成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念，會作散點(diǎn)圖；（重點(diǎn)）2.能夠利用散點(diǎn)圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.（重點(diǎn)）3.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系．(重點(diǎn))4.結(jié)合實(shí)例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性．(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)如果變量y是變量x的函數(shù)，那么由x就可以唯一確定y.然而，現(xiàn)實(shí)中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如，人的體重與身高存在關(guān)系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值.那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關(guān)系呢？下面我們就來研究這個問題.8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系變量的相關(guān)關(guān)系一個人的體重與他的身高有關(guān)系.一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在.例如:（1）子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系；（2）商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系；（3）空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系；（4）糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系.商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān).影響子女身高的因素還與母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等有關(guān).氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素.糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響.因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系.因此，在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M(jìn)行估計(jì)或推斷.探究在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表所示，表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù).編號1234567年齡23273941454950脂肪％9.517.821.225.927.526.328.28910111213145354565758606129.630.231.430.833.535.234.6

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).由散點(diǎn)圖，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關(guān).線性相關(guān)散點(diǎn)圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.觀察散點(diǎn)圖，從中不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近.一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)：圖（1）中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖（2）中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖（3）中的散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性.一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)通過觀察散點(diǎn)圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.散點(diǎn)圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引人均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)與正、負(fù)相關(guān)的關(guān)系樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大.當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小.樣本相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)程度的關(guān)系例題解析編號1234567年齡23273941454950脂肪％9.517.821.225.927.526.328.28910111213145354565758606129.630.231.430.833.535.234.6例1根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.

解：先畫出散點(diǎn)圖,如下圖所示.觀察散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

例2

有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如表所示.畫出散點(diǎn)圖，推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)解決此類問題的難點(diǎn)是對數(shù)據(jù)的處理和計(jì)算，要特別注意避免運(yùn)算失誤．(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得相關(guān)系數(shù)，利用相關(guān)系數(shù)絕對值的大小，可以判斷兩個變量相關(guān)性的強(qiáng)弱．方法總結(jié)

例3

在某校高一年級中隨機(jī)抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如圖所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？編號身高/cm體重/kg臂展/cm編號身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)