專題04 五大類概率與統(tǒng)計(jì)-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）（教師解析版）

專題04五大類概率與統(tǒng)計(jì)題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型1獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題】【題型2線性回歸及非線性回歸問(wèn)題】【題型3超幾何分布問(wèn)題】【題型4二項(xiàng)分布問(wèn)題】【題型5正態(tài)分布問(wèn)題】獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題分層抽樣一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的。注：①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．注意：算出的k2在那個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而求出k0在那個(gè)區(qū)間4月15日是全民國(guó)家安全教育日．以人民安全為宗旨也是“總體國(guó)家安全觀”的核心價(jià)值.只有人人參與，人人負(fù)責(zé)，國(guó)家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為知識(shí)群體的青年學(xué)生，是強(qiáng)國(guó)富民的中堅(jiān)力量，他們的國(guó)家安全意識(shí)取向?qū)?guó)家安全尤為重要.某校社團(tuán)隨機(jī)抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷600份（答卷卷面滿分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間．同時(shí)根據(jù)560份有效答卷的分?jǐn)?shù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)n（同一組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代替）.(2)如果把75分及以上稱為對(duì)國(guó)家安全知識(shí)高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國(guó)家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．高敏感低敏感總計(jì)男生80女生80總計(jì)560附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中．破解：（1）第一步：因?yàn)?，所以．又，第二步：從頻率分布直方圖求算中位數(shù)及平均數(shù)故設(shè)中位數(shù)為x，則，所以．平均數(shù).（2）由題意可得列聯(lián)表如下：高敏感低敏感總計(jì)男生80160240女生80240320總計(jì)160400560代入公式即可：,故有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國(guó)家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．某市閱讀研究小組為了解該城市中學(xué)生閱讀與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，在參加市中學(xué)生語(yǔ)文綜合能力競(jìng)賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，并按學(xué)生成績(jī)是否高于75分（滿分100分）及周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出成績(jī)不低于75分的樣本占樣本總數(shù)的，周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而不低于75分且周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的樣本有100人.周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)75分以下不低于75分100合計(jì)500(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)與閱讀時(shí)間是否有關(guān)；(2)先從成績(jī)不低于75分的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)分層抽樣抽取9人進(jìn)一步做問(wèn)卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列與均值.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.010.0050.0016.6357.87910.828破解：（1）第一步：根據(jù)已知條件，列聯(lián)表如下：周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)75分以下200150350不低于75分50100150合計(jì)250250500所以，第二步：由表知，所以有的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)與閱讀時(shí)間有關(guān).（2）第一步：由題意得：成績(jī)不低于75分的學(xué)生中周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)和不少于10小時(shí)的人數(shù)比是1:2，第二步：分層抽樣按比例抽取：按分層抽樣抽取9人，則周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)有3人，不少于10小時(shí)的有6人，第三步：列出分布列從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，則可能的取值為，，.分布列如下：0123第四步：利用公式求算期望.1．某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)男女合計(jì)(1)通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？(2)為收集學(xué)生對(duì)課外活動(dòng)建議，在參加文化藝術(shù)類活動(dòng)的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取了名同學(xué).若在這名同學(xué)中隨機(jī)抽取名，求所抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.【答案】(1)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)(2)【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可得：，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān).（2）抽取的名同學(xué)中，男生有人，女生有人，記事件為“抽取的名同學(xué)中至少有名女生”，則，，即抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率為.2．軟筆書(shū)法又稱中國(guó)書(shū)法，是我國(guó)的國(guó)粹之一，琴棋書(shū)畫(huà)中的“書(shū)”指的正是書(shū)法.作為我國(guó)的獨(dú)有藝術(shù)，軟筆書(shū)法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對(duì)藝術(shù)的審美還能開(kāi)發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對(duì)孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來(lái)越來(lái)越多的家長(zhǎng)開(kāi)始注重孩子的書(shū)法教育.某書(shū)法培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習(xí)一種書(shū)體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：書(shū)體楷書(shū)行書(shū)草書(shū)隸書(shū)篆書(shū)人數(shù)2416102010(1)該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某周學(xué)生軟筆書(shū)法作業(yè)完成情況，得到下表，其中.認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計(jì)男生女生總計(jì)60若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的女生的人數(shù).(2)現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書(shū)與行書(shū)的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書(shū)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.012.7063.8416.635【答案】(1)20(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計(jì)男生女生總計(jì)602080由題意可得，得.易知為5的倍數(shù)，且，所以，所以該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的女生有（人）.（2）因?yàn)閷W(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書(shū)與行書(shū)的人數(shù)之比為，所以用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書(shū)的有（人），學(xué)習(xí)行書(shū)的有（人），所以的所有可能取值為，，，，，.的分布列為：01234所以.3．甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實(shí)施“小小醫(yī)生計(jì)劃”，即通過(guò)對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬診斷這3項(xiàng)程序后直接簽約一批畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)部門(mén)獨(dú)立依次考核，且互不影響，當(dāng)3項(xiàng)程序全部通過(guò)即可簽約．假設(shè)該校口腔醫(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過(guò)3項(xiàng)程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)男生582785女生424385合計(jì)10070170(1)判斷是否有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；(2)該?？谇会t(yī)學(xué)系準(zhǔn)備從專業(yè)成績(jī)排名前5名的畢業(yè)生中隨機(jī)挑選2人去參加乙醫(yī)院的考核，求專業(yè)排名第一的小華同學(xué)被選中的概率．參考公式與臨界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān).(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān).（2）分別記專業(yè)成績(jī)排名前5名的畢業(yè)生依次為,則從這5人中隨機(jī)選取2人的基本事件有：共10個(gè)，其中選出的這2人中包含專業(yè)成績(jī)排名第一的基本事件有共4個(gè)，故所求概率為4．某大學(xué)保衛(wèi)處隨機(jī)抽取該校1000名大學(xué)生對(duì)該校學(xué)生進(jìn)出校園管理制度的態(tài)度進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，結(jié)果見(jiàn)下表：男生（單位：人）女生（單位：人）總計(jì)贊成400300700不贊成100200300總計(jì)5005001000(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別是否有關(guān)；(2)為答謝參與問(wèn)卷調(diào)查的同學(xué)，參與本次問(wèn)卷調(diào)查的同學(xué)每人可以抽一次獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)結(jié)果及概率如下：獎(jiǎng)金（單位：元）01020獲獎(jiǎng)概率若甲?乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加抽獎(jiǎng)，他們的獲獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立，記兩人獲得獎(jiǎng)金的總金額為（單位：元），求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828【答案】(1)有關(guān)(2)16.【詳解】（1）零假設(shè)為：該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別無(wú)關(guān)聯(lián).由已知得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（2）由題意可知的取值為.記事件表示甲同學(xué)中獎(jiǎng)的金額為元，；事件表示乙同學(xué)中獎(jiǎng)的金額為元，，且事件與事件相互獨(dú)立.則，故的數(shù)學(xué)期望5．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)員，據(jù)統(tǒng)計(jì)某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男學(xué)生600人，女學(xué)生400人，男女各有100名學(xué)生有報(bào)名意向．(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女學(xué)生有報(bào)名意向的概率；有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)(2)判斷是否有的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān)．附：，其中：，0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，男學(xué)生有報(bào)名意向的概率為，女學(xué)生有報(bào)名意向的概率為(2)有的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān)【詳解】（1）列聯(lián)表如下：有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)男學(xué)生有報(bào)名意向的概率為，女學(xué)生有報(bào)名意向的概率為；（2）因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān).6．“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽”的簡(jiǎn)稱.在2023年火爆“出圈”后，“村超”熱度不減.2024年1月6日，萬(wàn)眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開(kāi)帷幕，一場(chǎng)由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂(lè)子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”.為了解不同年齡的游客對(duì)“村超”的滿意度，某組織進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取年齡超過(guò)35周歲和年齡不超過(guò)35周歲各200人作為樣本，每位參與調(diào)查的游客都對(duì)“村超”給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià).設(shè)事件“游客對(duì)“村超”滿意”，事件“游客年齡不超過(guò)35周歲”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，，.(1)根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表并說(shuō)明理由；年齡滿意度合計(jì)滿意不滿意年齡不超過(guò)35周歲年齡超過(guò)35周歲合計(jì)(2)由（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對(duì)“村超”的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián)？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)詳解(2)沒(méi)有關(guān)聯(lián)【詳解】（1）根據(jù)題意，由，可得不超過(guò)35歲的人中，對(duì)“村超”滿意且有160人，又由，可得對(duì)“村超”滿意的人中超過(guò)35歲的有140人，由此列聯(lián)表如下.年齡滿意度合計(jì)滿意不滿意不超過(guò)35歲16040200超過(guò)35歲14060200合計(jì)300100400（2）由.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，，即認(rèn)為性別與滿意度沒(méi)有關(guān)聯(lián).7．某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)男100300400女50100150合計(jì)150400550(1)通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？(2)“投壺”是中國(guó)古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀．該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中，設(shè)置了一項(xiàng)“投壺”活動(dòng)．已知甲、乙兩人參加投壺活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，．【答案】(1)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，(2)分布列見(jiàn)解析，期望為【詳解】（1）零假設(shè)沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，，故有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，（2）的可能取值為，,，，，，故的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望8．隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國(guó)家開(kāi)始大力推行科技特長(zhǎng)生招生扶持政策，教育部也出臺(tái)了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見(jiàn)（征求意見(jiàn)稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備.某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了兩個(gè)參加國(guó)內(nèi)學(xué)科競(jìng)賽的中學(xué)，從兩個(gè)中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機(jī)抽取了60人統(tǒng)計(jì)其參賽獲獎(jiǎng)情況，并將結(jié)果整理如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349(1)試判斷是否有的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來(lái)自中學(xué)的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)沒(méi)有的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)(2)【詳解】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計(jì)中學(xué)11617中學(xué)34943總計(jì)451560所以，故沒(méi)有的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān).（2）由題知，用分層抽樣抽取的5人中，來(lái)自中學(xué)的有2人，記為，來(lái)自中學(xué)的有3人，記為，從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，所有的結(jié)果有，共10種，其中恰有2人來(lái)自中學(xué)的結(jié)果有，共6種，故所求概率.線性回歸及非線性回歸問(wèn)題線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．非線性回歸建立非線性回歸模型的基本步驟（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．2023年，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強(qiáng)了企業(yè)的創(chuàng)新動(dòng)能.某企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過(guò)技術(shù)革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場(chǎng)知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接到的訂單數(shù)量.月份t1234訂單數(shù)量y（萬(wàn)件）5.25.35.75.8附：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，.(1)試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.破解：（1）第一步：，，第二步：，，，第三步：，訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性較強(qiáng)；（2）第一步：，第二步：，線性回歸方程為，令，（萬(wàn)件），即該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量預(yù)計(jì)為6.05萬(wàn)件.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車(chē)載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車(chē)載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1—5．年份代碼x12345車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，通過(guò)修正，把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模．參考數(shù)據(jù)：1.9433.821.71.6其中，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．破解：（1）解：第一步：因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，第二步：設(shè)，所以，設(shè)，因?yàn)?，第三步：所以，第四步：所以所以所以?）由（1）知2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模為17，故預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（十億元）.某新能源汽車(chē)公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)投資額x（單位：百萬(wàn)元）與其月銷(xiāo)售量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通過(guò)分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃用作為月銷(xiāo)售量y關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)公司決策層預(yù)測(cè)當(dāng)投資額為11百萬(wàn)元時(shí)，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷(xiāo).根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)投資11百萬(wàn)元進(jìn)行產(chǎn)品促銷(xiāo)后，月銷(xiāo)售量的分布列為：345Pp結(jié)合回歸方程和的分布列，試問(wèn)公司的決策是否合理.參考公式及參考數(shù)據(jù)：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整數(shù)）25689破解：（1）第一步：因?yàn)?，令，所?由題可得，，第二步：則，，所以，所以回歸方程為.（2）第一步：當(dāng)時(shí)，.第二步：因?yàn)榍?，所以，所?所以公司的決策合理.1．某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入（萬(wàn)元）與科技升級(jí)直接收益（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456723468101313223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：模型②：.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；(2)根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬(wàn)元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）【答案】(1)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.(2)198.6【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.（2）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：（萬(wàn)元）2．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，通過(guò)對(duì)“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：；，其中、、、均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：相關(guān)系數(shù)回歸直線中：，．【答案】(1)模型擬合度更好(2)【詳解】（1）設(shè)模型的相關(guān)系數(shù)為，模型的相關(guān)系數(shù)為，對(duì)于模型，令，即，所以，對(duì)于模型，有，令，即，所以，因?yàn)?，所以模型擬合度更好.（2）因?yàn)?，，所以關(guān)于的回歸方程為.3．一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長(zhǎng)外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來(lái)中國(guó)各地政府對(duì)夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長(zhǎng)，下表為2017—2022年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模（單位：萬(wàn)億元），設(shè)2017—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼x123456中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模y/萬(wàn)億元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.01）；(2)某傳媒公司發(fā)布的2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)城市發(fā)展指數(shù)排行榜前10名中，吸引力超過(guò)90分的有4個(gè)，從這10個(gè)城市中隨機(jī)抽取5個(gè)，記吸引力超過(guò)90分的城市數(shù)量為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：3.36673.28217.251.16其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，2【詳解】（1）將的等號(hào)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以．，．所以，．所以，即，所以．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，．所以X的分布列為X01234P．4．當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動(dòng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展和解決人類面臨的全球性問(wèn)題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來(lái)該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷(xiāo)售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．12345611.53612(1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（計(jì)算過(guò)程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測(cè)年投入額為百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售量是多少?經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．【答案】(1)，(2)②的擬合效果好，預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量是千件【詳解】（1），所以，所以.由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，即，，所以，所以.（2），對(duì)于，；對(duì)于，，所以②的擬合效果好，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值千件.5．碳排放是引起全球氣候變暖問(wèn)題的主要原因．2009年世界氣候大會(huì)，中國(guó)做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽(yù)為了中國(guó)低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國(guó)政府在聯(lián)合國(guó)大會(huì)發(fā)言提出：中國(guó)二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對(duì)“零排放”．如圖為本世紀(jì)來(lái)，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖．該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于經(jīng)濟(jì)發(fā)展，沒(méi)有有效控制碳排放；從2010年開(kāi)始，該省通過(guò)各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號(hào)，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開(kāi)始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計(jì)表（單位：億噸）年份2011201220132014201520162017年份代號(hào)x1234567年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關(guān)于x的線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程估計(jì)若未采取措施，2017年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說(shuō)明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？(2)根據(jù)，設(shè)2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關(guān)于x的回歸方程．①根據(jù)，求表一中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰？參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．【答案】(1)3.3（億噸），0.21（億噸）(2)①；②大約在2026年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰【詳解】（1）2017年的估計(jì)值：（億噸），從而估計(jì)減少碳排放量為（億噸）．（2）①設(shè)，則，，∴∴∴，②∵y的對(duì)稱軸為，∴大約在2026年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，6．近三年的新冠肺炎疫情對(duì)我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當(dāng)然也影響著我們的旅游習(xí)慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念．在國(guó)家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉(xiāng)村抓住機(jī)遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文化，開(kāi)展鄉(xiāng)村旅游．通過(guò)文旅度假項(xiàng)目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對(duì)應(yīng)六款不同價(jià)位的旅游套票，相應(yīng)的價(jià)格x與購(gòu)買(mǎi)人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號(hào)ABCDEF價(jià)格x/元394958677786經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點(diǎn)繪圖，發(fā)現(xiàn)價(jià)格x與購(gòu)買(mǎi)人數(shù)y近似滿足關(guān)系式，即，對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，其中，，，2，…，6．附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，，．②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于x的回歸方程．(2)按照相關(guān)部門(mén)的指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)套票價(jià)格時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門(mén)套票”．現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購(gòu)買(mǎi)一款旅游，購(gòu)買(mǎi)任意一款的可能性相等．若三人買(mǎi)的套票各不相同，記三人中購(gòu)買(mǎi)“熱門(mén)套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【詳解】（1）散點(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為，，，則，，所以回歸直線方程為．因?yàn)?，，所以，則，，所以．綜上，y關(guān)于x的回歸方程為．（2）由題意知B，C，D，E為“熱門(mén)套票”，則三人中購(gòu)買(mǎi)“熱門(mén)套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，X的可能取值為1，2，3，且，，．X的分布列如下．X123P．7．?dāng)?shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤(pán)面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；(，用分?jǐn)?shù)表示)(2)小明和小紅玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．【答案】(1).(2)分布列見(jiàn)解析，均值【詳解】（1）解:因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，所以所求回歸方程為.（2）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為3，4，5，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為X345P.8．為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】(1)選擇模型②更適宜，理由見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）該公司2028年的年利潤(rùn)最大【詳解】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動(dòng)性很大，說(shuō)明擬合關(guān)系較差；模型②的殘差波動(dòng)性很小，基本分布在0的附近，說(shuō)明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.（2）（i）設(shè)，所以，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（ii）由題設(shè)可得，當(dāng)取對(duì)稱軸即，即時(shí)，年利潤(rùn)L有最大值，故該公司2028年的年利潤(rùn)最大.超幾何分布問(wèn)題超幾何分布（1）在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別區(qū)別1：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；區(qū)別2：超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂?親近自然?尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點(diǎn)甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.破解：（1）由題可知這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質(zhì)型民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家.第一步：記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件，“這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間”為事件，第二步：則，所以.（2）這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，第一步：故的所有可能取值為.第二步：，，所以的分布列如下表：0123第三步：所以.已知某排球特色學(xué)校的校排球隊(duì)來(lái)自高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6人、2人．(1)若從該校隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào)，求抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)的概率．(2)現(xiàn)該校的排球教練對(duì)“發(fā)球、墊球、扣球”這3個(gè)動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，且在訓(xùn)練階段進(jìn)行了多輪測(cè)試，規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．已知在某一輪測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，乙同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，且每位同學(xué)的每個(gè)動(dòng)作互不影響，甲、乙兩人的測(cè)試結(jié)果互不影響．記X為甲、乙二人在該輪測(cè)試結(jié)果為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．破解：（1）設(shè)事件A為“抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)”，則有（2）第一步：設(shè)甲同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為Y，則有；第二步：設(shè)乙同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為Z，則有；所以甲同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率，乙同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率．第三步：由題意，得X可取0，1，2；則有；；．所以X的分布列為：X012P第四步：因此X的數(shù)學(xué)期望．2023年是全面貫徹落實(shí)黨二十大精神的開(kāi)局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，今年春季以來(lái)，各地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種措施，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費(fèi)越來(lái)越火爆，紹興一些超市也紛紛加大了廣告促銷(xiāo).現(xiàn)隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告支出1246101320銷(xiāo)售額19324440525354(1)建立關(guān)于的一元線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)若將超市的銷(xiāo)售額與廣告支出的比值稱為該超市的廣告效率值，當(dāng)時(shí)，稱該超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機(jī)抽取4家超市，記這4家超市中“好廣告”的超市數(shù)為，求的分布列與期望.附注：參考數(shù)據(jù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.破解：（1）第一步：由數(shù)據(jù)可得；，第二步：又，,第三步：..（2）第一步：由題知，7家超市中有3家超市的廣告是“好廣告”，X的可能取值是0，1，2，3第二步：..所以的分布列為0123第三步：所以.1．當(dāng)AIGC（生成式人工智能）領(lǐng)域的一系列創(chuàng)新性技術(shù)有了革命性突破，全球各大科技企業(yè)積極擁抱AIGC，我國(guó)有包括A在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC生成算法賽道，有包括B、C在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC的自然語(yǔ)言處理賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布（2023年中國(guó)AIGC發(fā)展研究報(bào)告），先期準(zhǔn)備從上面的10家企業(yè)中隨機(jī)選取4家進(jìn)行采訪.(1)若在布局不同的賽道中各選取2家企業(yè)，求選取的4家企業(yè)中，企業(yè)A，B，C至少有2家的概率.(2)記選取的4家科技企業(yè)中布局AIGC的是生成算法賽道的企業(yè)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，2.【詳解】（1）因?yàn)閺纳厦娴?0家科技企業(yè)布局的兩條賽道中各隨機(jī)選取2家共有種不同的選法，選取的4家科技企業(yè)中，企業(yè)至少有2家共有種不同的選法，所以選取的4家科技企業(yè)中，企業(yè)至少有2家的概率為．（2）可以取，，，所以的分布列為01234所以.2．某校高三年級(jí)名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、、、．(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；(2)從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，該人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，第分位數(shù)為(2)分布列答案見(jiàn)解析，【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可得，解得.前四個(gè)矩形的面積之和為，前五個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)為，則，解得，因此，這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)為.（2）解：數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生人數(shù)之比為，所以，所抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.3．水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果?優(yōu)質(zhì)果?精品果?禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)個(gè)10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取20個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)地抽取2個(gè)，用表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，0.8【詳解】（1）設(shè)“從100個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果”為事件，則，現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則，故恰好抽到2個(gè)禮品果的概率為；（2）用分層抽樣的方法從100個(gè)水果中抽取20個(gè)，則其中精品果8個(gè)，非精品果12個(gè)，現(xiàn)從中抽取2個(gè)，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為，則，所以的分布列為：012故的數(shù)學(xué)期望.4．某公司為了解市場(chǎng)對(duì)其開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.

(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）【答案】(1)6人，6人(2)分布列見(jiàn)解析，.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，其中，設(shè)對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分為，所以，所以本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的顧客約有（人）.根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為，則本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有（人）.（2）根據(jù)題意，這人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有人，則只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有人，的可能取值為，，，則的分布列為數(shù)學(xué)期望.5．呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時(shí)間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評(píng)委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．(1)若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來(lái)估計(jì)小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測(cè)小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；(2)若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評(píng)委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對(duì)小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測(cè)小李能否進(jìn)入決賽？【答案】(1)(2)小李能進(jìn)入決賽【詳解】（1）設(shè)“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：①得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選1道，中式熱菜入選2道的概率為②得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選2道，中式熱菜入選1道的概率為③得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)和中式熱菜各入選2道的概率為所以；（2）由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率為，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率為，則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為，因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗(yàn)．用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則，∴，∴小李能進(jìn)入決賽.6．某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，最后一個(gè)名額要在A，B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測(cè)試方案如下：A，B兩名學(xué)生各自從給定的4個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答，在這4個(gè)問(wèn)題中，已知A能正確作答其中的3個(gè)，B能正確作答每個(gè)問(wèn)題的概率都是，A，B兩名同學(xué)作答問(wèn)題相互獨(dú)立．(1)求A，B兩名同學(xué)恰好共答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；(2)若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)應(yīng)該選擇學(xué)生，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)同學(xué)答對(duì)的題數(shù)為，則隨機(jī)變量的所有可能取值為，.則，；設(shè)同學(xué)答對(duì)的題數(shù)為，則隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，.，，，.所以，兩名同學(xué)恰好共答對(duì)個(gè)問(wèn)題的概率為.（2）由（1）知，，；而，.因?yàn)椋?lt;．所以應(yīng)該選擇學(xué)生．7．一袋中有個(gè)均勻硬幣，其中有個(gè)普通硬幣，普通硬幣的一面為面值，另一面為花朵圖案，如下圖，其余個(gè)硬幣的兩面均為面值.每次試驗(yàn)從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)硬幣各擲一次，用事件表示“兩個(gè)硬幣均是面值朝上”，用事件表示“兩個(gè)硬幣均是花朵圖案朝上”，又把兩個(gè)硬幣放回袋中，如此重復(fù)次試驗(yàn).

(1)若，①求次試驗(yàn)中摸出普通硬幣個(gè)數(shù)的分布列；②求次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)的期望；(2)設(shè)次試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率為，當(dāng)取何值時(shí)，最大？【答案】(1)①分布列答案見(jiàn)解析；②.(2)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，①由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：②由題意可知，一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，所以，，則.（2）解：一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，所以，次試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，因?yàn)榍視r(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值.8．2023年9月26日，第十四屆中國(guó)（合肥）國(guó)際園林博覽會(huì)在合肥駱崗公園開(kāi)幕.本屆園博會(huì)以“生態(tài)優(yōu)先，百姓?qǐng)@博”為主題，共設(shè)有5個(gè)省內(nèi)展園?26個(gè)省外展園和7個(gè)國(guó)際展園，開(kāi)園面積近3.23平方公里.游客可通過(guò)乘坐觀光車(chē)?騎自行車(chē)和步行三種方式游園.(1)若游客甲計(jì)劃在5個(gè)省內(nèi)展園和7個(gè)國(guó)際展園中隨機(jī)選擇2個(gè)展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機(jī)調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：游園方式游園結(jié)果觀光車(chē)自行車(chē)步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計(jì)概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時(shí)乙能參觀完所有展園的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)0.4【詳解】（1）由題意知：所有可能取值為，則有：，，，可知的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為：.（2）記事件A為“游客乙乘坐觀光車(chē)游園”，事件為“游客乙騎自行車(chē)游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園”，由題意可知：，，由全概率公式可得，所以游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園的概率為0.4.二項(xiàng)分布問(wèn)題二項(xiàng)分布（1）一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．④二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．若，則，．為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來(lái)感動(dòng)師生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.破解：（1）解：第一步：由題意得，第二次抽到男生的概率為，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，第二步：而，，所以.（2）解：第一步：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且.

第二步：可得；；；；，所以隨機(jī)變量的分布列為：X01234P第三步：所以隨機(jī)變量的期望為：.某大型商場(chǎng)為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放8個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)為紅色，4個(gè)為黑色．抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球．如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng)．(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果你是商場(chǎng)老板，如何在上述問(wèn)兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由．破解：（1）第一步：若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為，第二步：因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所第三步：以的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．（2）第一步：若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)的所有可能取值為，第二步：則，，，第三步：所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因?yàn)椋?）（2）兩問(wèn)的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問(wèn)中兩次獎(jiǎng)的概率比第（2）問(wèn)的小，即，第（1）問(wèn)中不中獎(jiǎng)的概率比第問(wèn)小，即，回答一：若商場(chǎng)老板希望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問(wèn)方式進(jìn)行抽；回答二：若商場(chǎng)老板希望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第（1）問(wèn)方式進(jìn)行抽獎(jiǎng)．某公司對(duì)新生產(chǎn)出來(lái)的300輛新能源汽車(chē)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每輛汽車(chē)要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測(cè)不合格的將被列為不合格汽車(chē)，有且只有一名質(zhì)檢員檢測(cè)不合格的汽車(chē)需要重新由甲、乙兩人各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，重新檢測(cè)后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測(cè)不合格，也會(huì)被列為不合格汽車(chē).假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測(cè)相互獨(dú)立，每一次檢測(cè)不合格的概率為.(1)求每輛汽車(chē)被列為不合格汽車(chē)的概率；(2)公司對(duì)本次質(zhì)量檢測(cè)的預(yù)算支出是4萬(wàn)元，每輛汽車(chē)不需要重新檢測(cè)的費(fèi)用為60元，需要重新檢測(cè)的前后兩輪檢測(cè)的總費(fèi)用為100元，所有汽車(chē)除檢測(cè)費(fèi)用外，其他費(fèi)用估算為1萬(wàn)元，若300輛汽車(chē)全部參與質(zhì)量檢測(cè)，實(shí)際費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算?破解：（1）第一步：由題意知，每輛汽車(chē)第一輪質(zhì)量檢測(cè)被列為不合格汽車(chē)的概率為，第二步：每輛汽車(chē)重新檢測(cè)被列為不合格汽車(chē)的概率為，綜上可知，每輛汽車(chē)被列為不合格汽車(chē)的概率為.（2）第一步：設(shè)每輛汽車(chē)質(zhì)量檢測(cè)的費(fèi)用為元，則的可能取值為60，100，第二步：由題意知，，第三步：所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（元），，第四步：轉(zhuǎn)化為函數(shù)處理令，，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即（元）.所以此方案的最高費(fèi)用為（萬(wàn)元），綜上可知，實(shí)際費(fèi)用估計(jì)不會(huì)超過(guò)預(yù)算.1．某校開(kāi)展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.【答案】(1)；(2)7.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2）令，若前位玩家都沒(méi)有通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，其概率為，若前位玩家中第位玩家才通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，則前面位玩家無(wú)人通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，但沒(méi)有通過(guò)第二關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家到第位玩家都沒(méi)有通過(guò)第二關(guān)測(cè)試，其概率為，所以前面位玩家中恰有一人通過(guò)第一關(guān)測(cè)試的概率為：，因此第位成員闖過(guò)第二關(guān)的概率，由，得，解得，則，所以.2．在某公司舉辦的職業(yè)技能競(jìng)賽中，只有甲?乙兩人晉級(jí)決賽，已知決賽第一天采用五場(chǎng)三勝制，即先贏三場(chǎng)者獲勝，當(dāng)天的比賽結(jié)束，決賽第二天的賽制與第一天相同.在兩天的比賽中，若某位選手連勝兩天，則他獲得最終冠軍，決賽結(jié)束，若兩位選手各勝一天，則需進(jìn)行第三天的比賽，第三天的比賽為三場(chǎng)兩勝制，即先贏兩場(chǎng)者獲勝，并獲得最終冠軍，決賽結(jié)束.每天每場(chǎng)的比賽只有甲勝與乙勝兩種結(jié)果，每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且每場(chǎng)比賽甲獲勝的概率均為.(1)若，求第一天比賽的總場(chǎng)數(shù)為4的概率；(2)若，求決出最終冠軍時(shí)比賽的總場(chǎng)數(shù)至多為8的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若第一天比賽的總場(chǎng)數(shù)為4，且甲獲勝，故前3場(chǎng)甲贏了2場(chǎng)，第4場(chǎng)甲獲勝，則概率為，若第一天比賽的總場(chǎng)數(shù)為4，且乙獲勝，故前3場(chǎng)乙贏了2場(chǎng)，第4場(chǎng)乙獲勝，則概率為，故第一天比賽的總場(chǎng)數(shù)為4的概率為；（2）設(shè)決出最終冠軍時(shí)比賽的總場(chǎng)數(shù)為，其中最小為6，即決賽第一天和第二天均比賽3場(chǎng)結(jié)束，且兩場(chǎng)均為甲勝或乙勝，故，當(dāng)時(shí)，即決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了4場(chǎng)，另一天比賽了3場(chǎng)，其中比賽了4場(chǎng)的概率為，比賽了3場(chǎng)的概率為，結(jié)合可能第一天比賽了4場(chǎng)，可能第二天比賽了4場(chǎng)，且可能甲勝，可能乙勝，則，當(dāng)時(shí)，分為三種情況，第一種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且兩天均比賽了4場(chǎng)，此時(shí)概率為，第二種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了5場(chǎng)，另一天比賽了3場(chǎng)，此時(shí)概率為，第三種，決賽第一天和第二天，甲乙分別勝一場(chǎng)，且兩天均比賽了3場(chǎng)，決賽第三天比賽了2場(chǎng)，甲勝或乙勝，此時(shí)概率為則，故.3．為建設(shè)“書(shū)香校園”，學(xué)校圖書(shū)館對(duì)所有學(xué)生開(kāi)放圖書(shū)借閱，可借閱的圖書(shū)分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書(shū)籍”兩類.已知該校小明同學(xué)的圖書(shū)借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書(shū)借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為.(1)設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過(guò)程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，試分析他第一次借哪類圖書(shū)的可能性更大，并說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)表示第次借閱“期刊雜志”，表示第次借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，，則.依題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2.，，.隨機(jī)變量的分布列為012所以.（2）若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大．理由如下：．若第一次借閱“期刊雜志”，則．若第一次借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，則．因?yàn)?，所以小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大.4．已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過(guò)200V；②在200V~240V之間③超過(guò)240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附：若，取，．【答案】(1)0.09；(2).【詳解】（1）記電壓“不超過(guò)200V”、“在200V~240V之間”、“超過(guò)240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因?yàn)?，所以，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大．因此當(dāng)時(shí)，最大．5．某商場(chǎng)將在“周年慶”期間舉行“購(gòu)物刮刮樂(lè)，龍騰旺旺來(lái)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張“刮刮樂(lè)”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂(lè)”；其他情況不獲得“刮刮樂(lè)”．(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場(chǎng)有20000位顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．(2)已知每張“刮刮樂(lè)”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為，刮出乙獎(jiǎng)品的概率為．①求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率．【答案】(1)16372(2)①；②【詳解】（1）由題意，若某天該商場(chǎng)有20000位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；（2）設(shè)事件“顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件“顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件“顧客獲得乙獎(jiǎng)品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，2點(diǎn)，2點(diǎn)”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”，“2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”，“3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率為；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是.6．某商場(chǎng)在開(kāi)業(yè)當(dāng)天進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定該商場(chǎng)購(gòu)物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次中獎(jiǎng)的概率為，每次中獎(jiǎng)與否相互不影響.中獎(jiǎng)1次可獲得100元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)2次可獲得300元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)3次可獲得500元獎(jiǎng)金.(1)已知，求顧客甲獲得了300元獎(jiǎng)金的條件下，甲第一次抽獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率.(2)在（1）的條件下，已知該商場(chǎng)開(kāi)業(yè)促銷(xiāo)活動(dòng)的經(jīng)費(fèi)為4.5萬(wàn)元，問(wèn)該活動(dòng)是否會(huì)超過(guò)預(yù)算?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不會(huì)，說(shuō)明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)顧客甲獲得了300元獎(jiǎng)金的事件為A，甲第一次抽獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的事件為B，則，，故；（2）設(shè)一名顧客獲得的獎(jiǎng)金為X元，則X的取值可能為，則，，，，則（元），故，故該活動(dòng)不會(huì)超過(guò)預(yù)算.7．一座小橋自左向右全長(zhǎng)100米，橋頭到橋尾對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)為0至100，橋上有若干士兵，一陣爆炸聲后士兵們發(fā)生混亂，每個(gè)士兵爬起來(lái)后都有一個(gè)初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都為1米每秒，中途不會(huì)主動(dòng)改變方向，但小橋十分狹窄，只能容納1人通過(guò)，假如兩個(gè)士兵面對(duì)面相遇，他們無(wú)法繞過(guò)對(duì)方，此時(shí)士兵則分別轉(zhuǎn)身后繼續(xù)前進(jìn)（不計(jì)轉(zhuǎn)身時(shí)間）.(1)在坐標(biāo)為10，40，80處各有一個(gè)士兵，計(jì)算初始方向不同的所有情況中，3個(gè)士兵全部離開(kāi)橋面的最長(zhǎng)時(shí)間（提示：兩個(gè)士兵面對(duì)面相遇并轉(zhuǎn)身等價(jià)于兩個(gè)士兵互相穿過(guò)且編號(hào)互換）；(2)在坐標(biāo)為10、20、30、……、90處各有一個(gè)士兵，初始方向向右的概率為，設(shè)最后一個(gè)士兵離開(kāi)獨(dú)木橋的時(shí)間為秒，求的分布列和期望；(3)若初始狀態(tài)共個(gè)士兵，初始方向向右的概率為，計(jì)算自左向右的第個(gè)士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開(kāi)小橋的概率，以及當(dāng)取得最大值時(shí)取值．【答案】(1)90秒(2)分布列見(jiàn)解析；期望86.68秒(3)當(dāng)取得最大值時(shí)取值為1【詳解】（1）由于兩個(gè)士兵面對(duì)面相遇并轉(zhuǎn)身等價(jià)于兩個(gè)士兵互相穿過(guò)且編號(hào)互換，所以在最長(zhǎng)時(shí)間下，坐標(biāo)為10處的士兵必須向右，最長(zhǎng)時(shí)間為秒，所以3個(gè)士兵全部離開(kāi)橋面的最長(zhǎng)時(shí)間為90秒.（2）T的可能取值為50，60，70，80，90，，所以T的分布列T5060708090P期望秒（3）設(shè)，函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)開(kāi)口向下，所以最大值對(duì)應(yīng)取值為1.當(dāng)取得最大值時(shí)取值為18．某校為高三學(xué)生舉辦了一場(chǎng)以“學(xué)憲法，做有為青年”為主題的成人禮儀式.儀式結(jié)束后學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)憲法的學(xué)習(xí)情況，對(duì)全體高三學(xué)生進(jìn)行了一次線上測(cè)試：每位同學(xué)隨機(jī)抽取3道題（均為選擇題）作答.若答對(duì)2道或3道，則測(cè)試合格，否則測(cè)試不合格.若測(cè)試不合格，則需要再做20道習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，已知線上測(cè)試時(shí)，小明答對(duì)每道題的概率均為，小強(qiáng)答對(duì)每道題的概率均為，且每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立.(1)分別求小明和小強(qiáng)測(cè)試合格的概率；(2)記小明、小強(qiáng)兩位同學(xué)需要做的鞏固訓(xùn)練的習(xí)題數(shù)之和為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）小明測(cè)試合格的概率為，小強(qiáng)測(cè)試合格的概率為.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，（由[1]可得），，所以的分布列為02040故.正態(tài)分布問(wèn)題隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周?chē)母怕试酱筇貏e地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．某手機(jī)APP公司對(duì)喜歡使用該APP的用戶年齡情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名喜歡使用該APP的用戶，年齡均在周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)使用該視頻APP用戶的平均年齡的第分位數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留2位）；(2)若所有用戶年齡近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機(jī)抽取8名用戶，用表示這8名用戶中恰有名用戶的年齡在區(qū)間歲的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：破解：（1）由直方圖可知，第分位數(shù)位于區(qū)間，第分位數(shù)（歲）.（2）（歲）使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的.（3）根據(jù)題意，要使取最大值，利用結(jié)論則，，解得，因?yàn)?，所?3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)．中國(guó)的3D打印技術(shù)在飛機(jī)上的應(yīng)用已達(dá)到規(guī)模化、工程化，處于世界領(lǐng)先位置．我國(guó)某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測(cè)每個(gè)零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，得到下面的檢測(cè)結(jié)果：質(zhì)量指標(biāo)頻率(1)根據(jù)頻率分布表，估計(jì)8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值和方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①若，求的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問(wèn)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若，則，，．破解：（1）由題意可得：第一步：面積乘以中間值，第二步：（2）第一步：由（1）可得：，即.第二步：①因?yàn)?，所?②由①可知：，設(shè)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)為，則，可得，令，即，解得，且，則，即當(dāng)時(shí)，概率最大，所以這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于的件數(shù)最有可能是489.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值;(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變昰服從正態(tài)分布，則，破解：（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62．（2）第一步：因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中．所以．第二步：所以．所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為．（3）第一步：由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為可知：．則．第二步：轉(zhuǎn)化為函數(shù)角度處理令．．當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以．所以的最小值為．1．某報(bào)社組織“鄉(xiāng)村振興”主題征文比賽，一共收到500篇作品，由評(píng)委會(huì)給每篇作品打分，下面是從所有作品中隨機(jī)抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58．(1)計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本方差；(2)若這次征文比賽作品的得分服從正態(tài)分布，其中和的估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，該報(bào)社計(jì)劃給得分在前50名的作品作者評(píng)獎(jiǎng)，則評(píng)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)樣本平均數(shù)為，樣本方差為.(2)分【詳解】（1）由題意可得，，，所以樣本平均數(shù)為，樣本方差為.（2）因?yàn)榈梅址恼龖B(tài)分布，且，，則，所以，又，即，所以，又，即，所以，所以前50名的作品作者評(píng)獎(jiǎng)總共50篇，獲獎(jiǎng)率為，因?yàn)椋瑒t，所以，即分?jǐn)?shù)線約為分.2．2024年甲辰龍年春節(jié)來(lái)臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值；(2)由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的概率；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若，則，，.【答案】(1)26，(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品的頻率為，質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量為（件）..（2）由題意可得，則，則該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的概率：.（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，從該流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的