面直線的判定、直線與直線垂直的判定、點(diǎn)到平面的距離、角的取值范圍等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

13.【答案】3x-4y+6=0

【解析】解：,??圓G：x2+y2+2x—6y+1=0,圓C2：x2+y2—4%+2y—11=0,

???兩圓作差相減，

得兩圓的公共弦所在的直線方程為3x-4y+6=0.

故答案為：3x—4y+6=0.

兩圓作差相減，以能求出兩圓的公共弦所在的直線方程.

本題考查兩圓的公共弦的直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

14.【答案】(一8齡

【解析】解：???蒼=(5,3,1),3=(—2,t,—|),益與石的夾角為鈍角，

a-6=5X(-2)+3t+1x(一|)<0,

解得

又五=(5,3,1)與方=(一2』,一§不共線，

??.實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-8,1|).

故答案為：(―8,|1).

利用空間向量夾角公式直接求解.

本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查空間向量夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】2，萬

【解析】解：依題意，褊=前+西，得碣2=(荏+鬲)2=肝+2北用+西2,

由底面4BCD為矩形，AB=O,AD=O,得近？=荏？+而2=2+？=4,顯然鬲2=雙2=8，

又就?西=頌+而)?鬲=而?麗*+而?麗i1

=\AB\-\AAi\-cos60°+\AD\-\AAl\.COS60°=<7X2<7X+<7x2<7xg=4,

因此碣2=4+2x4+8=20，：?|宿|=2c.

故答案為：2v~虧.

根據(jù)給定條件，可得福^:就+石，再求出相關(guān)向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到

結(jié)果.

本題考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】(％-a)2+(y+a2)2=a2+a4

【解析】解：直線AB的方程為歐+介1,即x+ay=2a,過點(diǎn)4與4B垂直的直線方程為y=aQ-2a),

24

。4的垂直平行線為x=a,以。4為弦的圓的圓心為(a,—a2),半徑「=J一0)2+(Y-0)2=<a+a,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％-a)2+(y+a2)2=a2+a4@,

以。B為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為M+(y-1)2=1@,

①-②得公共弦的方程為2a2y+2y=2ax,y=念y%，

代入②得/+(品x)2-2x/x=0,

3+1)

"a+->2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)，t+；在[2,+8)上單調(diào)遞增，故再不三~5.

°‘°aH■—a

故答案為：(X-a)2+(y+。2)2=02+。4；1_

由已知可得過點(diǎn)4與ZB垂直的直線方程為y=a(x-2a),進(jìn)而可求圓心坐標(biāo)與半徑，可求點(diǎn)4的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程，求得兩圓的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)％=2、里之一，可求最大值.

d+3心+1

本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值的求法，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線/平行的直線方程為2x—y+C=0(CH—l),

將P(l,2)代入得2—2+C=0,解得C=0,

故經(jīng)過點(diǎn)P且與直線，平行的直線方程為2x-y=0；

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線I垂直的直線方程為％+2y+G=0,

將P(l,2)代入得1+4+6=0,解得G=-5,

故經(jīng)過點(diǎn)P且與直線，垂直的直線方程為x+2y-5=0.

【解析】(1)根據(jù)平行設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)P(l,2),求出答案；

(2)根據(jù)垂直設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)P(L2),求出答案.

本題主要考查直線平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)證明：依題意直線八(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=~

O(meR),/\J\

整理得Z：(2%+y-7)m4-x+y-4=0,|]

叫.(x2%++yy"-7==00'解4”得曰：(％=31'

X

所以/恒過定點(diǎn)(3,1).

(2)當(dāng)m=0時(shí)，直線Lx+y—4=0,

圓C：(%-1尸+(y—2)2=25的圓心為(1,2),半徑為5,

(1,2)到直線1：%+y—4=0的距離為艮竽/=^==<5,

所以直線2被圓C截得的弦長為2J52一島)2=■1y

【解析】(1)根據(jù)直線過定點(diǎn)的知識(shí)證得結(jié)論成立.

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理求得弦長.

本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)?A1平面4BC,BCu平面4BC,所以1BC.

又因?yàn)?B=4C,。為BC中點(diǎn)，

所以ADLBC,

又=A,且ADu平面44。,

所以BC1平面4皿

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,4公所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),

4(0,0,G),C(0,l，C),0(1,1,0),

所以監(jiān)=(-2,1,C)同=(1,1,一門)^7?=(0,2,一＜3),

設(shè)平面4停。的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則碩.五=0.南行=0.所以卜十y二f3z=0,

11\2y-Cz=0

可取y=l,則x=l,z=

所以平面&CD的一個(gè)法向量為元=(1,1,專),

設(shè)直線8cl和平面&CD所成角為仇

___>一］1VID

則sin。=|cos<BC］，n>\==~2^~，

故直線BC］和平面&CD所成角的正弦值為。.

【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，以及判斷定理，即可證明；(2)首先以點(diǎn)4為原點(diǎn)，建立空間直角坐

標(biāo)系，并求平面&CD的法向量，最后代入線面角的向量公式，即可求解.

本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(％-2產(chǎn)+(y+l)2=。+5,a+5>0,

則圓心C(2,—l),半徑r=丐，

記d為圓心C到直線48的距離，

因?yàn)镃41CB,所以d=-r,又因?yàn)閐="若"=V-5,

2V5

所以，虧=xJa+5，所以Q=5；

(2)設(shè)P(出,yo)，M(3),

因?yàn)槎?2而，B|J(x0,y0)=2(x-2,y+l),解得片。二/二：，

Iyo一十/

又點(diǎn)P在圓C上，貝ijQo-2)2+(M,+1)2=10,從而得(2刀一6)2+(2丫+3)2=10,

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-3)2+⑶+1)2=|.

【解析】⑴由題意得圓心C到直線48的距離d=與r,求解即可；

(2)設(shè)「(&,%),M(x,y),由而=2而可得｛；：二；；；；，結(jié)合點(diǎn)P在圓C上，即可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

本題考查了直線和圓的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：取P4的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF,米

???七是「。的中點(diǎn)，；.后F〃4。，EF=^AD,為

.?…，-―9。。\

2匕八，-七4二----口

BC//AD,EF//BC,EF=BC,.

???四邊形BCEF是平行四邊形，二CE〃B『，火

???BFu平面PAB,CEC平面P4B,/7：

???直線CE〃平面PAB.1\

(2)解：如圖，取AD中點(diǎn)。，連結(jié)P。，CO,二三生三二=一.*_^

???△PAD是正三角形，P。J.4。,

???側(cè)面PAD是等邊三角形，且垂直于底面4BCD,

平面PADn平面力BCD=4D,POu平面PAD,

???P。?L平面ABC。，又COu平面4BCD,???POICO,

???AOAB=BC=^AD,且/BAD=/.ABC=90°,

???四邊形力BC。是正方形，C。14。，

以。為原點(diǎn)，。。為x軸，。。為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4B=BC=^力。=1>則。4=OD=AB=CO=1,OP=V-3>

???△POC是直角三角形，|OC|=?|OP|,

Z.PCO=60°,作MNA.CO,垂足為N,連結(jié)BN,

POICO,MN//PO,且P