2023一輪數學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題50 樣本估計總體-2023一輪數學講義+題型細分與精練(解析版)

專題50樣本估計總體題型一頻率分布直方圖【例1】某學校調查了400名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，．根據直方圖，這400名學生中每周的自習時間不少于25小時的人數是（）A．240B．300C．120D．280【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知自習時間不少于25小時的頻率為，故這400名學生中每周的自習時間不少于25小時的人數為（人）；故選：C【變式1-1】某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的學生有60人，則下列說法正確的是（）A．樣本中支出在[50，60)元的頻率為0.03B．n的值為200C．樣本中支出不少于40元的人數為132D．若該校有2000名學生，則一定有800人支出在[50，60)元【答案】BC【解析】樣本中支出在[50，60)元的頻率為，故A錯誤；樣本中支出不少于40元的人數為，故C正確；，故n的值為200，故B正確；若該校有2000名學生，則可能有0.3×2000＝600人支出在[50，60)元，故D錯誤.故選：BC【變式1-2】某高職院校對年單招參考的名學生數學成績進行統(tǒng)計，得到樣本頻率分布直方圖（如圖），則數學成績在分以下的學生人數是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可知，數學成績在分以下的學生人數為，故選：D.【變式1-3】某大品牌家電公司從其全部200名銷售員工中隨機抽出50名調查銷售情況，銷售額都在區(qū)間（單位：百萬元）內，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，據此估計其全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內的人數為（）A．16B．22C．64D．88【答案】C【解析】由題意得，，解得，所以銷售額在區(qū)間內的頻率為，所以全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內的人數為，故選：C【變式1-4】在一次高二數學單元評估中，共有500名同學參加調研測試，經過評估，這500名學生的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則得分在之間的學生人數是（）A．150B．200C．250D．300【答案】B【解析】由頻率分布直方圖，，，所以得分在之間的頻率為，人數為．故選：B．【變式1-5】為了研究人們生活健康情況，某市隨機選取年齡在15~75歲之間的1000人進行調查，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中，利用分層抽樣從年齡在，，，，，之間共選取20名市民書寫生活健康的報告，其中選取年齡在市民的人數為（）A．2B．3C．4D．7【答案】D【解析】由頻率分布直方圖得解得，，所以年齡在，，，，，內的人數分別為150，300，350，100，50，50，利用分層抽樣選取的人數分別為3，6，7，2，1，1，故選：D．題型二總體百分位數的估計【例2】下列關于分位數的說法正確的是（）A．分位數不是中位數B．總體數據中的任意一個數小于它的可能性一定是C．它是四分位數D．它只適用于總體是離散型的數據【答案】C【解析】由百分位數的意義可知，將一組數據從小到大排序，并計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數據的值就稱為這一百分位的百分位數；分位數是中位數，分位數表示至少有的數據項小于或等于這個值，且至少有的數據項大于或等于這個值，第50百分位數又稱第二個四分位數，所以選項A，B，D錯誤.故選：C【變式2-1】某射擊運動員7次的訓練成績分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數為（）A．88.5B．89C．91D．89.5【答案】B【解析】7次的訓練成績從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，因為，所以第80百分位數為從小到大排列的數據中的第個數據，即89，故選：B【變式2-2】某數學老師記錄了班上8名同學的數學考試成績，得到如下數據：90，98，100，108，111，115，115，125.則這組數據的分位數是（）A．100B．111C．113D．115【答案】D【解析】由知，這組數據的分位數是按從小到大排列的第6個位置的數，所以這組數據的分位數是115.故選：D【變式2-3】下表為12名畢業(yè)生的起始月薪：畢業(yè)生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根據表中所給的數據計算75%分位數為（）A．2950B．3050C．3130D．3000【答案】D【解析】由小到大排列12個數據為2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；因為，所以75%分位數為，故選：D【變式2-4】某地一年之內12個月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量20%分位數和75%分位數為（）A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61【答案】B【解析】把每月的降水量從小到大排列為:46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，因為，所以該地區(qū)的月降水量的分位數為，因為，所以該地區(qū)的月降水量的分位數為.故選：B【變式2-5】某工廠名工人某天生產同一類型零件，生產的件數分別是，，，，，，，，，，，，則這組數據的第百分位數是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】這組數據按從小到大的順序排列為，，，，，，，，，，，．因為，所以這組數據的第百分位數是．故選：D題型三6種特征數的計算【例3】已知一組數據、、、的中位數為，則該組數據的方差為_______．【答案】【解析】因為數據、、、的中位數為，則.若，則這組數據的中位數為，不合乎題意，所以，，則這組數據的中位數為，可得，所以，這組數據的平均數為，方差為.【變式3-1】已知一組數據為，，，，，，則該組數據的方差是_________.【答案】【解析】由題意首先求得平均數，然后求解方差即可.由題意，該組數據的平均數為，所以該組數據的方差.【變式3-2】一組數據1，a，4，5，8的平均數是4，則這組數據的方差為_______【答案】【解析】由平均數的計算公式，可得，可得，所以方差.【變式3-3】（多選）一組數據6，7，8，a，12的平均數為8，則此組數據的（）A．眾數為8B．極差為6C．中位數為8D．方差為【答案】BD【解析】由題可得，∴，∴此組數據眾數為7，極差為，中位數為7，方差為.故選：BD.【變式3-4】已知某樣本數據分別為1，2，3，a，6，若樣本均值，則樣本方差______．【答案】【解析】由題設，，可得，所以.【變式3-5】已知一組樣本數據，且，平均數，則該組數據的方差為______【答案】2【解析】由題意知，又==2題型四方差、標準差說明數據的波動情況【例4】甲、乙兩位同學的5次數學學業(yè)水平模擬考試成績的方差分別為10.2和14.3，則以下解釋比較合理的是（）A．甲比乙的成績穩(wěn)定B．乙比甲的成績穩(wěn)定C．甲、乙的成績穩(wěn)定性無差異D．甲比乙的成績的標準差大【答案】A【解析】由已知甲乙的方差知：，即甲比乙的成績穩(wěn)定，甲比乙的成績的標準差小，所以A正確，B、C、D錯誤.故選：A【變式4-1】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，根據過去天甲、乙、丙、丁四地新增病例數據，一定符合該標志的是（）A．甲地：總體均值為，總體方差為B．乙地：總體均值為，中位數為C．丙地：總體均值為，總體方差大于D．丁地：中位數為，總體方差為【答案】A【解析】對于A，假設至少有一天的疑似病例超過人，此時方差，這與題設矛盾，所以假設不成立，故A正確；對于B，平均數和中位數不能限制某一天的病例不超過人，故B不正確；對于C，當總體方差大于，不知道總體方差的具體數值，因此不能確定數據的波動大小，故C錯誤；對于D，中位數為，總體方差為，如，平均數為，方差，滿足題意，但是存在大于的數，故D錯誤.故選：A.【變式4-2】下列數字特征不能反映樣本數據的分散程度、波動情況的是（）A．極差B．平均數C．方差D．標準差【答案】B【解析】對于A，極差表示一組數據最大值與最小值的差，極差越大數據越分散，極差越小數據越集中，故極差能反映樣本數據的離散程度大小，故不選A；對于B，平均數是表示一組數據集中趨勢的量數，是指在一組數據中所有數據之和再除以這組數據的個數，它是描述數據集中位置的一個統(tǒng)計量，故平均數不能反映樣本數據的分散程度、波動情況，故選B；對于C，方差反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立，即方差能反映樣本數據的離散程度大小，故不選C；對于D，標準差是方差的算術平方根，標準差反映樣本數據的離散程度大小，不選D．【變式4-3】為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A．甲隊球員進球的中位數比乙隊大B．乙隊球員進球的中位數比甲隊大C．乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定D．甲隊球員進球數的極差比乙隊小【答案】C【解析】由題圖，甲隊數據從小到大排序為，乙隊數據從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數都為5，甲、乙進球中位數相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C【變式4-4】某學生2021年共參加10次數學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數字特征最為合適（）A．，，，…，的平均值；B．，，，…，的標準差；C．，，，…，的中位數；D．，，，…，的眾數；【答案】B【解析】根據平均數、中位數、眾數的概念可知，平均數、中位數、眾數描述數據的集中趨勢，標準差描述數據的波動大小估計數據的穩(wěn)定程度.故選：B.【變式4-5】某年的足球聯賽上，甲隊每場比賽平均失球數是個，全年比賽失球個數的標準差為；乙隊每場比賽平均失球數是個，全年比賽失球個數的標準差為，下列說法正確的是（）A．甲乙兩隊相比，乙隊很少失球B．甲隊比乙隊技術水平更穩(wěn)定C．平均來說，甲隊比乙隊防守技術好D．乙隊有時表現很差，有時表現又非常好【答案】C【解析】乙隊平均失球大于甲隊平均失球，所以選項A錯誤；乙隊失球個數的標準差小于甲隊失球個數的標準差，選項B和D錯誤，甲隊每場比賽平均失球數個，小于乙隊每場比賽平均失球數個，所以平均來說，甲隊比乙隊防守技術好.故選：C【變式4-6】如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為和，樣本標準差分別為和，樣本極差分別為和，則（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B【解析】觀察圖形可知，樣本A的數據均在之間，樣本B的數據均在之間，由平均數的計算可知，樣本極差樣本B的數據波動較小，故，故選：B題型五同時加減或乘除一個數后的數據特征變化【例5】設一組樣本數據的平均數為100，方差為10，則的平均數和方差分別為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，所以，.故選：D【變式5-1】若，，…，的方差為，則，，…，的方差為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，，…，的平均數為，方差為，則，，可得，，…，平均數為：，則，，…，的方差：，故選：D.【變式5-2】有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中（，2，…，n），則（）A．兩組樣本數據的樣本標準差相同B．兩組樣本數據的樣本中位數相同C．兩組樣本數據的樣本平均數相同D．兩組樣本數據的樣本眾數相同【答案】A【解析】數據，，…，的樣本平均數是，標準差是，樣本中位數是，眾數是，所以數據（，2，…，n）的平均數是，標準差，