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文檔簡介

2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習概率、統(tǒng)計綜合問題

考點梳理考情回顧高考預測概率、統(tǒng)計

與數(shù)列交匯2023新高考Ⅰ卷

第21題1.概率統(tǒng)計與數(shù)列交匯的問題,通常利用

全概率公式、期望等構建遞推關系考查運

用數(shù)列知識求通項、求和,并回歸解讀運

算結果的概率含義等.2.概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯的問題,重點考查

由概率、統(tǒng)計背景建立函數(shù)關系,利用函

數(shù)、導數(shù)、不等式等工具研究取值范圍

(或最值)等.概率、統(tǒng)計

與函數(shù)交匯2023新高考Ⅱ

卷第19題2021新高考Ⅱ

卷第21題

(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患

病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如圖所示的患病

者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值

c

,將該指標大于

c

人判定為陽性,小于或等于

c

的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將

患病者判定為陰性的概率,記為

p

c

);誤診率是將未患病者判定為

陽性的概率,記為

q

c

).假設數(shù)據在組內均勻分布,以事件發(fā)生的頻

率作為相應事件發(fā)生的概率.(1)

當漏診率

p

c

)=0.005時,求臨界值

c

和誤診率

q

c

);解:(1)

p

c

)=0.005時,因為5×0.002>0.005,所以95<

c

100.所以(

c

-95)×0.002=0.005,解得

c

=97.5.所以

q

c

)=

0.010×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)

設函數(shù)

f

c

)=

p

c

)+

q

c

),當

c

∈[95,105]時,求

f

c

)的解析式,并求出

f

c

)在區(qū)間[95,105]上的最小值.

3.形如

Pn

+1=

xPn

y

xy

≠0,且

x

y

)的遞推關系式,可用構造

法,轉化為等比數(shù)列.4.求概率或期望的最值的常用方法(1)

求出概率或期望的數(shù)學表達式;(2)

構建與表達式相對應的函數(shù);(3)

研究函數(shù)的單調性,進而利用單調性確定最值.

熱點

概率、統(tǒng)計綜合問題[典例設計]例1某地有種特產水果很受當?shù)乩习傩諝g迎,但該種特產水果只能在9

月銷售,且該種特產水果當天食用口感最好,隔天食用口感較差.某超

市每年9月都銷售該種特產水果,每天計劃進貨量相同,進貨成本為8元

/千克,銷售價為12元/千克,當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠,

但只能賣5元/千克.根據往年的銷售經驗,每天的需求量與當?shù)貧鉁胤秶?/p>

有一定關系.如果氣溫不低于30℃,那么需求量為5000千克;如果氣溫

不低于25℃且低于30℃,那么需求量為3500千克;如果氣溫低于25℃,

那么需求量為2000千克.氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)414362115(1)

設今年9月這種水果一天需求量為

X

千克,求

X

的分布列和數(shù)

學期望;(2)

設9月一天銷售特產水果的利潤為

Y

元,9月這種水果一天的進貨

量為

n

千克,求當

n

的值為多少時,

Y

的數(shù)學期望達到最大值,最大值

為多少?為了制定今年9月的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年9月的氣溫(單位:℃)數(shù)據,得到下面的頻數(shù)分布表:[思維導圖]

X200035005000P0.20.40.4所以

E

X

)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800.

(2)

由題意,得2000≤

n

≤5000.當3500≤

n

≤5000時,若氣溫不低于

30℃,則

Y

=4

n

;若氣溫不低于25℃且低于30℃,則

Y

=3500×4-(

n

-3500)×3=24500-3

n

;若氣溫低于25℃,則

Y

=2000×4-(

n

2000)×3=14000-3

n

.所以

E

Y

)=4

n

×0.4+(24500-3

n

)×0.4

+(14000-3

n

)×0.2=12600-0.2

n

.所以當

n

=3500時,

E

Y

)取

得最大值,為11900.當2000≤

n

<3500時,若氣溫不低于25℃,則

Y

=4

n

;若氣溫低于25℃,則

Y

=2000×4-(

n

-2000)×3=14000-3

n

.

所以

E

Y

)=4

n

×0.8+(14000-3

n

)×0.2=2800+2.6

n

<2800+

2.6×3500=11900.綜上所述,當

n

的值為3500時,

Y

的數(shù)學期望達到最

大值,最大值為11900.總結提煉

本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求解,以

及期望的實際應用.對于求離散型隨機變量的分布列的問題,首先要找

出離散型隨機變量的所有可能取值,然后計算出每個取值的概率,接

著寫出分布列,最后按照公式計算出數(shù)學期望.其中寫出分布列及計算

出數(shù)學期望是解決問題的關鍵.

(2)

設該大學畢業(yè)生在應聘考核中考核的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列、數(shù)

學期望和方差.ξ123P

2.某商店計劃七月份訂購某種飲品,進貨成本為每瓶2元,未售出的飲

品降價處理,以每瓶1元的價格當天全部處理完.依經驗,零售價與日需

求量依據當天的氣溫而定,當氣溫不低于35℃時,零售價為每瓶5元,

日需求量為300瓶;當氣溫不低于30℃且低于35℃時,零售價為每瓶4

元,日需求量為200瓶;當氣溫低于30℃時,零售價為每瓶3元,日需求

量為100瓶.已知七月份每天的氣溫不低于35℃的概率為0.6,不低于30℃

且低于35℃的概率為0.2,低于30℃的概率為0.2.解:(1)

設七月份這種飲品的日需求量為

X

瓶,則隨機變量

X

的所有

可能取值為100,200,300.由題意,得

P

X

=300)=0.6,

P

X

200)=0.2,

P

X

=100)=0.2.所以

E

X

)=300×0.6+200×0.2+

100×0.2=240.所以七月份這種飲品一天的平均需求量為240瓶.(1)

求七月份這種飲品一天的平均需求量;(2)

若七月份某連續(xù)五天的氣溫均不低于30℃,為使這五天總利潤的

期望最大,每天應進多少瓶這種飲品?

所以

E

Z

)=

E

(5

Y

)=5

E

Y

)=5×(150+2

n

)=750+10

n

.

所以當

n

=300時,

E

Z

)取得最大值.所以為使這五天總利潤的期望

最大,每天應進300瓶這種飲品.[典例設計]例2

(2023·吉安一模改編)某機構從300名員工中篩選出一批優(yōu)秀員

工充實科研力量,篩選方法:每名員工進行A,B,C三項測試,3項測

試全部通過則被錄用,若其中至少有2項測試“不合格”的員工,將被

淘汰,有且只有1項測試“不合格”的員工將再次測試A,B兩項,若這

兩項全部通過則被錄用,否則被淘汰,每位員工的每項測試相互獨立,

且每項測試“不合格”的概率均為

p

(0<

p

<1).每名員工不需要重新

測試的費用為120元,需要重新測試的總費用為200元,除測試費用外,

其他費用總計為1萬元,且該300名員工全部參與測試,預算為6萬元.問

這項方案是否會超過預算?請說明理由.[思維導圖]

xf'(x)+0-f(x)單調遞增單調遞減當

x

變化時,f'(

x

),

f

x

)的變化情況如下表:

總結提煉

這類問題的本質是以概率、統(tǒng)計為主導,寫出概率或期望的表達

式,再求最值,綜合性較強.求最值時,通常利用基本不等式、函數(shù)的性質或借助導數(shù)求解.[對點訓練]3.(2023·江蘇聯(lián)考)某小區(qū)有居民2000人,想通過驗血的方法篩查出

乙肝病毒攜帶者,為此需對小區(qū)全體居民進行血液化驗.假設攜帶病毒

的居民占0.9%,若逐個化驗需化驗2000次.為減輕化驗工作量,隨機按

n

人一組進行分組,將各組

n

個人的血液混合在一起化驗,若混合血樣呈

陰性,則這

n

個人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽性,則其中至少有

一人的血樣呈陽性,需對每個人再分別單獨化驗一次.假設每位居民的

化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.每人單獨化驗一次花費10元,

n

個人

混合化驗一次共花費(

n

+9)元.求

n

為何值時,每位居民化驗費用的

數(shù)學期望最小[注:當

p

<0.01時,(1-

p

n

≈1-

np

].解:設每組

n

人的總費用為

X

元.若混合血樣呈陰性,則

X

n

9;若混合血樣為陽性,則

X

n

+9+10

n

=11

n

+9.由題意,得

P

X

n

+9)=0.991

n

,

P

X

=11

n

+9)=1-0.991

n

.所以

X

的分布列如下表:Xn+911n+9P0.991n1-0.991n

[典例設計]例3

(2023·銀川二模改編)某商場擬在年末進行促銷活動,為吸引消

費者,特別推出“玩游戲,送禮券”的活動,游戲規(guī)則如下:每輪游戲

都拋擲一枚質地均勻的骰子(形狀為正方體,六個面的點數(shù)分別為1,

2,3,4,5,6),若向上一面的點數(shù)不超過2,則獲得1分,否則獲得2

分.進行若干輪游戲,若累計得分為19分,則游戲結束,可得到200元禮

券;若累計得分為20分,則游戲結束,可得到紀念品一份.最多進行20

輪游戲.設累計得分為

i

分的概率為

Pi

(規(guī)定初始得分為0分,

P

0=1).(1)

求證:數(shù)列{

Pi

Pi

-1}(

i

=1,2,…,19)是等比數(shù)列;(2)

求活動參與者得到紀念品的概率.[思維導圖]

總結提煉

概率、統(tǒng)計與數(shù)列交匯的問題,綜合性較

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