排列組合習(xí)題課（3）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

排列、組合習(xí)題課（3）例題講評例8.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定(可以不相鄰)共有多少不同的排法？解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

1種坐法，則共有種方法。

（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有4×5×6×7方法小結(jié)：定序問題可以用倍縮法策略.

定序問題:只選位置、不管順序練習(xí)：某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后進(jìn)行，那么安排這6項工程不同的排法種數(shù)是

.析：六個元素進(jìn)行排序，保證甲、乙、丙三個元素順序不變，再加入三個元素進(jìn)行排序，共

＝120(種).例9.若把英語單詞“hello”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有

種.(用數(shù)字作答)析：根據(jù)題意，因為“hello”五個字母中的兩個“l(fā)”是相同的，則其不同的排列有(種)，相同元素的排列問題其中正確的有一種，所以錯誤的方法共有60－1＝59(種).變式2：2個相同的白球，3個相同的紅球，4個相同的黃球排在一起，有

種不同的排法.變式1：英語單詞“success”的字母順序?qū)戝e了,則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有

種.答案：419答案：1260

例10.(1)某人要給廚房中裝有不同調(diào)料的5個瓶子貼上對應(yīng)的標(biāo)簽，若恰好貼錯了3個，則貼錯的可能情況種數(shù)為

種.析：由題意，可分為兩步：第一步，從5個瓶子中選出3個瓶子，有

＝10(種)情況，第二步，對選出的3個瓶子進(jìn)行錯位重排，有2種情況，所以貼錯的可能情況種數(shù)為10×2＝20種.√錯位排列問題練習(xí)：5個人站成一列，重新站隊時各人都不站在原來的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．481類：B占據(jù)了A的位置，則后面的重站，共有2種站法；2類：B沒有占據(jù)A的位置，則有

故選：B.【解析】由題意，設(shè)五人分別為A，B，C，D，E，重新站隊時，可A從開始，其中A有4種不同的選擇，比如A占據(jù)了B的位置，可再B由選取位置，可分為兩類，

種站法，后面的重站，共有3種站法，所以共有種不同的站法.【例11】有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(六名同學(xué)不一定都能參加) (1)每人只參加一項，每項人數(shù)不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.可重復(fù)的排列策略【例1】

有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(六名同學(xué)不一定都能參加) (1)每人只參加一項，每項人數(shù)不限；

解

每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不

同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

可得不同的報名方法共有36＝729(種).【例11】

有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(六名同學(xué)不一定都能參加) (2)每項限報一人，且每人至多參加一項； (3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.解

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學(xué)中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).例12.如圖所示，某景觀湖內(nèi)有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計劃設(shè)計三座景觀橋連通四個小島，每座橋只能連通兩個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，則設(shè)計方案的種數(shù)最多是A.8B.12C.16D.24√窮舉法析：四個人工小島分別記為A，B，C，D，對A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，用“－”表示橋.①當(dāng)A只有一座橋相連時，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6種方法；②當(dāng)A有兩座橋相連時，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6種方法.故設(shè)計方案最多有6＋6＝12(種).窮舉法練習(xí)1：用紅色和藍(lán)色兩種不同的顏色給6個廣告牌涂色，要求相鄰兩個廣告牌不能涂紅色，則共有

種不同的涂法.答案：21窮舉法練習(xí)2.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________.

解：當(dāng)a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數(shù)為4；

當(dāng)a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數(shù)為2.由分類加法計數(shù)原理可知，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.例12.將“?！?、“祿”、“壽”填入到如圖所示的4×4小方格內(nèi)，每格內(nèi)只填入一個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有(

)A.288種 B.144種 C.576種 D.96種解析第一步，先從16個格子中任選一格放一個漢字有16種方法，第二步，任意的兩個漢字既不同行也不同列，剩下的只有9個格子可以放，有9種方法，第三步，第三個漢字只有4個格子可以放，有4種方法，由分步計數(shù)原理知共有16×9×4＝576(種).限制條件排除法先求出不考慮限制條件的個數(shù)，然后減去不符合條件的個數(shù)，相當(dāng)于減法原理相鄰問題捆綁法在特定條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整個問題排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列數(shù)，它主要用于解決相鄰問題插空法先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中特殊元素、位置優(yōu)先安排法對問題中的特殊元素或位置優(yōu)先考慮排列，然后再排列其他一般元素或位置多元問題分類法將符合條件的排列分為幾類，根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù)元素相同隔板法若把n個不加區(qū)分的相同元素分成m組，可通過n個相同元素排成一排，在元素之間插入m－1塊隔板來完成分組，此法適用于同元素分組問題“至多”“至少”間接法“至多”“至少”的排列組合問題，需分類討論且一般分類的情