2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

九年級數(shù)學(xué)

（滿分100分，考試時間90分鐘）

一、選擇題（本大題有6小題，每題4分，滿分24分）

1如果5x=3y（X、均不為零），那么x：y的值是（）

5335

A.-B,-C.-D.一

3588

2.已知RtZ\ABC中，NC=90。，ZCAB=a,AC=7,那么BC（）

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

3.在一A5C中，點Z）、E分別在A3、AC上，如果AO=2,BD=3,那么由下列條件能夠判定。石〃BC的

是（）

DE2DE2AE2AE2

A.-----=-B.-----=一-----=-D.-----——

BC3BC5AC3AC5

4.下列命題正確的是（）

A.如果|。|=|。|,那么a=）

B.如果4、力都是單位向量，那么

C.如果（左W0）,那么a〃。

D如果機=0或〃=0，那么洸。=0

5.如圖，D、E分別是aABC的邊A3、BC上的點，KDE//AC,AE.CD相交于點。，若SAQOE：SACOA=1：25,

則S"3E與的比是（）

A.1：3B,1：4C.1：5D,1：25

6.如圖，。是一ABC邊3c上的一點，N84O=NC,NA8C的平分線交邊AC于點E，交AD于點尸，則圖中

一定相似三角形有（）

A

E

BC

D

A.1對B.2對C.3對D.4對

二、填空題（本大題有12小題，每題4分，滿48分）

x-y

7.如果x:y=5:3,那么--=.

y

8.如果在比例尺為1：1000000的地圖上，A,B兩地的圖上距離是1.6厘米，那么A、3兩地的實際距離是

千米.

9.若Q是線段延長線上一?點，已知MN=a，QN=b，則MQ=.（用含。、。表示）

10.設(shè)點P是線段45的黃金分割點（4。＜8夕），43=2厘米，那么線段3P的長是_________厘米.

2

11.如圖，直線AO〃BE〃CF,BC=—AB,DE=6,那么EF值是______.

3

12.已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么4G的長為.

13.如圖，小紅晚上由路燈A下的8處走到C處時，測得影子C。的長為1米，繼續(xù)往走2.5米到達E處時，測得

影子EF的長為2米，已知小明的身高是1.5米，那么路燈A離地面的高度AB的長為米.

14.如圖，四邊形DEFG是-ABC的內(nèi)接矩形，其中。、G分別在邊AB、AC上，點E、P在邊8C上,

DG=2DE,A”是的高，BC=20，A4=15,那么矩形QEFG的周長是.

15.邊長分別為10,6,4三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為

10

16.如圖已知在中，NC=90。，AB=5,cotB=-,正方形DEFG的頂點G、尸分別在邊AC、BC

2

上，點O、E在斜邊AB上，那么正方形DEFG的邊長為.

17.新定義：將一個凸四邊形分成一個等腰三角形和一個等腰直角三角形的對角線叫做這個四邊形的“等腰直角

線”.已知一個直角梯形的“等腰直角線”等于4,它的面積是.

18.如圖，在RtAiABC中，ZACB=90°,C￡＞是"SC的角平分線，AC:3c=3:4.將RtZ\48C繞點A旋

轉(zhuǎn)，如果點C落在射線CO上，點B落在點E處，連接。后，那么的正切值為.

三、解答題（本大題滿分78分）

2sin30°

19.計算:+|cot300-l|.

2cos450-tan45°

20.如圖，已知平行四邊形ABC。，點M、N是邊DC、8c的中點，設(shè)AB=a，AD=b-

（1）求向量MN；

（2）在圖中求作向量MN在AB、AO方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）.

AB

21.已知：如圖，在aABC中，AB=13,AC=8,cosZBAC=—,BD±AC,垂足為點D,E是BD的中點，連

13

接AE并延長，交邊BC于點F.

（1）求NEAD的余切值；

(2)求B管F的值.

DEBD

22.如圖，在_ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，連接OE、BE,ZABE-ZAED，~BE~~CE

(1)求證：DE//BC；

(2)若SODE=1,S四邊形DBCE—8，求.8D￡的面積.

23.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，AE_L8C于E，AF_LC￡＞于求證:

(1)_ABESJADF；

(2)CDEF=ACAE.

24.已知：如圖，ABC各頂點的坐標分別是A((),-4)、8(—2,0)、C(4,0).

(1)求/B4C的余切值；

(2)若點P在)'軸的正半軸，且△20。與幺08相似，請直接寫出點P的坐標;

(3)已知點”在y軸上，如果NQWB—NQ46=NACB,求點M的坐標.

25.已知：如圖，在矩形ABC。中，A3=3,AD=4,E是對角線5。上一點(與反。不重合)，EF平分

NAE￡）交邊AO于點REG_LAE,交AE于點G.

備用圖

（1）當政工AD時，求所長；

（2）當4A產(chǎn)G與△BCD相似時，求NDE/的正切值；

（3）如果1）￡尸的面積是一瓦6面積的2倍，求3E的長.

九年級數(shù)學(xué)

（滿分100分，考試時間90分鐘）

一、選擇題（本大題有6小題，每題4分，滿分24分）

1如果5x=3y（X、均不為零），那么x：y的值是（）

5335

A.-B.-C.—D.一

3588

【答案】B

【分析】等式兩邊同除以5y即可得到答案.

5r3vx3

【詳解】解：等式兩邊同除以5y,可得：7=十，即一=三，

5y5yy5

故選B.

【點睛】本題考查比例式的性質(zhì)，熟練掌握比例內(nèi)項之積等于比例外項之積是解題關(guān)鍵.

2.已知RtZiABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,那么BC為（）

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由銳角三角函數(shù)的定義解答即可.

解：???RtZiABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,

BCBC

tana=----=

AC

.'.BC=7tana.

故選C.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜

邊，正切為對邊比鄰邊.

3.在中，點。、￡分別在A3、AC上，如果AO=2，BD=3,那么由下列條件能夠判定。?〃BC的

是（）

DE2DE_2AE2AE2

A.------B.-----=C.-=---—-D.—=

BC-3BC-5AC3AC5

【答案】D

【分析】利用如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊可對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：AD=2,BD=3,

AD_2

A8-5

…口ADAE2

理由是：,/——=—=—,NA=NA，

ABAC5

_ADE"ABC,

???Z4DE=ZB，

:.DE//BC,

而其它選項都不能推出ADE^.ABC,即不能推出=或NA￡D=NC,即不能推出。七〃8C，

即選項A、B、C都錯誤，只有選項D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.下列命題正確的是（）

A.如果lal=lbl，那么

B.如果a、b都是單位向量，那么。=匕

C.如果。=北匕（kWO）,那么q〃8

D.如果〃?=0或a=0，那么"2。=0

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的定義和要素即可進行判斷.

【詳解】解：A.向量是既有大小又有方向，Ia1=16表示有向線段的長度，a=力表示長度相等，方向相同，所以

A選項不正確;

B.長度等于1的向量是單位向量，所以8選項不正確;

C.a=kb（kW0）〃匕，所以C選項正確;

D.如果加=0或4=0，那么帆a=0，不正確.

故選：c.

【點睛】本題主要考查向量的定義和要素，準備理解相關(guān)概念是關(guān)鍵.

5.如圖，。、E分別是AABC的邊AB、BC上的點，KDE//AC,AE、CD相交于點0,若SAOOE：SACOA=1：25,

則SABOE與SACDE的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【答案】B

【詳解】解：,??￡>￡〃AC,

：./\DOE^/\COA,

又SADOE：SACOA=1：25,

.DE1

--=-f

AC5

■:DE//NC,

:ABDEs/XBAC,

*BEDE1

??——,

BCAC5

.BE1

??=—,

EC4

；.SA8DE與SACOE的比是1：4,

故選B.

6.如圖，力是ABC邊BC上的一點，/84。=/。,/，鉆。的平分線交邊4。于點后，交AD于點/，則圖中

一定相似三角形有（)

B.2對C.3對D.4對

【答案】C

【分析】由已知條件和有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可完成.

【詳解】在與，。BA中,

,?*ZABD=ZABD,ZBAD=ZC,

jABCs^DBA,

在△AB/7與△€■班中，

VBF平分NABC,

：.ZABF=ZCBE,

又NBAF=/BCE,

:.」ABFsjCBE.

■:「ABCs_DBA,

：.ZBAC=ZADB,

ZABF=ZCBE,

AABES/^DBF,

所以圖形中共有3對相似三角形.

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，角平分線的定義，根據(jù)條件尋找相似三角形是本題的難點.

二、填空題（本大題有12小題，每題4分，滿48分）

X一V

7.如果尤：y=5:3,那么----二.

y

【答案】|2

【分析】根據(jù)x：y=5:3得到x=把它代入后面的式子求出比值.

【詳解】解：?.?x:y=5:3,

/.3x=5y,即工=全，

5

二工一＞_3_2.

）一y—§

_2

故答案是：—.

【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例基本的性質(zhì).

8.如果在比例尺為1：1000000的地圖上，A,5兩地的圖上距離是1.6厘米，那么A、8兩地的實際距離是

__________千米.

【答案】16

【分析】實際距離=圖上距離：比例尺，根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)可直接得出實際距離.

【詳解】解：根據(jù)題意，1.6——5—=1600000厘米=16千米.

即實際距離是16千米.

故答案為：16.

【點睛】本題考查了比例線段的知識，注意掌握比例線段的定義及比例尺，并能夠靈活運用，同時要注意單位的

轉(zhuǎn)換.

9.若。是線段MN延長線上一點，已知MN=a，QN—b>則MQ=__.（用含a、8表示）

【答案】a—b

【分析】根據(jù)向量的線性運算法則進行計算即可.

【詳解】解：?；QN=/?,

NQ=-QN=-h，

又MN=a,

?*-MQ=MN+NQ=a-h

故答案為：a—b

【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.設(shè)點P是線段的黃金分割點（AP<8P）,AB=2厘米，那么線段3P的長是厘米.

【答案】（石—1）##（-1+不）

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義可知BP2=A8-AP，由此列出一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：點P是線段的黃金分割點，AP<BP,

..BP?=ABAP，SPBP2AB（AB-BP）,

令BP=x,則x2=2x（2-x）

即/+2%-4=0，

A=22-4xlx（-4）=20>0,

—2+G—4X1X（4）=?T，一27f）一飛（舍）

22

，線段BP的長是（石-1）厘米.

故答案為：（石—1）.

【點睛】本題考查黃金分割點、解一元二次方程，根據(jù)黃金分割點的定義列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2

11.如圖，直線AD〃5E〃CRBC=-AB,DE=6,那么即的值是.

【答案】4.

2

【詳解】：AD〃BE〃CF,BC^-AB,

3

.DEAB_3

??---————,

EFBC2

63

即Hn=—,

EF2

解得EF=4.

故答案為4.

點睛：本題利用平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

12.已知點G是等腰直角三角形ABC重心，AC=BC=6,那么4G的長為.

【答案】2亞

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出CO的長，然后根據(jù)重心的性質(zhì)可知。G=；CO,最后由勾股定理可

求得AG的長

【詳解】連接CG并延長交AB于點。，

???CO是等腰直角三角形ABC斜邊的中線

CD=-AB=-VAC2+BC2=-XV36+36=372

222

；點G是等腰直角三角形ABC的重心，

?"DG=—CD=V2,且AD=CD=3-^2

在RtADG中，根據(jù)勾股定理得：

AG=y/Alf+DG2=J18+2=275

【點睛】本題考查的等腰直角三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，熟知重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

13.如圖，小紅晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CO的長為1米，繼續(xù)往走2.5米到達￡處時，測得

影子EE的長為2米，已知小明的身高是1.5米，那么路燈A離地面的高度AB的長為米.

八?身圖路燈的圖度廣工.5AB1.5AB_??,1.5

分析】由訕”■一”“‘可得丁=、，—=—>解z得，A4BD=\.5BD,ADB=—DBrF,ni,則

影長路燈的影長IBD2BF2

BF=2BD,由BD=BF—BD=DF=CE-CD+EF=35,代入可求AB.

身高=路燈的高度

【詳解】解：而一路燈的影長

.1.5AB1.5_AB

?.---------

1BD彳一茄’

解得，AB=1.5BD,AB^—BF,

2

BF=2BD，

■:BF-BD=BD=DF=CE—CD+EF=25—1+2=35,

AB=1.5x3.5=5.25,

故答案為：5.25.

身高一路燈的高度

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握:影《一路燈的影長.

14.如圖，四邊形DEFG是的內(nèi)接矩形，其中。、G分別在邊AB、AC上，點E、尸在邊8C上,

DG=2DE,A”是一ABC的高，BC=20,A4=15,那么矩形。EFG的周長是

【答案】36

【分析】根據(jù)四邊形。EFG是ABC的內(nèi)接矩形，可得DG〃EF,/KDE=NDEH=90°,證明四邊形

DEHK是的矩形，可推導(dǎo)出K"=DE，AK是△A0G的高，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得生=生，代入數(shù)

BCAH

據(jù)可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)AH交。G于點K，

：A”是一ABC的高，

ZAHB=90°,

V四邊形DEFG是_A8C內(nèi)接矩形，

ADG//EF,/KDE=ZDEH=9Q0,

四邊形DE”K是矩形，

:.NDKH=90。,KH=DE，

ZAKD=1800-ZDKH=180°-90°=90°,即AK是△ADG的高,

VDG//EF,DG=2DE,BC=2Q,AH=15,

AADG^ZXABC,

.DGAKAH-KHAH-DE

~AH---AH-'

.IDE15-DE

??一,

2015

解得：DE=6,

：.DG=2DE=2x6=12,

四邊形。EFG的周長是：2x(6+12)=36.

故答案為：36.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì).掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】解：如圖，

10D

由題意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,NCEF=ZEFG=90°,GH=4,

：.CH=\Q=AD,

?:ND=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

ADJ烏HCJg0,

CJ-DJ=5,

.?㈤=1,

???GI//CJ,

/..HG"HCJ,

.GI_GH_2

"c7-CW-5'

:.GI=2,

；?FI=4,

?"梯形麗=g(&+H>E『=15；

故答案為15.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

16.如圖已知在。中，NC=90。，48=5,cot8=—,正方形OEFG的頂點G、尸分別在邊AC、BC

2

上，點。、￡在斜邊AB上，那么正方形DEFG的邊長為.

【分析】由正方形。EFG,設(shè).DE=DG=EF=x,由NA+NAG￡>=90°=NA+N5,可得NAGD=N8,

,即型=股1xBE

則cotZAGD=cotB=—解得，AD=2x,BE=-X,根據(jù)

2ADEF2ADx22

AB=AD+DE+BE=5,代值計算求解即可.

【詳解】解：..?正方形。瓦G,

\NADG=4BEF=9Q。，DE=DG=EF,

設(shè)DE=DG=EF=x,

：ZA+ZAGD^90°^ZA+ZB,

??ZAGD=ZB,

*.cotZ.AGD=cotB=—?,即——=――=—

2ADEF2

白=強=；，解得，

AD=2x,BE=-x,

ADx22

；AB=AD+DE+BE^5,

10

2x+xH—x-5,解得,x——

27

故答案為：—.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，余切，一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于正確表示余切，確定線段之間

的數(shù)量關(guān)系.

17.新定義：將一個凸四邊形分成一個等腰三角形和一個等腰直角三角形的對角線叫做這個四邊形的“等腰直角

線”.已知一個直角梯形的“等腰直角線”等于4,它的面積是.

【答案】4+40或12

【分析】分兩種情況，結(jié)合勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，在梯形ABC。中，AD^BC,二ABC是等腰直角三角形，AO=AC=4,

22

???AB+BC=2AB2=AC?=16,

???AB=2五,

梯形ABC。的面積為g（8C+AO）xA8；（2夜+4）x2夜=4+4夜;

如圖，在梯形A3CO中，AD〃BC,是等腰直角三角形，CD=AC=4,

AD

：./BAD=/B=90°，ABAC=45°，

：.NG4O=NO=45。，

^ACD=90°,

A.AC￡＞是等腰直角三角形，

；?AD=及AC=4拉，

梯形ABCQ的面積為g（BC+AD）xAB=g（2夜+4夜卜2a=12；

如圖，在梯形ABCQ中，AD^BC,ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；

綜上所述，它的面積為4+4夜或12.

故答案：4+4血或12

【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,C￡＞是JSC的角平分線，4C:BC=3:4.將RtZ\48C繞點A旋

轉(zhuǎn)，如果點C落在射線CO上，點B落在點七處，連接。E，那么/血＞的正切值為.

3

【答案】-

7

【分析】設(shè)點C落在射線CO上的點C處，設(shè)AC=3x,BC=4x,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

90°=NE4B=NC4C',進而得到AC'〃3C，即可求解.

【詳解】解：設(shè)點C落在射線CD上的點C'處，如圖，

VZACB=90°,AC:BC=3:4,.

設(shè)AC—3x，BC=4x，

則AB=y/AC2+BC2=5x，

???CD是的角平分線，

:.ZACD^ZDCB=45°,

；將RtZsABC繞點A旋轉(zhuǎn)，

AAC^AC',ZCAB=ZC'AE,A8=A￡=5x,

ZACD=ZAC'C=45°=ZDCB,ZEAB=ZCAC,

：.90°=ZEAB=ZCAC,

:.AC//BC,

.?a*、①，

DBBC4

:4)+8￡>=5x②

由①②得：AD^—x,

7

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AE=A3=5x,

.…cAD3

*?tanNAEZ)----——)

AE7

3

故答案為：

7

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；計算出AO的長是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題滿分78分)

19.計算：——2Sin30°——+|cot300-l|.

2cos450-tan45011

【答案】V2+V3

【分析】先代入特殊角三角函數(shù)值，再利用二次根式的運算法則進行計算.

2x-

詳解】解：原式=-+|V3-1|

2x----1

2

-7=---H-\/3—1

V2-1

=V2+1+V3-1

=y[2+5/3?

【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)的值的運算，二次根式的運算，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知平行四邊形ABC。，點M、N是邊。C、8C的中點，設(shè)A8=a，AD=b-

（1）求向量MN；

（2）在圖中求作向量MN在A3、AO方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）.

AB

【答案】（1）MN——a-—b；（2）見解析

22

【分析】（1）由四邊形A8C。是平行四邊形，可得又由點M、N是邊DC、8c的中點，根據(jù)三角形中位線

的性質(zhì)，即可求得向量MN；

（2）首先平移向量MN，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案.

【詳解】解：（1）AB-（i，AD~b，

DB=AB-AD=a-b-

?.?點M、N分別為OC、BC的中點，

I11

:.MN=—DB=—a-—b；

222

（2）作圖：結(jié)論：AP、AQ是向量分別在A8、AO方向上的分向量.

Q

【點睛】本題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì).注意掌握平行四邊形法則

與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

21.己知：如圖，在aABC中，AB=13,AC=8,cosZBAC=—,BD1AC,垂足為點D,E是BD的中點，連

13

接AE并延長，交邊BC于點F.

（1）求NEAD的余切值；

BF

（2）求=的值.

CDpS

【答案】（1）NEAD的余切值為一；（2）—=—.

6CF8

【分析】（1）在RtAAO8中，根據(jù)48=13,cos/BAC=—，求出40的長，由勾股定理求出8。的長，進而可求

13

出OE的長，然后根據(jù)余切的定義求NEA。的余切即可；

（2）過。作DG〃A廣交BC于G,由平行線分線段成比例定理可得CDAD=CGtFG=3:5,從而可設(shè)

CD=3x,AD=5x,再由E尸〃OG,BE=ED,可知BF=FG=5x,然后可求BF：CF的值.

【詳解】（1）VBD1AC,

ZADE=90°,

“5

Rt^ADB中，AB=13,cos/BAC=——,

13

；.AD=5,由勾股定理得：BD=12,

；E是BD的中點，

；.ED=6,

...NEAD的余切=黑=之；

ED6

（2）過D作DG〃AF交BC于G,

VAC=8,AD=5,??.CD=3,

VDG//AF,

?.C?—D二CG_二3一,

ADFG5

設(shè)CD=3x,AD=5x,

?.?EF〃DG,BE=ED,

；.BF=FG=5x,

?BF_5x_5

??麗一菽一引

【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行線分線段成比例定理.解（1）的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三

角函數(shù)的概念，解（2）的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理.

DEBD

22.如圖，在一ABC中，點￡>、￡分別在邊A3、AC上，連接￡>E、BE,ZABE=ZAED,——=——

BECE

⑵若=1,S四邊形08c￡=8，求，BDE的面積.

【答案】（1）證明過程見詳解.

（2）次>￡的面積為2.

【分析】（1）利用Z46E=NA￡D先判定△ADESZ^4EB,得到乙期花二乙四從而證明N8OE=N3EC,結(jié)

Z）EBD

合——=—,證明△5￡>EsACE5,得到ND3E=NC即可.

BECE

（2）利用△ADEsAABC及面積比值得到3OE=8C,通過△BDEs/xCEB得到百OE=8E，最后利用

△ADE^/\AEB求解即可.

【小問1詳解】

證明：VZABE=ZAED,ZA=ZA.

/\ADEsaAEB,

/.ZADE=ZAEB，

?：ZADE+ZBDE=ZAEB+ZBEC=180。,

NBDE=NBEC,

「DEBD

又?--------,

BECE

：.△BDEsREB

：.ZAED=ZDBE=NC,

：.DE//BC.

【小問2詳解】

解：,?,DE〃8C,

/XADE^ABC,

又,?*S&ADE=1，S四邊形0BC￡=8

,,S4ADE：S&ABC=1：9,

3DE=BC,

：△BDEsMEB,

.BEDEBD

"~BC~~BE~~CE

y/3DE=BE，

又,:公ADEs公AEB,

：

?,^AAD￡S&AEB=1：3,

*"S&ADE=］，

,,S&AEB=3,

S&BDE~S/^BAE—^AADE=3-1=2.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，能夠熟練的根據(jù)條件判定三角形相似，并利用相似的性

質(zhì)得到線段的比值是解題關(guān)鍵.

23.如圖，四邊形A8CD是平行四邊形，AEL3c于E，AF_LCD于尸.求證：

（1）_ABESdADF；

（2）CDEF=ACAE.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）由A8CO是平行四邊形，可知"=/￡）,由AF1CD,可得

ZAEB=90°=ZAFD,進而可證_；

ABAEABAE

由ABCQ是平行四邊形，可知BC=AD,AB=CD,由_ABES_AQE，可得=,即=,

ADAFBCAF

A3BC

—=——，由N84￡+NB=90°=N84￡+N￡4F,可得/R=/FAF,證明,ABCsEAF,貝U

AEAF

ABAC即

0=/進而結(jié)論得證.

~AE~EFAEEF

【小問1詳解】

證明：：ABC。是平行四邊形,

:.ZB=ZD，

'：AEYBC,AFLCD,

：.ZAEB=90°=ZAFD,

:,dABEs一ADF；

【小問2詳解】

證明：；ABCO是平行四邊形，

ABC^AD,AB=CD,

?；dABEs^ADF，

.ABAEABAE

??--=----,即nn---------,

ADAFBCAF

.ABBC

"'~AE~~AF'

ZBAE+ZB=90°=ZBAE+ZEAF,

???ZB=Z￡AF，

ABCsEAF,

ABACCDAC

..——=——，即Hn——=——，

AEEFAEEF

：.CDEF=ACAE.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于確定相似三角形的判定條

件.

24.已知：如圖，各頂點的坐標分別是A((),-4)、8(—2,0)、C(4,0).

(1)求NB4c的余切值；

(2)若點p在V軸的正半軸，且△POC與一AOB相似，請直接寫出點P的坐標;

(3)已知點M在y軸上，如果NOMB—NQ43=NACB,求點M的坐標.

【答案】(1)-

3

(2)(0,8)或(0,-8)

(3)呻

【分析】(1)由兩點距離公式可求AO=4=CO,3O=2,8C=6,ZBC4=45°,由直角三角形的性質(zhì)可求

的長，即可求解；

(2)分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解;

(3)根據(jù)題意可得NOA/3=NB4C,再由cot/BAC=」，可得cot/BM。=)

,即可求解.

32

【小問1詳解】

解：?.?A(0,T)、8(—2,0)、C(4,0),

AO=4=CO,BO=2,

8C=6,NBC4=45°,

二AC=4萬

如圖1,過點8作BHJ_AC于H,

：.ZBCA=ZCBH=A5°,

：.BH=CH,

???BC=y[2BH=6>

BH=3近=HC，

???AH=6,

...coSC嘲嚕1；

【小問2詳解】

解：?.?點P在)，軸上，

NPOC=ZAOB=90。,

當=段時，則AOBS；.COP,

COPO

?4一2

?.—,

4PO

PO—2，

二點戶的坐標為(0,2)或(0,—2)；

當42=也時，貝AQBS；POC,

OPco

,42

??___—，

OP4

OP=8,

.?.點P的坐標為（0,8）或（0,—8）；

綜上所述：當點P的坐標為（0,2）或（0,-2）或（0,8）或（0,—8）時，△POC與AQB相似;

【小問3詳解】

解：:/OMB-/OAB=ZACB,NACB=NQ4C,

ZOMB=ZOAB+ZACB=ZOAB+ZOAC=ABAC,

由（1）得：cotZBAC=-,

3

/.cotZBMO=-,

3

.MOMO

：.MO=~,

3

此時點M的坐標為（0,-g［或（o。］.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.已知：如圖，在矩形A8CD