2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)25圓錐曲線壓軸小題100題教師版

專題25圓錐曲線壓軸小題必刷IOO題

一、單選題

1.已知圓C是以點M修,26)和點汽心,-26)為直徑的圓，點P為圓C上的動點，若點

4(2,0),點8(1,1),則21PHTP卻的最大值為()

A.√26B.4+√2C.8+5√2D.√2

【答案】A

【分析】

由題設(shè)可知圓C：(x-4)?+必=16,在坐標(biāo)系中找到。(T,0),應(yīng)用三角線相似將2∣R4∣轉(zhuǎn)化

至小尸￡>|,再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.

【詳解】

由題設(shè)，知：。(4,0)且|旭中=)(_2"-2我2+(6-2)2=8，即圓C的半徑為4,

圓C：(x-4)2+/=16,

如上圖，坐標(biāo)系中0(-4,0)則OD=2AC=CP=OC=4,

ACPC1PA1

A—=—=1,即A4PC~APCD,故上=上，

CPDC2PD2

：.2∣PdTP可=IPoHP31,在△P8D中IPDHPB∣<∣BD?,

.?.要使I尸。IT尸31最大，P,民。共線且最大值為Iml的長度.

.?.IBD?=√(l+4)2+l=y∣26.

故選：A

，V2

2.已知點6，g分別為橢圓u]+與=l(α>b>0)的左、右焦點，點M在直線/:x=-a

上運動，若N耳嶼的最大值為60。，則橢圓。的離心率是()

A.?B.IC.BD.—

3223

【答案】C

【分析】

設(shè)直線孫，咽的傾斜角分別為α,B,Λ∕(-α√)(z>0)τWZFxMF2=β-a,利用差角

正切公式、基本不等式求(tan《咽)鵬關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合已知求橢圓參數(shù)的數(shù)

量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.

【詳解】

由題意知，片(-c,0),乙(G0),直線，為x=-α,設(shè)直線肛，MK的傾斜角分別為α,β,

由橢圓的對稱性，不妨設(shè)M為第二象限的點，即M(-α∕),(f>0),則tana=—

C

-t

tanβrt=----

c+a

?.?ZFiMF2=β-a,

a_2以_2c<2c_2CC

:.tanZFIMF2=tan（/一α）=一⑶'"-='+”'-

72-EK

'l+tanatany?1t

?~-2^~~2

c-a

當(dāng)且僅當(dāng)t=@,即f=b時取等號，又tanN^Λ叫得最大值為f=tan60o=√5,

tb

.?.c=6b,即。2=/一乙，整理得￡=且，故橢圓C的的離心率是出.

3a22

3.過X軸上點尸(。,0)的直線與拋物線yJ8x交于A,B兩點,若俞+而為定值，則

實數(shù)。的值為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

設(shè)出直線ZB的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)

關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】

2

設(shè)直線48的方程為X=叼+α,

代入∕=8x,^y2-Smy-Sa-O,

設(shè)4(再,yj,B{x1,y2),則χ+%=8w,yl?y2=Sa.

MPr=(Xl-(優(yōu)以?+＞：=^2+1＞：,

同理,忸呼=(M+1)貨,

.1+1_1(1上11_1(y∣+Λ)2-2y∣Λ

.?明2忸可加2+1(必2y2J,w2+1y2y2

1_6432x(-8〃)=4病+〃=-加2+」,

tn2+164a24a2(m2+1)4a2(m2+1j

11

V阿+所為定值是與加無關(guān)的常數(shù)，

/.—=1=>67=4,

4

故選：D

4.已知橢圓C：W+g?=l(a>b>O)的兩個頂點在直線x-√Σy-√Σ=O上，F(xiàn)λ,用分別是

ab

橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上異于長軸兩個端點的任一點，過點P作橢圓C的切線/與直

線x=-2交于點M,設(shè)直線尸耳，MK的斜率分別為左，k2,則如?2的值為()

A.--B.—C.-!D.一■-

3324

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意求出α=夜，6=1，進(jìn)而寫出橢圓的方程，設(shè)點P的切線方程為，=去+加，與橢

圓聯(lián)立，由△=()得到/=2/+1,然后依次表示出相關(guān)點的坐標(biāo),利用斜率公式表示出占,質(zhì),

進(jìn)而化筒整理即可求出結(jié)果.

【詳解】

2

：橢圓C的兩頂點在直線x-√Σy-√Σ=O上，.?.α=√Lb=I,二橢圓C的方程為5+/=1，

y=kx+m

.?.耳K(1,0),設(shè)點P的切線方程為廣去+機，p(χ°,y°),聯(lián)立公,消去V

----FV=I

2

(2^2+l)x2+4kmx+Im2-2=0,：直線/與橢圓C相切，.?.A=0,即

2222

(4M-4(2?+1)(2∕M-2)=0,ΛW=2P+I.x0=--∣^-,

NACI1

3

2kmm

…。+加=?舍+"'=/T點尸卜,又m2=2k2+↑,?'

T2k2+?'2k2+↑

...―,設(shè)點"(-2,y∣),又M在切線y=Ax+m上，，

m-2κ

m-2k-02k-m2k—m1

M(?-2,m-2k),/.k

2-3-^^3

故選：A.

5.已知尸是橢圓m+∕=i(α>i)的左焦點，Z是該橢圓的右頂點，過點尸的直線1(不與

X軸重合)與該橢圓相交于點朋N.記ZMAN=a,設(shè)該橢圓的離心率為e,下列結(jié)論正確

的是()

TTB.當(dāng)0<e<也時，a>R

A.當(dāng)O<e<l時，。<一

222

C.當(dāng)1<e<且時，Ct>~D.當(dāng)正<e<l時，a>—

22324

【答案】A

【分析】

設(shè)M在X軸上方，N在X軸下方，設(shè)直線的傾斜角為氏直線/N的傾斜角為￡,聯(lián)立

直線的方程與橢圓方程可求M的坐標(biāo)，同理可求N的坐標(biāo)，利用/,RN三點共線可

得上∕2=q2(e+l)'利用離心率的范圍可得“色>-1，從而可判斷α為銳角.

設(shè)直線的斜率為左，傾斜角為/直線4N的斜率為G，傾斜角為6,

則人2>0,∕<0,8w[?∣?,ι),∕7∈fθ,j∣?且α=τr-9+∕J∈(0∕).

4

tan-tanθ_k-k

又tana=tan(乃一6+∕?)=2x

1+tanβtan0l+?2?1

又直線AM的方程為y=k](x-a)f

,y=4(x-")得α+/硝χ2-2∕奸x+aT：-/=0,

由

X+αy-a

,,a，k；-cr匚二1、i/k;一a-2ak,

故XMX。=~ΓΓT-，所以XM="7~7"故W=TTP至

?+a~k;1+〃T：

ayk}-a??-2ak、

同理七V=故以二F

l+a2?2

-2ak1-2akx

)(1+/好_1+*2

因為M/,N共線,故aik1—aaiky-a

—2?73”+C-?-?-÷c

?+ak]?Λ-ak~

整理得到/+c)"?(尢一&)+(c-α)K-K)=O即尢&=兀：C),

,,c-ae—1

若O<e<1,桃2=^T77??7^Γ，

a[a+c)a[e+?)

因為---=1—三w(-l,θ),α2>1,故我他>—1，所以tanα=∣-J>。,

e+1e+?1+κ2ki

故α<"

2

故選：A.

6.已知過拋物線∕=4x的焦點廠的直線與拋物線交于點A、B,若A、8兩點在準(zhǔn)線上的

射影分別為M、N,線段MN的中點為C,則下列敘述不正確的是()

A.AClBCB.四邊形/MCF的面積等于MqψWF∣

C.?AF?+?BF?≈?AF?.?BF?D.直線NC與拋物線相切

【答案】B

【分析】

對于選項AB,利用向量知識研究4C與BC、ZC與MF的位置關(guān)系即可；對于選項C,可利

用拋物線的定義確定/尸、8尸的長度，然后判斷等號是否成立；對于選項D,求出直線/C

的斜率，并設(shè)拋物線在點A處的切線方程為必=%(x-f),與拋物線的方程聯(lián)立，由

△=0求出發(fā),進(jìn)而可判斷出D選項的正誤.

【詳解】

如圖，由題意可得尸(1,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-1.

5

設(shè)/代,可、B?~,y2Y設(shè)直線/8的方程為X=W+1，

聯(lián)立[X107∣,可得/-4W-4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系得必必=-4,

[y=4x

因為線段MN的中點為C,所以C(T叼可，

所以。=5?

42

所以，Gi?CB=f?+1V^-+1]-=^y'y'2■!1=1-2+1=0,

(4人4J4162

所以，AC±BC,A選項正確；

對于B選項,因為Λ∕(T,凹),所以標(biāo)==(2,f),

所以B?訴=五+2-M(M-%)=2+些=0,所以ZCL板，

222

所以四邊形AMCF的面積等于;∣∕C∣?∣"∣,B選項錯誤；

對于C選項，根據(jù)拋物線的定義知HFl=MMI=1+1,忸曰=IBM=1+1,

22

所以MF1+忸同=苫芳→2,

/2、/，、222，22

M尸H網(wǎng)=?+1)[3+1)=^1+''：-2+1=必;y2+2,

所以，M尸|+忸-I=IM?∣班，C選項正確；

(4、

必+必2%+生

對于D選項，直線XC的斜率為左“=t,2=2(]一%)=I=2

ac，,,2,A,,2,A、，

K+1M+4M+4必

4

拋物線∕=4x在點A處的切線方程為夕-乂=斤

6

y-y∣=kx---、C

聯(lián)立lI4人消去X可得處2一4”4%一劃；=0,

y2=4%

k≠02

由題意可得[A=]6-4("L附=。'可得僅=2,即％則f.

所以，直線NC與拋物線/=4X相切，D選項正確.

故選:B.

7.如圖，已知雙曲線=l(b>α>O)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過右焦點作平行于

一條漸近線的直線交雙曲線于點A,若反￡6的內(nèi)切圓半徑為,，則雙曲線的離心率為

4

【答案】A

【分析】

設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為片(-c,0),片(%。)，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=2χ,

a

可得直線4工的方程為y=2(x-c),聯(lián)立雙曲線的方程可得點A的坐標(biāo)，設(shè)|/月|=加，

a

?AF11=?,運用三角形的等面積法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡變

形可得關(guān)于“，C的方程，結(jié)合離心率公式可得所求值.

【詳解】

設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為J(-c,O),瑪(c,0),

設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=2χ,

7

可得直線/g的方程為y=2(x-c),與雙曲線;-E=I(6>α>0)聯(lián)立,

aCrb-

可得如二2),

2c2ac

設(shè)14ξ∣=a,?AF1?=ni

由三角形的等面積法可得,(…+如+/普科

化簡可得加+〃=——4a-2c,①

由雙曲線的定義可得力?-〃=2〃，②

在三角形/百鳥中"sin。="區(qū)，(6為直線/名的傾斜角),

2ac

h,.八bb

由tan。=—,sin2Θ+cos2=1,可得Smθ=C---=一

ayja2+b2C

2_2

可得"=JK,③

2a

由①②③化簡可得3C2-2ac-5a2=Or

即為(3c-5tz)(c+Q)=0,

5

可得3c=5α,W∣Je=-C=f.

a3

故選：A.

8.在棱長為2的正四面體48C。中，點〃為“8C所在平面內(nèi)一動點，且滿足

I9M而卜空，則尸。的最大值為()

A.3B.3叵C.叵D.2

33

【答案】B

【分析】

由題意可知，點P在A45C所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為A、B,長軸長為

迪，然后以線段48的中點O為坐標(biāo)原點，直線45所在直線為X軸，以Co所在直線為y

3

軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得產(chǎn)。的最大值.

【詳解】

如圖所示，在平面/8C內(nèi)，I蘇M而卜竽>2，

所以點P在平面NBC內(nèi)的軌跡為橢圓，取4B的中點為點。，連接CO,以直線48為X軸，

直線OC為>建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-Dz,

8

所以，橢圓方程為22+3∕=I(Z=0).

點O在底面的投影設(shè)為點E,則點E為AZBC的中心，OE=-OC=-×4i=~,

333

故點E正好為橢圓短軸的一個端點，

?;CE=々OC=巫,則DE=,CD2-CE°=短，

333

因為PD?=DE?+EP?，故只需計算EP的最大值.

設(shè)尸(x,y,0),則E0,當(dāng),0,

貝∣JEP2=/+y-^-=——4y2+y2—y+-=-3y2-^^-y+-,

33-3333

當(dāng)y=-*e-乎,印］時，BP?取最大值,

因此可得P0≤M+?=當(dāng)，故尸D的最大值為小.

9993

故選：B.

9.已知點尸為拋物線/=4式的焦點，Λ∕(-l,0),點N為拋物線上一動點，當(dāng)?shù)淖钚r,

點N恰好在以M,F為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的漸近線的斜率的平方為()

A.3+2√3B.2+2√2C.D.≥H∑1

24

【答案】B

【分析】

9

作出圖形，可知MW與拋物線相切時，端取得最小值，求出點N的坐標(biāo)，利用雙曲線定

義求出2a,結(jié)合c=l,可求得?，再利用,=(/)7求得結(jié)果.

【詳解】

由拋物線的對稱性，設(shè)N為拋物線第一象限內(nèi)點，如圖所示：

故點N作NF垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點6,由拋物線的定義知INFl=INSI,易知N8//X軸,

可得NNMF=NBNM

IN尸IINBl

.?.J~~?=?~~L=cosNBNM=cosNNMF

?NM??NM?

當(dāng)NNMF取得最大值時，S取得最小值，此時NM與拋物線/=4x相切，

I/VMI

設(shè)直線NM方程為：y=∕c(x+l)f

2=4x

聯(lián)立［；v=MZ)'整理得“人四一4卜+公=。,

其中A=T6k2+16=0,解得：?=+∣,由N為拋物線第一象限內(nèi)點，則上=1

則/+(2-4)x+l=0,解得：χ=l,此時/=4,即y=2或y=-2

所以點N的坐標(biāo)且N(l,2)

由題意知，雙曲線的左焦點為M(T0),右焦點為尸(LO)

設(shè)雙曲線的實軸長為2a,則2q=∣∣M∕HM∏∣=20-2,.?.q=/一1，

Xc=I,則￡=?-?=>/2+1

a√2-1

故漸近線斜率的平方為=勺^=^Y-1=(√2+1)2-1=2+2√2

故選：B

2

10.已知耳，E為雙曲線二=l(α>O,b>O)的左、右焦點，以耳用為直徑的圓與雙曲

a-

線右支的一個交點為尸，尸耳與雙曲線相交于點。，且IPg=3|。用，則該雙曲線的離心率為

10

()

A.垣B?叵C.3D?立

3322

【答案】B

【分析】

設(shè)1。甲=，貝IJIPQI=3/,由I。工HHPKHP勺=20及IPQ2+∣PR|2=|鑿F,

|尸印2+|「亮『=4。2求&、力的數(shù)量關(guān)系，可得雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求雙曲線的離

心率.

【詳解】

設(shè)I灑l=t,則∣P0∣=3f,而|0瑪1-10片1=1。EI-IPBI=20,

J.?QF2?=2a+t,?PF2?=4t-2a,

由NEm=全則|尸。『+|「￡『=|鑿『，|尸"2+陷『=4/,

9產(chǎn)+(4-20)2=(2α+t)25ɑInd29

??{,/解得Z=二，則F=一，

16J+(4"2α)x2=4，6a~9

11.若橢圓u[→,=l(α>6>0)上的點(2,令到右準(zhǔn)線的距離為g,過點M((M)的直線/

與C交于兩點43,且萬7=g麗，貝!∣∕的斜率為

【答案】B

【分析】

11

___2___

點代入橢圓方程，點至IJ準(zhǔn)線距離和/=/+/,解得∕=9∕2=5,C?2=4,由

-18人

得23=-3%,聯(lián)立直線與橢圓方程得到?j?,聯(lián)立消去馬，司即可求出左

-36

【詳解】

425,

Rh

解：由題意可得力=從+02,解得/=9,/=5.2=4,

22

所以橢圓C:二+匕=1,

95

設(shè)/：y=Ax+l,設(shè)Z（XI,凹）,5（工2，%）

因為AM--MB,所以2x,=-3x,

3^

y=kx+i

??2V2f?（9A2+5）x2+18?Λ--36=0

—x+—=1

95

-18?

,+

XX^9F751

則〈。結(jié)合2X2=-3x,,聯(lián)立消去看，*解得a=±;

—363

故選：B.

12.已知雙曲線C：工一片=1的左焦點為尸，過原點的直線/與雙曲線C的左、右兩支分

97

14

別交于A,8兩點，則網(wǎng)一爐詞的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】

.,1414146-37-

設(shè)網(wǎng)=L∕?≥1,則網(wǎng)-網(wǎng)=IW構(gòu)造函數(shù)/⑺W'+孫

用導(dǎo)數(shù)求/⑺在［1,+8）上的取值范圍即可.

【詳解】

設(shè)IE4∣=r,則Λ?≥c-α=l.

12

設(shè)雙曲線的右焦點為F,由對稱性可知忸FI=IE4∣=r,則∣F5∣=r+20=r+6,

3(r2-4r-12)3(r+2)(r-6)

貝IJr(/)=,令令&)=0得"6,

(r2+6/-)2(r2+6r)

當(dāng)Xe(1,6)時，/(r)<0,/(r)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(6,+∞)時，/(r)>0,/(『)單調(diào)遞增.

所以/(r)mi?=/(6)=T，又當(dāng)xe(6,+8)時/(廠)<°，所以=_/?⑴=：?

O7

?3

的取值范圍是

6,7

故選：B.

13.已知雙曲線C:g-￡=1(α>0,b>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,點M,N分

別在雙曲線C的左、右兩支上，點A在X軸上，且Λ/,N,耳三點共線，若麗=3硒，

N耳性=N/叫，則雙曲線C的離心率為()

A.√5B.√7D.√∏

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義、等邊三角形的判定及性質(zhì)、余弦定理、雙曲

線的離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

依題意，啊=；而得^M∕∕∕N,NF?NF2=NANF[=NMF[N,故IMVl=I町|：又

IM周=J∕N∣,故IM用=gMN|；不妨設(shè)IMM=2相，由雙曲線的定義可得，IM周=m+2α,

?NF2?^3m-2a,故2m=m+2α,故〃?=2“，則∣ΛflV∣=囚閭=IN用=4α,故AMN行為等邊

三角形，故在ANEK中，NFM=60°,即Igl=3機=6“，IM^=4α,I4用=2c,由余

弦定理，4c2=(6a)2+(4a)2-2?6fz?4α?cos60°=28f∕2,則e=J7,

13

故選：B.

14.已知拋物線UV=2px(p>0),F為C的焦點，過焦點尸且傾斜角為1的直線/與C交

于4,8兩點，則下面結(jié)論不正確的是()

A.以/,8為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切

112

B?兩十兩吃

C.過點8分別作拋物線C的切線，則兩切線互相垂直

2

D.記原點為O,則S△歡=A

Sina

【答案】D

【分析】

根據(jù)拋物線C：V=2px(p>0)和過焦點的直線/的位置關(guān)系，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，

結(jié)合韋達(dá)定理和焦點弦公式，逐個判斷即可得解.

【詳解】

由題意知，令直線X=Wy+§,N(XI,必)，B(x2,y1),

與拋物線Uv=2px聯(lián)立方程，消去X得/-2p〃9-p2=0,

1

由韋達(dá)定理知：y∣+%=2p機，yty2=~p<

如圖所示，過4,8分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為H,B',

記/8的中點為/,過/作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為

由∣4δ∣=∣44l+忸

所以以ZB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，故A正確;

由xlx2=[my[++γ-

所以可得：

14

11_11_x1+x2+p

時同"海7ψ同"1]

X1+X2+jPX1+X2+p

2-22

+

中2+夕演+々)+5"J+-(?l??)

x1÷x2+p_2

=gα+a+p)=>故B正確；

由圖，拋物線在第一象限的解析式為y=J而，

所以/=軍.《，

所以過點8拋物線的切線的斜率為K=率?J=,

2√x?

同理過點4拋物線的切線的斜率為刈=-卑?；,

2√士

所以占&=,所以兩切線垂直，故C正確;

由tanα=L(αwg],所以可得:

m\2)

?ΛB?+?ΛF?+忸曰=再+W+P

=加(必+8)+ZP~2pm2+2p

=2p(m2+1)=2/?f1+-4^?l=-?-；

,?tana)sina

如圖，作OE垂直力8于E,

Ie“12Pp?Lp-

則S^AQB-ABOE=----^——?sina=-——

22sin-a22sina

當(dāng)α=工時，經(jīng)檢驗SYB=—匕亦成立，故D錯誤，

22sina

故選：D.

15.已知點A是拋物線C:/=2Py(P>0)的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點尸為拋物線的焦點,

過A作拋物線的一條切線，切點為p,且滿足IPH=TL則拋物線C的方程為()

A.X2=SyB.X2=4VC.x2-2yD.x2=y

【答案】C

【分析】

15

本題首先可根據(jù)題意得出點/（θ,-5J,然后設(shè)切線方程為夕=丘-5、切點為P（XP,力），

通過聯(lián)立拋物線與切線方程解得A=±1,最后對％=1、左=T兩種情況分別進(jìn)行討論，通過

IPH=&即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，拋物線準(zhǔn)線方程為y=-5,點/（0,-日），切線斜率上一定存在，

設(shè)過點A與拋物線相切的直線方程為y=丘,切點P（孫,孫），

聯(lián)立拋物線與切線方程，一~2,轉(zhuǎn)化得f-2pkx+p2=0,

X2=2⑷

Δ=4p2k2—4/?2=0?解得&=±1,

當(dāng)&=1時，直線方程為N=X-5，

x2-2px+p2=0,解得Xp=p,則力=X∕>-g?=?^?，

因為IPd=JL所以焉+（力+幻=2,解得,=1：

當(dāng)氏=T時，同理得p=l,

綜上所述，拋物線方程為χ2=2y,

故選：C.

16.過點P（2,I）斜率為正的直線交橢圓（+：=1于A,8兩點.C,。是橢圓上相異的兩

點，滿足CP,。尸分別平分4C8,.則APC。外接圓半徑的最小值為（）

A.亞B.C,D.2

551313

【答案】D

【分析】

111

分析可知，P,C,〃在一個阿波羅尼斯圓上，設(shè)其半徑為八R--=-，分直線力〃

rAPBP

斜率存在及不存在兩種情況分別討論得解.

【詳解】

如圖，

16

y

先固定直線四，設(shè)f(M)=/則/(C)=∕(O)=∕(P),其中〃P)=笑為定值，

AMAP

故點RC,〃在一個阿波羅尼斯圓上，且APCD外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為

八阿波羅尼斯圓會把點A,8其一包含進(jìn)去，這取決于BP與]。誰更大，不妨先考慮BP>AP

的阿波羅尼斯圓的情況，曲的延長線與圓交于點。，&即為該圓的直徑，如圖：

Q

接下來尋求半徑的表達(dá)式,

由竺=理，2r=∕P+∕Q=∕PAP?BP+2r)1

APAQBP≡r?^~BP

同理，當(dāng)2P<4P時有，?=--------

rBPAP

1_I1

綜上,

~r~~AP~^P

當(dāng)直線48無斜率時，與橢圓交點縱坐標(biāo)為±3,NP=3-1,BP=3+1,則19

12

當(dāng)直線18斜率存在時，設(shè)直線團(tuán)的方程為N-I=MX-2),即y=Ax-24+l,

與橢圓方程聯(lián)立可得(24r+5卜2+484(1-24)*+96伊_4_])=0,

_48?(2?-l)

x+x

1224k2+5

設(shè)X則由根與系數(shù)的關(guān)系有，,

B(2,%),96(?2-?-l)>

XX

1224fc2+5

.LI___?_________?______?_Ij____!_

nτ

->APBPy∕^k??xl-2?J7F?∣r2-2∣∣J7F?1-2∣*「2|

注意到七-2與々-2異號，故

17

x-

1_1I∣∣2∣-∣X2-2∣1xl+x2-4_1∣12A+5∣

r222

√l+?∣(?∣-2)(X2-2)√l+?XIX2-2(XI+X2)+419√ι+?'

11I2∣Z∣121/22613

———,—]—=—?—-≤—-—=—?5

設(shè)E2"5,則'19√^-10z+16919MTTO.1一2419,,當(dāng)廣旃,

即/=竽，此時％=故r≥∕,

又S19>139,綜上外接圓半徑的最小值為19

121313

故選：D.

17.已知點尸在拋物線。：/=，內(nèi)(，"*0)上，過點尸作拋物線χ2=2y的切線∕∣,I2,切點分

別為“，N,若G(l,l),S.GP+GM+GN=0,則C的準(zhǔn)線方程為()

A.X=-^^^B.X=-C.X-D.X——

4422

【答案】A

【分析】

設(shè)Ma,段),N(X2,與)，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線PM,PN的方程，聯(lián)立求出交點尸坐標(biāo)

X=土/，N=竽，乂由不+的+麗=6，知G為三角形MVP的重心，代入重心坐標(biāo)

公式，利用已知條件可求出P的坐標(biāo)為再代入拋物線。:『=〃?X方程，求出皿，進(jìn)而

求。的準(zhǔn)線方程.

【詳解】

設(shè)M(Xl，由Y=2y,得y=g∕,則y'=x,

22

則尸M：X-XJ,即y=x↑x-^~

2

同理直線PN的方程為y=χ2χ-^-,

聯(lián)立PM,PN的方程可得X=土產(chǎn)？=羊，則2號1,中)，

乂由幣+G而+而=6，得G為三角形MYP的重心，

22

LΞL

則M+X2+^∣=3,事+*+苧=3,w?i+?=2,X1X2=-2,

則P(L-I),又尸拋物線C:/=S(M≠0)上，得加=1,B∣JC:/=x,

準(zhǔn)線方程為x=4?

18

故選：A.

18.已知點尸(一1,0),設(shè)不垂直于X軸的直線/與拋物線/=2X交于不同的兩點AB,

若X軸是/4期的角平分線，則直線1一定過點

A.(y,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(-2,0)

【答案】B

【分析】

根據(jù)拋物線的對稱性，分析得出直線過的頂點應(yīng)該在X軸上，再設(shè)出直線的方程，與拋物線

方程聯(lián)立，設(shè)出兩交點的坐標(biāo)，根據(jù)角分線的特征，得到所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，

利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理得到參數(shù)所滿足的條件，最后求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應(yīng)該在X軸上，

設(shè)直線的方程為X=W+”?，與拋物線方程聯(lián)立，消元得爐-2w-2m=0,

設(shè)/(x∣,χ),8(X2,%),因為X軸是N/陽的角平分線，

所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，所以』7+-?=0,

結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系,整理得出2勿%+(m+l)(y,+r2)=0,

即2∕(-2m)+2桃+2/=0,2t(m-l)=0,解得加=1,所以過定點(1,0),

故選B.

19.已知耳月是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且I用2∣>∣M|,

橢圓的離心率為G,雙曲線的離心率為C2,I尸耳|=|打入I,則￡+1■的最小值為()

A.4B.6C.4+2√2D.8

【答案】D

【分析】

由題意可得IP片I=W乃I=2c?,再設(shè)橢圓和雙曲線得方程，再利用橢圓和雙曲線的定義和離

心率可得』+§?的表達(dá)式，化簡后再用均值不等式即可求解.

【詳解】

X2V2

由題意得：IPZI=W乃I=2c,設(shè)橢圓方程為=+S?=l(%>4>0),

X2υ2

雙曲線方程為一T-A=I(出>0也>0)，

。2A

^?'?PFi?+?PF2?=2al,?PF2?-?PFl?=2a2.

/.IPF21+2c=2ɑl,∣PF2?-2c=2a2,/.α1-α2=2c,

19

,,,3%c3a,9αa+c2

則一+二-=——+—?-=—U19-------

el33a2c3ca2

_9（2。+%）々2+/_6I30Ic

3ca2c3a2

=?-^÷6>2BΞΞ+6=8,當(dāng)且僅當(dāng)現(xiàn)==,

c3a2NC3a2C5a2

即6=3時等號成立.

3%

則一+丁的最小值為8.

G3

故選：D

20.已知耳，士分別為雙曲線《-4=1的左，右焦點，過8且傾斜角為銳角α的直線與雙

169

曲線的右支交于1,B兩點,記A46E的內(nèi)切圓半徑為4，的內(nèi)切圓半徑為弓，若

-=3,則α的值為（）

r2

A.75oB.30oC.450D.60°

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意作出示意圖，先證焦點三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)均為。，再根據(jù)