高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)5.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件

第二節(jié)

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和2021/10/10星期日12021/10/10星期日22021/10/10星期日3【知識(shí)梳理】1.等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于___________,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_____,一般用字母d表示;定義的表達(dá)式為:________________2.等差中項(xiàng)如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a,b的等差中項(xiàng),且A=

.同一個(gè)常數(shù)公差an+1-an=d(n∈N*).2021/10/10星期日43.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=_________.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知條件前n項(xiàng)和公式a1,an,nSn=_______a1,d,nSn=______________a1+(n-1)d2021/10/10星期日55.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的常用性質(zhì):①通項(xiàng)公式的推廣:an=am+_______(n,m∈N*);②若{an}是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則__________;k+l=2m?_________(k,l,m∈N*);③若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為_(kāi)__;④若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}(n∈N*)是等差數(shù)列;⑤若{an}是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為_(kāi)__的等差數(shù)列.(n-m)d2dmdak+al=am+anak+al=2am2021/10/10星期日6(2)等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì):①若{an}是等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同,公差是{an}的公差的;②Sm,S2m,S3m分別為{an}的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-Sm,______成等差數(shù)列;③關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)(i)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n,則S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,,S3m-S2m2021/10/10星期日7(ii)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,(其中S奇,S偶分別表示數(shù)列{an}中所有奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和);④兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和Sn,Tn之間的關(guān)系為⑤數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差數(shù)列的_____條件;⑥等差數(shù)列的增減性:d>0時(shí)為_(kāi)____數(shù)列,且當(dāng)a1<0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最小值.d<0時(shí)為_(kāi)____數(shù)列,且當(dāng)a1>0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值.充分遞增遞減2021/10/10星期日8【考點(diǎn)自測(cè)】1.(思考)給出下列命題:①若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2;③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的;④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù);⑤等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).其中正確的命題是()A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤2021/10/10星期日9【解析】選B.①錯(cuò)誤.若這些常數(shù)都相等,則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列.②正確.如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列.③正確.當(dāng)d>0時(shí)為遞增數(shù)列;d=0時(shí)為常數(shù)列;d<0時(shí)為遞減數(shù)列.④錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當(dāng)d≠0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù),否則不是.2021/10/10星期日10⑤錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,Sn=顯然只有公差d≠0時(shí)才是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù),否則不是(甚至也不是n的一次函數(shù),即a1=d=0時(shí)).2021/10/10星期日112.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6,a3=4,則公差d等于()A.1B.C.2D.3【解析】選C.因?yàn)镾3==6,而a3=4.所以a1=0,所以d==2.2021/10/10星期日123.若{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且則tana6=()【解析】選C.2021/10/10星期日134.在等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和,且a4=9,a9=-6,則Sn取最大值時(shí)n的值為()A.6或7B.7或8C.5或6D.8或9【解析】選A.由所以an=-3n+21,故a1>a2>a3>…>a6>a7=0>a8>…,所以S6=S7最大.2021/10/10星期日145.在等差數(shù)列{an}中,Sn表示其前n項(xiàng)和,若Sn=,Sm=(m≠n),則Sm+n-4的符號(hào)是()A.正 B.負(fù) C.非負(fù) D.非正【解析】選A.因?yàn)镾n=na1+d=(1),Sm=ma1+d=(2),所以由(1)(2)得d=,a1=.故Sm+n-4=(m+n)a1+d-4=>0(m≠n).2021/10/10星期日156.(2013·上海高考)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,則a2+a3=

.【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30?a2+a3=15.答案:152021/10/10星期日16考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)算

【典例1】(1)(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=()A.-6 B.-4 C.-2 D.2(2)(2014·南京模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10=30,a20=50.①求通項(xiàng)an;②若Sn=242,求n.2021/10/10星期日17【解題視點(diǎn)】(1)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)及公差,再利用通項(xiàng)公式求出a9.(2)①先求出基本量a1和d,再利用通項(xiàng)公式求解;②利用前n項(xiàng)和公式解方程即可.2021/10/10星期日18【規(guī)范解答】(1)選A.由S8=4a3?8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2?a1+6d=-2,聯(lián)立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.(2)①由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組解得a1=12,d=2.所以an=2n+10;②由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去).2021/10/10星期日19【互動(dòng)探究】本例(1)中,已知條件不變,求Sn.【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以Sn=na1+d=10n-n(n-1)=-n2+11n.2021/10/10星期日20【規(guī)律方法】1.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.2021/10/10星期日212.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法根據(jù)不同的已知條件選用兩個(gè)求和公式,如已知首項(xiàng)和公差,則使用公式Sn=na1+d,若已知通項(xiàng)公式,則使用公式Sn=.2021/10/10星期日22【變式訓(xùn)練】1.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以d=am+1-am=1,又因?yàn)镾m==0,所以m(a1+2)=0,因?yàn)閙≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.2021/10/10星期日23方法二:因?yàn)镾m-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn=得由①得a1=,代入②可得m=5.2021/10/10星期日24方法三:因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn,所以數(shù)列也為等差數(shù)列.所以即=0,解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.2021/10/10星期日252.(2014·溫州模擬)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d=-1,前n項(xiàng)和為Sn.(1)若S5=-5,求a1的值.(2)若Sn≤an對(duì)任意正整數(shù)n均成立,求a1的取值范圍.2021/10/10星期日26【解析】(1)由條件得,S5=5a1+d=-5,解得a1=1.(2)由Sn≤an,代入得na1-≤a1+1-n,整理,變量分離得:(n-1)a1≤n2-n+1=(n-1)(n-2),當(dāng)n=1時(shí),上式成立.當(dāng)n>1,n∈N*時(shí),a1≤(n-2),n=2時(shí),(n-2)取到最小值0,所以a1≤0.2021/10/10星期日27【加固訓(xùn)練】1.(2014·襄陽(yáng)模擬)在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,則a10-a14的值為()A.12 B.14 C.16 D.18【解析】選A.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10-a14=a1+9d-(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故選A.2021/10/10星期日282.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值范圍.2021/10/10星期日29【解析】(1)由題意知S6==-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)方法一:因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-2或d≥2.2021/10/10星期日30故d的取值范圍為方法二:因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范圍為2021/10/10星期日31考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明

【典例2】(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是()A.公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列2021/10/10星期日32(2)已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*).①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;②求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說(shuō)明理由.2021/10/10星期日33【解題視點(diǎn)】(1)構(gòu)造新數(shù)列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根據(jù)cn+1-cn是否對(duì)任意正整數(shù)n都等于同一個(gè)常數(shù)作出判斷.(2)①證明bn+1-bn=常數(shù);②根據(jù)①的結(jié)論,求得{bn}的通項(xiàng)公式,再求得{an}的通項(xiàng)公式,結(jié)合單調(diào)性求解.2021/10/10星期日34【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè){an}的公差為d,則d=1.設(shè)cn=a2n-1+2a2n,則cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故選C.(2)①因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),所以bn+1-bn=又b1=所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.2021/10/10星期日35②由①知bn=n-,則an=設(shè)f(x)=1+,則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù).所以當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值-1,當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值3.2021/10/10星期日36【易錯(cuò)警示】用定義證明等差數(shù)列時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)用定義證明等差數(shù)列時(shí),常采用的兩個(gè)式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2”,否則n=1時(shí),a0無(wú)定義.2021/10/10星期日37【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.2021/10/10星期日38(4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法,而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷.2021/10/10星期日39【變式訓(xùn)練】(2014·煙臺(tái)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中項(xiàng).(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明:

2021/10/10星期日40【解析】(1)由已知得,2Sn=an2+an,且an>0,當(dāng)n=1時(shí),2a1=a12+a1,解得a1=1(a1=0舍去);當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an-12+an-1.于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1.于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因?yàn)閍n+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.2021/10/10星期日41(2)因?yàn)閍n=n,則2021/10/10星期日42【加固訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2.(1)求證:{an}是等差數(shù)列.(2)設(shè)bn=an-30,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值.2021/10/10星期日43【解析】(1)因?yàn)镾n=(an+2)2,①所以Sn-1=(an-1+2)2(n≥2).②①-②得Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2(n≥2),即an=(an+2)2-(an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2,所以an+an-1=0或an-an-1=4.因?yàn)閍n∈N*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.2021/10/10星期日44a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{an}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.(2)bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{bn}是以b1=-29為首項(xiàng),d=2為公差的等差數(shù)列.Tn=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以Tn=(n-15)2-225.當(dāng)n=15時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和有最小值為-225.2021/10/10星期日452.若數(shù)列{an}滿足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)證明數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(2)求使成立的最小的正整數(shù)n.2021/10/10星期日46【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得an+1-2an+an-1=,即(an+1-an)-(an-an-1)=,所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知an+1-an=+(n-1)=(n+1),累加求和得an=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),所以所以所以n>5,所以最小的正整數(shù)n=6.2021/10/10星期日47考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

【考情】通過(guò)近3年的高考試題分析,對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年必考,有時(shí)以選擇題、填空題的題型出現(xiàn),難度中等偏下,有時(shí)在解答題中出現(xiàn),常與求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn結(jié)合命題,題目難度中等.高頻考點(diǎn)

通關(guān)2021/10/10星期日48【典例3】(1)(2014·嘉興模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,則n的值為()A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為

.2021/10/10星期日49【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)已知利用等差數(shù)列性質(zhì):an+an-1+an-2=3an-1及Sn=計(jì)算求值.(2)求得Sn的表達(dá)式,然后表示出nSn,將其看作關(guān)于n的函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)求得最小值.2021/10/10星期日50【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)镾n-Sn-3=51(n>3),所以an-2+an-1+an=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n≥2),又因?yàn)镾n=100,即=100,而a2=3,所以=100,解得n=10.故選C.(2)由題意知:解得d=,a1=-3,所以Sn=即nSn=令f(n)=2021/10/10星期日51則有f'(n)=n2-,令f'(n)>0,得n>,令f'(n)<0,得0<n<.又因?yàn)閚為正整數(shù),所以當(dāng)n=7時(shí),f(n)=取得最小值,即nSn的最小值為-49.答案:-492021/10/10星期日52【通關(guān)錦囊】重點(diǎn)題型破解策略求基本量利用方程思想,已知a1,d,n,an,Sn中的任意三個(gè),即可利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程(組)求出其余兩個(gè)求前n項(xiàng)和的最值(1)若a1>0,d<0,且滿足前n項(xiàng)和Sn最大;(2)若a1<0,d>0,且滿足前n項(xiàng)和Sn最小;(3)除上面方法外,還可將{an}的前n項(xiàng)和最值問(wèn)題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題(公差不為零),利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解,注意n∈N*2021/10/10星期日53重點(diǎn)題型破解策略求解與函數(shù)、不等式有關(guān)的數(shù)列綜合題利用函數(shù)思想、整體思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決2021/10/10星期日54【通關(guān)題組】1.(2014·紹興模擬)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2015,其前n項(xiàng)和為Sn,若則S2015的值等于()A.-2015 B.-2014 C.-2013 D.-20122021/10/10星期日55【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)樗怨蔭12-a10=4,所以2d=4,d=2.所以S2

015=2015a1+=-2015.2021/10/10星期日562.(2014·南陽(yáng)模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S17為一確定常數(shù),則下列各式中也為確定常數(shù)的是()A.a2+a15 B.a2·a15C.a2+a9+a16 D.a2·a9·a16【解析】選C.因?yàn)镾17為一確定常數(shù),根據(jù)公式可知,a1+a17為一確定常數(shù),又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16為一確定常數(shù),故選C.2021/10/10星期日573.(2013·遼寧高考)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題:p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.其中的真命題為()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p42021/10/10星期日58【解析】選D.命題判斷過(guò)程結(jié)論p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列由an+1-an=d>0,知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列真命題p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列由(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]=a1+2nd,僅由d>0是無(wú)法判斷a1+2nd的正負(fù)的,因而不能判定(n+1)an+1,nan的大小關(guān)系假命題2021/10/10星期日59命題判斷過(guò)程結(jié)論p3:數(shù)列是遞增數(shù)列顯然,當(dāng)an=n時(shí),=1,數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,不是遞增數(shù)列假命題p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列數(shù)列的第n+1項(xiàng)減去數(shù)列的第n項(xiàng)[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]=d+3d=4d>0.所以an+1+3(n+1)d>an+3nd,即數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列真命題2021/10/10星期日604.(2014·金華模擬)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列.(1)求a1.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且bn=,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,總有Tn<2.2021/10/10星期日61【解析】(1)由已知:對(duì)于任意的n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列,所以2Sn=an+,令n=1,所以2S1=a1+,即2a1=a1+,又因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a1=1.(2)因?yàn)?Sn=an+①所以2Sn-1=an-1+(n≥2)②由①-②得:2Sn-2Sn-1=an-an-1+-,2021/10/10星期日62即2an=an-an-1+-,所以an+an-1=an2-an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1).因?yàn)閍n,an-1均為正數(shù),所以an-an-1=1(n≥2),所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(3)bn=(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),Tn=b1==1<2,當(dāng)n≥2時(shí),Tn=b1+b2+b3+…+bn2021/10/10星期日63

=2-<2.所以對(duì)任意正整數(shù)n,總有Tn<2.2021/10/10星期日64【加固訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于()A.36 B.54 C.72 D.18【解析】選C.由a4+a5=a1+a8=18,S8==72,所以選C.2021/10/10星期日652.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知前6項(xiàng)和為36,Sn=324,最后6項(xiàng)的和為180(n>6),求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n及a9+a10.【解析】由題意可知a1+a2+…+a6=36,①an+an-1+an-2+…+an-5=180,②①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,所以a1+an=36.2021/10/10星期日66又Sn==324,所以18n=324.所以n=18.所以a1+a18=36.所以a9+a10=a1+a18=36.2021/10/10星期日673.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍.(2)S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大?并說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)镾12>0,S13<0,所以即2021/10/10星期日68又a3=a1+2d=12,所以解得<d<-3.(2)方法一:Sn=na1+d(n=1,2,3,…,12).所以Sn=n(12-2d)+d因?yàn)?lt;d<-3,所以6<,所以當(dāng)n=6時(shí),Sn有最大值,所以S1,S2,…,S12中值最大的為S6.2021/10/10星期日69方法二:由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得所以a7<0,a6>0.所以在數(shù)列{an}中,前6項(xiàng)為正,從第7項(xiàng)起,以后各項(xiàng)為負(fù),故S6最大.2021/10/10星期日70【巧思妙解5】巧用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和【典例】在等差數(shù)列{an}中,S10=100,S100=10,則S110=

.【解析】常規(guī)解法:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,首項(xiàng)為a1,則解得所以S110=110a1+d=-110.答案:-1102021/10/10星期日71巧妙解法:因?yàn)镾100-S10==-90,所以a11+a100=-2,所以S110==-110.答案:-1102021/10/10星期日72【解法分析】常規(guī)解法1.直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解基本量,然后求和,是等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的常規(guī)思路.2.解法體現(xiàn)了方程思想,但計(jì)算量大,運(yùn)算過(guò)程極易出錯(cuò)巧妙解法1.①處用前n項(xiàng)和公式表示出從第11項(xiàng)到第100項(xiàng)的和,為下一步應(yīng)用性質(zhì)做好鋪墊.2.②處充分利用了等差數(shù)列的性質(zhì):若m+n=p+q,則am+an=ap+aq突出了整體思想,減少了運(yùn)算量2021/10/10星期日73【小試牛刀】在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=()A.58B.88C.143D.176【解析】常規(guī)解法:選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d,所以S11=11a1+d=11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.2021/10/10星期日74巧妙解法:選B.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16,所以S11==88.2021/10/10星期日75【規(guī)范解答】解決與等差數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題【典例】(14分)(2014·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+an+