2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題33 實(shí)際問(wèn)題中的正、余弦定理的應(yīng)用(原卷版)-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題33實(shí)際問(wèn)題中的正、余弦定理的應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題中的正弦定理、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂題意，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的角度、邊長(zhǎng)問(wèn)題，利用正弦定理、余弦定理求解。從近幾年高考命題看，考查考查力度與以往基本相同，與之相關(guān)的題目，難度不大．【題型導(dǎo)圖】類型一距離問(wèn)題例1：（2022·廣東·佛山市南海區(qū)里水高級(jí)中學(xué)高一月考）如圖，為測(cè)量河對(duì)岸、兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距米的、兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，則、兩點(diǎn)的距離是（）A．米 B．米 C．米 D．米【變式1】（2022·安徽宣城·高一期中）如圖，為了測(cè)量、兩島嶼的距離，海洋測(cè)量船在處觀測(cè)到、分別在處的北偏西15°、北偏東45°方向，海洋測(cè)量船往正東方向行駛海里至處，觀測(cè)到在C處的正北方向，在處的北偏西60°方向，則，兩島嶼的距離為（）A．20海里 B．海里 C．海里 D．10海里【變式2】（2022·廣東·洛城中學(xué)高一月考）一船向正北方向勻速航行，看見(jiàn)正西方向有相距海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續(xù)航行一小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西方向，另一燈塔在船的南偏西方向，則這艘船的航行速度是（）A．海里/時(shí) B．海里/時(shí) C．海里/時(shí) D．海里/時(shí)【變式3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)（與水平面垂直的平面），B，D為海島上兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)D的仰角分別為75°，30°，于C處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)D的仰角均為60°，AC=1km，求點(diǎn)B，D間的距離.類型二高度問(wèn)題例2.（2022·廣西百色·高一期末）夏季是暴雨和洪水高發(fā)季節(jié)，需要做好各項(xiàng)防汛工作，為更好地考察防汛工作實(shí)際情況，某校高一數(shù)學(xué)興趣小組前往某水庫(kù)實(shí)地測(cè)量其大壩相關(guān)數(shù)據(jù).是該大壩的坡面，該小組在壩底所在水平地面的處測(cè)得壩頂?shù)难鼋菫閷?duì)著大壩在水平地面上前進(jìn)后到達(dá)處，測(cè)得壩項(xiàng)的仰角為繼續(xù)對(duì)著大壩在水平地面上前進(jìn)后到達(dá)坡底處，測(cè)得壩項(xiàng)的仰角為則該大壩的高度為（）A． B． C． D．【變式1】（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn).其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)(，，三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是15°和60°，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A． B． C． D．【變式2】（2022·福建省福州第一中學(xué)高一期中）某天象館的主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體.小明同學(xué)為了估算該天象館的高度，在天象館的正東方向找到一座建筑物AB；高為m.在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A以及天象館頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得天象館頂C的仰角為30°，則小明估算該天象館的高度為（）A．16m B．24mC．16m D．24m【變式3】（2022·福建省福州屏東中學(xué)高一月考）某人在點(diǎn)C測(cè)得某塔底B在南偏西80度，燈塔A的仰角為45度，此人沿南偏東40度方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得燈塔A的仰角為30度，則燈塔的高為（）A．15m B．5m C．10 D．12m類型三角度問(wèn)題例3.（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)高一月考）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為，若，山坡對(duì)于地平面的坡度為，則等于（）A． B． C． D．【變式1】（2022·四川·射洪中學(xué)高一期中）如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援，則的值為_________．【變式2】（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高一月考）位于燈塔處正西方向相距的處有一艘甲船，需要海上加油.位于燈塔處北偏東有一與燈塔相距的乙船（在處）.求乙船前往支援處的甲船航行的距離和方向（角度精確到）.【變式3】（2022·上海市奉賢中學(xué)高一期中）甲船在距離港口海里并在南偏西方向的處駐留等候進(jìn)港，乙船在港口南偏東方向的處沿直線行駛?cè)敫?，甲、乙兩船距離為海里.乙船的速度為每小時(shí)海里，經(jīng)過(guò)分鐘航行到處，求此時(shí)甲、乙兩船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【限時(shí)訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在河岸一側(cè)取A，B兩點(diǎn)，在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C，若AB=12m，借助測(cè)角儀測(cè)得∠CAB=45°，∠CBA=60°，則C處河面寬CD為（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m2．（2022·江蘇江都·高一期中）有“蘇中第一高樓”之稱的揚(yáng)州金奧中心座落于揚(yáng)州文昌東路，是江都的標(biāo)志性建筑．小明同學(xué)為了估算大樓的高度，在大樓的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，樓頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則小明估算金奧中心的高度為（）A． B． C． D．3．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東方向，距離海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北方向的C處，且已知A，C之間的距離為10海里，則該貨船的速度大小為（）A．海里/小時(shí) B．海里/小時(shí)C．海里/小時(shí) D．海里/小時(shí)4．（2022·貴州威寧·高一期末）一艘海盜船從處以km/h的速度沿著北偏東20°的方向前進(jìn)，在點(diǎn)南偏東40°距離為km的處有一海警船，沿著北偏西10°的方向快速攔截，若要攔截成功，則海警船速度至少為（）A．km/h B．km/hC．km/h D．60km/h5．（2022·湖北·高一期末）某寶塔主體是由圓柱、棱柱、球等幾何體構(gòu)成，如圖所示.為了測(cè)量寶塔的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在寶塔附近選擇樓房作為參照物，樓房高為，在樓頂處測(cè)得地面點(diǎn)處的俯角為，寶塔頂端處的仰角為，在處測(cè)得寶塔頂端處的仰角為，其中，，在一條直線上，則該寶塔的高度（）A． B． C． D．6．（2022·浙江師范大學(xué)附屬東陽(yáng)花園外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考）某中學(xué)慶祝國(guó)慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為__________（取，小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）7．（2022·重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考）如圖，在離地面高800的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度_________.8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在位于A處的海綿觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原點(diǎn)等待營(yíng)救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，該船接到觀測(cè)站通告后立即前往B處求助，則9．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高一期中）2020年5月，國(guó)測(cè)一大隊(duì)第七次測(cè)量珠峰高度，最終測(cè)定珠穆朗瑪峰的最新高度為8848.86米，向世界展示了我國(guó)測(cè)繪科技的巨大成就.六十七年來(lái)，國(guó)測(cè)一大隊(duì)堅(jiān)持用雙腳丈量祖國(guó)大地，先后七測(cè)珠峰、兩下南極、39次進(jìn)駐內(nèi)蒙古荒原、52次深入西藏?zé)o人區(qū)、52次踏入新疆腹地，徒步行程6000多萬(wàn)公里，相當(dāng)于繞地球1500多圈，累計(jì)完成國(guó)家各等級(jí)三角測(cè)量1萬(wàn)余點(diǎn)，建造測(cè)量覘標(biāo)10萬(wàn)多座，提供各種測(cè)量數(shù)據(jù)5000多萬(wàn)組，先后承擔(dān)和參與完成了全國(guó)大地測(cè)量控制網(wǎng)布測(cè)，全國(guó)天文主點(diǎn)聯(lián)測(cè)，中華人民共和國(guó)大地原點(diǎn)的建設(shè)和管理等一系列重大測(cè)繪項(xiàng)目|如圖，某測(cè)量隊(duì)在山腳處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上行駛后到達(dá)處，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?（1）求山的高度；（2）現(xiàn)山頂處有一塔，從到的登山途中，測(cè)量隊(duì)員在點(diǎn)處測(cè)得塔的視角為．若點(diǎn)處高度為，則為何值