圓內(nèi)接正多邊形課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

3.8圓內(nèi)接正多邊形九年級(jí)下

北師版1.了解正多邊形的概念以及和圓的關(guān)系.2.會(huì)用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.3.會(huì)運(yùn)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)

觀看屏幕上這些美麗的圖案,都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?新課引入正多邊形的概念問題1什么叫做正多邊形？各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.問題2矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？矩形不是正多邊形，因?yàn)榫匦尾环细鬟呄嗟?；菱形不是正多邊形，因?yàn)榱庑尾环细鹘窍嗟?復(fù)習(xí)回顧問題3正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對(duì)稱圖形嗎？都是中心對(duì)稱圖形嗎？正

n邊形都是軸對(duì)稱圖形，都有

n條對(duì)稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對(duì)稱圖形.頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形.這個(gè)圓叫做該正多邊形的外接圓.一

正多邊形與圓的關(guān)系新知學(xué)習(xí)怎樣由圓得到正多邊形呢？探究接下來，我們就一起以圓內(nèi)接正五邊形為例證明？問題1如圖，把⊙O分成相等的5段弧，即AB=BC=CD=DE=EA，依次連接各等分點(diǎn)，所得五邊形ABCDE是正五邊形嗎？·AOEDCB；

＋

＋

＝①＝③∠A∠E；·AOEDCB

＋

＋

＝②＝3＝3；(1)填空：·AOEDCB(2)證明：五邊形ABCDE是正五邊形.同理∠B=∠C=∠D=∠E.∴∠A=∠B.

∴AB=BC=CD=DE=EA.∴五邊形ABCDE是正五邊形.證明：∵∴

歸納

將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓，正n邊形的各頂點(diǎn)n等分其外接圓.問題2將圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)，所得到的多邊形是正多邊形嗎？弧相等—

弦相等（多邊形的邊相等）

圓周角相等（多邊形的角相等）

→多邊形是正多邊形歸納如圖，其他正多邊形也有類似的結(jié)論.由此我們得到：

任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.OABCDEFGHRr外(內(nèi))接圓的圓心叫做正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.圓心到各邊的距離(內(nèi)切圓的半徑）叫做正多邊形的邊心距.

正多邊形每一邊所對(duì)外接圓的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個(gè)中心角都等于

.歸納做一做利用尺規(guī)作一個(gè)已知圓的內(nèi)接正六邊形.已知⊙O的半徑為r，求作⊙O的內(nèi)接正六邊形..

O分析：因?yàn)檎呅蚊織l邊所對(duì)的圓心角為

，所以正六邊形的邊長(zhǎng)與圓的半徑

.因此，在半徑為r的圓上依次截取等于

的弦，即可將圓六等分.60o相等r作法：(1)作⊙O的任意一條直徑FC；(2)分別以F，C為圓心，以

r為半徑作弧，與⊙O

交于點(diǎn)E，A和D，B；(3)依次連接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六邊形ABCDEF即為所求..OFCABDE針對(duì)訓(xùn)練1.下列說法中，不正確的是()A．正多邊形一定有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓B．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形C．正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓D．正多邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形D二

圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？中心角呢？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關(guān)系？中心角ABCDEFO半徑R邊心距r中心正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多邊形的外角=中心角歸納正多邊形內(nèi)角也可用

表示.例1如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，求正六邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距.

解：連接OD.∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴△COD為等邊三角形.∴∠COD==60°.∴CD=OC=4.在Rt△COG中，OC=4，CG=2.∴∴正六邊形ABCDEF的中心角為60°，邊長(zhǎng)為4，邊心距為.歸納2.作邊心距，構(gòu)造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內(nèi)接正多邊形的輔助線O邊心距r邊長(zhǎng)一半半徑RCM中心角一半例2如圖2,正六邊形的邊長(zhǎng)為2,分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和(陰影部分面積)是(

)A.6

-π

B.6

-2πC.6

+π

D.6

+2πA【分析】圖中陰影部分面積等于6個(gè)小半圓的面積和-(大圓的面積-正六邊形的面積)即可得到結(jié)果1.一元錢硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長(zhǎng)最大不能超過()A．12mmB．10mmC．8mmD．6mmA隨堂練習(xí)2.如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為4，則⊙O的半徑是（）A.2B.4C.D.CADBCO3.如圖，AG，BH，CI，DJ，EK，F(xiàn)L為六邊形ABCDEF的外接圓的切線，則∠BAG+∠CBH+∠

DCI+∠EDJ+∠FEK+∠AFL=_____°1804.有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4

m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積(面積精確到0.1m2).CDOEFAP抽象成BO4mABCDEFPr解：過點(diǎn)O作OP⊥BC于P.∵OB=OC，∠BOC=60°，∴BC=OB=4m，地基周長(zhǎng)l=6×4=24(m).亭子地基的面積在Rt△OPB中,OB＝4m,PB＝利用勾股定理,可得邊心距5.（2023武漢）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，若四邊形ABCD的面積是S.AC的長(zhǎng)是x，則S與x之間的數(shù)關(guān)系式是（）A.S=x2

B.S=

x2

C.S=

x2

D.S=

x2B思路點(diǎn)撥：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，連接BD，→△BAM