2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí) 概率、統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)概率、統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)概率、統(tǒng)計(jì)

與數(shù)列交匯2023新高考Ⅰ卷

第21題1.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯的問(wèn)題，通常利用

全概率公式、期望等構(gòu)建遞推關(guān)系考查運(yùn)

用數(shù)列知識(shí)求通項(xiàng)、求和，并回歸解讀運(yùn)

算結(jié)果的概率含義等.2.概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)交匯的問(wèn)題，重點(diǎn)考查

由概率、統(tǒng)計(jì)背景建立函數(shù)關(guān)系，利用函

數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等工具研究取值范圍

（或最值）等.概率、統(tǒng)計(jì)

與函數(shù)交匯2023新高考Ⅱ

卷第19題2021新高考Ⅱ

卷第21題

（2023·新高考Ⅱ卷）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患

病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖所示的患病

者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值

c

，將該指標(biāo)大于

c

的

人判定為陽(yáng)性，小于或等于

c

的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將

患病者判定為陰性的概率，記為

p

（

c

）；誤診率是將未患病者判定為

陽(yáng)性的概率，記為

q

（

c

）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻

率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）

當(dāng)漏診率

p

（

c

）＝0.005時(shí)，求臨界值

c

和誤診率

q

（

c

）；解：（1）

當(dāng)

p

（

c

）＝0.005時(shí)，因?yàn)?×0.002＞0.005，所以95＜

c

＜

100.所以（

c

－95）×0.002＝0.005，解得

c

＝97.5.所以

q

（

c

）＝

0.010×（100－97.5）＋0.002×5＝0.035.（2）

設(shè)函數(shù)

f

（

c

）＝

p

（

c

）＋

q

（

c

），當(dāng)

c

∈[95，105]時(shí)，求

f

（

c

）的解析式，并求出

f

（

c

）在區(qū)間[95，105]上的最小值.

3.形如

Pn

＋1＝

xPn

＋

y

（

xy

≠0，且

x

≠

y

）的遞推關(guān)系式，可用構(gòu)造

法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.4.求概率或期望的最值的常用方法（1）

求出概率或期望的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）

構(gòu)建與表達(dá)式相對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（3）

研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性確定最值.

熱點(diǎn)

概率、統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題[典例設(shè)計(jì)]例1某地有種特產(chǎn)水果很受當(dāng)?shù)乩习傩諝g迎，但該種特產(chǎn)水果只能在9

月銷售，且該種特產(chǎn)水果當(dāng)天食用口感最好，隔天食用口感較差.某超

市每年9月都銷售該種特產(chǎn)水果，每天計(jì)劃進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為8元

/千克，銷售價(jià)為12元/千克，當(dāng)天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠，

但只能賣5元/千克.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的需求量與當(dāng)?shù)貧鉁胤秶?/p>

有一定關(guān)系.如果氣溫不低于30℃，那么需求量為5000千克；如果氣溫

不低于25℃且低于30℃，那么需求量為3500千克；如果氣溫低于25℃，

那么需求量為2000千克.氣溫[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)414362115（1）

設(shè)今年9月這種水果一天需求量為

X

千克，求

X

的分布列和數(shù)

學(xué)期望；（2）

設(shè)9月一天銷售特產(chǎn)水果的利潤(rùn)為

Y

元，9月這種水果一天的進(jìn)貨

量為

n

千克，求當(dāng)

n

的值為多少時(shí)，

Y

的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值

為多少？為了制定今年9月的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年9月的氣溫（單位：℃）數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：[思維導(dǎo)圖]

X200035005000P0.20.40.4所以

E

（

X

）＝2000×0.2＋3500×0.4＋5000×0.4＝3800.

（2）

由題意，得2000≤

n

≤5000.當(dāng)3500≤

n

≤5000時(shí)，若氣溫不低于

30℃，則

Y

＝4

n

；若氣溫不低于25℃且低于30℃，則

Y

＝3500×4－（

n

－3500）×3＝24500－3

n

；若氣溫低于25℃，則

Y

＝2000×4－（

n

－

2000）×3＝14000－3

n

.所以

E

（

Y

）＝4

n

×0.4＋（24500－3

n

）×0.4

＋（14000－3

n

）×0.2＝12600－0.2

n

.所以當(dāng)

n

＝3500時(shí)，

E

（

Y

）取

得最大值，為11900.當(dāng)2000≤

n

＜3500時(shí)，若氣溫不低于25℃，則

Y

＝4

n

；若氣溫低于25℃，則

Y

＝2000×4－（

n

－2000）×3＝14000－3

n

.

所以

E

（

Y

）＝4

n

×0.8＋（14000－3

n

）×0.2＝2800＋2.6

n

＜2800＋

2.6×3500＝11900.綜上所述，當(dāng)

n

的值為3500時(shí)，

Y

的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最

大值，最大值為11900.總結(jié)提煉

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求解，以

及期望的實(shí)際應(yīng)用.對(duì)于求離散型隨機(jī)變量的分布列的問(wèn)題，首先要找

出離散型隨機(jī)變量的所有可能取值，然后計(jì)算出每個(gè)取值的概率，接

著寫出分布列，最后按照公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.其中寫出分布列及計(jì)算

出數(shù)學(xué)期望是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（2）

設(shè)該大學(xué)畢業(yè)生在應(yīng)聘考核中考核的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列、數(shù)

學(xué)期望和方差.ξ123P

2.某商店計(jì)劃七月份訂購(gòu)某種飲品，進(jìn)貨成本為每瓶2元，未售出的飲

品降價(jià)處理，以每瓶1元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依經(jīng)驗(yàn)，零售價(jià)與日需

求量依據(jù)當(dāng)天的氣溫而定，當(dāng)氣溫不低于35℃時(shí)，零售價(jià)為每瓶5元，

日需求量為300瓶；當(dāng)氣溫不低于30℃且低于35℃時(shí)，零售價(jià)為每瓶4

元，日需求量為200瓶；當(dāng)氣溫低于30℃時(shí)，零售價(jià)為每瓶3元，日需求

量為100瓶.已知七月份每天的氣溫不低于35℃的概率為0.6，不低于30℃

且低于35℃的概率為0.2，低于30℃的概率為0.2.解：（1）

設(shè)七月份這種飲品的日需求量為

X

瓶，則隨機(jī)變量

X

的所有

可能取值為100，200，300.由題意，得

P

（

X

＝300）＝0.6，

P

（

X

＝

200）＝0.2，

P

（

X

＝100）＝0.2.所以

E

（

X

）＝300×0.6＋200×0.2＋

100×0.2＝240.所以七月份這種飲品一天的平均需求量為240瓶.（1）

求七月份這種飲品一天的平均需求量；（2）

若七月份某連續(xù)五天的氣溫均不低于30℃，為使這五天總利潤(rùn)的

期望最大，每天應(yīng)進(jìn)多少瓶這種飲品？

所以

E

（

Z

）＝

E

（5

Y

）＝5

E

（

Y

）＝5×（150＋2

n

）＝750＋10

n

.

所以當(dāng)

n

＝300時(shí)，

E

（

Z

）取得最大值.所以為使這五天總利潤(rùn)的期望

最大，每天應(yīng)進(jìn)300瓶這種飲品.[典例設(shè)計(jì)]例2

（2023·吉安一模改編）某機(jī)構(gòu)從300名員工中篩選出一批優(yōu)秀員

工充實(shí)科研力量，篩選方法：每名員工進(jìn)行A，B，C三項(xiàng)測(cè)試，3項(xiàng)測(cè)

試全部通過(guò)則被錄用，若其中至少有2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工，將被

淘汰，有且只有1項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再次測(cè)試A，B兩項(xiàng)，若這

兩項(xiàng)全部通過(guò)則被錄用，否則被淘汰，每位員工的每項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，

且每項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為

p

（0＜

p

＜1）.每名員工不需要重新

測(cè)試的費(fèi)用為120元，需要重新測(cè)試的總費(fèi)用為200元，除測(cè)試費(fèi)用外，

其他費(fèi)用總計(jì)為1萬(wàn)元，且該300名員工全部參與測(cè)試，預(yù)算為6萬(wàn)元.問(wèn)

這項(xiàng)方案是否會(huì)超過(guò)預(yù)算？請(qǐng)說(shuō)明理由.[思維導(dǎo)圖]

xf'（x）＋0－f（x）單調(diào)遞增單調(diào)遞減當(dāng)

x

變化時(shí)，f'（

x

），

f

（

x

）的變化情況如下表：

總結(jié)提煉

這類問(wèn)題的本質(zhì)是以概率、統(tǒng)計(jì)為主導(dǎo)，寫出概率或期望的表達(dá)

式，再求最值，綜合性較強(qiáng).求最值時(shí)，通常利用基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)或借助導(dǎo)數(shù)求解.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.（2023·江蘇聯(lián)考）某小區(qū)有居民2000人，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出

乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn).假設(shè)攜帶病毒

的居民占0.9％，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按

n

人一組進(jìn)行分組，將各組

n

個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈

陰性，則這

n

個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽(yáng)性，則其中至少有

一人的血樣呈陽(yáng)性，需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的

化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，

n

個(gè)人

混合化驗(yàn)一次共花費(fèi)（

n

＋9）元.求

n

為何值時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的

數(shù)學(xué)期望最小[注：當(dāng)

p

＜0.01時(shí)，（1－

p

）

n

≈1－

np

].解：設(shè)每組

n

人的總費(fèi)用為

X

元.若混合血樣呈陰性，則

X

＝

n

＋

9；若混合血樣為陽(yáng)性，則

X

＝

n

＋9＋10

n

＝11

n

＋9.由題意，得

P

（

X

＝

n

＋9）＝0.991

n

，

P

（

X

＝11

n

＋9）＝1－0.991

n

.所以

X

的分布列如下表：Xn＋911n＋9P0.991n1－0.991n

[典例設(shè)計(jì)]例3

（2023·銀川二模改編）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消

費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲

都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，

2，3，4，5，6），若向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2，則獲得1分，否則獲得2

分.進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮

券；若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份.最多進(jìn)行20

輪游戲.設(shè)累計(jì)得分為

i

分的概率為

Pi

（規(guī)定初始得分為0分，

P

0＝1）.（1）

求證：數(shù)列{

Pi

－

Pi

－1}（

i

＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；（2）

求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯的問(wèn)題，綜合性較