2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題29 三角函數(shù)的應(yīng)用-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題29三角函數(shù)的應(yīng)用題型一幾何中的三角函數(shù)模型1．第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如圖，會(huì)標(biāo)是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，設(shè)直角三角形中較大的銳角為，則（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】解：根據(jù)題意，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長度之差為2、斜邊的長度為10，故設(shè)直角三角形較大直角邊為，則另一直角邊為，所以，解方程得：，∴，，則，∴．故選：B.2．一半徑為2m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)算時(shí)間.（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度（m）表示為時(shí)間（s）的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時(shí)間？（3）記，求證：不論為何值，是定值.【答案】（1）坐標(biāo)系見解析，；（2）1s；（3）證明見解析.【解析】（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，即，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）知，令，可得，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)，∴點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要的時(shí)間.（3）由（1）知，，所以（為定值）.3．如圖，在矩形中，，，此矩形沿地面上一直線滾動(dòng)，在滾動(dòng)過程中始終與地面垂直，設(shè)直線與地面所成的角為，矩形周邊上最高點(diǎn)離地面的距離為．求：（1）的取值范圍．（2）的解析式．（3）的值域．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1）觀察可知與地面所成的角的取值范圍為．（2）如圖所示，連接，則，過作地面的垂線，垂足為．在中，，，∴．（3），，∴，所以即的值為．4．甲同學(xué)從一個(gè)半徑為r的半圓形鐵板中截取一塊矩形，記其最大面積為，乙同學(xué)從一個(gè)半徑為R的圓形鐵板中截取一塊矩形，記其最大面積為，試問r和R滿足什么關(guān)系時(shí)，？說明理由.【答案】當(dāng)時(shí)，.理由見解析【解析】甲圖中，是半圓圓心，設(shè),則，則，，當(dāng)時(shí)，乙圖中，設(shè)，則，則，，當(dāng)時(shí)，若，則，所以．題型二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用5．一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中為輪軸的中心，距地面（即長），巨輪的半徑長為，，巨輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)且每分鐘轉(zhuǎn)一圈，若點(diǎn)為吊艙的初始位置，經(jīng)過分鐘，該吊艙距離地面的高度為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平方向?yàn)檩S，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)榫掭喣鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)且每分鐘轉(zhuǎn)一圈，則轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為每分鐘，經(jīng)過分鐘之后，轉(zhuǎn)過的角度為，所以，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足：則吊艙距離地面的距離.故選：B．6．哈爾濱文化公園的摩天輪始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是當(dāng)時(shí)中國第一高的巨型摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點(diǎn)距地地面110米，運(yùn)行一周大約21分鐘.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第14分鐘時(shí)他距地面大約為__米.【答案】85【解析】設(shè)與地面高度與時(shí)間的關(guān)系，，，，，由題意可知：，，，，即，又因?yàn)?，即，故，，所以?4分鐘時(shí)他距地面大約為.故答案為：85.7．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中，，較小的銳角．若，正方形的面積為100，則________，________．【答案】【解析】由已知得，，又，解得，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以?故答案為：①；②.8．如圖為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車圓半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ到OB.設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為h.（1）求h與θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過10秒到達(dá)OB，求h.【答案】（1）；（2）3.2m.【解析】（1）以圓心O原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如下圖所示，則以為始邊，為終邊的角為，故點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴；（2）點(diǎn)A在圓O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度是，∴經(jīng)過t秒后轉(zhuǎn)過的角度，則經(jīng)過10秒后轉(zhuǎn)過的角度為，∴（m）.題型三三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用9．電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)，電流強(qiáng)度是____________．【答案】【解析】由圖象可知，，，最小正周期滿足，.，，函數(shù)，將點(diǎn)代入該函數(shù)解析式得，得.，，則，得，，當(dāng)時(shí)，，故答案為.10．下圖是一個(gè)按正弦規(guī)律變化的交流電的圖象，根據(jù)圖象求出它的周期、頻率和電流的最大值，并寫出圖象的函數(shù)解析式．【答案】，頻率5，電流的最大值為10A；.【解析】解：由圖象看出，這個(gè)交流電的周期，由頻率與周期的關(guān)系式，得頻率，電流的最大值為10A．由圖可知，這個(gè)曲線的函數(shù)解析式是正弦型函數(shù)，其中，，再把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得，取，于是得到曲線的函數(shù)解析式為.根據(jù)誘導(dǎo)公式，函數(shù)式可化為.11．已知彈簧上掛著的小球做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球離開平衡位置的位移s（cm）隨時(shí)間t（s）的變化規(guī)律滿足關(guān)系式，.用五點(diǎn)作圖法作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖，并回答下列問題：（1）小球在開始運(yùn)動(dòng)（）時(shí)，離開平衡位置的位移是多少?（2）小球上升到最高點(diǎn)、下降到最低點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移分別是多少?（3）經(jīng)過多長時(shí)間小球往返運(yùn)動(dòng)一次?【答案】（1）離開平衡位置的位移是；（2）小球上升到最高點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移是4cm，下降到最低點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移是；（3）.【解析】列表如下：ts4004作圖（如圖所示）．（1）當(dāng)時(shí)，，則小球在開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移是．（2）由圖可知，小球上升到最高點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移是4cm，下降到最低點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移是．（3）由于這個(gè)函數(shù)的周期，所以小球往返運(yùn)動(dòng)一次所需時(shí)間為．12．如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為，輪子的最低處距離地面.如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)（點(diǎn)與摩天輪中心的高度相同）時(shí)開始計(jì)時(shí).（1）求此人相對于地面的高度（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：）的函數(shù)關(guān)系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間此人相對于地面的高度不小于？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，此人相對于地面的高度.在時(shí)間時(shí)此人轉(zhuǎn)過的角為，此時(shí)此人相對于地面的高度.（2）由，得，不妨令，則，即.故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，此人相對于地面的高度不小于的時(shí)間為.題型四三角函數(shù)新定義13．如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它對應(yīng)的方程為其中記為不超過的最大整數(shù)），且過點(diǎn)，若葫蘆曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到軸的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)，代入可得，所以，所以，解得，即，由圖象可知上下對稱，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，即，當(dāng)時(shí)，.所以點(diǎn)到軸的距離為故選：B14．高斯是世界四大數(shù)學(xué)家之一，一生成就極為豐碩，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最．對于高斯函數(shù)，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，表示的非負(fù)純小數(shù)，即．若函數(shù)（且）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)．畫出函數(shù)的圖象，易知當(dāng)時(shí)，與的圖象最多有1個(gè)交點(diǎn)，故，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合題意可得，解得．故選：C．15．已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則（）A．是奇函數(shù) B．C．的一個(gè)周期是 D．的最小值小于0【答案】D【解析】A.，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；B.，，所以，故B不正確；C.，，所以函數(shù)的一個(gè)周期不是，故C不正確；D.，所以函數(shù)的周期,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上可知，一個(gè)周期內(nèi)的最小值是，因?yàn)?，所以，即，所以的最小值小?.故選：D16．在直角坐標(biāo)系中，橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn).若函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).在上，下列函數(shù)中，為一階格點(diǎn)函數(shù)的是___________.(選填序