高中數(shù)學(xué)選修2-3單元教學(xué)設(shè)計

成都市華陽中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計

單元名稱兩個基本原理IF

學(xué)問

正確理解和駕馭加法原理和乘法原理

與

技能

維過程

能精確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡潔的問題

與

目方法

情感看

發(fā)展學(xué)生的思維實力，培育學(xué)生分析問題和解決問題的實力

標(biāo)法與價

值觀

一

重

難1重.點：加法原理，乘法原理。

點2難.點：加法原理，乘法原理的區(qū)分。

.

單

元

課

時

安排

教學(xué)過程設(shè)計報：注

1.新課導(dǎo)入

隨著社會發(fā)展，先進技術(shù)，使得各種問題解決方法多樣化，高標(biāo)準(zhǔn)嚴要求，

使得商品生產(chǎn)工序困難化，解決一件事經(jīng)常有多種方法完成，或幾個過程才能

完成。

排列組合這一章都是探討簡潔的計數(shù)問題，而排列、組合的基礎(chǔ)就是基本

原理，用好基本原理是排列組合的關(guān)鍵.

2.新課

我們先看下面兩個問題.

(1)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車

有4班，汽車有2班，輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地

共有多少種不同的走法？

板書：圖

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，

每一種走法都可以從甲地到達乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到

乙地共有4十2十3=9種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有m種不

同的方法，在其次類方法中有nt種不同的方法，……，在第n類方法中有％種

不同的方法.那么完成這件事共有N=m∣十m十…十m.種不同的方法.

(2)我們再看下面的問題：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村

去C村，共有多少種不同的走法？

板書：圖

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到

達B村后，再從B村到C村又有2種不同的走法.因此，從A村經(jīng)B村去C村

共有3X2=6種不同的走法._________________________________________________

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它須要分成n個步驟，做第一步有m種不同的

方法，做其次步有叱種不同的方法，……，做第n步有m“種不同的方法.那么

完成這件事共有N=IThnt…m”種不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法？

2)從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

解：(1)從書架上任取一本書，有兩類方法：第一類方法是從上層取數(shù)學(xué)書，

可以從6本書中任取一本，有6種方法；其次類方法是從下層取語文書，可以

從5本書中任取一本，有5種方法.依據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6

十5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一

步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；其次步取一本語文書，有5種方法.依據(jù)乘法

原理，得到不同的取法的種數(shù)是N=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法.

練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取一枚，有多少種不同取法？2)從中任取明清古幣各一枚，有多

少種不同取法？

例2(1)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

(3)由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，

從5個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有5種選法；其次步確定十位上的數(shù)字，由于

數(shù)字允許重復(fù)，

這仍有5種選法，第三步確定個位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法.依據(jù)乘

法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個數(shù)是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個三位數(shù).

練習(xí)：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不

經(jīng)過乙地到內(nèi)地有2條水路可走.

(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法嬉戲.在一個紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、19、

20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個黃口袋中裝著

10張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為

加數(shù).這名兒童一共可以列出多少個加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個此類問題，首先要推斷是分類，還是分步？分類時用加法，

分步時用乘法

其次要留意怎樣分類和分步，以后會進一步學(xué)習(xí)

練習(xí)

L(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有5人會用第一種方法完成，另有

4人會用其次種方法完成.選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？

2.在讀書活動中，一個學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任

選一本，共有多少種不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)綻開后共有多少項?

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有

4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

5.一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，全部這些小球的顏

色互不相同.

(1)從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

(2)從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？

作業(yè)：

教

學(xué)

反

思

成都市華陽中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計

單元名稱排列課型新

學(xué)問理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的W隹導(dǎo)

三與

技能

維過程

能精確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡潔的問題

與

目方法

情感看

發(fā)展學(xué)生的思維實力，培育學(xué)生分析問題和解決問題的實力

標(biāo)法與價

值觀

重

難L重點:排列、排列數(shù)

點2.難點：排列的理解應(yīng)用

.

單元

課時

安排

教學(xué)過程設(shè)計批注

一、復(fù)習(xí)引入：

1、分類計數(shù)原理：(1)加法原理：假如完成一件工作有k種途徑，由第1

種途徑有m種方法可以完成，由第2種途徑有m種方法可以完成，……由第

k種途徑有m種方法可以完成。那么，完成這件工作共有m+m+……+他種不

同的方法。

2,乘法原理：假如完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有m種不同

的方法，完成第2步有m種不同的方法，……，完成第K步有nK種不同的方法。

那么，完成這件工作共有mXnzXXnk種不同方法

二、講解新課：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加(m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同)

依據(jù)肯定的依次排成一列，叫做從“個不同元素中取出m個元素的一個排列.

說明：(1)排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按肯定的依次排列；

(2)兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列依次也相同.

2.排列數(shù)的定義：

從"個不同元素中，任取相(相＜〃)個元素的全部排列的個數(shù)叫做從“個

元素中取出，"元素的排列數(shù)，用符號A：表示.

留意區(qū)分排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從“個不同元素中，任

取加個元素依據(jù)肯定的依次排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素

中，任取〃？(m≤")個元素的全部排列的個數(shù)，是一個數(shù).所以符號只表

示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

求A：以按依次填m個空位來考慮A：=n(n-l)(n-2)(n-m+l),

排列數(shù)公式:第1位第2位第3位第e位

rr-∏H?l

圖10-5

HJ

A'^'-n(π-l)(n-2)(π-∕π+l)=----:——Cm,neN*,ιn≤n)

l(n-m)↑

說明：(1)公式特征：第一個因數(shù)是"，后面每一個因數(shù)比它前面一個

少1,最終一個因數(shù)是“一加+1,共有加個因數(shù)；

(2)全排列：當(dāng)〃=加時即〃個不同元素全部取出的一個排列.

全排列數(shù)：=〃5-1)("-2)2?1=”!(叫做n的階乘).

4.例子：

例L計算：⑴7；⑵曖；(3)A^.

解：(1)Af6=16×15×14=3360；

(2)￡=6!=720；

(3)4=6x5x4x3=360.

例2.(1)?Λι7=17×16×15×--×5×4,則“=,m=___.

(2)若〃∈N,則(55—〃)(56—〃)(68—”)(69—〃)用排列數(shù)符號表示—.

解：(1)〃=17,m=14.

(2)若〃eN,則(55-〃)(56—〃)(68-n)(69-n)=.

例3.ɑ)從2,3,5,7,11這五個數(shù)字中，任取2個數(shù)字組成分數(shù)，不同值的分數(shù)

共有多少個？

(2)5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？

(3)某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參與，每隊都要與其余各隊在主

客場分別競賽1次，共進行多少場競賽？

解：⑴6=5x4=20；

(2)￡=5x4x3x2x1=120；

(3)?=14x13=182.

例4、求不同的排法種數(shù)：

(1)6男2女排成一排，2女相鄰；

(2)6男2女排成一排，2女不能相鄰；

(3)4男4女排成一排，同性者相鄰；

(4)4男4女排成一排，同性者不能相鄰

例5、在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有多少個？

分析符合條件的奇數(shù)有兩類.一類是以1、9為尾數(shù)的，共有PJ種選法，首

數(shù)可從3、4、5、6、7中任取一個，有P/種選法，中間兩位數(shù)從其余的8個數(shù)

字中選取2個有P/種選法，依據(jù)乘法原理知共有PzRT/個；一類是以3、5、7

為尾數(shù)的共有PsPRZ個.

l2l2

解符合條件的奇數(shù)共有P2P5'P8+P3'P4P8=1232個.

答在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有1232個.

例6、某小組6個人排隊照相留念.

(1)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后

排，有多少種排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙兩人必需在一起，有多少種不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？

(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰有多少種排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？

分析(1)分兩排照相事實上與排成一排照相一樣，只不過把第3?6個位子看

成是其次排而已，所以事實上是6個元素的全排列問題.

(2)先確定甲的排法，有Pj種；再確定乙的排法，有P1種；最終確定其他人的

排法，有法種.因為這是分步問題,所以用乘法原理，有PJ?P/?P∣'種不同排

法.

(3)采納“捆綁法”，即先把甲、乙兩人看成一個人，這樣有P/種不同排法.然

后甲、乙兩人之間再排隊，有P?,種排法.因為是分步問題，應(yīng)當(dāng)用乘法原理，

5

所以有P5?P/種排法.

(4)甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各占一半，有P/種排法.

(5)采納“插入法”，把3個女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進4張椅子,

如「女__女__女一，再把3個男生放到這4個位子上，就保證任何兩

個男生都不會相鄰了.這樣男生有P；種排法，女生有P：種排法.因為是分步問

題,應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所以共有P,3pJ種排法.

(6)符合條件的排法可分兩類：一類是乙站排頭，其余5人隨意排有M種排法；

一類是乙不站排頭；由于甲不能站排頭，所以排頭只有從除甲、乙以外的4人

中任選1人有PJ種排法，排尾從除乙以外的4人中選一人有Pj種排法，中間4

個位置無限制有P；種排法，因為是分步問題，應(yīng)用乘法原理，所以共有P/P”；

種排法.

解(1)P∕=72O(種)

1

(2)P2'?P4?P,=2X4X24=192(種)

5

(3)P5?Pz2=120X2=240(種)

(4)P∕=360(種)

(5)P??P3=24X6=144(#)

14

(6)Ps?'p4P4=120+4×4×24=504(種)

或法二：(淘汰法)P6J2P5?√=720-240+24=504(種)

解排列問題問題時，當(dāng)問題分成互斥各類時，依據(jù)加法原理，可用分類法;

當(dāng)問題考慮先后次序時，依據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作干脆

法.當(dāng)問題的反面簡潔明白時，可通過求差解除采納間接法求解；另外，排列

中“相鄰”問題可以用“捆綁法”；“分別”問題可能用“插空法”等.

解排列問題和組合問題，肯定要防止“重復(fù)”與“遺漏”.

互斥分類一一分類法

先后有序---位置法

反而明白---解除法

相鄰排列一一捆綁法

分別排列一一插空法

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念，排列數(shù)公式的應(yīng)用

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

教

學(xué)

反

思

成都市華陽中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計

單元名稱組合課型新

學(xué)問1、理解組合、組合數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)

與2、能正確相識組合與排列的聯(lián)系與區(qū)分

技能

維

過程能精確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡潔的問題

與

目方法

情感看

標(biāo)發(fā)展學(xué)生的思維實力，培育學(xué)生分析問題和解決問題的實力

法與價

值觀

一

重

合數(shù)

合、組

點：組

難1.重

點

應(yīng)用、

的理解

：組合

2.難點

單元

課時

安排

批注

計

程設(shè)

過

教學(xué)

入：

復(fù)習(xí)引

一、

念：

列的概

1.排

相同)

素各不

被取元

這里的

元素(

n)個

Cm≤

取m

中，任

同元素

個不

從W

.

排列

一個

素的

個元

取出m

元素中

個不同

從〃

叫做

一列，

次排成

定的依

依據(jù)肯

；

次排列

定的依

②按肯

元素，

①取出

方面：

括兩個

定義包

排列的

(1)

說明：

同.

也相

依次

排列

素的

，②元

全相同

元素完

件：①

同的條

列相

個排

(2)兩

定義：

列數(shù)的

2.排

〃個

叫做從

的個數(shù)

部排列

素的全

)個元

2≤"

加(”

，任取

元素中

個不同

從W

.

；”表示

符號A

數(shù)，用

的排列

元素

取出m

元素中

，任

素中

同元

"個不

：從

”是指

排列

“一個

同：

數(shù)的不

和排列

分排列

留意區(qū)

元素

不同

〃個

指從

數(shù)”是

“排列

是數(shù)；

列，不

排成一

的依次

據(jù)肯定

元素依

取加個

表

,：只

符號A

.所以