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文檔簡介
2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習概率、統(tǒng)計綜合問題
考點梳理考情回顧高考預測概率、統(tǒng)計
與數(shù)列交匯2023新高考Ⅰ卷
第21題1.概率統(tǒng)計與數(shù)列交匯的問題,通常利用
全概率公式、期望等構建遞推關系考查運
用數(shù)列知識求通項、求和,并回歸解讀運
算結果的概率含義等.2.概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯的問題,重點考查
由概率、統(tǒng)計背景建立函數(shù)關系,利用函
數(shù)、導數(shù)、不等式等工具研究取值范圍
(或最值)等.概率、統(tǒng)計
與函數(shù)交匯2023新高考Ⅱ
卷第19題2021新高考Ⅱ
卷第21題
(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患
病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如圖所示的患病
者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:
利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值
c
,將該指標大于
c
的
人判定為陽性,小于或等于
c
的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將
患病者判定為陰性的概率,記為
p
(
c
);誤診率是將未患病者判定為
陽性的概率,記為
q
(
c
).假設數(shù)據在組內均勻分布,以事件發(fā)生的頻
率作為相應事件發(fā)生的概率.(1)
當漏診率
p
(
c
)=0.005時,求臨界值
c
和誤診率
q
(
c
);解:(1)
當
p
(
c
)=0.005時,因為5×0.002>0.005,所以95<
c
<
100.所以(
c
-95)×0.002=0.005,解得
c
=97.5.所以
q
(
c
)=
0.010×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)
設函數(shù)
f
(
c
)=
p
(
c
)+
q
(
c
),當
c
∈[95,105]時,求
f
(
c
)的解析式,并求出
f
(
c
)在區(qū)間[95,105]上的最小值.
3.形如
Pn
+1=
xPn
+
y
(
xy
≠0,且
x
≠
y
)的遞推關系式,可用構造
法,轉化為等比數(shù)列.4.求概率或期望的最值的常用方法(1)
求出概率或期望的數(shù)學表達式;(2)
構建與表達式相對應的函數(shù);(3)
研究函數(shù)的單調性,進而利用單調性確定最值.
熱點
概率、統(tǒng)計綜合問題[典例設計]例1某地有種特產水果很受當?shù)乩习傩諝g迎,但該種特產水果只能在9
月銷售,且該種特產水果當天食用口感最好,隔天食用口感較差.某超
市每年9月都銷售該種特產水果,每天計劃進貨量相同,進貨成本為8元
/千克,銷售價為12元/千克,當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠,
但只能賣5元/千克.根據往年的銷售經驗,每天的需求量與當?shù)貧鉁胤秶?/p>
有一定關系.如果氣溫不低于30℃,那么需求量為5000千克;如果氣溫
不低于25℃且低于30℃,那么需求量為3500千克;如果氣溫低于25℃,
那么需求量為2000千克.氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)414362115(1)
設今年9月這種水果一天需求量為
X
千克,求
X
的分布列和數(shù)
學期望;(2)
設9月一天銷售特產水果的利潤為
Y
元,9月這種水果一天的進貨
量為
n
千克,求當
n
的值為多少時,
Y
的數(shù)學期望達到最大值,最大值
為多少?為了制定今年9月的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年9月的氣溫(單位:℃)數(shù)據,得到下面的頻數(shù)分布表:[思維導圖]
X200035005000P0.20.40.4所以
E
(
X
)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800.
(2)
由題意,得2000≤
n
≤5000.當3500≤
n
≤5000時,若氣溫不低于
30℃,則
Y
=4
n
;若氣溫不低于25℃且低于30℃,則
Y
=3500×4-(
n
-3500)×3=24500-3
n
;若氣溫低于25℃,則
Y
=2000×4-(
n
-
2000)×3=14000-3
n
.所以
E
(
Y
)=4
n
×0.4+(24500-3
n
)×0.4
+(14000-3
n
)×0.2=12600-0.2
n
.所以當
n
=3500時,
E
(
Y
)取
得最大值,為11900.當2000≤
n
<3500時,若氣溫不低于25℃,則
Y
=4
n
;若氣溫低于25℃,則
Y
=2000×4-(
n
-2000)×3=14000-3
n
.
所以
E
(
Y
)=4
n
×0.8+(14000-3
n
)×0.2=2800+2.6
n
<2800+
2.6×3500=11900.綜上所述,當
n
的值為3500時,
Y
的數(shù)學期望達到最
大值,最大值為11900.總結提煉
本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求解,以
及期望的實際應用.對于求離散型隨機變量的分布列的問題,首先要找
出離散型隨機變量的所有可能取值,然后計算出每個取值的概率,接
著寫出分布列,最后按照公式計算出數(shù)學期望.其中寫出分布列及計算
出數(shù)學期望是解決問題的關鍵.
(2)
設該大學畢業(yè)生在應聘考核中考核的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列、數(shù)
學期望和方差.ξ123P
2.某商店計劃七月份訂購某種飲品,進貨成本為每瓶2元,未售出的飲
品降價處理,以每瓶1元的價格當天全部處理完.依經驗,零售價與日需
求量依據當天的氣溫而定,當氣溫不低于35℃時,零售價為每瓶5元,
日需求量為300瓶;當氣溫不低于30℃且低于35℃時,零售價為每瓶4
元,日需求量為200瓶;當氣溫低于30℃時,零售價為每瓶3元,日需求
量為100瓶.已知七月份每天的氣溫不低于35℃的概率為0.6,不低于30℃
且低于35℃的概率為0.2,低于30℃的概率為0.2.解:(1)
設七月份這種飲品的日需求量為
X
瓶,則隨機變量
X
的所有
可能取值為100,200,300.由題意,得
P
(
X
=300)=0.6,
P
(
X
=
200)=0.2,
P
(
X
=100)=0.2.所以
E
(
X
)=300×0.6+200×0.2+
100×0.2=240.所以七月份這種飲品一天的平均需求量為240瓶.(1)
求七月份這種飲品一天的平均需求量;(2)
若七月份某連續(xù)五天的氣溫均不低于30℃,為使這五天總利潤的
期望最大,每天應進多少瓶這種飲品?
所以
E
(
Z
)=
E
(5
Y
)=5
E
(
Y
)=5×(150+2
n
)=750+10
n
.
所以當
n
=300時,
E
(
Z
)取得最大值.所以為使這五天總利潤的期望
最大,每天應進300瓶這種飲品.[典例設計]例2
(2023·吉安一模改編)某機構從300名員工中篩選出一批優(yōu)秀員
工充實科研力量,篩選方法:每名員工進行A,B,C三項測試,3項測
試全部通過則被錄用,若其中至少有2項測試“不合格”的員工,將被
淘汰,有且只有1項測試“不合格”的員工將再次測試A,B兩項,若這
兩項全部通過則被錄用,否則被淘汰,每位員工的每項測試相互獨立,
且每項測試“不合格”的概率均為
p
(0<
p
<1).每名員工不需要重新
測試的費用為120元,需要重新測試的總費用為200元,除測試費用外,
其他費用總計為1萬元,且該300名員工全部參與測試,預算為6萬元.問
這項方案是否會超過預算?請說明理由.[思維導圖]
xf'(x)+0-f(x)單調遞增單調遞減當
x
變化時,f'(
x
),
f
(
x
)的變化情況如下表:
總結提煉
這類問題的本質是以概率、統(tǒng)計為主導,寫出概率或期望的表達
式,再求最值,綜合性較強.求最值時,通常利用基本不等式、函數(shù)的性質或借助導數(shù)求解.[對點訓練]3.(2023·江蘇聯(lián)考)某小區(qū)有居民2000人,想通過驗血的方法篩查出
乙肝病毒攜帶者,為此需對小區(qū)全體居民進行血液化驗.假設攜帶病毒
的居民占0.9%,若逐個化驗需化驗2000次.為減輕化驗工作量,隨機按
n
人一組進行分組,將各組
n
個人的血液混合在一起化驗,若混合血樣呈
陰性,則這
n
個人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽性,則其中至少有
一人的血樣呈陽性,需對每個人再分別單獨化驗一次.假設每位居民的
化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.每人單獨化驗一次花費10元,
n
個人
混合化驗一次共花費(
n
+9)元.求
n
為何值時,每位居民化驗費用的
數(shù)學期望最小[注:當
p
<0.01時,(1-
p
)
n
≈1-
np
].解:設每組
n
人的總費用為
X
元.若混合血樣呈陰性,則
X
=
n
+
9;若混合血樣為陽性,則
X
=
n
+9+10
n
=11
n
+9.由題意,得
P
(
X
=
n
+9)=0.991
n
,
P
(
X
=11
n
+9)=1-0.991
n
.所以
X
的分布列如下表:Xn+911n+9P0.991n1-0.991n
[典例設計]例3
(2023·銀川二模改編)某商場擬在年末進行促銷活動,為吸引消
費者,特別推出“玩游戲,送禮券”的活動,游戲規(guī)則如下:每輪游戲
都拋擲一枚質地均勻的骰子(形狀為正方體,六個面的點數(shù)分別為1,
2,3,4,5,6),若向上一面的點數(shù)不超過2,則獲得1分,否則獲得2
分.進行若干輪游戲,若累計得分為19分,則游戲結束,可得到200元禮
券;若累計得分為20分,則游戲結束,可得到紀念品一份.最多進行20
輪游戲.設累計得分為
i
分的概率為
Pi
(規(guī)定初始得分為0分,
P
0=1).(1)
求證:數(shù)列{
Pi
-
Pi
-1}(
i
=1,2,…,19)是等比數(shù)列;(2)
求活動參與者得到紀念品的概率.[思維導圖]
總結提煉
概率、統(tǒng)計與數(shù)列交匯的問題,綜合性較
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