隨機變量的均值課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

7.3.1離散型隨機變量的數(shù)字特征(均值)Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量的分布列刻畫了某個隨機變量的取值規(guī)律，可用于確定與該隨機變量相關事件的概率。要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要了解某班同學數(shù)學成績是否“兩極分化”,則可考察這個班數(shù)學成績的方差。要比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.離散型隨機變量的分布列：溫故知新1.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：X1234P權數(shù)（這里是頻率）加權平均算術平均數(shù)問題1：甲、乙兩名射箭運動員射中目標箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示.環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考1：如何比較他們射箭水平的高低呢？類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較射中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.思考2：如何由分布列計算他們射中的平均環(huán)數(shù)呢？探究新知

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9，這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2探究新知環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2探究新知

即乙射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為8.65，這個平均值的大小可以反映乙運動員的射箭水平.問題1：甲、乙兩名射箭運動員射中目標箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示.環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考3：上述兩個平均值的計算有什么共性？

結論：從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.均值是隨機變量可能取值及其對應的取值概率的加權平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平.探究新知一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：

為隨機變量X的均值(mean)或數(shù)學期望(mathematicalexpectation),數(shù)學期望簡稱期望.

均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量取值的均值則稱課本例題

X10P0.80.2X10Pp1－p兩點分布求隨機變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).練習

隨機變量X的分布列是X47910P0.3ab0.2若E(X)=7.5，則a=____，b=______.0.40.1鞏固練習深化理解

均勻分布觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)X的均值為3.5.隨機模擬這個試驗，重復60次和重復300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點數(shù)并計算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)(樣本均值)繪制統(tǒng)計圖，分別如圖(1)和(2)所示.觀察圖形，在兩組試驗中，隨機變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別?深化理解

觀察圖7.3-1可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復60次的.

事實上，隨機變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動.隨著重復試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小.因此，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值.問題2：如果X是一個離散型隨機變量，X加一個常數(shù)或乘一個常數(shù)后，其均值會怎樣變化？即E(X+b)和E(aX)(其中a，b為常數(shù))分別與E(X)有怎樣的聯(lián)系？探究：離散型隨機變量的均值的性質(zhì)分析：探究：離散型隨機變量的均值的性質(zhì)一般地，下面的結論成立

證明：例

隨機變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)=_____.(2)若Y=2X+1，則E(Y)=______.性質(zhì)應用

2.45.8-0.7嘗試寫出Y的分布列性質(zhì)應用

A求線性關系的隨機變量η＝aξ＋b的均值的方法(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性質(zhì)法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.例3.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如表所示.歌曲猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000

隨機變量均值的應用歌曲猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000隨機變量均值的應用[變式]如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同?如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大?例3.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如表所示.歌曲猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000

隨機變量均值的應用隨機變量均值的應用按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872隨機變量均值的應用按照其他猜歌順序的均值如下表例4.根據(jù)天氣預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設備，有以下3種方案：方案1：運走設備，搬運費為3800元；方案2：建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3：不采取措施.

工地的領導該如何決策呢？隨機變量均值的應用分析:決策目標為總損失(投入費用與設備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000解：用X，Y，Z分別表示3個方案的損失.隨機變量均值的應用

Y200062000P0.990.